23.4 三角形的中位线定理 课件 2024—2025学年华东师大版数学九年级上册

23.4 中位线 第23章 图形的相似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 A B C E F . . D . 中位线 中线 1、什么是三角形的中线? (连结顶点与对边中点的线段) 2、设疑:如果连结两边中点的线段呢? 三角形的中位线及其性质 一 连结三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 3、画出 ABC中所有的中位线. 观察猜想 在 ABC中,中位线DE和边BC什么关系? 数量关系: 位置关系: A B C D E DE和边BC关系 DE ∥ BC DE= BC 如何证明? A B C D E 已知:在 ABC 中,DE是 ABC 的中位线 求证:DE ∥ BC,且DE= BC 。 三角形的中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 D A B C E 几何语言: ∵DE是 ABC的中位线 (或AE=EB,AD=DC) ∴ DE∥BC, 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例1 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 已知:如图, 在 ABC 中,AD =DB,BE=EC, AF = FC. 求证:AE、DF互相平分. 证明:连结DE、EF. ∵AD = DB,BE = EC, ∴DE//AC(三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半). 同理可得EF//BA. ∴四边形ADEF是平行四边形. ∴ AE、DF互相平分. D A B C F E 练1.2 如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 D 练1.1 如图,在等边 ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点,则∠DEC= . 120 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例2 如图,点D,E,F分别是 ABC三边的中点, 若 ABC的周长为16,则 DEF的周长是 ; 若 ABC的面积为12,则 DEF的面积是 . 8 3 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1.三角形三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半 归纳 2.三角形三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 练2.1 如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E是AD的中点, BCD的周长为18,则 DEO的周长是_. 9 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 练2.2 如图,在 ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F.点E是AB的中点,连结EF. (1)求证:EF∥BC; (2)若 ABD的面积是6,求四边形BDFE的面积. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 三角形的重心 二 证明:连结ED, ∵ D、E分别是边BC、AB的中点, ∴ DE∥AC, ∴ ACG∽ DEG, ∴ ∴ 三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心,重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 如图, ABC中,D、E分别是边BC、AB的中点,AD、CE相交于G.求证: B 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 练3 已知,在 ABC中, G为重心,过点G的直线MN∥AB ,交AC于点M ,交BC于点N , AB=8 ,求MN的长. H 2.如图所示,DE为 ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90 ,若AB=5,BC=8,则EF的长为 . 1.如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点.若AB=8,AD=12,则四边形ENFM的周长为 . 当堂练习 20 1.5 3.如图,M是 ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3. (1)求证:BN=DN; (2)求 ABC的周长. 4.如图,等边 ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,延长BC至点F,使 ,连接CD和EF. (1)求证:DE=CF; (2)求EF的长. (1) 顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是什么? 平行四边形 拓展探究 (2)顺次连结梯形各边中点所得的四边形是什么? 平行四边形 对角线不相等且不互相垂直的四边形 各边中点组成平行四边形。 (3)顺次连结菱形各边中点所得的四边形是什么? 矩形 (4)顺次连结对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么? 矩形 对角线互相垂直的四边形 各边中点组成矩形。 (5)顺次连结矩形各边中点所得的四边形是什么? 菱形 菱形 (6)顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是什么? 菱形 (7)顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是什么? 对角线相等的四边形各边中点组成菱形。 (8)顺次连结正方形各边中点所得的四边形是什么? 正方形 正方形 (9)顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么? 对角线相等且互相垂直的四边形 各边中点组成正方形。 总结 不相等且不互相垂直的四边形各边中点 组成_ 对角线 平行四边形 互相垂直的四边形各边中点组成_ 矩形 相等的四边形各边中点组成_ 菱形 相等且互相垂直的四边形各边中点 组成_ 正方形 1.三角形的中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2.三角形的中位线性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半. 3.三角形的中位线性质不仅给出了中位线与第三边的关系,而且给出了它们的数量关系,在三角形中给出一边的中点时,可转化为中位线. 课堂小结 例3 在 ABC中,AD是BC边上的中线,G是重心,如果 AG=6,那么线段DG的长为( ) A.2 B.3 C.6 D.12 解:连结CG,并延长CG交 AB于点H. ∵G是重心,MN∥AB, ∴eq \f(CG,CH)=eq \f(CM,CA)=eq \f(MN,AB)=eq \f(2,3), ∴MN=eq \f(16,3) $$