2025年九年级中考数学二轮专题复习（陕西）题型十四： 利用旋转解决面积问题 利用线段间数量关系解决面积问题

2025年九年级中考数学第二轮 专题复习（陕西） 题型十四 （一）利用旋转解决面积问题 （二）利用线段间数量关系解决面积问题 2025陕西数学 （一）利用旋转解决面积问题 2025陕西数学 分类探究 满分技法 借助旋转转化面积 情形1：如图，已知AB＝AC，P是平面内一点. 结论： ①在图①中，S四边形ABPC＝S△APP'；②在图②中，要求AP的最大值，即求PP'的最大值，利用三角形三边关系，当P，C，P'三点共线时，PP'取得最大值. 【温馨提示】出现相邻等线段的情况：①等腰三角形本身两腰相等；②角平分线上的点向角两边引出的垂线段相等；③角平分线与角一边平行的直线共存的情况下出现等线段. 情形2：探究共顶点等邻线段时，若探究两个图形的面积或两条线段，则通过旋转，将两个图形进行合并. 例1　如图，四边形ABCD被对角线AC分为Rt△ABC和等腰Rt△ADC，其中∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线BD的长为4，则四边形ABCD的面积为　　　　. 8 例2　如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B与∠D互补，BC＝2CD＝20，点A到BC边的距离为17，则四边形ABCD的面积为　　　　 . 255 例3　如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠B＝75°，∠D＝60°，AB＝4，BC＝2，则四边形ABCD的面积为　　　　. 10－4 例4　如图，在四边形ABCD中，BC＝5，∠B＋∠C＝60°，E为BC上一点，且△ADE为等边三角形，若BE＝2，则图中阴影部分面积的和 为　　　　. 综合训练 1. 如图，在四边形 ABCD中，AB＝4，BC＝3，AD＝CD，∠ABC＝ 30°，∠ADC＝60°，连接BD，则四边形ABCD的面积为　　　　. －6　 2. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝135°，AD＝CD，连接BD. 若AB＝4，BC＝2，连接AC，则△ACD的面积为______. 3.如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，以CD为边在CD右侧作Rt△DCE，且∠CED＝90°，连接OE，OE＝3，若CE·DE＝6，则正方形ABCD的面积为　　　　. 24 4.如图，某游乐园打算在一个圆形的空地区域，修建一个四边形ABDC的活动区，其中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝12 m.对角线AD，BC交于点P，过点P作PE⊥CD于点E，PF⊥BD于点F，阴影部分为自由散步区，剩余的部分为跑步区，设阴影部分的面积为y(m2)，BP的长为x(m). (1)求y与x之间的函数关系式； 解：(1)如图，在DE上取一点G，使得EG＝BF，过点G作GH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，连接PG， G ∟ H ∟ M ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠BDP＝∠ADC ，∠ABC＝30°，BM＝BC＝×12＝6， 在Rt△ABM中，AM＝BM·tan 30°＝6×＝2， ∴S△ABC＝BC·AM＝×12×2＝12， 又∵PF⊥BD，PE⊥CD， ∴PF＝PE， 在△BPF和△GPE中， G ∟ H ∟ M ∴ △BPF≌△GPE(SAS)， ∴ BP＝GP，∠BPF＝∠GPE， G ∟ H ∟ M ∵∠BAC＝120°， ∴∠BDC＝60°， ∴∠FPE＝360°－∠BDC－∠DFP－∠DEP＝120°， ∴∠BPF＋∠EPC＝60°， ∴∠GPE ＋∠EPC＝60°， ∴∠GPC＝60°， G ∟ H ∟ M ∵BP＝x，则CP＝12－x， 在Rt△PGH中，HG＝PG·sin 60°＝x， ∴S△PGC＝CP·HG＝×(12－x)×x＝ －x2＋3x， ∴ S阴影＝S△ABC＋S△PBF＋S△CPE＝S△ABC＋S△PGE＋S△CPE＝S△ABC＋S△PGC＝12＋(－x2＋3x)＝－x2＋3x＋12， ∴y＝－x2＋3x＋12； G ∟ H ∟ M (2)经论证考察，BP＝CP时，设计最为合理，求此时阴影部分的面积. (2)当BP＝CP时，BP＝x＝6， ∴S阴影＝－×62＋3×6＋12＝21. （二）利用线段间数量关系解决 面积问题 2025陕西数学 分类探究 满分技法 利用线段关系得面积关系 情形1：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC. 结论：＝＝. 情形2：如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD上一点. 结论：＝，＝，＝. 例1　 (人教八上复习题改编)如图，△ABC中，BM∶CM＝2∶3，已知△ABM的面积为4，则△ABC的面积为　　　　. 10 例2　 如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则△ABE的面积与△ABC的面积之比为　　　　. 例3　如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则＝　　　　. 综合训练 1. 如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点.记△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝24，则S△ADF－S△BEF＝　　　　 . 4 2. 如图，在▱ABCD中，作BC的垂直平分线，交BC于点E，交AD于点F，连接BF，CF，tan∠CFD＝，CF＝5，AF＝1，则△CDF和四边形ABCF的面积之比为　　　　. 5∶7 3. 如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E，F在AD边上，G，H分别是AB，CD的中点，GF和EH交于点M，若EF＝AD，则图中阴影部分的面 积为　　　　. 4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC于点E，若菱形ABCD的周长为20，AO＝4，则＝　　　　. 5. 如图，王大伯现有一块平行四边形菜地ABCD，经测量，AB＝20 m，BC＝60 m，∠ABC＝60°.为增加种植面积，王大伯计划将该菜地进行扩建为四边形EBCD，其中点E在BA的延长线上，且AE＝2AB，为了更容易地采摘，王大伯在扩建后的菜地上修建一条小路BF，其中点F在DE边上，且EF＝2DF，BF交AD于点G，并在四边形AGFE区域内种植辣椒，求辣椒的种植面积. 解：如图，过点A作AH⊥BC于点H， 连接EG，BD， ∟ H ∵AE＝2AB，EF＝2DF， ∟ H ∴S△ADE＝S△BDE，S△BEF＝S△BDE， S△AGE＝2S△ABG，S△EFG＝2S△DFG， ∴S△ADE＝S△BEF， ∴S△ABG＝S△DFG， 设S△ABG＝x，则S△DFG＝x， ∴S△AEG＝2x，S△EFG＝2x， ∴S△BEG＝3x，S四边形AEFG＝4x. ∵＝＝2， ∴S△BDG＝x. ∟ H ∵∠ABC＝60°，AB＝20， ∴AH＝AB＝10， ∴S▱ABCD＝BC·AH＝600， ∴S△ABG＋S△BDG＝x＝＝300， ∴x＝120， ∴S四边形AEFG＝4x＝480， ∴辣椒的种植面积为480 m2. ∟ H $$