2025年九年级中考数学二轮专题复习（陕西）题型十二：利用对称求最值

2025年九年级中考数学第二轮 专题复习（陕西） 题型十二 利用对称求最值 2025陕西数学 分类探究 满分技法 从设问出发：观察这n条线段的关系； ①观察所求线段和特点： 起点：定点； 终点：定点； ②解题方法：两点之间线段最短； ③作对称：n条动线段求和要作(n－1)次对称；优先考虑作定点的对称； ④作哪条直线的对称：作动点所在直线的对称； ⑤作平移：如果线段和中有定长线段，则需要作一次平移. 探究一　利用“两点之间线段最短”求最值(陕西10年4考) 一、线段和最值 例1　如图，已知点A，点B，请画出两点之间的最短距离. 解：如图，连接AB，此时AB最短. 例2　(人教八上问题改编)如图，已知定点A，B和直线l上一动点P.当点A，B在直线l同侧时，请画出AP＋BP的值最小时点P的位置. 解：如图，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l交于点P，此时AP＋BP最小. B' P 例3　(北师八下复习题改编)如图，已知定点A，B在直线l同侧，动点P，Q在直线l上，且PQ长为定值(PQ的位置不定)，请画出当AP＋PQ＋BQ的值最小时PQ的位置. 例3　解：如图，平移AP，使点P与点Q重合，点A的对应点为A'，作点A'关于直线l的对称点A″，连接A″Q，当A″，Q，B三点共线时，此时AP＋PQ＋BQ最小. A' A″ 例4　如图，已知定点A，B位于直线m，n两侧，且m∥n，动点P，Q分别在直线m，n上，且PQ⊥m，请画出当AP＋PQ＋BQ的值最小时PQ的位置. 例4　解：如图，将点A向下平移至点A'，使AA'＝PQ，连接A'B交直线n于点Q，过点Q作QP⊥m于点P，此时AP＋QB的值最小，即AP＋PQ＋QB的值最小. A' 例5　如图，点P是∠AOB内部一定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，请画出当PM＋PN＋MN的值最小时点M，N的位置. 例5　解：如图，分别作点P关于OA，OB的对称点P'，P″，连接P'P″，分别交OA，OB于点M，N，此时PM＋PN＋MN最小. P' P″ 拓展探究 问题：点P，Q是∠AOB内部的两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM的周长最小. 解决： 【温馨提示】求线段差最值时，两定点(或定点与定点的对称点)要在动点所在直线的同侧；求线段和最值时，两定点(或定点与定点的对称点)要在动点所在直线的异侧. 二、线段差最值 例6　如图，已知定点A，B和直线l上一动点P，当点A，B在直线l异侧时，请画出｜AP－BP｜的值最大时点P的位置. 例6　解：如图，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，根据两边之差小于第三边可得，此时｜AP－BP｜的值最大. B' P 探究二　利用“垂线段最短”求最值[陕西2023.26(1)] 满分技法 从设问出发：观察这n条线段的关系； ①观察所求线段和特点： 起点：定点； 终点：动点； ②解题方法：垂线段最短； ③作对称：n条动线段求和要作(n－1)次对称；优先考虑作定点的对称； ④作哪条直线的对称：作非起点和终点的其他动点所在的直线. 例7　(北师七下习题改编)如图，已知点B是直线l上一动点，点A是直线外一定点，请画出当AB最小时点B的位置. 例7　解：如图，过点A作直线l的垂线，垂足为B，此时AB的值最小. ∟ B 例8　如图，点P是∠BAC内一定点，点M，N分别是AC，AB上的动点，请画出当PM＋MN的值最小时点M，N的位置. 例8　解：如图，作点P关于AC的对称点P'，过点P'作AB的垂线，分别交AC，AB于点M，N，此时PM＋MN的值最小. P' ∟ M N 满分技法 若所求线段的端点都是动点(三动点)，则可将其中一个动点视为定点，通过作该点关于另外两点所在直线的对称点，利用“两点之间线段最短”确定另外两点的位置，再结合“垂线段最短”确定该动点的位置. 例9　如图，在锐角△ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC上的动点，请画出当△DEF的周长取得最小值时，点D，E，F的位置. 例9　解：如解图，分别作点D关于AC，BC的对称点D'，D″，连接D'D″，分别交AC，BC于点E1，F1，当CD最小，即CD⊥AB时，△DEF的周长最小. 解图 综合训练 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AB边上一点(异于A，B两点)，过点P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N， 连接MN，则MN的最小值是　　　　. 2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，A为x轴正半轴上一点，∠AOC＝60°，OA＝4，D为AB边的中点，P为对角线OB上一点，连接PC，PD，当｜PC－PD｜＝2时，则点P的坐标为　　　　. (6，2) 3. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝，D，E，F分别为AC，AB，BC上的点，连接DE，DF，则DE＋DF的最小值为　　　　. 1 4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点O是对角线AC上一点，过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接EC，AF，则EC＋AF的最小值为　　　　. 10 5. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，点D，E分别是AC，AB上的动点，且CD＝AE，连接DE.点F是DE的中点，连接AF，则AF的最小值为　　　　. 6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，O为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP＝2，点Q在BC边上，连接PQ，OQ，则PQ－OQ的最大值为　　　　. 7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F是AD边上的动点(不与点A，D重合)，且EF＝2，连接BE，CF，则BE＋CF的最小值为 　　　　. 6 8. 如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，连接DE，BF，则DE＋BF的最小值为　　　　___________. 9. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F在对角线AC上，且EF＝，连接DE，BF，则DE＋BF的最小值为　　　　. 10. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别为BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF，当△AEF的周长最小时，∠AEF＋∠AFE的度数为　　　　. 140° 11. 如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，点P为∠AOB内一定点，且OP＝20，则△PMN周长的最小值是　　　　. 20 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E，F分别为边AB，AD的中点，M，N分别为BC，CD上的动点，则四边形EFNM周长的最小值为　　　　　　　____________. 20 13. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝5，△ABC的面积为22.5.点D，E，F分别是三边AB，BC，CA上的动点，则△DEF周长的最小值为　　　　________. 9 14. 如图，某社区拟在小区内的四边形ABCD空地中规划两条小道MN，DN，将该四边形空地划分成三个板块，用于设置不同的活动区域.按照设计方案，点M，N分别在AB，BC边上，且M为AB的中点，已知∠C＝∠ADC＝90°，AD＝70 m，CD＝60 m，BC＝110 m，修建小道的费用为300元/m.在满足设计方案的同时，为了节省费用，要使所规划的两条小道MN＋DN的费用最少，求最少费用.(结果保留根号) 解：如图，作点M关于BC的对称点M'，连接NM'，DM'， 则MN＋DN＝M'N＋DN≥DM'， M' ∴当D，N，M'三点共线时，MN＋DN取得最小值，最小值为DM'的长， 设MM'交BC于点E，过点A作AP⊥BC于点P，过点M'作M'F⊥DC交DC的延长线于点F， 则四边形ADCP和四边形ECFM'均为矩形， M' ∟ P ∟ F ∴AP＝DC＝60，BP＝BC－PC＝BC－AD＝40， ∵M为AB的中点，ME∥AP， ∴M'E＝ME＝AP＝30，BE＝EP＝BP＝20， ∴M'F＝EC＝110－20＝90， DF＝DC＋CF＝DC＋EM'＝90， ∴在Rt△M'DF中，M'D＝＝90， ∴MN＋DN的最小值为90 m， ∴最少费用为90×300＝27 000(元). M' ∟ P ∟ F $$