专题04 解三角形、向量的应用知识归纳与题型突破（14类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题04 解三角形、向量的应用知识归纳与题型突破 知识点1 余弦定理 1.定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 2.公式：在中，有， b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 3.推论：，， 4.应用： ①已知三角形的三条边求三个角 ②已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角 知识点2 正弦定理 1.定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝． 2．由正弦定理导出的结论 (1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． (2)由等比性质和圆的性质可知（扩充的正弦定理），＝＝＝_＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径． (3)A<B⇔a<b⇔sinA<sinB． 3.三角形面积公式： 其中 最为常用. 4.三角形解的个数问题 ①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． ②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsinA 两解 a＝bsinA 一解 a<bsinA 无解 ③已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下： (ⅱ)A为锐角时，解的情况如下： 5.正弦定理的应用： （1）已知任意两角与一边，求其他两边和一角. （2）已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． 知识点3 解三角形应用举例 【常用的名称术语】 1.方位角：正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫方位角． 2.方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角.实际应用中常用北偏东(西)若干度，南偏东(西)若干度来表述． 3.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角，如图所示． 4.视角 观察物体的两端视线张开的角度，叫做视角． 5.坡角、坡比 (1)坡角：坡面与水平面的夹角．如下图中的角α． (2)坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比．如上图中的． 知识点4 平面向量的应用举例 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、利用向量证明平面几何的两种经典方法 （1）线性运算法 第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； 第二步：利用基底表示相关向量； 第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； 第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。 （2）坐标运算法 第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； 第二步：把相关向量坐标化； 第三步：用向量的坐标运算找到相应关系； 第四步：利用向量关系回答几何问题。 3.向量在物理应用中的主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 题型一 已知任意两角与一边，求其他两边和一角. 【例1】（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，在中，，D在边AB上，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，在和中，分别利用正弦定理，结合，，得到，再由求解． 【详解】解：设，则，． 在中，由正弦定理，得； 在中，由正弦定理，得． 又因为，， 所以， 所以，即． 又因为． 所以，故． 所以． 故选：B． 【变式1-1】（2022上·江西赣州·高三校联考期中）在中，角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形三内角和为，故可求角，利用正弦定理即可求. 【详解】因为，所以， 因为，所以． 故选：C. 【变式1-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【详解】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 【变式1-3】（23-24高一下·上海·期中）中，已知，，，则边的长为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】因为，，， 由正弦定理，即，解得. 故答案为： 题型二 已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角 【例2】（23-24高一下·吉林长春·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出即可得解. 【详解】在中，，，由正弦定理得， 而，则，于是或， 所以或. 故选：D 【变式2-1】（23-24高一下·四川泸州·期中）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为（    ） A．45° B．105°或15° C．15° D．135°或45° 【答案】D 【分析】由正弦定理求得，再根据角的范围求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则,(或因)，故角为135°或45°. 故选：D. 【变式2-2】（23-24高一下·江苏连云港·期中）设的内角所对的边分别为，若，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理，得到进而得到的大小. 【详解】在中，由正弦定理得，即，所以， 因为，所以或， 故选：A. 【变式2-3】（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，再根据正弦定理可直接计算. 【详解】由题可得：，由正弦定理得： ，故， 故选：D. 题型三 三角形解的个数问题 【例3】（2024高三·全国·专题练习）中，已知，，. （1）若恰有一解，则实数的取值范围是 ；（2）若有两解，则实数的取值范围是 ； （3）若无解，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理可求得，再由三角函数值域即可得出对应结果. 【详解】由已知，， 根据正弦定理得， 又， 若，即时，为直角，只有一解； 若，即时，有两种情况，三角形就有两解； 若，即时，只有一种情形， 若，即，无解 故答案为： ；；. 【变式3-1】（多选）（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(    ). A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AD 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用、正弦定理判定三角形解的个数、二倍角的正弦公式 【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，由余弦定理，可知为锐角， 但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误； 对于C，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确. 故选：AD. 【变式3-2】（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知的内角所对的边分别为，则使得有两组解的的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）． 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】先根据正弦定理表示出，再根据三角形有两组解的条件确定的取值范围，从而得出满足条件的的整数值. 【详解】由正弦定理，已知，， 可得. 因为，，要使有两组解，则有两个值. 要使有两个值，则且，即. 所以满足条件的一个整数值. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则使得有两组解的的值为 .（写出满足条件的一个整数值即可） 【答案】6（答案不唯一，6,7,8,9任意一个均可） 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】先根据正弦定理表示出，再根据三角形有两组解的条件确定的取值范围，从而得出满足条件的的整数值. 【详解】由正弦定理，已知，，可得. 因为，，要使有两组解，则有两个值. 因为，当时，，此时. 要使有两个值，则且，即. 所以满足条件的一个整数值（答案不唯一，只要满足的整数均可）. 故答案为：6 （答案不唯一，6,7,8,9任意一个均可） 题型四 已知三角形的三条边求三个角 【例4】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）在△ABC中，G为△ABC的重心，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】应用已知边长关系及重心性质结合余弦定理求解即可. 【详解】 连接，因为G是重心，所以E是中点， 连接，同理D是中点，又因为，所以， 设， 因为G是重心，所以， 在中，由余弦定理得 . 故选：A. 【变式4-1】（23-24高一下·湖南岳阳·期末）中角所对的边为，若，，则角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理，且， 则角. 故选：C 【变式4-2】（23-24高一下·湖南永州·期末）在中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理、余弦定理可得答案. 【详解】若，则由正弦定理得， 可设， 由余弦定理得. 故选：A. 【变式4-3】（23-24高一下·广东广州·期中）在中，若，则 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由，得， 由余弦定理得，而， 所以. 故答案为： 题型五 已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角 【例5】（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设， 结合余弦定理：可得：， 即：，解得：（舍去）， 故. 故选：D. 【变式5-1】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理解三角形即可. 【详解】中，已知，，，由余弦定理， 得， 所以. 故选：D. 【变式5-2】（（23-24高一下·福建泉州·期中）已知中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 由正弦定理得. 故选：A 【变式5-3】（23-24高一下·湖南·期中）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A．2 B．4 C．16 D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用余弦定理，即可求解. 【详解】因为在中，， 由余弦定理得，解得. 故选：B. 题型六 三角形的面积问题 【例6】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合余弦定理，即可求解； （2）根据题意，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得，即， 又由余弦定理得， 因为，所以. （2）解：由（1）知，因为， 所以的面积为. 【变式6-1】（23-24高一下·湖南株洲·期中）在中，已知，，，则的面积为 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】利用三角形面积公式计算. 【详解】由题意可得的面积为. 故答案为： 【变式6-2】（23-24高一下·湖南岳阳·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的面积为 ． 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，解得， 所以的面积为. 故答案为： 【变式6-3】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为，，，，且， (1)求的长度； (2)求的面积； 【答案】(1)4 (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）先利用正弦定理得到，再联立，即可求解； （2）先由余弦定理求出，进而得到，再根据面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又因为，，解得，，， 所以的长度为4. （2）由（1）知，，， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 故的面积为. 题型七 综合应用正、余弦定理，求边、角 【例7】（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 【变式7-1】（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 【变式7-2】（23-24高一下·湖南·期中）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则 ． 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理进行角换边，再利用余弦定理和同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】由正弦定理知，所以， 则，又，所以. 故答案为：. 【变式7-3】（23-24高一下·湖南常德·期中）中有，则 . 【答案】/ 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理求解即得. 【详解】在中，由，得， 由余弦定理得，则， 由正弦定理得，所以. 故答案为： 题型八 判断三角形的形状 【例8】（多选）（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）在中，角的对边分别为，下列结论中正确的选项有（    ） A．在中，若，则必是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定为直角三角形 【答案】ACD 【分析】由余弦定理即可判断A；由正弦定理及二倍角的正弦公式即可判断B；由正弦定理，同角三角函数的商数关系即可判断C；由正弦定理及正余弦函数图像，即可判断D． 【详解】对于，由余弦定理得，，化简得， 所以，又因为，所以是等边三角形，故A正确； 对于B，由正弦定理得，，则， 所以或，即或， 所以是等边三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由正弦定理得，，即， 又，所以， 所以是等边三角形，故C正确； 对于D，由正弦定理得，， 因为， 所以，即， 又因为，即，所以，即， 所以为直角三角形，故D正确， 故选：ACD． 【变式8-1】（2020高三上·山东济南·学业考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则这个三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【解析】由条件和余弦定理可得，然后化简可得答案. 【详解】因为，所以由余弦定理可得，即 所以，所以三角形的形状为直角三角形 故选：A 【变式8-2】（19-20高一下·天津滨海新·期中）在中，是角分别所对的边，，则一定是（    ） A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用余弦定理可得，结合可得答案. 【详解】因为， 所以，由余弦定理有， 整理得，即，为等腰三角形， 又，所以为等边三角形. 故选：D 【变式8-3】（23-24高一下·湖南常德·期中）在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 【答案】A 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】由数量积的运算律得到，即可得到，再由数量积的定义求出，即可判断. 【详解】因为，即，即， 所以，即，则， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，又，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：A 题型九 三角形周长的问题 【例9】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2)6. 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）应用余弦边角关系及已知可得，即可求，进而确定其大小； （2）由三角形面积公式得，再由及已知求得，即可求周长. 【详解】（1）由题设，整理可得， 所以，，故. （2）由题意，又， 所以，故的周长为. 【变式9-1】（23-24高一下·湖南常德·期中）中，若且，则的周长为（    ） A． B．12 C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】由三角形面积求得，再由正弦定理得，可解得，然后由余弦定理解得，可得三角形周长． 【详解】由题意，， 又，由正弦定理得，联立解得， ， 所以． 故选：C． 【变式9-2】（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在中，的平分线交于点，，，则周长的最小值为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值、三角形面积公式及其应用 【分析】首先利用角平分线的性质，结合三角形的面积公式，得，再根据基本不等式求的最小值，并结合余弦定理求的最小值，即可求解. 【详解】根据三角形面积可知，， 得，即， 由基本不等式，得，即，当时等号成立， ， 由，即，所以，即， 综上可知，. 所以周长的最小值为. 故答案为： 【变式9-3】（23-24高一下·吉林·期末）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由可得，即可得答案； （2）由（1）及余弦定理可得或，后由C为钝角可排除，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以，则， 因为，所以. （2）因为，所以. 由余弦定理，得. 整理得，解得或. 因，则. 当时，，不合题意排除； 当时，，满足题意. 则，的周长为. 题型十 解三角形应用--距离、高度问题 【例10】（23-24高一下·甘肃天水·期中）我国许多地方都有风格迥异的古塔.现在在某塔底共线三点处分别测得塔顶P点的仰角为，，，且，设该塔高为，示意图如图，则该塔高 m. 【答案】60 【分析】设，利用直角三角形的特殊角可表示长度，再根据余弦定理解计算即可. 【详解】设，由在处分别测得塔顶P点的仰角为，，， 则根据题意有， 在中由余弦定理知，， 因为三点共线，所以， 则. 故答案为：60 【变式10-1】（23-24高一下·湖南郴州·期末）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得米，则岳阳楼的高度测量值为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】高度测量问题 【分析】在中由正弦定理可得答案. 【详解】， ， ， 由正弦定理得， 即， 所以. 故选：A. 【变式10-2】（多选）（23-24高一下·湖南张家界·期末）如图所示，为了测量两岛的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是（    ） A． B．之间的距离为海里 C．之间的距离为海里 D．两岛间的距离为海里 【答案】ABD 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】根据三角形的内角求得判定A；利用正弦定理求得判定B；利用等腰直角三角形性质求得判定C；利用余弦定理求得AB判定D. 【详解】由题意可知，，，，， 所以，故A正确； 在中，由正弦定理得，得 (海里)，故B正确； 在中，因为，，所以 (海里)，故C错误； 在中，， 由余弦定理 (海里)，故D正确. 故选：ABD 【变式10-3】（23-24高一下·湖南长沙·期末）如图，一架无人机距离地面的高度m，在处观测到岳麓山山顶的仰角为15°，地面上处的俯角为45°，若，则岳麓山的高度为 m.    【答案】300 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】先求出，继而利用正弦定理求出AC，再解直角三角形ABC，即可求得答案. 【详解】由题意知，m，则， 在中，， 故，则， 又直角三角形ABC中，，故， 故答案为：300 题型十一 解三角形应用--角度问题 【例11】（23-24高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【答案】(1)1小时 (2)3小时 【知识点】正、余弦定理的其他应用、几何图形中的计算、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据含直角三角形的性质即可得到路程，再除以速度即可； （2）设t小时后恰与货船在C处相遇，在中利用余弦定理即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意知，在中，，，，则 于是，而加油船的速度为60海里/小时， 所以加油船从港口A到小岛B的航行时间为1小时； （2）由（1）知，加油船从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合， 为使航行的时间最少，加油船从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与货船在C处相遇， 在中，，，， 所以，而在中，，，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得或，故． 即加油船驶离港口A后，最少经过3小时能和货船相遇． 【变式11-1】（23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 米． 【答案】 【分析】设，表示出，，利用两角和差正切公式，结合基本不等式可确定当时，取最大值，由此可得结论. 【详解】如图所示： 由题意知：，，设， 则，， 所以， 由于，当且仅当，即时取等号， 所以，因为， 所以当时，可以获得观看的最佳视野. 故答案为： 【变式11-2】（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由：（提示：，） 【答案】安全；理由见解析. 【知识点】距离测量问题 【分析】过点作，计算出即可得出结论. 【详解】过点作，垂足为.如图所示： 根据题意可知，， ， 且 故, , ， 故，即这轮船继续向正东方向航行安全. 【变式11-3】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 【答案】(1) (2)沿北偏东方向航行即可到达C处 【知识点】距离测量问题、角度测量问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）先计算出，由余弦定理求出； （2）由余弦定理求出，从而得到答案. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得： ，解得 （2）在中，由余弦定理得： ， 所以，又， 因此应沿北偏东方向航行即可到达C处. 题型十二 向量在几何中的应用 【例12】（22-23高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【知识点】用向量解决夹角问题、用向量证明线段垂直 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 【变式12-1】（多选）（23-24高一下·湖南郴州·期末）是的外心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ） A．的外接圆半径为 B．在方向上的投影向量等于 C． D．的最小值为 【答案】AC 【知识点】求投影向量、用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示、正弦定理求外接圆半径 【分析】利用余弦定理及正弦定理求外接圆的半径，计算与比较即可判断，利用坐标系来求解，通过数形结合，理解当，重合时，，取最小值． 【详解】A．由余弦定理得：，解得：， 根据正弦定理：，解得：，故正确； B．，，所以在方向上的投影向量等于，故错误； C．建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设E为中点，D为C在x轴上的射影， ， ， ， ，， ， ，故正确； D．取的中点，连结，，取中点， 则，， 则， 则， ， 当，重合时，，取最小值，选项错误， 故选：AC． 【变式12-2】（多选）（23-24高一下·湖南永州·期末）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，且，则 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 【答案】ACD 【知识点】根据向量关系判断三角形的心、向量在几何中的其他应用、向量与几何最值、数量积的运算律 【分析】A将转化为，然后求数量积；B将拆成，然后根据线性运算得到，然后求面积比即可；C由题意得，然后根据得到，即可得到动点的轨迹经过的外心；D根据得到点的轨迹，将转化为，然后求数量积，根据点的轨迹求最值. 【详解】A选项，，故A正确； B选项，设中点为，中点为， ，即， 所以点为中位线靠近点的三等分点，所以，故B错； C选项，设中点为，则， 结合题设 所以，所以， 又的中点为，所以在的中垂线上， 所以动点的轨迹经过的外心，故C正确； D选项，设中点为， 因为，所以点的轨迹为以为直径的圆， 结合上图， , 当为直径时最大，最大为，故D正确. 故选：ACD. 【变式12-3】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】向量与几何最值、数量积的运算律 【分析】利用向量的数量积运算即可求解. 【详解】因为正方形的边长为4，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 由于，，， 所以， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 题型十三 向量在物理中的应用 【例13】（21-22高一·湖南·课后作业）已知两个力（单位：N）与的夹角为60°，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动到点（单位：m）． (1)求； (2)求与的合力对质点所做的功． 【答案】(1) (2) 【知识点】功、动量的计算、力的合成 【分析】（1）令，根据，列出方程组求得的值，即可求解； （2）利用与的合力对质点所做的功为，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示，因为，可得， 令 因为两个力与的夹角为60°，点移动到点，可得， 则，可得， 所以，可得，解得， 所以. （2）解：与的合力对质点所做的功为: . 【变式13-1】（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（    ）    A． B．18 C． D．12 【答案】D 【知识点】功、动量的计算 【分析】由平面向量数量积的定义即可得出答案. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：D. 【变式13-2】（22-23高一下·湖南长沙·期中）如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】功、动量的计算 【分析】利用正弦定理得出，再根据求功公式计算即可. 【详解】在中，由正弦定理， ， ∴. 故选：B 【变式13-3】（21-22高一·湖南·课后作业）如图，两根绳子把物体W吊在水平杆子AB上．已知物体W的重力G大小为10N，，，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）． 【答案】A处所受力的大小为N, B处所受力的大小为N. 【知识点】力的合成 【分析】作出受力分析，利用向量线性运算即可求解. 【详解】如图所示，设,分别表示点A和B处所受力，10N的重力用表示. 则由.    因为所以所以,. 所以A处所受力的大小为N, B处所受力的大小为N. 题型十四 解三角形与平面向量交汇问题 【例14】（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，D为BC的中点，的面积为，求AD的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解， （2）根据面积公式可得值，结合（1）的结论可得，进而根据向量的模长即可求解． 【详解】（1）由正弦定理可得, 由于，所以，故， 因为，所以． （2）因为，，的面积为， 所以， 由（1）知，可得， 因为， 所以， 解得，可得的长为． 【变式14-1】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理计算先得，确定为直角三角形，再利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质计算即可. 【详解】由余弦定理可知， 所以，即为直角三角形，. 设，则， 则， 显然时，. 故选：D 【变式14-2】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中，，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可得，设，则，，在等式两边平方可得出，结合余弦定理可求得，再利用余弦定理结合函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】因为，且，所以，， 不妨设，则，， 在等式两边同时平方可得，则， 在中，，所以， ， 令，，则， 易知在上为增函数，所以. 故选：D. 【变式14-3】（23-24高一下·湖南株洲·期末）在中，设角，，的对边分别为，，.已知向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由共线定理以及A的取值范围即可求解. （2）依据正弦定理由得，接着由余弦定理即可求出，进而由面积公式即可得解. 【详解】（1）由可得， 所以， 而，所以. （2）因为，所以由正弦定理得， 所以由余弦定理知，即， 解得，故，， 所以的面积为. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解三角形、向量的应用知识归纳与题型突破 知识点1 余弦定理 1.定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 2.公式：在中，有， b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 3.推论：，， 4.应用： ①已知三角形的三条边求三个角 ②已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角 知识点2 正弦定理 1.定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝． 2．由正弦定理导出的结论 (1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． (2)由等比性质和圆的性质可知（扩充的正弦定理），＝＝＝_＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径． (3)A<B⇔a<b⇔sinA<sinB． 3.三角形面积公式： 其中 最为常用. 4.三角形解的个数问题 ①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． ②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsinA 两解 a＝bsinA 一解 a<bsinA 无解 ③已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下： (ⅱ)A为锐角时，解的情况如下： 5.正弦定理的应用： （1）已知任意两角与一边，求其他两边和一角. （2）已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． 知识点3 解三角形应用举例 【常用的名称术语】 1.方位角：正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫方位角． 2.方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角.实际应用中常用北偏东(西)若干度，南偏东(西)若干度来表述． 3.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角，如图所示． 4.视角 观察物体的两端视线张开的角度，叫做视角． 5.坡角、坡比 (1)坡角：坡面与水平面的夹角．如下图中的角α． (2)坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比．如上图中的． 知识点4 平面向量的应用举例 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、利用向量证明平面几何的两种经典方法 （1）线性运算法 第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； 第二步：利用基底表示相关向量； 第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； 第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。 （2）坐标运算法 第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； 第二步：把相关向量坐标化； 第三步：用向量的坐标运算找到相应关系； 第四步：利用向量关系回答几何问题。 3.向量在物理应用中的主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 题型一 已知任意两角与一边，求其他两边和一角. 【例1】（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，在中，，D在边AB上，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022上·江西赣州·高三校联考期中）在中，角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式1-3】（23-24高一下·上海·期中）中，已知，，，则边的长为 . 题型二 已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角 【例2】（23-24高一下·吉林长春·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】（23-24高一下·四川泸州·期中）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为（    ） A．45° B．105°或15° C．15° D．135°或45° 【变式2-2】（23-24高一下·江苏连云港·期中）设的内角所对的边分别为，若，则（    ） A．或 B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 题型三 三角形解的个数问题 【例3】（2024高三·全国·专题练习）中，已知，，. （1）若恰有一解，则实数的取值范围是 ；（2）若有两解，则实数的取值范围是 ； （3）若无解，则实数的取值范围是 ； 【变式3-1】（多选）（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(    ). A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【变式3-2】（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知的内角所对的边分别为，则使得有两组解的的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）． 【变式3-3】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则使得有两组解的的值为 .（写出满足条件的一个整数值即可） 题型四 已知三角形的三条边求三个角 【例4】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）在△ABC中，G为△ABC的重心，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一下·湖南岳阳·期末）中角所对的边为，若，，则角等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·湖南永州·期末）在中，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·广东广州·期中）在中，若，则 题型五 已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角 【例5】（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【变式5-1】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式5-2】（（23-24高一下·福建泉州·期中）已知中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一下·湖南·期中）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A．2 B．4 C．16 D． 题型六 三角形的面积问题 【例6】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若，，求的面积． 【变式6-1】（23-24高一下·湖南株洲·期中）在中，已知，，，则的面积为 . 【变式6-2】（23-24高一下·湖南岳阳·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的面积为 ． 【变式6-3】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为，，，，且， (1)求的长度； (2)求的面积； 题型七 综合应用正、余弦定理，求边、角 【例7】（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【变式7-1】（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一下·湖南·期中）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则 ． 【变式7-3】（23-24高一下·湖南常德·期中）中有，则 . 题型八 判断三角形的形状 【例8】（多选）（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）在中，角的对边分别为，下列结论中正确的选项有（    ） A．在中，若，则必是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定为直角三角形 【变式8-1】（2020高三上·山东济南·学业考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则这个三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式8-2】（19-20高一下·天津滨海新·期中）在中，是角分别所对的边，，则一定是（    ） A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【变式8-3】（23-24高一下·湖南常德·期中）在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 题型九 三角形周长的问题 【例9】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【变式9-1】（23-24高一下·湖南常德·期中）中，若且，则的周长为（    ） A． B．12 C． D． 【变式9-2】（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在中，的平分线交于点，，，则周长的最小值为 . 【变式9-3】（23-24高一下·吉林·期末）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 题型十 解三角形应用--距离、高度问题 【例10】（23-24高一下·甘肃天水·期中）我国许多地方都有风格迥异的古塔.现在在某塔底共线三点处分别测得塔顶P点的仰角为，，，且，设该塔高为，示意图如图，则该塔高 m. 【变式10-1】（23-24高一下·湖南郴州·期末）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得米，则岳阳楼的高度测量值为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【变式10-2】（多选）（23-24高一下·湖南张家界·期末）如图所示，为了测量两岛的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是（    ） A． B．之间的距离为海里 C．之间的距离为海里 D．两岛间的距离为海里 【变式10-3】（23-24高一下·湖南长沙·期末）如图，一架无人机距离地面的高度m，在处观测到岳麓山山顶的仰角为15°，地面上处的俯角为45°，若，则岳麓山的高度为 m.    题型十一 解三角形应用--角度问题 【例11】（23-24高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【变式11-1】（23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 米． 【变式11-2】（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由：（提示：，） 【变式11-3】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 题型十二 向量在几何中的应用 【例12】（22-23高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【变式12-1】（多选）（23-24高一下·湖南郴州·期末）是的外心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ） A．的外接圆半径为 B．在方向上的投影向量等于 C． D．的最小值为 【变式12-2】（多选）（23-24高一下·湖南永州·期末）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，且，则 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若，则动点的轨迹经过的外心 D．若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为 【变式12-3】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为 . 题型十三 向量在物理中的应用 【例13】（21-22高一·湖南·课后作业）已知两个力（单位：N）与的夹角为60°，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动到点（单位：m）． (1)求； (2)求与的合力对质点所做的功． 【变式13-1】（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（    ）    A． B．18 C． D．12 【变式13-2】（22-23高一下·湖南长沙·期中）如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（21-22高一·湖南·课后作业）如图，两根绳子把物体W吊在水平杆子AB上．已知物体W的重力G大小为10N，，，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）． 题型十四 解三角形与平面向量交汇问题 【例14】（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，D为BC的中点，的面积为，求AD的长． 【变式14-1】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中，，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（23-24高一下·湖南株洲·期末）在中，设角，，的对边分别为，，.已知向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$