专题03 向量的数量积知识归纳与题型突破（14类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题03 向量的数量积知识归纳与题型突破 知识点1 数量积的定义及计算 1.数量积的物理背景 2.数量积的定义 （1）定义：两个任意向量与，它们的夹角为=<，>，则定义为向量与的数量积. （2）向量的垂直：a⊥b⇔a·b＝0. （3）投影： （4）数量积的运算律 设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则有 ①交换律a·b＝b·a； ②与数乘的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； ③分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 【拓广1】数量积的性质： 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 【拓广2】数量积的结论： (1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0. 知识点2 数量积的坐标表示及其计算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 1.坐标表示：a·b＝x1x2＋y1y2 2.计算公式： （1）向量的长度：a2＝a·a＝x＋y；|a|＝. （2）夹角余弦值:设θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝. （3）垂直条件:a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 题型一 根据定义求数量积 【例1】（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知平面内的三个单位向量、、，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【变式1-1】（23-24高三下·河北沧州·期中）已知是边长为4的正三角形，则（    ） A．8 B． C． D． 【变式1-2】（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第二次大联考数学试题）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式1-3】（2024·陕西·模拟预测）已知在半圆中，直径上的点满足，则 ． 题型二 根据运算律求数量积 【例2】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图，在矩形中，点是的中点，是上靠近点的三等分点. (1)设，求的值； (2)若，，求的值. 【变式2-1】（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）已知D是△ABC的边AB的中点，且△ABC所在平面内有一点P，使得，若，则（    ） A． B． C．8 D．16 【变式2-2】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则 . 【变式2-3】（24-25高三上·天津河北·期末）如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M为直线与的交点，N为直线与的交点，若，，，且，，，则 ， . 题型三 向量投影问题 【例3】（23-24高三下·福建泉州·阶段练习）已知，，且，则在上的投影向量为 【变式3-1】（23-24高一下·湖南·期中）在正方形ABCD中，P是BC的中点，AP与BD交于点Q，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·广西柳州·期末）已知，且与的夹角为，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为 . 【变式3-3】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为 ． 题型四 求向量模 【例4】（23-24高三下·广东·阶段练习）在中，点在边上，且．点满足．若，，则（   ） A． B． C．12 D．11 【变式4-1】（23-24高三下·四川·期末）已知向量、、满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知向量满足，则 . 【变式4-3】（24-25高三上·重庆·期末）已知非零向量满足：，且，则 . 题型五 求向量夹角（函数值） 【例5】（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知、为单位向量，且，则、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·云南大理·模拟预测）已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高三上·辽宁·期末）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（22-23高一下·湖南益阳·阶段练习）已知向量，，且，则向量，的夹角是 ． 题型六 向量垂直关系的判断与应用 【例6】（2024高一下·江苏·专题练习）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知向量，均为单位向量，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式6-2】（多选）（2024高一下·全国·专题练习）（多选）已知两个单位向量的夹角为θ，则下列结论正确的是（　　） A．在方向上的投影向量为 B． C． D． 【变式6-3】（多选）（24-25高三上·四川成都·阶段练习）设单位向量满足，则下列结论正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在的方向上的投影向量为 题型七 已知向量的模求数量积 【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式7-1】（2024高一下·江苏·专题练习）在中，若，，，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量，满足，则 ． 题型八 数量积的坐标运算 【例8】（22-23高一下·新疆喀什·期末）已知，，，分别求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式8-1】（21-22高一下·甘肃张掖·阶段练习）已知，则等于（　　） A．10 B． C．3 D． 【变式8-2】（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知向量，则 . 【变式8-3】（21-22高一·湖南·课后作业）已知,,,求，，，. 题型九 利用坐标运算求向量模 【例9】（22-23高一下·湖南株洲·期中）已知向量与的夹角为60°，＝1，． (1)求及； (2)求. 【变式9-1】（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（   ） A．7 B． C． D． 【变式9-2】（19-20高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，则 . 【变式9-3】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知平面向量，，若，则 题型十 利用坐标运算求向量夹角 【例10】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（多选）（22-23高二下·贵州·期末）已知向量，下列说法正确的是（    ） A． B．与垂直的单位向量是 C．的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【变式10-2】（24-25高三上·甘肃·期末）已知向量，，若，则 . 【变式10-3】（22-23高一下·湖南湘西·期末）设平面内三点，，. (1)求； (2)设向量与的夹角为，求. 题型十一 用坐标运算判断向量垂直 【例11】（2024高三·全国·专题练习）若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式11-1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，则下列向量中与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高三上·江苏·阶段练习）设向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与垂直 【变式11-3】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）在中，若，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 题型十二 数量积的最值、范围问题 【例12】（21-22高一下·福建三明·期中）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 【变式12-1】（多选）（23-24高一下·湖南·开学考试）如图，在中，为线段的中点，为线段的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（    ） A．若为线段的中点，则 B．的最大值为 C．的最小值为0 D．的最小值为4 【变式12-2】（多选）（23-24高一下·湖南岳阳·期中）如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为18 C．的最大值为 D．的面积的最大值为 【变式12-3】（23-24高一下·湖南衡阳·开学考试）如图，是等边三角形，边长为是平面上任意一点．则的最小值为 ．    题型十三 向量模的最值、范围问题 【例13】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 【变式13-1】（23-24高一上·北京延庆·期末）已知等边的边长为6，D在上且，E为线段上的动点，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24高一下·湖南永州·期末）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值. 【变式13-3】（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求向量的夹角； (3)求的取值范围． 题型十四 求参数问题 【例14】（23-24高一下·湖南岳阳·期末）已知向量，，. (1)若，求t的值； (2)若与的夹角为钝角，求t的取值范围. 【变式14-1】（2024高三·全国·专题练习）已知，都是单位向量，若与垂直，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式14-2】（23-24高三下·河南南阳·阶段练习）已知向量，，若在上的投影向量为，则的值为 ． 【变式14-3】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知单位向量，满足，且，则正数的值为 . 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 向量的数量积知识归纳与题型突破 知识点1 数量积的定义及计算 1.数量积的物理背景 2.数量积的定义 （1）定义：两个任意向量与，它们的夹角为=<，>，则定义为向量与的数量积. （2）向量的垂直：a⊥b⇔a·b＝0. （3）投影： （4）数量积的运算律 设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则有 ①交换律a·b＝b·a； ②与数乘的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； ③分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 【拓广1】数量积的性质： 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 【拓广2】数量积的结论： (1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0. 知识点2 数量积的坐标表示及其计算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 1.坐标表示：a·b＝x1x2＋y1y2 2.计算公式： （1）向量的长度：a2＝a·a＝x＋y；|a|＝. （2）夹角余弦值:设θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝. （3）垂直条件:a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 题型一 根据定义求数量积 【例1】（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知平面内的三个单位向量、、，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】求出、的夹角、、的夹角，数形结合可得出、的夹角，利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】如图，，，（或），    由得，又，所以， 由得，又，所以， （或，又，所以） 所以、夹角为或， 当、夹角为时，则； 当、夹角为时，则. 所以或. 故选：D. 【变式1-1】（23-24高三下·河北沧州·期中）已知是边长为4的正三角形，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义直接计算得解. 【详解】正的边长为4，则. 故选：C 【变式1-2】（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第二次大联考数学试题）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、向量加法法则的几何应用 【分析】根据题设有、，利用向量加减、数乘的几何意义及数量积的定义求结果. 【详解】由题知八边形为正八边形，则，， 因为，所以， 所以. 故选：C 【变式1-3】（2024·陕西·模拟预测）已知在半圆中，直径上的点满足，则 ． 【答案】6 【分析】根据向量数量积的定义即可求出答案. 【详解】如图，连接为直径，，. 易知. 故答案为：6. 题型二 根据运算律求数量积 【例2】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）如图，在矩形中，点是的中点，是上靠近点的三等分点. (1)设，求的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、用基底表示向量 【分析】（1）根据向量线性运算可得，由此可得； （2）利用基底表示出，根据向量数量积定义和运算律可求得结果. 【详解】（1），，， . （2）由（1）知：， ， . 【变式2-1】（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）已知D是△ABC的边AB的中点，且△ABC所在平面内有一点P，使得，若，则（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【分析】化简数量积公式，得到，再根据几何关系，转化向量，即可求解数量积. 【详解】，则，即， ， . 故选：B 【变式2-2】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则 . 【答案】 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】利用为基底，表达出，利用数量积运算法则计算出答案. 【详解】由题意可得：， ，， . 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高三上·天津河北·期末）如图，在平行四边形中，O为对角线与的交点，M为直线与的交点，N为直线与的交点，若，，，且，，，则 ， . 【答案】 / / 【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】取为基底表示向量，再利用数量积的定义及运算律计算即得. 【详解】在中，由，得，即， 则，又， 则，所以； 由分别为的中点，得为的重心， 则， 而， 所以 . 故答案为：；. 题型三 向量投影问题 【例3】（23-24高三下·福建泉州·阶段练习）已知，，且，则在上的投影向量为 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】利用向量的坐标运算，结合向量的投影计算即可得出结果. 【详解】设，由可知①， 而， 所以 由可得②， 由①②可得，解得，则， 所以或者， 又，则向量在上的投影向量是. 故答案为：. 【变式3-1】（23-24高一下·湖南·期中）在正方形ABCD中，P是BC的中点，AP与BD交于点Q，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求投影向量 【分析】根据相似三角形和投影向量的定义即可得到答案. 【详解】如图， ∵P是BC的中点，则，则， 则，过点作于点，则， 所以在上的投影向量是， 故选：. 【变式3-2】（23-24高一上·广西柳州·期末）已知，且与的夹角为，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知数据，求解即可. 【详解】因为与的夹角为， 所以在向量上的投影向量为. 故答案为：. 【变式3-3】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、求投影向量 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得，解得， 所以在上的投影向量为． 故答案为：. 题型四 求向量模 【例4】（23-24高三下·广东·阶段练习）在中，点在边上，且．点满足．若，，则（   ） A． B． C．12 D．11 【答案】A 【分析】先根据平面向量的线性运算将用表示，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以为的中点， 则 ， 故 . 故选：A. 【变式4-1】（23-24高三下·四川·期末）已知向量、、满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为，，且， 则，可得， 所以，，故. 故选：B. 【变式4-2】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知向量满足，则 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模 【分析】把模平方转化为数量积进行计算． 【详解】，则， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25高三上·重庆·期末）已知非零向量满足：，且，则 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】由，可得，再利用夹角公式求解即可. 【详解】. ， ，解得， 故． 故答案为：. 题型五 求向量夹角（函数值） 【例5】（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知、为单位向量，且，则、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设、的夹角为，则，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，即可得出角的值. 【详解】设、的夹角为，则，由已知可得，， 所以，，即， 即，即， 解得，故， 故选：B. 【变式5-1】（2024·云南大理·模拟预测）已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件等式变形，再结合数量积公式，即可求解. 【详解】因为，且，则， 两边平方可得，即， 所以，，又， 所以与的夹角为. 故选：C 【变式5-2】（24-25高三上·辽宁·期末）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】对已知两个向量模长平方得到两个等式，由此解出，结合在上的投影向量为，解出和，从而解出与的夹角. 【详解】由，得①， 由，得②， 由②-①，得， 由，得，所以，则， 设与的夹角为，则，因为，所以. 故选：A. 【变式5-3】（22-23高一下·湖南益阳·阶段练习）已知向量，，且，则向量，的夹角是 ． 【答案】/ 【知识点】已知模求数量积、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】设、的夹角是，， 则由，平方得， 即，即，即， 则， ， ． 故答案为：． 题型六 向量垂直关系的判断与应用 【例6】（2024高一下·江苏·专题练习）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，结合数量积的运算律可推出，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 即,即， 又，所以，即， 而，所以， 故选：B 【变式6-1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知向量，均为单位向量，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律 【分析】根据向量数量积的运算性质及垂直关系的向量表示即可求解. 【详解】因为向量，均为单位向量，且，所以，， 所以， 故选：B. 【变式6-2】（多选）（2024高一下·全国·专题练习）（多选）已知两个单位向量的夹角为θ，则下列结论正确的是（　　） A．在方向上的投影向量为 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，由投影向量公式验算即可；对于BCD由数量积公式验算即可. 【详解】因为两个单位向量的夹角为θ， 则，则在方向上的投影向量为，故A正确； ，故B正确； ，故，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 【变式6-3】（多选）（24-25高三上·四川成都·阶段练习）设单位向量满足，则下列结论正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在的方向上的投影向量为 【答案】BCD 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示、求投影向量 【分析】将平方，可得，可判断A，B；由向量模长公式分别计算，验证C；由投影向量公式验证D. 【详解】由于， 又因为，所以，故，故B正确，A错误； 因为，故， 又，故，所以，C正确； 在的方向上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 题型七 已知向量的模求数量积 【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【分析】利用向量数量积的运算律化简计算即得. 【详解】因， 又，， 故，解得． 故选:C. 【变式7-1】（2024高一下·江苏·专题练习）在中，若，，，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的平行四边形法则可得，由，，可得，从而得到答案. 【详解】由向量的平行四边形法则，知当时，，又，， 故，，则，所以． 故选：B 【变式7-2】（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【分析】由题意可得，两边平方，结合数量积的运算律计算即可求解. 【详解】由，得， 两边平方得， 所以，即. 故选：C 【变式7-3】（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量，满足，则 ． 【答案】 【知识点】已知模求数量积 【分析】把两边平方可得，计算可求. 【详解】由，可得，所以， 所以，又，所以， 所以. 故答案为：. 题型八 数量积的坐标运算 【例8】（22-23高一下·新疆喀什·期末）已知，，，分别求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3），∴. 【变式8-1】（21-22高一下·甘肃张掖·阶段练习）已知，则等于（　　） A．10 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以. 故选：B. 【变式8-2】（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知向量，则 . 【答案】14 【知识点】数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量坐标的数量积运算即可. 【详解】， 则， 故答案为：14. 【变式8-3】（21-22高一·湖南·课后作业）已知,,,求，，，. 【答案】；；； 【知识点】数量积的坐标表示、数量积的运算律、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为,， 所以，且， 所以， ， 因为，所以， 则. 题型九 利用坐标运算求向量模 【例9】（22-23高一下·湖南株洲·期中）已知向量与的夹角为60°，＝1，． (1)求及； (2)求. 【答案】(1)2，1； (2). 【知识点】坐标计算向量的模、已知数量积求模、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】（1）利用模长坐标公式求，再由数量积的定义求； （2）应用向量数量积的运算律求即可. 【详解】（1）由题设，则 （2）由 ， 所以. 【变式9-1】（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求投影向量、坐标计算向量的模 【分析】借助投影向量定义可计算出，结合向量模长公式计算即可得. 【详解】由题意可得，向量在向量上的投影向量为， 则，解得，则， 故． 故选：D. 【变式9-2】（19-20高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，则 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】由向量的坐标运算以及模长公式可直接求得答案. 【详解】由题意得，所以， 故答案为：. 【变式9-3】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知平面向量，，若，则 【答案】 【知识点】向量垂直的坐标表示、坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量垂直、向量四则运算和向量模长的坐标表示求解即可. 【详解】因为平面向量，，， 所以，解得，即， 所以，， 故答案为： 题型十 利用坐标运算求向量夹角 【例10】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】利用给定的投影向量求出，再利用夹角公式计算即得. 【详解】由在上的投影向量为，得，即，则， 由，得，因此，而， 所以． 故选：B 【变式10-1】（多选）（22-23高二下·贵州·期末）已知向量，下列说法正确的是（    ） A． B．与垂直的单位向量是 C．的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】CD 【知识点】求投影向量、向量垂直的坐标表示、向量夹角的计算、由坐标判断向量是否共线 【分析】根据向量平行、垂直、单位向量、夹角、投影向量等知识求得正确答案. 【详解】A选项，，与没有倍数关系，所以A选项错误. B选项，由于， ，所以单位向量与垂直，所以B选项错误. C选项，， 所以为钝角，所以，所以C选项正确. D选项，在上的投影向量是，所以D选项正确. 故选：CD 【变式10-2】（24-25高三上·甘肃·期末）已知向量，，若，则 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】由向量垂直的性质列方程求，利用向量的模的坐标表示求，再由向量夹角公式求结论. 【详解】因为， 所以，得. 因为，，， 所以. 故答案为：. 【变式10-3】（22-23高一下·湖南湘西·期末）设平面内三点，，. (1)求； (2)设向量与的夹角为，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示及模长公式计算即可； （2）利用平面向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）根据题意，三点，，得： ，， 则，故； （2）根据题意，，， 则，， 故. 题型十一 用坐标运算判断向量垂直 【例11】（2024高三·全国·专题练习）若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【知识点】向量减法的法则、垂直关系的向量表示、已知模求数量积 【分析】由平面的线性运算，把给定的等式转化为用含的边的向量等式，再由模的意义即可求解. 【详解】在中，， 所以， 所以，即， 即， 可得，因与均为非零向量， 则，即，是直角三角形. 故选：. 【变式11-1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，则下列向量中与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量的坐标的运算性质，以及向量垂直的坐标表示对各个选项逐一判断即可. 【详解】向量，， ，， ，故A不符合题意； ， ，故B不符合题意； ， ，故C符合题意； ， ，故D不符合题意． 故选：C． 【变式11-2】（24-25高三上·江苏·阶段练习）设向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与垂直 【答案】D 【知识点】向量垂直的坐标表示、数量积的运算律、坐标计算向量的模、数量积的坐标表示 【分析】根据，求出模长判断A,根据数量积判断B,再应用平行向量的坐标表示判断C,根据数量积的运算律计算判断D. 【详解】因为， 所以，A选项错误； ，B选项错误； 因为，所以不平行，C选项错误； ，D选项正确. 故选：D. 【变式11-3】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）在中，若，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合垂直关系的向量表示判断即可. 【详解】在中，由，得，则， 因此，所以是直角三角形. 故选：D 题型十二 数量积的最值、范围问题 【例12】（21-22高一下·福建三明·期中）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的运算律 【分析】由向量的加法和数量积运算将转化为，再由的值和的范围可求得结果；令可得点T 在BC上，再将转化为，由、的范围可求得结果. 【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 令，则 ， 则，即，于是，即点T 在直线BC上， 因此，，则， 而，因此， 所以的最小值为. 故答案为：； 【变式12-1】（多选）（23-24高一下·湖南·开学考试）如图，在中，为线段的中点，为线段的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（    ） A．若为线段的中点，则 B．的最大值为 C．的最小值为0 D．的最小值为4 【答案】AB 【知识点】数量积的坐标表示、向量加法法则的几何应用 【分析】利用向量加法运算化简判断A，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算结合函数性质求解数量积的最值判断BCD. 【详解】对于A，因为为线段的中点，为线段的中点，所以， ，，两式相加化简得，正确； 如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系， 由题意，设，设， 由知，因为， 所以，解得，所以， 所以，所以，又，所以， 因为，所以， 所以的最大值为，的最小值为，故选项B正确，C错误； 因为，， 所以， 因为，所以当时，有最小值为，故选项D错误. 故选：AB 【变式12-2】（多选）（23-24高一下·湖南岳阳·期中）如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为18 C．的最大值为 D．的面积的最大值为 【答案】BCD 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】利用坐标法，以A为原点建立坐标系，写出相关点坐标，得到相关向量的坐标，利用向量的坐标运算，再求解二次函数最值即可判断各个选项. 【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，则， 对于A,B，，故A错误，B正确； 对于C，， 当时，取得最大值，且最大值为，故C正确； 对于D，的面积 ，当时，取得最大值，且最大值为，故D正确． 故选：BCD. 【变式12-3】（23-24高一下·湖南衡阳·开学考试）如图，是等边三角形，边长为是平面上任意一点．则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量加法法则的几何应用 【分析】取的中点，的中点，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】在边长为2的在中，取的中点，连接并取其中点，连接，则， 于是 ， 当且仅当点与点重合时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：    题型十三 向量模的最值、范围问题 【例13】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在梯形ABCD中，，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足，，Q为边AD上的一个动点． (1)求证：； (2)的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量夹角的计算 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即得证； （2）利用平行四边形的判定与性质知，利用数量积的定义求得，计算即可求解. 【详解】（1）连接，如图 ∵，∴ 由得 即. （2）∵，∴ 则四边形为平行四边形，∥， . 由，得， ∴，∴， 由得，，即 所以 【变式13-1】（23-24高一上·北京延庆·期末）已知等边的边长为6，D在上且，E为线段上的动点，求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，用表示出，然后平方转化为数量积的运算得出关于的函数，再由二次函数知识得最大值和最小值，从而得其范围． 【详解】设，则，， 设，又， 则，， ， ， 所以时，取得最小值12，时，取得最大值28， 所以的取值范围是， 故选：B． 【变式13-2】（23-24高一下·湖南永州·期末）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】（1）先分别求出，得坐标，再根据向量垂直得坐标表示即可得解； （2）根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由，， 得， 因为，所以， 即，解得； （2）， 则， 当时，取得最小值. 【变式13-3】（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求向量的夹角； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律、向量的线性运算的几何应用 【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出和；再根据向量的数量积运算律即可求解. （2）先根据向量的线性运算表示出；再根据向量的数量积运算得出即可解答. （3）先根据表示出；再根据向量的数量积运算得出；最后根据即可求解. 【详解】（1）当时， 依题意知，，，. 则， . 因为， ， . 所以. 因此. 因为， ，， 所以，， 所以. （2）由（1）知. 因为，， 所以； . 则. 因为，， ， 所以， 故向量的夹角为. （3）由（2）可知： ， . 则. 因为，， ， 所以 , 由题意知，， 所以的取值范围是， ∴的取值范围是． 题型十四 求参数问题 【例14】（23-24高一下·湖南岳阳·期末）已知向量，，. (1)若，求t的值； (2)若与的夹角为钝角，求t的取值范围. 【答案】(1)2 (2)且 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】（1）根据向量垂直，数量积的坐标表示，即可求解； （2）利用数量积的定义，转化为且不平行，即可求参数取值范围. 【详解】（1）由，可得， 所以得， ； （2）因为的夹角为钝角，所以， 可得， 又当共线时，可得，此时反向， 的取值范围为且. 【变式14-1】（2024高三·全国·专题练习）已知，都是单位向量，若与垂直，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】垂直关系的向量表示、已知模求参数、用定义求向量的数量积 【分析】先由题意结合向量垂直的表示得，再由题设两边平方计算即可得解. 【详解】由于与垂直， 所以，所以. 又由①，两边平方并化简得， 即，故，即或（不满足①，舍去）， 所以的值为. 故选：D. 【变式14-2】（23-24高三下·河南南阳·阶段练习）已知向量，，若在上的投影向量为，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量、利用数量积求参数 【分析】先根据投影向量计算公式求出，再结合已知条件和数量积以及模长的定义即可求出的值. 【详解】由题得在上的投影向量为， 所以,又， 所以，解得. 故答案为：1. 【变式14-3】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知单位向量，满足，且，则正数的值为 . 【答案】 【知识点】已知模求参数、数量积的运算律 【分析】由数量积的定义求出，再对两边同时平方代入化简即可得出答案. 【详解】因为，是单位向量，且， 所以， 所以， 所以，解得：或. 则正数的值为. 故答案为：. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$