精品解析：山西省太原市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024～2025学年第一学期九年级期末学业诊断 数学 （考试时间：上午8∶00－9∶30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 用配方法解一元二次方程时，应在方程两边同时加上（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；此题可根据配方法，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得：方程两边同时加上1； 故选：A． 2. 平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式是解答此题的关键．把各选项代入反比例函数，求出k的值，再根据判断即可． 【详解】解：A.把点代入得，故A选项不符合题意； B.把点代入得，故B选项不符合题意； C.把点代入得，故C选项符合题意； D.把点代入得，故D选项不符合题意． 故选：C． 3. 中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的特点，掌握立体图形三视图的特点，数形结合分析是解题的关键． 根据立体图形的特点，结合三视图分析即可，能看到的线用实线，不能看到的，但存在的线用虚线表示． 【详解】解：俯视图是 ， 故选：D ． 4. 如图，已知直线，两条直线，分别与a，b，c交于点A，B，C，D，E，F．下列线段的比与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出，再由比例性质变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，矩形 的对角线交于点 ，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答． 【详解】解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°， ∵∠ACB=30°，AB=2， ∴AC=2AB=2×2=4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OA=AC=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 6. 课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（ ） A. 无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B. 无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C. 无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D. 因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出判别式得到，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：由，可知， 无论 取何值， 一定有两个不相等的实数根． 故选：B 7. 北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘（其中两张卡片上是“春”字，另外两张上是“福”字）．现向该靶盘随机掷两次飞镖，则两次射中的卡片上的字不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图求随机事件的概率，清晰地列出所有可能的情况，并准确找出满足条件的情况，是解题的关键； 首先明确靶盘的布局，然后找出所有可能的投掷结果，并确定其中两次射中卡片上的字不相同的结果数，最后计算概率． 【详解】解：设正方形靶盘被分为四个相等的正方形区域，分别标记为“春1”，“春2”，“福1”，“福2”． 春1 春2 福1 福2 春1 春1春1 春2春1 福1春1 福2春1 春2 春1春2 春2春2 福1春2 福2春2 福1 春1福1 春2福1 福1福1 福2福1 福2 春1福2 春2福2 福1福2 福2福2 两次射中卡片的总情况有16种，即每张卡片都有可能被射中两次，形成种组合． 射中“春”和“福”的组合有8种，即（春1，福1），（春1，福2），（春2，福1），（春2，福2），以及反向的（福1，春1），（福1，春2），（福2，春1），（福2，春2）．这8种情况满足条件． 因此，两次射中的卡片上的字不相同的概率为， 故选：A． 8. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图像于点 ，以 为边作平行四边形 ，其中 ， 在轴上，则四边形 的面积为（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，熟练掌握从反比例关系函数的图象上任意上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为是解题的关键． 连接、，设 交y轴于E，由于轴，根据反比例函数的系数k的几何意义得到，，则平行四边形 的面积． 【详解】解：连接、，设 交y轴于E，如图， ∵平行四边形 ， ∴轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∵平行四边形 ， ∴平行四边形 的面积． 故选：B． 9. 如图的矩形 为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知 的长为米， 的长为米，空地面积是整个矩形 区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键． 利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可得：白色长方形的长为：， 三个白色长方形的宽之和为：， 三个白色长方形的面积为：， ∴， 故选：A． 10. 图1是机场常用的一种圆锥形直饮水杯，这种设计是为了方便清洁和节省存储空间．小明画出这种纸杯的截面图如图2所示，其中点 为杯底顶点， ， 分别表示杯口、水面，，．若杯中水的高度是杯子高度的，则水的体积与杯子容积的比最接近于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及圆锥的体积，熟练掌握相似三角形的性质与判定及圆锥的体积是解题的关键；设杯子的高度为h，则杯中水的高度为，由题意易得，则有，然后根据圆锥体积公式可进行求解． 【详解】解：设杯子的高度为h，则杯中水的高度为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴水的体积为； 杯子的体积为， ∴； 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题）把答案写在答题卡相应的位置． 11. 反比例函数的图象在第______象限． 【答案】一、三 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可知，然后问题可求解． 【详解】解：由反比例函数可知：，所以该函数图象在第一、三象限； 故答案为一、三． 12. 已知，四边形 是平行四边形，对角线 ，交于点 ．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使 ，则增加的一个条件可以是______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形 为平行四边形， ∴当 时，为菱形， 此时 ． ∴增加的一个条件可以是 ． 故答案为： （答案不唯一）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，小华想画一个三角形，使它与关于原点 位似，若点A的对应点的坐标是，则点 的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似图形对应点的坐标比相等是银题的关键． 根据关于原点 位似图形对应点的坐标比相等求解即可． 【详解】解：设， ∵与关于原点 位似，若的对应点的坐标是， 点的对应点， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，四边形 是正方形，点 是线段 的黄金分割点（），以 为边在正方形 内作正方形．按此方式继续构造正方形，得到如图所示的图案．若 的长为，则 ， 两点之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 先由正方形的性质得，再由黄金分割求出，再根据正方形的性质得到，，即可由勾股定理求解． 【详解】解：连接 ， ∵正方形 ， ∴， ∵点 是线段 的黄金分割点（）， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）求出判别式的值，再代入公式求解即可得到答案； （2）通过合并同类项，化为或，然后解一元一次方程即可． 【小问1详解】 将原方程化为它的一般形式，得， ∵， ∴， ∴，． 【小问2详解】 ∴， ∴， ∴或 ∴，． 16. 质朴大方的中华灯、崭新的汉白玉栏杆、花朵点缀的隔离带……，翻新后的迎泽大桥成为了网红打卡地，迎来了各地游客前来拍照留念．小徐和小亮收集了五张迎泽大桥的不同时期的图片（除正面图案外完全相同，分别记为A，B，C，D，E）．现将五张图片背面朝上放置于桌面，搅匀后小徐先从中随机抽取一张，不放回，小亮再从剩余图片中随机抽取一张，求小徐、小亮两人取到的恰好都是新中国成立后的迎泽大桥图片的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：所有可能的结果列表如下（树状图同样得分）： 第2张 第1张 A B C D E A B C D E 由表格可知，共有20种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中两人取到的恰好都是新中国成立后迎泽大桥图片的结果有6种， ∴两人取到的恰好都是新中国成立后迎泽大桥图片概率为． 17. 已知：如图， 中， ，点 是 边的三等分点（）． 求作：线段 的三等分点 （）． 作法：①在 边上截取； ②分别以点 和点 为圆心，以 长为半径作弧，在 内部交于点，连接 ； ③延长 交 于点 ．点 即为线段 的三等分点． 请你按上述作法完成作图、标清字母，并说明这种作法的合理性． 【答案】图和字母见解析，过程见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理、菱形的判定和性质等知识． 连接．证明四边形为菱形．则，即．得到．证明．即可证明． 【详解】解：如图1： 理由：如图2，连接． 由作图可知，， 四边形为菱形． ，即． ． ∵点 是 的三等分点，且， ． ∵ ， ． ． 点 是 的三等分点． 18. 【问题情境】 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度（单位：）与行驶时间 （单位：）的数据如表． 小型车辆 行驶时间 （单位：） 平均速度（单位：） A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 【建立模型】 （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度（单位：）是行驶时间 （单位：）的函数．求（单位：）与 （单位：）之间的函数解析式； 【问题解决】 （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【答案】（1）；（2）它的平均速度是；（3）行驶时间应不少于22.5分钟 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，测速区间的路程是定值，则汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．根据表格数据，当时，，则测速区间路程为，即可求解函数解析式； （2）50分钟，将代入，即可求解； （3）将代入，得到，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：（1）解：根据题意，测速区间的路程是定值， 因为平均速度， 所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数， 根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为， 所以，与 之间的函数关系式为； （2）根据题意，得50分钟， 将代入， 得， 答：它的平均速度是； （3）根据题意，得，解得， 小时分钟分钟， 答：行驶时间应不少于22.5分钟． 19. 12月13日，文化和旅游部网站发布拟确定19家旅游景区为国家级旅游景区的公示，山西省太原市晋祠天龙山景区在列，这将填补太原没有级景区的空白．某经销商以每套18元的价格购进一批晋祠冰箱贴套装，结合销售记录发现，若按每套30元的价格销售，平均每天可售出60套；若每套的售价每降低1元，平均每天的销售量增加10套．为了减少库存，该经销商决定降价销售．请通过计算判断，经销商每天销售该冰箱贴套装的利润能否达到810元？如果能，请求出冰箱贴每套的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】能，销售单价应定为27元/个． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． 设每个冰箱贴的售价降低元，根据利润=（原价-降价-进价）乘以销售数量，列出方程，求解即可． 【详解】解：设每个冰箱贴的售价降低元， 根据题意，得． 整理，得． 解得． 此时，（元）． 答：经销商每天销售该冰箱贴套装的利润能达到810元，销售单价应定为27元/个． 20. 学科实践——测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯的高度． 活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具， 方案设计：如图 ， 表示路灯的高度．在路灯旁的水平空地上直立一根高 米的标杆 ，调整地面上激光仪的位置点 ，使从点 处发出的激光束恰好同时经过 ，．（图中各点均在同一竖立平面内） 测量数据：笃行小组按照上述方案，测得米，米． 问题解决： （1）根据笃行小组的测量数据，计算路灯的高度 ． 质疑反思：在交流中，一位同学对笃行小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可直接到达，将无法测得线段 的长，因此不能求得路灯高度．笃行小组在此基础上对原有方案作出补充：如图 ，在点 处再直立一根同样高度的标杆 ，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过，．按照此方案，笃行小组的同学认为再测量一条线段，即可求出路灯的高度． （2）他们计划测量的线段是______，若用 表示该线段的长，则路灯的高度 可用含 的代数式表示为______米． 【答案】（1）路灯的高为米； （2）；． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和应用．解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． （1）根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求 的长度； （2）首先根据据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据又米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 【小问1详解】 解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； 【小问2详解】 解：他们计划测量的线段是， ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 故答案为：； 21. 综合与实践——数学拼图活动 问题情境：图1是一张菱形纸片 ，其中 ，．点 是对角线 上的一点，且，剪去（阴影部分）得到如图2所示的不规则多边形纸片． 数学思考： （1）图1中线段的长为______； 实践操作： （2）在图2中，以连接某两个顶点的线段为裁剪线，使经过裁剪后的两部分纸片可拼接为图3所示的五边形．在图2画出裁剪线，在图3中画出拼接线．（要求：拼接时，两部分纸片无终隙、不重叠且没有剩余）； （3）图4是一个与图3全等的五边形．请你在图4中画一条裁剪线，使该五边形沿你所画的裁剪线剪开后，可以拼得一个矩形．要求：只能用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，标明裁剪线 ，并直接写出所拼得的矩形的周长． 【答案】（1）； （2）如图， 为裁剪线， 如图， 或 为拼接线， 或 （3）如图， 周长为 【解析】 【分析】（1）作于点H，由三线合一得，由勾股定理得，求出，即可求出的长； （2）根据图形的特征画出裁剪线和拼接线即可； （3）根据题意画出裁剪线，如图1，作于点G，求出，然后根据矩形的周长公式求解即可 【详解】解：如图，作于点H， ∵， ∴． ∵菱形纸片 ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）略 （3）如图， 如图1，作于点G， ∵菱形纸片 ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 由作图可知，，，， ∴所拼得的矩形的周长． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，图形的拼接，矩形的性质等知识． 22. 综合与探究——课堂上，同学们探究正方形旋转中的数学问题 问题情境：如图1，已知正方形 与正方形的边长相同，点 在对角线上（不与 ， 重合），点在的延长线上，线段 交 边于点 ，线段交 边于点 ． 初步思考：（1）“乐学”小组发现，改变点 的位置，四边形始终是正方形，请你证明； 动态分析：（2）如图2，“善思”小组将正方形绕点 顺时针旋转，线段 交 边于点 ，线段交 边于点 ，对角线交 边于点．他们提出如下问题，请你解答：当时，猜想线段与 之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究：（3）“好问”小组在“善思”小组的基础上继续将正方形绕点 顺时针旋转，设直线 交 边于点 ，直线交 边于点 ．若正方形 的边长为6，，当直线 经过点时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）11 【解析】 【分析】（1）如图，先利用正方形的性质与等腰三角形的判定证明，再证明四边形是矩形，即可由正方形的判定定理得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）如图，过点E作于M，作于N，先证明，得出，从而求得，再证明四边形是矩形，得到，， ，从而可证明，得到，即可求出，，，则，然后证明，得到，从而求得，则，所以，最后由求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵正方形 ， ∴，，， ∴，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． （2）， 理由：如图， 由（1）知：， ∵正方形 ，正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）如图，过点E作于M，作于N， ∵正方形 ， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵正方形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质解银题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第一学期九年级期末学业诊断 数学 （考试时间：上午8∶00－9∶30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 用配方法解一元二次方程时，应在方程两边同时加上（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 2. 平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，两条直线，分别与a，b，c交于点A，B，C，D，E，F．下列线段的比与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形 的对角线交于点 ，若，，则 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 6. 课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（ ） A. 无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B. 无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C. 无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D. 因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 7. 北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘（其中两张卡片上是“春”字，另外两张上是“福”字）．现向该靶盘随机掷两次飞镖，则两次射中的卡片上的字不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点 是反比例函数图象上任意一点，过点 且平行于轴的直线交反比例函数的图像于点 ，以 为边作平行四边形 ，其中 ， 在轴上，则四边形 的面积为（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 2.5 9. 如图的矩形 为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知 的长为米， 的长为米，空地面积是整个矩形 区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 图1是机场常用的一种圆锥形直饮水杯，这种设计是为了方便清洁和节省存储空间．小明画出这种纸杯的截面图如图2所示，其中点 为杯底顶点， ，分别表示杯口、水面，，．若杯中水的高度是杯子高度的，则水的体积与杯子容积的比最接近于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题）把答案写在答题卡相应的位置． 11. 反比例函数的图象在第______象限． 12. 已知，四边形 是平行四边形，对角线 ，交于点 ．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使 ，则增加的一个条件可以是______．（写出一个即可） 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，小华想画一个三角形，使它与关于原点 位似，若点A的对应点的坐标是，则点 的对应点的坐标是______． 14. 在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，四边形 是正方形，点 是线段 的黄金分割点（），以 为边在正方形 内作正方形．按此方式继续构造正方形，得到如图所示的图案．若 的长为，则， 两点之间的距离为______． 三、解答题（本大题共8个小题）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 质朴大方的中华灯、崭新的汉白玉栏杆、花朵点缀的隔离带……，翻新后的迎泽大桥成为了网红打卡地，迎来了各地游客前来拍照留念．小徐和小亮收集了五张迎泽大桥的不同时期的图片（除正面图案外完全相同，分别记为A，B，C，D，E）．现将五张图片背面朝上放置于桌面，搅匀后小徐先从中随机抽取一张，不放回，小亮再从剩余图片中随机抽取一张，求小徐、小亮两人取到的恰好都是新中国成立后的迎泽大桥图片的概率． 17. 已知：如图， 中， ，点 是 边的三等分点（）． 求作：线段 的三等分点（）． 作法：①在 边上截取； ②分别以点 和点 为圆心，以 长为半径作弧，在 内部交于点，连接 ； ③延长 交 于点．点即为线段 的三等分点． 请你按上述作法完成作图、标清字母，并说明这种作法的合理性． 18. 【问题情境】 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度（单位：）与行驶时间 （单位：）的数据如表． 小型车辆 行驶时间 （单位：） 平均速度（单位：） A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 【建立模型】 （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度（单位：）是行驶时间 （单位：）的函数．求（单位：）与 （单位：）之间的函数解析式； 【问题解决】 （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 19. 12月13日，文化和旅游部网站发布拟确定19家旅游景区为国家级旅游景区的公示，山西省太原市晋祠天龙山景区在列，这将填补太原没有级景区的空白．某经销商以每套18元的价格购进一批晋祠冰箱贴套装，结合销售记录发现，若按每套30元的价格销售，平均每天可售出60套；若每套的售价每降低1元，平均每天的销售量增加10套．为了减少库存，该经销商决定降价销售．请通过计算判断，经销商每天销售该冰箱贴套装的利润能否达到810元？如果能，请求出冰箱贴每套的售价；如果不能，请说明理由． 20. 学科实践——测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯的高度． 活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具， 方案设计：如图， 表示路灯的高度．在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点 ，使从点 处发出的激光束恰好同时经过 ， ．（图中各点均在同一竖立平面内） 测量数据：笃行小组按照上述方案，测得米，米． 问题解决： （1）根据笃行小组的测量数据，计算路灯的高度 ． 质疑反思：在交流中，一位同学对笃行小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可直接到达，将无法测得线段 的长，因此不能求得路灯高度．笃行小组在此基础上对原有方案作出补充：如图，在点 处再直立一根同样高度的标杆 ，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过， ．按照此方案，笃行小组的同学认为再测量一条线段，即可求出路灯的高度． （2）他们计划测量的线段是______，若用表示该线段的长，则路灯的高度 可用含的代数式表示为______米． 21. 综合与实践——数学拼图活动 问题情境：图1是一张菱形纸片 ，其中 ，．点 是对角线 上的一点，且，剪去（阴影部分）得到如图2所示的不规则多边形纸片． 数学思考： （1）图1中线段的长为______； 实践操作： （2）在图2中，以连接某两个顶点的线段为裁剪线，使经过裁剪后的两部分纸片可拼接为图3所示的五边形．在图2画出裁剪线，在图3中画出拼接线．（要求：拼接时，两部分纸片无终隙、不重叠且没有剩余）； （3）图4是一个与图3全等的五边形．请你在图4中画一条裁剪线，使该五边形沿你所画的裁剪线剪开后，可以拼得一个矩形．要求：只能用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，标明裁剪线，并直接写出所拼得的矩形的周长． 22. 综合与探究——课堂上，同学们探究正方形旋转中的数学问题 问题情境：如图1，已知正方形 与正方形的边长相同，点 在对角线上（不与 ， 重合），点在的延长线上，线段 交边于点 ，线段交 边于点． 初步思考：（1）“乐学”小组发现，改变点 的位置，四边形始终是正方形，请你证明； 动态分析：（2）如图2，“善思”小组将正方形绕点 顺时针旋转，线段 交边于点 ，线段交 边于点，对角线交边于点．他们提出如下问题，请你解答：当时，猜想线段与 之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究：（3）“好问”小组在“善思”小组的基础上继续将正方形绕点 顺时针旋转，设直线 交 边于点，直线交边于点．若正方形 的边长为6，，当直线 经过点 时，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $