2025年九年级中考数学二轮专题复习（陕西）题型十三：二 胡不归与阿氏圆 利用函数关系解决面积最值问题

2025年九年级中考数学第二轮 专题复习（陕西） 题型十三 （一）胡不归与阿氏圆 （二）利用函数关系解决面积最值问题 2025陕西数学 （一）胡不归与阿氏圆 2025陕西数学 认识模型 模型一　胡不归问题(2024西工大附中模拟) 模型分析 胡不归问题：构造直角三角形，利用“垂线段最短”求解. 具体步骤： 一找：找带有系数k的线段PB； 二构造：构造以线段PB为斜边的直角三角形： ①以定点B为顶点作∠NBP，使sin∠NBP＝k； ②过动点P作BN的垂线，构造Rt△BPE； 三转化：化折为直，将kPB转化为PE； 四求解：使得PA＋kPB＝PA＋PE，利用“垂线段最短”转化为求AF的长. 例1　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D.若P是线段AD上的一个动点，连接CP，则 CP＋ AP的最小值为　　　　. 2 例2　如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝8，P为边CD上一动点，连接PB，则PB＋PD的最小值为　　　　. 4 模型二　阿氏圆问题(2024铁一中模拟) 模型分析 阿氏圆问题：构造相似三角形，利用“两点之间线段最短”求解. 具体步骤： 一找：找带有系数k的线段PB； 二构造：在线段OB上取一点C，构造△PCO∽△BPO： ①在线段OB上截取OC，使OC＝k·r； ②连接PC，OP，证明△PCO∽△BPO； 三转化：通过相似三角形的对应边成比例，将kPB转化为PC； 四求解：使得PA＋kPB＝PA＋PC，利用“两点之间线段最短”转化为求AC的长. 例3　如图，在正方形ABCD中，AB＝4，☉C的半径为2，P为☉C上一点，连接BP，DP，则BP＋DP的最小值为　　　　. 例4　如图，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝5，以点C为圆心，半径为3的圆上有一动点P，连接PA，PB，则PA＋PB的最小值为　　　　. 应用模型 1.如图，在正方形ABCD中，AB＝4.M为对角线AC上一点，且CM＝，N是对角线BD上的一个动点，连接MN，则MN＋NB的最小值是 　　　　. 3 2. 如图，在边长为3的等边三角形ABC中，以点C为圆心，半径为1的圆上有一动点P，连接AP，BP，则PA＋PB的最小值为　　　　. 3. 如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上的一个动点，连接DE，若BD＝4，则BE＋2DE的最小值为　　　　____________. 4 4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，半径为6的圆上有一个动点D.连接AD，BD，则2AD＋3BD的最小值是　　　　. 12 5. 如图，☉O是等边△ABC的外接圆，其半径为4.过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点(点P不与B，E重合)，连接CP，则CP＋BP的最小值为　　　　. 6 6.如图，四边形ABCD是一块荒滩地，计划在这块荒滩地种植油菜花.已知AB＝2千米，BC＝千米，∠B＝150°，现准备在四边形ABCD内部建造游客中心P，使AP＝1千米，从C，B分别向P修建观光小路CP，BP，若修建观光小路CP每千米需投资2万元，修建观光小路BP每千米需投资1万元，设修建观光小路的总投资为W(万元).请问，是否存在点P使得总投资最少？若存在，请求出W的最小值；若不存在，请说明理由. 解：存在. 如解图，以点A为圆心，AP长为半径作圆交AD于点E，交AB于点F，P为上一点，连接AP，PB，PC，在AB上截取AM＝AP，连接MC，PM，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G， ∵＝＝，∠PAM＝∠BAP， ∴△PAM∽△BAP， ∴＝＝， ∴PB＝2PM， 解图 ∵修建观光小路CP和BP的总投资为 W＝2CP＋BP＝2PC＋2PM＝2(PC＋PM)， ∴当M，P，C三点共线时，W取得最小值， 设MC与☉A相交于点P'，则当游客中心建在点P'处时，W取得最小值，最小值为2MC， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBG＝30°， ∵BC＝，CG⊥AB， ∴CG＝BC＝，BG＝CG＝， 解图 ∴MG＝AB－AM＋BG＝2－＋＝3， ∴在Rt△CMG中，MC＝＝＝， ∴W的最小值为2MC＝万元. 解图 （二）利用函数关系解决面积最值问题 2025陕西数学 分类探究 满分技法 利用函数表示与动点有关的几何图形面积及其最值问题的一般解题步骤： ①引入自变量(与动点有关)； ②综合运用勾股定理、全等三角形、相似三角形、直角三角形的边角关系等知识寻找等量关系，用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量(如图形的边长、某一边的高)； ③根据几何图形性质，利用面积计算公式，通过函数表示这个面积； ④根据函数关系式及自变量的取值范围求出其最值. 若遇到不规则几何图形，则通过割补法将不规则几何图形转化为规则的几何图形，常见的图形如下： 例1　(北师九下议一议改编)已知在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°.矩形DEFG的边EF在BC边上，顶点D，G分别在AB，AC边上.设EF＝x，矩形DEFG的面积为y. (1)求y与x之间的函数关系式； 解：(1)如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DG于点M， ∟ H M 在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3， ∴BC＝5， ∴AH＝＝. ∵四边形DEFG为矩形， ∴DG∥BC，DG＝EF＝x，DE＝MH， ∴△ADG∽△ABC， ∴＝，即＝， ∴AM＝ x， ∴DE＝－ x， ∴y＝DE·EF＝(－x)·x＝－ x2＋ x； ∟ H M (2)求矩形DEFG面积的最大值. (2)∵y＝－x2＋x＝ －(x－)2＋3，－＜0， ∴当x＝时，y有最大值，最大值为3， ∴矩形DEFG面积的最大值为3. 例2如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝CD＝2，点P，Q分别是AB，BC上一点，且保持BP＝CQ，求五边形APQCD面积的最小值. 解：如图，延长BA，CD交于点E，过点P作PF⊥BC于点F， E ∟ F ∵∠B＝60°，∠C＝90°，BC＝CD＝2， ∴CE＝2，DE＝2－2， ∴AD＝DE＝－1， AE＝AD＝3－. ∴S△ADE＝AD·AE＝×(－1)×(3－)＝2－3， 设BP＝CQ＝x， 则BQ＝2－x， ∴BF＝BP＝x， PF＝x， ∴S△BPQ＝BQ·PF＝(2－x)·x＝－x2＋x. E ∟ F ∴S五边形APQCD＝S△BCE－S△ADE－S△BPQ＝×2×2－(2－3)－(－x2＋x)＝x2－x＋3＝(x－1)2＋3－， ∴当x＝1时，五边形APQCD面积的最小值为3－. E ∟ F 综合训练 1. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，连接AC，∠ABC＝120°，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD上的点，且四边形EFGH为矩形，设BE＝x，矩形EFGH的面积为y.则y与x之间的函数关系式为 _____________________. y＝－x2＋2x 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AC为对角线，点E，F，G分别为AD，AC，CD上的点.若AE＝EF，∠DEF＋∠DGF＝180°，则四边形DEFG面积的最大值为　　　　. 12 3.如图，四边形ABCD是某社区计划开发的一片空地，其中AB＝30 m，AD＝16 m，AD∥BC，∠A＝120°，∠C＝90°，物业准备在该空地上修建一个四边形花园CDEF，其中点E，F分别在AB，BC上，且EF＝BF，为满足社区居民的幸福感，想让该花园的面积尽可能大.请问，是否存在符合设计要求面积最大的四边形？若存在，求四边形花园CDEF面积的最大值及此时点C到点F的距离；若不存在，请说明理由(结果保留根号). 解：存在. 设BE的长度为x m，四边形花园CDEF的面积为y m2. 如图，过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EH⊥AD，交DA的延长线于点H， ∟ G H ∵AD∥BC，∠BAD＝120°， ∴∠B＝60°， ∴AG＝AB＝15，BG＝AB＝15， ∴BC＝BG＋GC＝BG＋AD＝31. ∟ ∵EF＝BF，∠B＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∵BE＝x，则AE＝30－x， BF＝x， CF＝31－x， ∟ G H ∵∠BAD＝120°， ∴∠EAH＝60°， ∴EH＝AE＝15－x， ∟ ∴S四边形CDEF＝S四边形ABCD－S△ADE－S△BEF＝×(16＋31)×15－×16×(15－x)－x·x＝－x2＋4x－120＝－(x－8)2＋， ∟ G ∵－＜0， ∴当x＝8时，四边形CDEF的面积有最大值， 最大值为. ∟ H 此时CF＝31－8＝23， ∴四边形花园CDEF面积的最大值为 m2，点C到点F的距离为23 m. ∟ G ∟ H $$