广西百色市普通高中2024-2025学年高二上学期期末教学质量调研测试数学试题

2024-2025学年广西百色市普通高中高二上学期期末教学质量调研测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线l的倾斜角，则直线l的斜率为(    ) A. B. C. D. 2.双曲线的虚半轴长为(    ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 3 3.如图，三棱锥中，，，，点N为BC中点，点M满足，则(    ) A. B. C. D. 4.等差数列的前n项和为，其中，则的值是(    ) A. 2 B. C. 2或 D. 4 5.已知直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为(    ) A. 1 B. 2 C. D. 6 6.已知圆和圆，则(    ) A. 圆与圆相切 B. 两圆公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公切线段长为3 D. 有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 7.设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点F，且与抛物C交于M，N两点，l为抛物C的准线，则(    ) A. B. C. 以线段MF为直径的圆与y轴相切 D. 为等腰三角形 8.已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知椭圆，则下列正确的是(    ) A. 焦点在x轴 B. 焦点在y轴 C. 焦距是 D. 焦距是2 10.如图，已知正方体的边长为2， E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是(    ) A. B. 平面AEF C. 异面直线与EF所成角的余弦值为 D. 点到平面AEF的距离为2 11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为，其前n项和为，则    A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为          . 13.已知数列的通项公式，则等于          . 14.已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知直线，直线 若，求实数a的值; 若，求实数a的值. 16.本小题12分 已知圆 若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程; 设点，点E在圆C上，M为线段DE的中点，求M的轨迹的长度. 17.本小题12分 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面BCDE，O为BC中点. 求证：平面 求平面ABC与平面ADE夹角的余弦值; 问：线段AC上是否存在一点Q，使平面如果存在，求的值;如果不存在，请说明理由. 18.本小题12分 如图，已知椭圆上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，斜率为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，且l不经过点 求椭圆C的方程; 若，求直线l的方程; 当直线PM，PN与x轴均不垂直时，设直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，求证：为定值. 19.本小题12分 设数列的前n项和为若对任意正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”. 已知数列是等差数列，且，求证：数列是“H数列”; 若数列的首项，且，，证明：数列不是“H数列”; 设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：直线l的倾斜角， 直线l的斜率， 故选 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查双曲线的标准方程与几何性质，是基础题． 化双曲线方程为标准方程，则答案可求． 【解答】 解：由双曲线C：，得， 则，， 可得双曲线C：的虚半轴长为 3.【答案】B  【解析】解：由于三棱锥中，，，， 点N为BC中点，点M满足， 则 故选： 4.【答案】A  【解析】解：由等差数列的定义和性质可得， 再由，可得， 故 5.【答案】C  【解析】解：因为， 所以点到直线l的距离为 ， 故选： 6.【答案】D  【解析】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选 7.【答案】C  【解析】解：因为过抛物线的焦点，则焦点，，A选项错误； 对于B，抛物线方程为：  ，与 C 交于  两点， 将直线方程代入抛物线方程可得，  ，所以  ， 所以  ，故B不正确； 对于C，由选项B可知，由方程可得， 又M到F的距离等于M到准线l的距离，且准线方程为， 则，则圆的半径为2， 又以线段MF为直径的圆的圆心的横坐标为， 故以线段MF为直径的圆与y轴相切，故C正确; 对于D，由B得，  ，解得  或  ， 不妨设  ，则  ， 所以  ，  ， 所以  不是等腰三角形，故D错误； 故选：C 8.【答案】D  【解析】解：由， 令，解得， 当时，由， 得， 即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以， 即恒成立， 令， 则， 由， 所以，即数列单调递减， 故， 所以 故选 9.【答案】BD  【解析】解：方程可化为， 表示焦点在y轴的椭圆，A错误，B正确； 由方程可得，，， 故焦距，C错误，D正确. 10.【答案】ABD  【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 所以，所以，A选项正确. ，， 设平面AEF的法向量为， 则 取，可得， 所以， 又平面AEF，所以平面AEF，B选项正确. ，， 则异面直线与EF所成角的余弦值为，故C错误; ，所以点到平面AEF的距离为，D选项正确. 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查了数列的前n项和及与的关系，根据数列的递推公式求通项公式，属于中档题. 利用给定定义逐个选项分析数列性质求解即可. 【解答】 解：依题意可得，A正确； 由，B错误； ，C正确； ， 累加得，D正确． 故选： 12.【答案】解：向量 ， ，  ，， 与互相平行，  ， 解得 故答案为：  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 13.【答案】3  【解析】解：因为， 所以， 所以 故答案为 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义，双曲线的定义，椭圆离心率、双曲线的离心率，属于中档题． 设为右焦点，半焦距为c，， ，由题意，，则x²²²，，，所以 ²²²，从而有，最后用基本不等式即可求解. 【解答】 解：设  为右焦点，半焦距为 c ，  ，  ，Q 为  中点， 因为线段  的垂直平分线经过坐标原点， O 为  中点，则  ， 由  ，  ， 则  ，  ，  ，所以  ，从而有  ， 故  ， 当且仅当  ，即  时取等，所以  的最小值为  . 故答案为：  ． 15.【答案】解：由，则，且， 解得； 由，则， 解得或  【解析】本题考查两条直线平行，垂直的充要条件的应用，属于基础题． 利用直线平行、垂直的充要条件列方程求参数值即可． 16.【答案】解：圆C的标准方程为， 圆心，半径， 当直线l的斜率不存在时，l的方程为， 圆心到l的距离，所以， 直线l与圆C相切，符合题意， 当直线l的斜率存在时， 设l的方程为，即， 所以圆心到l的距离， 由，得，解得， 所以直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为或； 设，， 因为M为线段DE的中点， 所以，得， 因为点E在圆C上， 所以， 化简得， 即M的轨迹方程为， 所以M的轨迹的长度为  【解析】本题考查直线与圆的位置关系及判定，圆有关的轨迹问题，属于中档题. 分直线l的斜率不存在和存在时两种情况，利用直线与圆的位置关系求解即可； 设，，由相关点法可得M的轨迹，进而得出轨迹的长度. 17.【答案】证明：因为，O为BC中点，所以， 又平面平面BCDE，平面平面，平面ABC， 所以平面 解：以C为坐标原点，CB，CD所在直线分别为x，y轴，平行于AO的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面ADE的法向量为，则， 令，可得， 易知平面ABC的一个法向量为， 所以，， 所以平面ABC与平面ADE夹角的余弦值为 解：由知平面ADE的法向量为， 设，，则， 若平面ADE，则， 所以，解得， 所以， 所以， 故存在点Q，使平面ADE，此时  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：因为椭圆C上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和， 所以， 解得， 所以， 则椭圆C的方程为； 因为直线l的斜率为， 设直线l的方程为，，， 联立，消去y并整理得， 此时， 解得， 由韦达定理得，， 若， 此时， 解得或， 当时，直线l的方程为， 此时直线l过点，不满足条件； 当时，直线l的方程为，满足条件， 所以直线l的方程为； 证明：因为直线PM，PN均不与x轴垂直， 所以直线l不经过点和， 所以且， 由知， 故为定值．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：1因为，设公差为d， 所以， 令，则， 此时， 即对任意正自然数n，存在正自然数m，使得， 所以，数列是"H数列"； 2因为数列的前n项和， 当n时，，所以， 当n2时，， 所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 假设数列是“H数列”， 则对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 当m时，有，则n，与题意不符； 当m2时，有，左边为奇数，右边为偶数，该方程无解， 所以对任意正整数n，不存在正整数m，使得， 所以数列不是“H数列”； 依题意，，， 若是“H数列”， 则对任意的，都存在使得， 即， 所以， 又因为，， 所以对任意的，，且， 所以  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$