第01讲 不等式（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第01讲 不等式 【题型1 不等式的定义】 【题型2 在数轴上表示不等式的解集】 【题型3 不等式的性质】 【题型4 不等式的解集】 考点1：不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 【题型1 不等式的定义】 【典例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式： ； ； ； ； ．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【详解】解： 是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 【变式1-1】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．主要依据不等式的定义来判断． 【详解】解：①是等式； ②是多项式； ③是多项式； ④符合不等式的定义； ⑤符合不等式的定义； 所以，不等式是④⑤，共2个， 故选：A． 【变式1-2】（23-24七年级下·山西临汾·期中）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：，故D正确． 故选：D． 【变式1-3】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”，它的含义是（    ） A．每100克含钙高于87毫克 B．每100克含钙低于87毫克 C．每100克含钙不低于87毫克 D．每100克含钙不超过87毫克 【答案】A 【分析】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义求解即可． 【详解】解：“每100克含钙>87毫克” 的含义是每100克含钙高于87毫克， 故选：A． 考点2：不等式的解集 不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 【题型2 在数轴上表示不等式的解集】 【典例2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列不等式的解集中，不包括的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了不等式的解集的概念：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称为这个不等式的解集．根据不等式的解集的概念进行判断即可． 【详解】解：不等式的解集中，不包括的是， 故选：C． 【变式2-1】（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解和解集的定义．根据不等式的解集的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是不等式的解，故本选项不符合题意； B、不等式的解是所有小于0的数，故本选项不符合题意； C、不满足，故本选项不符合题意； D、是不等式的一个解，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式2-2】（23-24八年级下·广东茂名·期中）是下列不等式（    ）的一个解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式的解的意义；把分别代入各选项判定即可； 【详解】解：、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项符合题意； 故选：． 【变式2-3】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 考点2：不等式的基本性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 【题型3 不等式的性质】 【典例3】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上（或减去）一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号改变方向． 利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：已知，两边同乘得，则A不符合题意； 已知，两边同时减去3得，则B符合题意； 已知，两边同乘再同时加上5得，则C不符合题意； 已知，两边同乘得，则D不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】（24-25八年级上·浙江·期末）如果，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、因为，所以，故A选项正确； B、因为，所以，故B选项正确； C、因为，，所以，故C选项错误； D、因为，所以，因为，所以，故D选项正确． 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A． 由可得，成立，不符合要求； B．由可得，成立，不符合要求； C．由可得不一定成立，例如，但，符合要求； D．由可得，成立，不符合要求． 故选：C． 【变式3-3】（24-25七年级上·吉林·期末）如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质和应用，根据图示，可得，据此判断出三人体重A，B，C的大小关系即可． 【详解】解：根据图示，可得， ∴． 故选：C． 【题型4 根据不等式的解集求参数取值范围】 【典例4】（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的性质， 解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变． 【变式4-1】（22-23七年级下·全国·期末）如果关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解集为，可得方程，再解方程即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，解一元一次方程，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式4-2】（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（    ） A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0 【答案】A 【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，， ∴a﹣1＜0， ∴a＜1， 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键． 1．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）在中，不等式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义．熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，是不等式，故符合要求； 是等式，是整式，故不符合要求； 故选：C． 2．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）用不等式表示：是非负数，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用不等式表示，涉及非负数定义，根据非负数定义将是非负数表示为，逐项验证即可得到答案，熟记非负数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是非负数，用不等式表示为， A、错误，不符合题意； B、正确，符合题意； C、错误，不符合题意； D、错误，不符合题意； 故选：B． 3.（23-24七年级下·吉林四平·期末）某广告强调“一罐饮料净重400克，蛋白质含量至少2克”，“蛋白质含量至少2克”这句你换一种广告语言可以是（    ） A．“蛋白质含量” B．“蛋白质含量” C．“蛋白质含量” D．“蛋白质含量” 【答案】A 【分析】本题考查了列不等式，理解至少的含义即可求解，读懂题意是解题的关键．将蛋白质含量至少2克转化为百分比，再根据至少的含义，即可解题． 【详解】解： ， 蛋白质含量至少2克，即蛋白质含量， 故选：A． 4．（23-24七年级下·山西长治·期末）某双向六车道高速公路，分车道、分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义．由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧两车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由可得，则此项正确，不符合题意； B、由可得，则，则此项错误，符合题意； C、由可得，则此项正确，不符合题意； D、因为，所以由可得，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 6．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）如果不等式的解集为，那么a满足的条件是（    ） A．a>0 B．a<-2 C．a>-1 D．a<-1 【答案】D 【分析】根据所给的不等式的解集为，可知的系数为负，那么，从而可得满足的条件. 【详解】解：不等式的解集为 即 故选D 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是注意不等式性质3的使用． 7．（2023·江苏无锡·三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集为 ∴ ∴a的取值范围为： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键． 8．（2024·广东东莞·一模）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点在平面直角系中的对称，求不等式的解集，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称的性质是解题的关键． 根据点关于轴对称的点，横坐标变为相反数，纵坐标不变，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第二象限， ∴点， ∴且， 解得，， 故答案为：． 9．（2024九年级·河北·学业考试）有一个数学游戏，如图，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置． 例如：将3按照 (或) 的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以”的运算得出结果． (1)将 按照 的顺序进行运算， 列出算式并求出运算结果； (2)将一个大于3的数按照 的顺序进行运算，发现运算结果总小于 1． 请验证这个结论． 【答案】(1)， 原式 (2)见解析 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，不等式的性质，列代数式，根据题意列出算式并准确计算成为解题的关键． （1）根据列出算式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）先根据的运算顺序列出代数式，然后根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：列式为： ． （2）解：设这个数为x， 则． ∵， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 不等式 【题型1 不等式的定义】 【题型2 在数轴上表示不等式的解集】 【题型3 不等式的性质】 【题型4 不等式的解集】 考点1：不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 【题型1 不等式的定义】 【典例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式： ； ； ； ； ．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-1】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】（23-24七年级下·山西临汾·期中）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”，它的含义是（    ） A．每100克含钙高于87毫克 B．每100克含钙低于87毫克 C．每100克含钙不低于87毫克 D．每100克含钙不超过87毫克 考点2：不等式的解集 不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 【题型2 在数轴上表示不等式的解集】 【典例2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列不等式的解集中，不包括的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 【变式2-2】（23-24八年级下·广东茂名·期中）是下列不等式（    ）的一个解． A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 考点2：不等式的基本性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 【题型3 不等式的性质】 【典例3】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·浙江·期末）如果，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·吉林·期末）如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 根据不等式的解集求参数取值范围】 【典例4】（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23七年级下·全国·期末）如果关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（    ） A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0 1．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）在中，不等式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）用不等式表示：是非负数，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24七年级下·吉林四平·期末）某广告强调“一罐饮料净重400克，蛋白质含量至少2克”，“蛋白质含量至少2克”这句你换一种广告语言可以是（    ） A．“蛋白质含量” B．“蛋白质含量” C．“蛋白质含量” D．“蛋白质含量” 4．（23-24七年级下·山西长治·期末）某双向六车道高速公路，分车道、分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）如果不等式的解集为，那么a满足的条件是（    ） A．a>0 B．a<-2 C．a>-1 D．a<-1 7．（2023·江苏无锡·三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 8．（2024·广东东莞·一模）若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ． 9．（2024九年级·河北·学业考试）有一个数学游戏，如图，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置． 例如：将3按照 (或) 的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以”的运算得出结果． (1)将 按照 的顺序进行运算， 列出算式并求出运算结果； (2)将一个大于3的数按照 的顺序进行运算，发现运算结果总小于 1． 请验证这个结论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$