2025年九年级中考数学二轮专题复习（陕西）题型十六： 辅助圆问题

2025年九年级中考数学第二轮 专题复习（陕西） 题型十六 辅助圆问题 2025陕西数学 构造辅助圆 模型分析 定点定长：如图，线段AB长度为 定值，点A为定点，点B为动点. 结论：点B的运动轨迹是以点A为圆心，线段AB长为半径的圆. 温馨提示：当题中存在线段相等或题中涉及折叠与旋转时，可利用定点定长确定动点的轨迹. 模型一　定点定长(陕西2016.14) 例1　(人教九上习题改编)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为平面内一点，连接AD，BD，CD，已知AD＝AB. (1)请画出点D的运动轨迹； 【作法提示】由题意知AB＝AD＝AC， ∴点B，D，C三点共圆，∴点D在以点A为圆心，AB(或AC或AD)长为半径的☉A上. 解：(1)如解图， 点D的运动轨迹为☉A； 解图 (2)若∠CAD＝80°，则∠CBD的度数为　　　　°. 【思维引导】定点(圆心)是　　　，定长(半径)是__________________，画出点D的运动轨迹. 点A AB(或AC或AD) 【解法提示】由(1)可知点D在☉A上， ∵∠CAD＝80°，∴∠CBD＝∠CAD＝40°. 40 例2　如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝4，点E在DC边上运动，将△ADE沿AE翻折，点D的对应点为点F. (1)请在图中画出点E运动到DC边中点的过程中F的运动轨迹； 解：(1)如解图，劣弧即为点E运动到DC边中点的过程中的辅助圆； 解图 (2)在(1)的条件下，点F运动的路径长为　　　　. 【思维引导】定点(圆心)是　　　　 ，定长(半径)是________________. AD(或AC或AF) 点A 模型二　定边定角(陕西10年4考) 定边定角：如图，在△ABC中，BC边为定值，∠A＝α为定角. 解决思路：定边为圆内弦，定角为圆周角，找到动点所在圆轨迹是关键，结合点圆、线圆最值等方法求解. 模型分析 例3　 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为BC上方一点，且∠BDC＝60°. (1)请画出点D的运动轨迹； 解：(1)如解图，点D的运动轨迹为优弧(不与点B，C重合)； 解图 (2)△BCD面积的最大值为　　　　. 【思维引导】定弦是　　　　，定角是　　　　，找出圆心　　　　和半径____________，画出点D的运动轨迹. AB(或AC) BC A ∠BDC 27 例4　如图是边长为4的等边△ABC，F为直线AB右侧一点，且∠AFB＝90°. (1)请画出点F的运动轨迹； 解：(1)如解图，点F的运动轨迹为(不包含A，B两点)； 解图 (2)点F运动的路径长为　　　　. 【思维引导】定弦是　　　　，定角是　　　　，画出点F的运动轨迹. ∠AFB AB 2π 模型三　四点共圆(2024交大附中模拟) 模型分析 四点共圆：①如图①，点C，D在AB的同侧，且∠C＝∠D，则A，B，C，D四点共圆； ②如图②，点C，D在AB的异侧，且∠C＋∠D＝180°，则A，B，C，D四点共圆. 推广：①共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆； ②四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等. 例5　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是AB上方一点，且∠CDB＝∠BAC，连接AD，若要求sin ∠ADC的值. (1)请在图中画出解题所需辅助圆的草图； 解：(1)画出解题所需辅助圆如解图； 解图 (2)则sin ∠ADC＝　　　　. 【思维引导】点　　　　，　　　在BC同侧，且　　　　＝　　　　，找出四边形ACBD外接圆的圆心. ∠BAC ∠CDB D A 例6　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC边的中点，E，F分别为AB，AC边上的点，且∠EDF＝90°，连接EF. (1)请在图中画出解题所需辅助圆的草图； 解：(1)画出解题所需辅助圆如解图； 解图 (2)计算：∠DEF＝　　　　°. 【思维引导】点　　　　，　　　　在EF异侧，且　　　＋　　　　＝180°，找出四边形AEDF外接圆的圆心. ∠EDF ∠BAC D A 45 模型四　定角定中线[陕西2019.25(3)] 模型分析 定角定中线：如图①，在△ABC中，∠BAC＝α为定角，中线AD为定值. 解决思路：如图②，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，CE，则△ADC≌△EDB，即AE＝2AD为定值，∠EBA＝180°－∠BAC为定值，利用定边定角即可解决. 【作法提示】如解图，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，CE，∵D为BC边的中点， ∴BD＝DC，∴四边形ABEC是平行四边形， 例7　如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，D是BC边的中点，AD＝. (1)画出解题所需辅助圆的草图； ∴BE∥AC，AE＝2AD， ∴∠ABE＝180°－∠BAC＝135°， 当△ABC面积最大时， 即△ABE面积最大， 解图 作△ABE的外接圆☉O，连接OA，OE， 过圆心O作AE的平行线l， 过点B作BF⊥直线l于点F， 过点D作AE的垂线交直线l于点O， 交☉O于点B'，当点B位于点B'时， △ABC的面积取得最大值. 解：(1)画出解题所需辅助圆如解图； 解图 (2)△ABC面积的最大值为　　　　. 【思维引导】定角是　　　　，定中线是　　　　，将题目转化为定弦定角：延长AD至点E，使得　　　　，得到∠ABE＝　　　　°，再按照定弦定角的方法找出圆心和半径作圆即可. 135 DE＝AD AD ∠BAC 2－2 模型五　定角定高[陕西2023副题26(2)] 模型分析 定角定高：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC＝α为定角， AD＝h为定值. 解决思路：作△ABC的外接圆，根据圆周角定理将BC最值转化为外接圆半径最值. 例8　如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，过点A作AD⊥BC于点D， AD＝2. (1)画出解题所需辅助圆的草图； 【作法提示】作△ABC的外接圆☉O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝90°. ∵OB＝OC， ∴BC＝2BE. 设☉O的半径为r，∴BC＝2BE＝2×r＝r. ∴要求BC的最小值，即求半径r的最小值， ∵AO＋OE≥AD，∴r＋r≥AD. ∴当A，O，E三点共线时，r取得最小值， 即此时BC取得最小值，延长EO交☉O于点A'， 即当点A与点A'重合时，BC取得最小值. 解：(1)画出解题所需辅助圆如解图； 解图 (2)线段BC的最小值为　　　　. 【思维引导】定角是　　　　，定高是　　　　，画出当BC取最小值时点A的位置(用A'表示). AD ∠BAC 4－4 模型六　定角夹定角平分线(2024西工大附中模拟) 模型分析 定角夹定角平分线：如图①，△ABC中，∠BAC＝2α为定角，AD为∠BAC的平分线，且AD＝n. 解决思路：如图②，作DE⊥AB，DF⊥AC，得DE＝DF，△ADE≌△ADF；通过共顶点等邻边旋转，将△BDE旋转至△B'DF；∠B'DC＝2α为定角，DF为定值，△B'CD为定角定高三角形.利用定角夹定高模型即可解决. 例9　如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，AD＝4. (1)画出解题所需辅助圆的草图； 【作法提示】如解图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴△ADE≌△ADF， ∴S△ADE＝S△ADF，AE＝AF，∠EDF＝120°. ∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD＝30°，DE＝DF， ∠ADE＝∠ADF＝60°， 解图 将△BDE绕点D顺时针旋转至△B'DF，使DE与DF重合， ∴∠B'DC＝∠CDF＋∠B'DF＝ ∠CDF＋∠BDE＝180°－∠EDF＝60°， 作△CDB'的外接圆☉O，连接OC，OD，OB'， 过点O作OG⊥B'C于点G， 则OC＝OD＝OB'，∠B'OC＝2∠B'DC＝120°， ∠OCB'＝∠OB'C＝30°， 设OB'＝OC＝OD＝r， 则OG＝r，CG＝r，B'C＝2CG＝r， 解图 ∵OD＋OG≥DF，∴r＋r≥DF， ∴当G，O，D三点共线，且点G与点F重合时，B'C有最小值， ∵S△ABC＝S△ADE＋S△ADF＋S△BDE＋S△CDF＝2S△ADE＋S△B'DC， ∴当△B'DC的面积最小时，△ABC的面积有最小值. △ABC的面积取得最小值. 解：(1)画出解题所需辅助圆如解图； 解图 (2)△ABC的面积的最小值为　　　　. 【思维引导】定角是　　　　，定角平分线是　　　　，将题目转化为定角定高解题即可. AD ∠BAC 圆中最值问题 方法一　点圆最值(陕西10年5考) 方法解读 已知平面内一定点D和☉O，点E是☉O上一动点，设点O与点D之间距离为d，☉O半径为r. 位置关系 点D在☉O内 点D在☉O上 点D在☉O外 图示 DE的最大值 d＋r 2r d＋r 此时点E的位置 连接DO并延长交☉O于点E DE的最小值 r－d 0 d－r 此时点E的位置 连接OD并延长交☉O于点E 点E与点D重合 连接OD交☉O于点E 例1　 (人教八下例题改编)如图，在正方形ABCD中，BC＝4，点E为正方形内一点，且∠BEC＝90°，连接DE. (1)在图中画出点E的运动轨迹； 解：(1)如解图①，点E在以BC为直径的半圆上运动(不与点B，C重合)； 解图① (2)求DE的最小值. (2)∵BC＝4，∠BEC＝90°，(符合定边定角模型) ∴点E在以BC为直径的半圆上运动(不与点B，C重合)， 如解图②，以BC为直径做半圆O，根据“点圆最值”模型，连接DO交半圆于点E'，当点E位于点E'时，DE取得最小值. 解图② ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD＝4，CO＝BC＝2， ∴DO＝＝2， ∵E'O＝CO＝2， ∴DE'＝2－2， 即DE的最小值为2－2. 解图② 方法二　线圆最值(陕西10年3考) 方法解读 已知☉O及直线l，☉O的半径为r，点Q为☉O上一动点，圆心O与直线l之间的距离为d. 位置关系 直线与☉O相离 直线与☉O相切 直线与☉O相交 图示 点Q到直线l 距离的最大值 d＋r 2r d＋r 此时点Q的位置 过点O作直线l的垂线，其反向延长线与☉O的交点，即为点Q 点Q到直线l 距离的最小值 d－r 0 0 此时点Q的位置 过点O作直线l的垂线，与☉O的交点即为点Q 直线l与☉O的交点即为点Q 例2　(北师八下例题改编)如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD交于点O，点M，N分别是BD，AC上的动点，且MN＝2，点P是MN的中点，若AC＝6，BD＝8. (1)在图中画出点P的运动轨迹； 【作法提示】如解图①，连接OP， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∵在Rt△MON中，MN＝2，P为MN的中点， ∴OP＝1.∴根据“定点定长”模型， 点P在以点O为圆心，OP长为半径的圆上. 解图① 解：(1)如解图①，点P的运动轨迹为☉O； (2)求点P到AB距离的最小值. (2)如解图②，连接OP，以点O为圆心， OP长为半径作☉O，过点O作OQ'⊥AB于点Q'，交☉O于点P'，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接OQ. ∵OP＋PQ≥OQ≥OQ'＝OP'＋P'Q'， 且OP＝OP'， ∴PQ≥P'Q'， 当点P与点P'重合 时取等号， 解图② ∵AC＝6，BD＝8， ∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝4， ∴由勾股定理得，AB＝＝5. ∵S△ABO＝AB·OQ'＝AO·OB， ∴OQ'＝， ∴P'Q'＝OQ'－OP'＝， ∴点P到AB距离的最小值是. 解图② 方法三　最大张角[陕西2015.25(2)] 方法解读 条件 如图，两定点A，B在∠C的一条边CN上，另有一动点P在这个角的另一边CM上，点P在何处时，∠APB最大？ 图示 解题 思路 如图，过A，B两点作☉O和CM相切于点P'，当△ABP的外接圆与边CM相切时，∠APB最大.(简证：点P是CM上一动点，连接AP，BP，AP交☉O于点Q，则∠APB≤∠AQB＝∠AP'B) 例3　(人教九上习题改编)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，M是CD的中点，P是BC上一个动点. (1)当∠DPM的度数最大时，画出点P的位置(用P'表示)； 【作法提示】作DM的垂直平分线交CD于点Q，在DM的垂直平分线上取点O，使得OD＝QC，连接DO，MO， 以点O为圆心，OD长为半径作☉O， ☉O与BC相切于点P'，连接DP'，MP'， 设DP与☉O交于点H， 则∠DHM＝∠DP'M， ∵∠DHM＝∠DPM＋∠PMH， ∴∠DPM≤∠DHM＝∠DP'M， ∴当点P与点P'重合，即☉O与BC相切时，∠DPM的度数最大. 解：(1)如解图，点P'即为所求； 解图 (2)在(1)的条件下，求BP的长. (2)BP的长为12－3. 综合训练 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC，BD，若AB＝AC＝ AD＝2，CD＝1，则BD的长为　　　　. 2. 如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，O分别在边AB，BC上，AE＝OB＝2，对角线AC＝14，点P为对角线AC上一动点，点Q为☉O上一动 点，☉O半径为1.若EP＋PQ＝7，则AP＝　　　　. 3. (2024烟台)如图，在▱ABCD 中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10.E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF 沿EF翻折得△D'EF， 连接AD'，BD'.则△ABD'面积的最小值为 ______________. 20－16　 4. 如图，四边形ABCD为菱形，AB＝6，∠A＝60°，E为DC边的中点，BC边上有一动点P，连接PE，PD，当∠DPE最大时，点P到DC的距离 为　　　　. 5. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，D是BC边的中点，且AD＝6，则BC的最小值为　　　　. 12 6. (2024西工大附中模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，M是直线CD上的一个动点，以CM为直径作半圆O，连接BM与半圆O交于点F，E为AB的中点，连接EF，ED，DF，则S△FED的最小值为　　. 4 7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， AD＝6，则△ABC面积最小值为　　　　. 36 8.如图，在等边△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接CD与BE交于点P，连接AP，已知∠CBE＝∠ACD，AB＝2，则AP 的最小值为　　　　. 9. 如图，四边形ABCD为某运动场馆外的广场草坪设计示意图.在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AD与BC之间的距离为12米，且∠A＋∠D＝240°.已知种植草坪的成本为每平方米20元.为了节省费用，四边形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，求出此时四边形ABCD面积的最小值，并预估此种情况下种植草坪的成本；若不存在，请说明理由. 解：存在. 如解图，过点D作DE∥AB交BC 于点E，作△DEC的外接圆☉O， 过点O作OH⊥EC，垂足为H， 过点D作DF⊥EC，垂足为F， 连接OD，DH，OE，设☉O半径为R， 解图 ∴∠A＋∠ADE＝180°. ∵∠A＋∠ADC＝240°， ∴∠EDC＝240°－180°＝60°. ∵OD＋OH≥DH， ∴OD＋OH≥DF. ∵∠EDC＝60°，OH⊥EC， ∴∠EOH＝60°， ∴R＋Rcos 60°≥12， ∴R≥，即R≥8. 解图 ∵EC＝2EH＝2OE·sin∠EOH＝2OE·sin 60°＝R， ∴当D，O，H三点共线且点F与点H重合时，EC最小， 此时R＝8，EC＝8. ∵AD∥BE，AB∥DE， ∴四边形ABED为平行四边形， ∴S四边形ABCD＝S平行四边形ABED＋S△DEC. ∵AD＝BC， ∴AD＝EC＝4， 解图 ∴四边形ABCD面积的最小值为4×12＋×8×12＝96(平方米)， ∴96×20＝1 920(元). 答：四边形ABCD面积的最小值为96平方米，种植草坪的成本为1 920元. 解图 $$