黄金卷02（福建专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C A B B D A B B 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 11．/ 12．/58度 13．/40度 14．16 15．1 16． 3、 解答题：（本大题共9题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，第25题14分，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17． 【详解】解：原式． 18． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 则是分式方程的解． 19． 【详解】（1）解：如图，点即为所求．    （2）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ． 20． 【详解】解： ， ∵当和 时，会使分式分母，原式没有意义， 当时，会使原式的除式，原式无意义， ∴从中选取一个整数，只能选，则原式． 21． 【详解】（1）解：∵九年级得8分的人数14人，人数最多， ∴； 把八年级竞赛成绩按照从低到高的顺序排列处在第25名和第26名的成绩分别为8分，8分， ∴； 八年级平均成绩, 故答案为：8；8；8。 （2）解：人， ∴估计满分有228人； （3）解：， ∵， ∴九年级成绩更稳定。 22． 【详解】（1）解：过点G作垂直的延长线于点M， ∵， ∴， ∵点G到地面的垂直距离为，则，， ∴， 在中，，， ∴， 答：的长为； （2）解：过点H作，过点A作，，分别垂直于，垂足分别为M，N，O，过作于，则四边形和都是矩形， ∴，, 由（1）可知， ∵，， ∴，， 在中， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 答：午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为． 23． 【详解】（）证明：连接， ∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （）解：连接， ∵是的中点， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长； ②∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 由（）①可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设的内切圆半径为， 则， 即， 解得， 即点到的距离为． 24． 【详解】（1）解：， ∴顶点为， ∴伴随抛物线的顶点为， ∴伴随抛物线的解析式为； （2）证明：∵， ∴顶点， ∴它的伴随抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点在图象上， 当时，， ∴点在图象上， ∴这两个函数图像的交点为，； 解：由可知：，，，， 设， ∵轴交的图像于点， ∴， ∴， ∵点在，之间， ∴， 当时，值最大，最大值为． 25． 【详解】（1）解：∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1， ∴；， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 故①②正确； 根据正方形的性质，得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 根据勾股定理得到， 故， 故④正确． 故答案为：①②③④． （2）解：连接，延长交于点G， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点， ∴；，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． （3）解：当点E在上时， 过点B作，交的延长线于点M，连接 ∵， ∴；， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时， 过点B作，交的延长线于点N，连接 ∵，， ∴；， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故的长度为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列四个实数中，是无理数的是（    ） A． B．3.14 C． D． 2．已知三角形的两边长分别为5，9，则第三边长可以是（   ） A．15 B．14 C．4 D．5 3．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达亿个模型参数，数据亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．如图是一把做工精湛的紫砂壶，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 7．如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为k，则使一元二次方程有实数根的概率是（   ） A． B．1 C． D． 8．如图，和关于直线对称，下列结论中，正确的有（   ） ①；②；③直线垂直平分；④直线平分． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 9．如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C．与轴另一交点坐标为 D． 10．如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑移动的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 11．不等式组的解集为 ． 12．如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为 ． 13．如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为 ． 14．如图，将折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为．已知，则四边形的周长为 ． 15．如图，以点为圆心，半径为2的圆与的图象交于点，若，则的值为 ． 16．周末小明过生日，家里来了些亲朋好友，需要将生日蛋糕（如图，蛋糕的截面是正六边形）切成完全相同的8块，他先沿着线段切了第一刀，接着沿线段切了第二刀，……已知他一共切了五刀，那么 ． 3、 解答题：（本大题共9题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，第25题14分，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 18．解分式方程： 19．如图，已知：在正方形中，M是边的中点，连接．    (1)请用尺规作图，在线段上求作一点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 20．先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 21．为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 b c 九年级竞赛成绩 a 8 8 m 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：表中的________，________，________； (2)该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ (3)求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差m，并比较八、九年级那个年级成绩更稳定？ 22．如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图（1）是上课期间椅子摆放样式，已知座面宽，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．图（2）是水平摆放时的形状，脚垫长，，． （结果保留1位小数，参考数据：，，，） (1)求背垫的长； (2)如图（2），求午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离． 23．追本溯源：题（）来自课本中的习题，请你完成解答，并用（）中得到的结论完成题（）． （）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．求证：． 结论应用 （）如图，外接圆的圆心是的中点，． ①求的长； ②若，求点到的距离． 24．定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． (1)的伴随函数的表达式为 ； (2)若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 25．【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是______（填序号即可）： ①； ②； ③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出的长度． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列四个实数中，是无理数的是（    ） A． B．3.14 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键． 根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答． 【详解】解：，3.14，都是有理数，开方开不尽是无理数， 故选：D． 2．已知三角形的两边长分别为5，9，则第三边长可以是（   ） A．15 B．14 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，根据三边关系可得第三边的取值范围，再进一步选择即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得： 第三边大于：，小于：， 则此三角形的第三边可能是：5． 故选：D． 3．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达亿个模型参数，数据亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：C． 4．如图是一把做工精湛的紫砂壶，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图． 【详解】解：根据视图的定义，选项A中的图形符合题意， 故选：A． 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式，逐项计算各选项整式的值，再判断即可，解题关键是掌握幂的运算法则． 【详解】A、，故原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，故原计算错误，不符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意； 故选：B． 6．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是找到题目中的相等关系，本题的相等关系是今年月份售价万元连续两次降价后的价格是万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则4月份的售价为万元，5月份的销售额为万元，据此列出方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是， 由题意得，， 故选：B． 7．如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为k，则使一元二次方程有实数根的概率是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、根据概率公式求概率，由一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式得出且，从而得出的取值可以是3，，最后再由概率公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ，， 解得：，且， 的取值可以是3，， 使一元二次方程有实数根的概率， 故选：D． 8．如图，和关于直线对称，下列结论中，正确的有（   ） ①；②；③直线垂直平分；④直线平分． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查成轴对称，根据成轴对称的两个图形全等，对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点所连线段，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，，直线垂直平分，， ∴直线平分， 综上，正确的有①②③； 故选A． 9．如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C．与轴另一交点坐标为 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向判断A，根据对称轴判断B，根据抛物线的对称性判断C，将代入解析式判断D． 【详解】解：抛物线开口向下， ，故A选项结论正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ，故B选项结论错误； 抛物线的对称轴为直线，与轴一交点坐标为 该抛物线与轴另一交点坐标的横坐标为， 该抛物线与轴另一交点坐标为，故C选项结论正确； 将代入，得，故D选项结论正确； 故选B． 10．如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑移动的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形的应用；设中午和下午某时刻光线与地板的交点分别为，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，设中午和下午某时刻光线与地板的交点分别为，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，则， ∵， ∴， 根据对称性可得， ∴ 故选：B． 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 11．不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 12．如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为 ． 【答案】/58度 【分析】本题主要考查运用垂径定理求值，连接交于点F，则由垂径定理得，由得，再根据直角三角形两锐角互余可求值． 【详解】解：连接交于点F，如图， ∵点A为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， 故答案为：． 13．如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理，根据题意可知，根据平行线的性质得出，根据矩形的性质得出，根据三角形内角和求出求出结果即可． 【详解】解：延长交于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，将折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为．已知，则四边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 15．如图，以点为圆心，半径为2的圆与的图象交于点，若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】分别过A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用对称性，可得∠AOM=∠BON=15°．再作点B关于x轴的对称点C，连接BC，OC，作BD⊥OC于点D，根据S△OBN=S△OBC得出△OBN的面积，从而可求出k的值． 【详解】解：分别过A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N， 由圆、反比例函数图象的对称性可知，图形关于一、三象限角平分线对称，即关于直线y=x对称，可得△AOM≌△BON， ∴∠AOM=∠BON=×（90°-60°）=15°． 作点B关于x轴的对称点C，连接BC，OC，作BD⊥OC于点D， 则∠BOC=2∠BON=30°，OB=OC=2， ∴BD=OB=1， ∴S△OBN=S△OBC=×OC×BD=1， ∴k=S△OBN=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，圆与反比例函数的对称性，含30°的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键． 16．周末小明过生日，家里来了些亲朋好友，需要将生日蛋糕（如图，蛋糕的截面是正六边形）切成完全相同的8块，他先沿着线段切了第一刀，接着沿线段切了第二刀，……已知他一共切了五刀，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，先根据题意画出剩下的三刀，设，则，过点B作，则由题意可得四边形是矩形，得到，则，再求出，得到，，据此求出，则可得答案. 【详解】解：如图所示，线段为剩下的三道，把正六边形分成8个完全相同的梯形， 设，则， 过点B作，则由题意可得四边形是矩形， ∴， ∴， 由正六边形内角和定理可得， ∴由对称性可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：。 3、 解答题：（本大题共9题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，第25题14分，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、零指数幂、平方根等知识．把握运算顺序和正确的计算是解决本题的关键． 根据零指数幂、平方根、绝对值的性质分别化简，再作加减法． 【详解】解：原式． 18．解分式方程： 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 则是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 19．如图，已知：在正方形中，M是边的中点，连接．    (1)请用尺规作图，在线段上求作一点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查作图相似变换，正方形的性质，勾股定理的应用以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）过点作于，点即为所求； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求．    （2）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ． 20．先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简和分式的性质是解题的关键． 利用完全平方公式和平方差公式整理原式，约分化简，再根据分式有意义的条件，取代入求值即可． 【详解】解： ， ∵当和 时，会使分式分母，原式没有意义， 当时，会使原式的除式，原式无意义， ∴从中选取一个整数，只能选，则原式． 21．为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 b c 九年级竞赛成绩 a 8 8 m 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：表中的________，________，________； (2)该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ (3)求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差m，并比较八、九年级那个年级成绩更稳定？ 【答案】(1)8；8；8 (2)228人 (3)九年级成绩更稳定 【分析】（1）根据众数，中位数和平均数的意义求解即可； （2）用1900乘以满分人数所占的百分比，即可； （3）先求出方差，再根据方差越小成绩越稳定进行求解即可． 【详解】（1）解：∵九年级得8分的人数14人，人数最多， ∴； 把八年级竞赛成绩按照从低到高的顺序排列处在第25名和第26名的成绩分别为8分，8分， ∴； 八年级平均成绩, 故答案为：8；8；8。 （2）解：人， ∴估计满分有228人； （3）解：， ∵， ∴九年级成绩更稳定。 【点睛】本题主要考查了折线统计图，中位数、众数、方差，用样本估计总体，熟练掌握中位数、众数、方差的意义是解题的关键． 22．如图，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图（1）是上课期间椅子摆放样式，已知座面宽，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．图（2）是水平摆放时的形状，脚垫长，，． （结果保留1位小数，参考数据：，，，） (1)求背垫的长； (2)如图（2），求午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离． 【答案】(1)的长为 (2)午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）过点G作垂直的延长线于点M，先求出，再根据得到的长即可； （2）过点H作，过点A作，，分别垂直于，垂足分别为M，N，O，过作于，则四边形和都是矩形，由（1）可知，先求出，再分别在和中求出，再根据矩形的性质求即可． 【详解】（1）解：过点G作垂直的延长线于点M， ∵， ∴， ∵点G到地面的垂直距离为，则，， ∴， 在中，，， ∴， 答：的长为； （2）解：过点H作，过点A作，，分别垂直于，垂足分别为M，N，O，过作于，则四边形和都是矩形， ∴，, 由（1）可知， ∵，， ∴，， 在中， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 答：午休躺睡时课椅点G与点H之间的水平距离为． 23．追本溯源：题（）来自课本中的习题，请你完成解答，并用（）中得到的结论完成题（）． （）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．求证：． 结论应用 （）如图，外接圆的圆心是的中点，． ①求的长； ②若，求点到的距离． 【答案】（）证明见解析；（）①；② 【分析】（）连接，由内心可得，，进而可得，即可得，即可求证； （）①设外接圆的圆心为，半径为，连接，可得，进而根据（）得，得到为等腰直角三角形，即得，得到，再根据弧长公式计算即可；②可得为等边三角形，得到，，进而可得，得到，，再利用三角形面积求出设的内切圆半径即可求解． 【详解】（）证明：连接， ∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （）解：连接， ∵是的中点， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长； ②∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 由（）①可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设的内切圆半径为， 则， 即， 解得， 即点到的距离为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内心和外接圆，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 24．定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． (1)的伴随函数的表达式为 ； (2)若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 【答案】(1)； (2)详见解析；最大值为． 【分析】（）根据“伴随函数”的定义和二次函数的定义即可求解； （）由，则顶点，求出它的伴随抛物线解析式为，然后当时，，则点在图象上，当时，，从而求证； 设，则， 故有，然后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴顶点为， ∴伴随抛物线的顶点为， ∴伴随抛物线的解析式为； （2）证明：∵， ∴顶点， ∴它的伴随抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点在图象上， 当时，， ∴点在图象上， ∴这两个函数图像的交点为，； 解：由可知：，，，， 设， ∵轴交的图像于点， ∴， ∴， ∵点在，之间， ∴， 当时，值最大，最大值为． 25．【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是______（填序号即可）： ①； ②； ③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出的长度． 【答案】（1）①②③④   （2），见解析（3）或 【分析】（1）根据正方形的性质，先证明于是得到即可判定① ②正确；根据正方形的性质，得，利用全等三角形的性质，分割法表示面积，可判定四边形的面积总等于，得到③正确；根据正方形的性质，三角形全等的性质，得到，根据勾股定理得到，从而判定④正确． （2）连接，延长交于点G，先证明得到，再利用勾股定理，线段垂直平分线的性质，等量代换即可的结论； （3）仿照（2）的解题思路，分点E在上和的延长线上，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1， ∴；， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 故①②正确； 根据正方形的性质，得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 根据勾股定理得到， 故， 故④正确． 故答案为：①②③④． （2）解：连接，延长交于点G， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点， ∴；，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． （3）解：当点E在上时， 过点B作，交的延长线于点M，连接 ∵， ∴；， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时， 过点B作，交的延长线于点N，连接 ∵，， ∴；， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$