专题02 向量的分解与坐标表示知识归纳与题型突破（10类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题02 向量的分解与坐标表示知识归纳与题型突破 知识点1 平面向量基本定理 知识点2 向量的分解与坐标表示 ． 知识点3 向量线性运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R. （1）加法、减法：若，则； （2）向量的数乘：若，则． （3）已知两点坐标的向量坐标：设，则，. （4）平行向量的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2＝x2y1时，a∥b． 【点拨】两个向量共线条件的三种表示方法 ①当b≠0时，a＝λb．它体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． ②x1y2－x2y1＝0．有助于解决向量共线问题，其优点在于不需要引入参数“λ”，减少了未知数的个数，从而使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征． ③当x2y2≠0时，＝．即两向量的相应坐标成比例，更易形象记忆. 题型一 用基底表示向量 【例1】（24-25高一下·全国·课前预习）已知是三边上的点，且，，，若，，试用，将，，表示出来，并写出向量，，在基底下的坐标． 【变式1-1】（23-24高一下·山东泰安·期中）如图，中，点为边的中点，点在边上，且，以为一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（22-23高一下·湖南益阳·期中）在中，为边上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二 平面向量基本定理的应用 【例2】（23-24高一下·吉林延边·期中）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【变式2-1】（22-23高一下·湖南岳阳·期末）中，点为边AC上的点，且，若，则的值是（    ） A． B． C．0 D． 【变式2-2】（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一个三等分点，且，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 . 题型三 用坐标表示向量 【例3】（21-22高一·湖南·课后作业）已知A，B(1，4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝ . 【变式3-1】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）若，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】（21-22高一·湖南·课后作业）将向量＝(－2，－2)绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量，则的坐标为 . 题型四 向量线性运算的坐标表示 【例4】（15-16高一下·山东济宁·期中）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知向量，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）已知点，则满足的的坐标为 . 题型五 由向量线性运算求参数 【例5】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知等边三角形的边长为2，点为内切圆上一动点，若，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（   ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（21-22高一·湖南·课后作业）已知向量，，，若，求实数，的值． 【变式5-3】（多选）（22-23高一下·全国·课后作业）（多选）已知向量，，若向量，则可使成立的可能是（   ） A． B． C． D． 题型六 坐标表示下向量模的问题 【例6】（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 【变式6-1】（23-24高一上·北京西城·期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高三上·黑龙江·期末）已知向量，，则 . 【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）已知向量，，，则 ． 题型七 判断、证明向量是否共线 【例7】（23-24高一下·湖南永州·阶段练习）已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 【变式7-1】（24-25高三上·山东济宁·期末）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-2】（多选）（23-24高一下·湖南邵阳·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-3】（22-23高一下·湖南·阶段练习）已知向量，，，若、、三点共线，则 . 题型八 判断、证明点共线 【例8】（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【变式8-1】（多选）（23-24高一下·四川泸州·期中）已知为两个非零向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则A、B、C三点共线 B．，则A、B、C三点共线 C．若，则A、B、C三点共线 D．若，则A、B、C三点共线 【变式8-2】（多选）（21-22高一下·全国·单元测试）下列条件中可以证明三点共线的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 题型九 由向量共线（平行）求参数 【例9】（18-19高一下·山东烟台·期末）已知平面向量且 (1)若，求的值; (2)若与共线，求实数的值. 【变式9-1】（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（   ） A．6 B．4 C．8 D．3 【变式9-2】（23-24高一下·湖南郴州·期末）已知，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式9-3】（2018高一下·全国·专题练习）设A，B，C，D为平面内的四点，且. (1)若，求D点的坐标； (2)设向量，若向量与平行，求实数k的值. 题型十 点的坐标及线段的平行、长度 【例10】（24-25高三上·河南·阶段练习）在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（21-22高一·湖南·课后作业）如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 【变式10-2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，以为圆心，1为半径作圆，点在圆上，若平面内有一点，使得，求的取值范围． 【变式10-3】（23-24高一下·湖南岳阳·阶段练习）已知向量，，，且，，三点共线． (1)求实数的值； (2)若四边形是平行四边形，其中点的坐标为，求点的坐标． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 向量的分解与坐标表示知识归纳与题型突破 知识点1 平面向量基本定理 知识点2 向量的分解与坐标表示 ． 知识点3 向量线性运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R. （1）加法、减法：若，则； （2）向量的数乘：若，则． （3）已知两点坐标的向量坐标：设，则，. （4）平行向量的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2＝x2y1时，a∥b． 【点拨】两个向量共线条件的三种表示方法 ①当b≠0时，a＝λb．它体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． ②x1y2－x2y1＝0．有助于解决向量共线问题，其优点在于不需要引入参数“λ”，减少了未知数的个数，从而使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征． ③当x2y2≠0时，＝．即两向量的相应坐标成比例，更易形象记忆. 题型一 用基底表示向量 【例1】（24-25高一下·全国·课前预习）已知是三边上的点，且，，，若，，试用，将，，表示出来，并写出向量，，在基底下的坐标． 【答案】，，，坐标分别为，， 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】利用平面向量线性运算的几何意义计算并结合平面向量基本定理即可解决. 【详解】 如图所示，易知， ， ． 故向量，，在基下的坐标分别为，，． 【变式1-1】（23-24高一下·山东泰安·期中）如图，中，点为边的中点，点在边上，且，以为一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加减法运算法则运算即可得出答案. 【详解】由图形可知：. 故选：C. 【变式1-2】（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】由题意：. 故选：B 【变式1-3】（22-23高一下·湖南益阳·期中）在中，为边上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算结合平面向量基本定理，代入化简，即可得到结果. 【详解】 因为，且，则， 所以. 故选：D 题型二 平面向量基本定理的应用 【例2】（23-24高一下·吉林延边·期中）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【知识点】平面向量基本定理的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可. 【详解】∵是的重心，， 又，结合题意知， 因为三点共线, 当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可． 【变式2-1】（22-23高一下·湖南岳阳·期末）中，点为边AC上的点，且，若，则的值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量 【分析】由平面向量的基本定理结合图形计算即可. 【详解】由题意易得：， 故. 故选：A. 【变式2-2】（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一个三等分点，且，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】由题意可知，，根据平面向量基本定理，将用线性表示，根据两个向量相等即可求出的值，即可得出答案. 【详解】由题知点为线段上的一个三等分点，所以， 所以 ， 因为不共线，所以，故. 故选：D. 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 . 【答案】 【知识点】用基底表示向量、用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 【分析】将平移至相同起点，利用网格得向量的坐标，由向量的坐标运算求出的值即可. 【详解】如图，将平移至相同起点，且，，并构建直角坐标系xOy， 若每个单元格长为1，则. 又， 所以， 即可得 所以. 故答案为：. 题型三 用坐标表示向量 【例3】（21-22高一·湖南·课后作业）已知A，B(1，4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝ . 【答案】或 【知识点】用坐标表示平面向量、特殊角的三角函数值 【分析】根据平面向量的坐标表示公式，结合特殊角的正弦值、余弦值进行求解即可. 【详解】解析　由题意知＝＝(sin α，cos β)， ∴sin α＝－，cos β＝， 又∵α，β∈， ∴α＝，β＝或－， ∴α＋β＝或－. 故答案为：或 【变式3-1】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）若，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】利用向量的坐标运算求解即可 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 【变式3-2】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】由坐标判断向量是否共线、基底的概念及辨析 【分析】由平面向量基底的条件：不共线的非零向量，然后结合向量平行的坐标表示检验各选项. 【详解】因为零向量不能作为基底，所以A错误． 因为，所以与共线，B错误． 因为，所以与不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底，C正确． 因为，所以与共线，D错误． 故选：C 【变式3-3】（21-22高一·湖南·课后作业）将向量＝(－2，－2)绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量，则的坐标为 . 【答案】(2，－2) 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】数形结合即可求出向量的坐标. 【详解】易知与x轴正半轴的夹角为150°，且在x轴下方， 逆时针旋转120°得到向量在第四象限，与x轴正半轴夹角为30°，且在x轴下方， ∴＝(，－2). 题型四 向量线性运算的坐标表示 【例4】（15-16高一下·山东济宁·期中）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由可得， 故选：A 【变式4-1】（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、由坐标解决线段平行和长度问题 【分析】先求向量模长，再分两种情况求单位向量即可. 【详解】, 则与共线的单位向量为或. 故选:D. 【变式4-2】（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知向量，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用坐标计算平面向量的加法即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）已知点，则满足的的坐标为 . 【答案】 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量坐标表示公式，结合平面向量加法的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】设的坐标为，且，， 因为，可得， 可得， 所以的坐标为. 故答案为： 题型五 由向量线性运算求参数 【例5】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知等边三角形的边长为2，点为内切圆上一动点，若，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、平面向量基本定理的应用、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】以的内切圆心为原点建立平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标表示，结合三角函数性质求出最小值. 【详解】正的边长为2，则其内切圆半径， 以正的中心为原点，边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设， ， 而，因此， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故选：B 【变式5-1】（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图，    则, 所以， 由可得， 即，解得，所以. 故选：C 【变式5-2】（21-22高一·湖南·课后作业）已知向量，，，若，求实数，的值． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，，， 所以有， 于是有：，所以实数，的值为：. 【变式5-3】（多选）（22-23高一下·全国·课后作业）（多选）已知向量，，若向量，则可使成立的可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】相等向量、由向量线性运算结果求参数 【分析】由向量坐标运算公式求的坐标表示，根据向量相等逐项求，由此作出判断. 【详解】因为，，， 所以， 若，则，解得，，满足题意，A正确； 若，则，解得，，不满足题意，B错误； 若，则，解得，，满足题意，C正确； 若，则，解得，，不满足题意，D错误； 故选：AC. 题型六 坐标表示下向量模的问题 【例6】（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】先求得的坐标，再由求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：D. 【变式6-1】（23-24高一上·北京西城·期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，求出，，，四点坐标，利用坐标进行向量的坐标运算即可求解. 【详解】 以点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系， 在平面直角坐标系下，，,，， 所以,， ，． 故选：B 【变式6-2】（24-25高三上·黑龙江·期末）已知向量，，则 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】先计算向量的坐标，再根据模长公式计算即可. 【详解】，故. 故答案为：. 【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）已知向量，，，则 ． 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量的坐标运算求出，再用坐标表示向量的模=5即可得出的值. 【详解】由题意得，所以，解得． 故答案为： 题型七 判断、证明向量是否共线 【例7】（23-24高一下·湖南永州·阶段练习）已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 【答案】(1)， (2)共线 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、由坐标判断向量是否共线 【分析】（1）根据向量的坐标运算列方程组求出坐标； （2）根据向量的坐标表示判断向量的共线. 【详解】（1）依题意得，． 设， 由，可知， 即解得 点的坐标为 由，可知， 即解得 点的坐标为． （2）由（1）可知， 又， ， 故与共线． 【变式7-1】（24-25高三上·山东济宁·期末）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由坐标判断向量是否共线、由向量共线（平行）求参数 【分析】由充分条件和必要条件的概念分别判断即可. 【详解】若，则，，此时，所以； 若，由向量共线定理，得，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式7-2】（多选）（23-24高一下·湖南邵阳·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【知识点】由坐标判断向量是否共线、基底的概念及辨析 【分析】利用不共线的两个非零向量可以作为一组基底一一判断求解. 【详解】对A，因为为零向量，所以不能作为基底，A错误； 对B，因为，所以不共线，可以作为基底，B正确； 对C，因为，所以共线，不能作为基底，C错误； 对D，因为，所以不共线，可以作为基底，D正确； 故选：BD. 【变式7-3】（22-23高一下·湖南·阶段练习）已知向量，，，若、、三点共线，则 . 【答案】 【知识点】由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数 【分析】计算出、的坐标，由题意可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值. 【详解】已知向量，，， 则， ， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故答案为：. 题型八 判断、证明点共线 【例8】（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出，，，即可求出、、三点的坐标，再求出，，即可判断三点共线. 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 【变式8-1】（多选）（23-24高一下·四川泸州·期中）已知为两个非零向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则A、B、C三点共线 B．，则A、B、C三点共线 C．若，则A、B、C三点共线 D．若，则A、B、C三点共线 【答案】ACD 【知识点】由坐标判断向量是否共线 【分析】由向量的线性运算或其坐标运算即可逐一判断每个选项. 【详解】对于A，若，则共线且的终点是的起点，所以A、B、C三点共线，故A正确； 对于B，因为，所以不共线，故B错误； 对于C，若，则，即，则A、B、C三点共线，故C正确； 对于D，若，则，则A、B、C三点共线，故D正确. 故选：ACD. 【变式8-2】（多选）（21-22高一下·全国·单元测试）下列条件中可以证明三点共线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】向量加法的法则、平面向量共线定理证明点共线问题、用坐标表示平面向量 【分析】根据向量的加法运算法则结合平面向量共线定理即可判断ABD；根据向量的坐标表示判断是否共线即可判断C. 【详解】对于A，， 因为，所以，所以， 又因为公共端点，所以三点共线； 对于B，因为， 所以， 所以三点共线； 对于C，由，得， 所以， 又因为公共端点，所以三点共线； 对于D，由，得， 所以，且为相反向量， 但不能证明三点共线，如图所示. 故选：ABC. 【变式8-3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 【答案】，、，证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、用坐标表示平面向量 【分析】根据平面向量的坐标表示表示出、、，再由，即可证明三点共线. 【详解】因为、、， 所以，，， 因为，所以，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 题型九 由向量共线（平行）求参数 【例9】（18-19高一下·山东烟台·期末）已知平面向量且 (1)若，求的值; (2)若与共线，求实数的值. 【答案】(1) (2)4 【知识点】利用坐标求向量的模、由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）利用平面向量坐标运算法则先求出，由此能求出的值． （2）求出，由与共线，由此能求出的值． 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）因为 所以， 因为与共线，所以，解得. 【变式9-1】（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（   ） A．6 B．4 C．8 D．3 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、由向量共线（平行）求参数 【分析】借助向量共线定理与基本不等式计算即可得. 【详解】因为向量共线，所以，解得， 又，所以，，当且仅当时，等号成立. 故选：A. 【变式9-2】（23-24高一下·湖南郴州·期末）已知，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量线性运算的坐标表示以及向量共线可列方程求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，解得. 故选：A. 【变式9-3】（2018高一下·全国·专题练习）设A，B，C，D为平面内的四点，且. (1)若，求D点的坐标； (2)设向量，若向量与平行，求实数k的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示、用坐标表示平面向量 【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答. （2）求出的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答. 【详解】（1）设，因为，于是，整理得， 即有，解得， 所以. （2）因为， 所以，， 因为向量与平行，因此，解得， 所以实数k的值为. 题型十 点的坐标及线段的平行、长度 【例10】（24-25高三上·河南·阶段练习）在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由坐标解决线段平行和长度问题、向量与几何最值 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，得到以为圆心，半径为的圆方程为， 设，，根据，求得，进而得到 ，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为，，可得， 以为圆心作半径为1的圆，可得圆的方程为， 由点在圆上，可得设点的坐标为， 因为，可得， 可得，所以， 所以 ，其中， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：B. 【变式10-1】（21-22高一·湖南·课后作业）如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】线段的定比分点 【分析】（1）根据中点坐标公式进行求解即可； （2）根据平面共线向量的性质进行求解即可. 【详解】（1）设， 因为A（－2，1），B（1，3）， 所以，即； （2）设， 当时，有； 当时，有. 【变式10-2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，以为圆心，1为半径作圆，点在圆上，若平面内有一点，使得，求的取值范围． 【答案】 【知识点】利用坐标求向量的模、由圆的位置关系确定参数或范围、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】设，根据向量模的坐标运算，辅助角公式计算即可． 【详解】由题意得，点的轨迹方程为：， 设， 则，， ． 故，即， 则的取值范围为． 【变式10-3】（23-24高一下·湖南岳阳·阶段练习）已知向量，，，且，，三点共线． (1)求实数的值； (2)若四边形是平行四边形，其中点的坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）首先表示出、，依题意与平行，根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）依题意可得，根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】（1）因为， 所以， ， ， 又， 因为，，三点共线，所以与平行，，解得； （2）因为四边形为平行四边形，所以， 由（1）可得， 设，又，所以， 所以，解得，所以． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$