数学（上海卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

2025年中考第一次模拟考试（上海卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如果抛物线经过第一、二、三象限，那么常数、的符号是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．正方形具备而菱形不具备的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．的相反数是 ． 8．化简： ． 9．如果反比例函数是常数，的图象经过点(-1，3)，那么当时，的值随的值增大而 填“增大”或“减小” 10．方程的根为 ． 11．在实数范围内因式分解： ． 12．已知点P是线段的黄金分割点，且，则的值= ． 13．已知线段，，从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c的长度，那么a，b，c不能组成三角形的概率是 ． 14．董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（.小于5天；.5天；.6天；.7天），则扇形统计图部分所对应的圆心角的度数是 ． 15．如图，已知△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，EF＝DE，设，那么向量用向量、表示是 ． 16．如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．    17．如图，和都是等边三角形，点D是的重心，那么 ． 18．如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，，那么线段的长为 ． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 20．解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 21．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 22．某商店销售一种商品．经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在50元到110元之间较为合理，每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）存在如图所示的一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求这种商品的每月销售量y（万件）关于销售单价x（元/件）（50≤x≤110）的函数解析式； （2）已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为95元/件和84元/件，且每月销售量的增长率是相同的，求这个增长率． 23．如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点． (1)求证：∠AOM＝∠AON； (2)如果AEON，AFOM，求证：． 24．如图，二次函数 . 的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点 C，顶点为D，其对称轴与线段交于点 E，与x轴交于点 F． 连接．    (1)若 ， 求B 点和C 点坐标； (2)若 求m的值； (3)若在第一象限内二次函数 的图象上，始终存在一点P，使得 请结合函数的图象，直接写出m的范围． 25．如图，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点．    (1)如图，当点落在梯形的中位线上时，求的长． (2)如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域． (3)如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（上海卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 ( 一、选择题（ 本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的 ） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（ 本大题共12题，每题4分，共48分 ） 7 ． ___________ 8 . ___________ 9 .___________ 10 .____________ 11 . ____________ 12 . ____________ 13 .___________ 14 .____________ 15 . ____________ 16 . ____________ 17 .___ ________ 18 .____________ 三、解答题（.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19. （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ． （10分） 21 ． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ． （10分） 25 ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ． （12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 11 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24 ． （12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25 ． （14分） ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（上海卷） 数学·参考答案 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 D A B A C C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．- 8． 9．增大 10．﹣2或﹣7 11． 12． 13． 14．108°/108度 15． 16．70 17． 18．15 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解：原式 ， (8分) ． (10分) 20．解：解不等式得，                    解不等式解得，         (6分)                  所以，                          (8分) 把这个不等式组的解集表示在数轴上： (10分) 21．解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F， ∵∠BCA＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝EC， ∵cotB＝， 在Rt△BEA中，＝， (2分) 设BE＝3x，AE＝2x， ∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10， ∴x＝2， ∴BE＝6，EA＝EC＝4， 由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2． 即AB2＝36+16＝52． ∴AB＝． (5分) （2）由（1）知AB＝2， 又∵D为AB的中点， ∴BD＝AD＝， ∵DF⊥BC，AE⊥BC， ∴ ∵BD＝AD， ∴BF＝FE＝BE＝3． ∴DF＝AE＝2， ∴FC＝FE+EC＝3+4＝7 (8分) ∴tan∠DCB=． (10分) 22．解：（1）由题意，设y＝kx+b， 图象过点（70，5）、（90，3）， ∴ ， 解得： ， ∴函数解析式为：y＝﹣x +12（50≤x≤110）； (4分) （2）由（1）中解析式知： 六月份的销售量为：y＝﹣ ×95+12＝2.5（万件）， 九月份的销售量为：y＝﹣×84+12＝3.6（万件）， 设每月销售量的增长率为x，则由题意得： 2.5（8+x）2＝3.6， 解得：x＝20%（负值舍去） 答：每个月的增长率为20%． (10分) 23．（1）证明：∵M、N分别是AB、AC的中点，OM、ON过圆心， ∴，． 又∵， ∴． (2分) ∵在Rt△AOM和Rt△AON中， ， ∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL）， (4分) ∴． (5分) （2）解：连接EF，交AO于点P． ∵，， ∴四边形AEOF是平行四边形． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴四边形AEOF是菱形． (7分) ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， (10分) ∴，即． 24．（1）当 时，， 令，得， 解得：，， 点在点的左侧， ， 令，得， ； (2分) （2）当时，， 解得：，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ， 如图1中，连接，   ， ，， ，，， 、关于对称轴直线对称， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 经检验，是方程的根， ， ； (7分) （3）如图2，设交轴于点，    当点在第一象限时，点总是在点的左侧，此时，即． ， ， ， 解得：， 又， 同法可得， ， ． (12分) 25．（1）解：如图中，延长交的延长线于， ∵梯形中，，， ∴， ∵是梯形的中位线， ∴，，， ∴，即， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为； (4分)        （2）如图2中，过点作于点，设交于，设，， ∴，， ∵在梯形中，，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点在线段上（不与点重合），，， ∴， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ，得：， ∴， ∴与之间的函数关系式为；    (9分) （3）①如图3中，当时，延长交于，设， ∵在梯形中，，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴；    ②如图中，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴；      ③如图中，当时，点与重合， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或． (14分)    2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（上海卷） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如果抛物线经过第一、二、三象限，那么常数、的符号是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．正方形具备而菱形不具备的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．的相反数是 ． 8．化简： ． 9．如果反比例函数是常数，的图象经过点(-1，3)，那么当时，的值随的值增大而 填“增大”或“减小” 10．方程的根为 ． 11．在实数范围内因式分解： 12．已知点P是线段的黄金分割点，且，则的值= ． 13．已知线段，，从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c的长度，那么a，b，c不能组成三角形的概率是 ． 14．董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（.小于5天；.5天；.6天；.7天），则扇形统计图部分所对应的圆心角的度数是 . 15．如图，已知△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，EF＝DE，设，那么向量用向量、表示是 ． 16．如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．    17．如图，和都是等边三角形，点D是的重心，那么 ． 18．如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，，那么线段的长为 ． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 20．解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 21．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 22．某商店销售一种商品．经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在50元到110元之间较为合理，每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）存在如图所示的一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求这种商品的每月销售量y（万件）关于销售单价x（元/件）（50≤x≤110）的函数解析式； （2）已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为95元/件和84元/件，且每月销售量的增长率是相同的，求这个增长率． 23．如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点． (1)求证：∠AOM＝∠AON； (2)如果AEON，AFOM，求证：． 24．如图，二次函数 . 的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点 C，顶点为D，其对称轴与线段交于点 E，与x轴交于点 F． 连接．    (1)若 ， 求B 点和C 点坐标； (2)若 求m的值； (3)若在第一象限内二次函数 的图象上，始终存在一点P，使得 请结合函数的图象，直接写出m的范围． 25．如图，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点．    (1)如图，当点落在梯形的中位线上时，求的长． (2)如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域． (3)如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（上海卷） 数学·全解全析 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了最简二次根式的特征和应用，解答此题的关键是要明确最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．根据最简二次根式的条件，逐项判断即可． 【解析】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 2．若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意可得，不等式两边除以a后，不等式变号，由此可得结论． 【解析】解：∵的解集是， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解不等式的步骤，属于中考常考题型． 3．已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平均数与众数的意义，要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．依此先求出a，再求这组数据的平均数． 【解析】解：众数是5，已知的三个数都只出现了一次， 就可以知道， 所以平均数． 故选：B． 4．如果抛物线经过第一、二、三象限，那么常数、的符号是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质，包括对称轴、开口方向及所经过象限，理解题意，结合图象，熟练运用二次函数基本性质是解题关键． 由题意得，二次函数经过原点可知，又只经过第一，二，三象限，画图可知抛物线开口向上，对称轴在轴的负半轴，由对称轴公式可得，即可得出选项． 【解析】解：由题意得，二次函数经过原点可知，， 如图所示，函数图象经过第一，二，三象限， ∴抛物线开口向上，故， ∴对称轴在轴的负半轴， ∴， ∴． 故选：A． 5．正方形具备而菱形不具备的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，根据正方形和菱形的性质逐项判断，即可得出结论． 【解析】解：A、对角线互相平分是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意； C、对角线相等是正方形具备而菱形不具备的性质，故此选项符合题意； D、每条对角线平分一组对角是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解． 【解析】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作， ∵矩形中，对角线与相交于点，，． ∴，，，， ∴ ∴， 则；    当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，    则 则 ∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．的相反数是 ． 【答案】- 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案． 【解析】解：的相反数是﹣， 故答案为﹣． 【点睛】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数定义． 8．化简： ． 【答案】 【分析】先利用分式的基本性质进行通分，然后再进行同分母分式相减即可． 【解析】 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式的减法，掌握分式的基本性质是解题的关键． 9．如果反比例函数是常数，的图象经过点(-1，3)，那么当时，的值随的值增大而 填“增大”或“减小” 【答案】增大 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出，根据反比例函数的性质解答即可． 【解析】解：反比例函数的图象经过点(-1，3)， ， ， 当时，的值随的值增大而增大， 故答案为：增大． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数中，当，在每一象限内随的增大而增大是解题的关键． 10．方程的根为 ． 【答案】﹣2或﹣7 【分析】把无理方程转化为整式方程即可解决问题． 【解析】两边平方得到：13+2=25， ∴=6， ∴（x+11）（2-x）=36， 解得x=-2或-7， 经检验x=-2或-7都是原方程的解． 故答案为-2或-7 【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是学会把无理方程转化为整式方程． 11．在实数范围内因式分解： 【答案】 【分析】令，则式子可化为，令，求解即可． 【解析】解：令，则式子可化为， 令 则，， 则， 故答案为： 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根． 12．已知点P是线段的黄金分割点，且，则的值= ． 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义列可得答案． 【解析】∵点是线段的一个黄金分割点，且， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割点的应用，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割；其比值是；理解黄金分割点的定义是解题的关键． 13．已知线段，，从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c的长度，那么a，b，c不能组成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系确定不能组成三角形的的取值范围，再根据概率公式求解即可． 【解析】解：∵，， ∴线段a，b，c组成三角形时的取值范围，即 ∴当或时，线段a，b，c不能组成三角形， ∴在1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c的长度，不能组成三角形的是1，7、8这三个数， 所以，a，b，c不能组成三角形的概率是， 故答案为： 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．用到的知识点为：构成三角形的基本要求为两小边之和大于第三边． 14．董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（.小于5天；.5天；.6天；.7天），则扇形统计图部分所对应的圆心角的度数是 . 【答案】108°/108度 【分析】根据A的户数及所占的比例求出被调查的户数，求出B的户数，然后再用360度乘以B所占的比例即可. 【解析】∵被调查的总户数为(户)， ∴类别户数为(户)， 则扇形统计图部分所对应的圆心角的度数是， 故答案为108°． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键. 15．如图，已知△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，EF＝DE，设，那么向量用向量、表示是 ． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理和已知条件求得EF=BC；然后在△AEF中，利用三角形法则得到；最后易得． 【解析】解：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，且EF=BC． ∵， ∴． 又∵EF＝DE， ∴． ∵， ∴． ∵点E是AC的中点， ∴． 故答案是：． ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型． 16．如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．    【答案】70 【分析】此题考查解直角三角形的应用，勾股定理，以及平行线的性质：根据正切定理设，勾股定理求出，由平行线的性质得出，求出米，即可得到答案． 【解析】解：如图，    ∵斜坡长130米，坡度是， ∴， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为：70． 17．如图，和都是等边三角形，点D是的重心，那么 ． 【答案】 【分析】如图，延长交于F，由题意得，，则，由，可得，计算求解即可． 【解析】解：如图，延长交于F， ∵点D是的重心， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了重心，等边三角形的性质，正弦函数，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 18．如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，，那么线段的长为 ． 【答案】15 【分析】连接，作于，设，，则，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，由勾股定理得出，推出，证明，求出，，得到，证明，得出，求出，结合得到关于的方程，求出的值即可得解． 【解析】解：如图，连接，作于， 四边形为矩形， ，，， ， 设，， ，， ， 由旋转的性质可得：，，， ，， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ，， ， ，， ∴ ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用绝对值的性质、负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【解析】解：原式 ， ． 20．解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【解析】解：解不等式得，                    解不等式解得，                         所以，                          把这个不等式组的解集表示在数轴上： 21．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解． （2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解． 【解析】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F， ∵∠BCA＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝EC， ∵cotB＝， 在Rt△BEA中，＝， 设BE＝3x，AE＝2x， ∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10， ∴x＝2， ∴BE＝6，EA＝EC＝4， 由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2． 即AB2＝36+16＝52． ∴AB＝． （2）由（1）知AB＝2， 又∵D为AB的中点， ∴BD＝AD＝， ∵DF⊥BC，AE⊥BC， ∴ ∵BD＝AD， ∴BF＝FE＝BE＝3． ∴DF＝AE＝2， ∴FC＝FE+EC＝3+4＝7 ∴tan∠DCB=． 【点睛】本题考查了特殊角度、余切和正切的定义，以及三角形中位线的知识，是常见题型． 22．某商店销售一种商品．经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在50元到110元之间较为合理，每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）存在如图所示的一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求这种商品的每月销售量y（万件）关于销售单价x（元/件）（50≤x≤110）的函数解析式； （2）已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为95元/件和84元/件，且每月销售量的增长率是相同的，求这个增长率． 【答案】（1）y＝﹣x+12（50≤x≤110）；（2）20% 【分析】（1）利用待定系数法即可得出一次函数解析式 （2）先算出六月、七月的销量再列一元二次方程即可 【解析】解：（1）由题意，设y＝kx+b， 图象过点（70，5）、（90，3）， ∴ ， 解得： ， ∴函数解析式为：y＝﹣x +12（50≤x≤110）； （2）由（1）中解析式知： 六月份的销售量为：y＝﹣ ×95+12＝2.5（万件）， 九月份的销售量为：y＝﹣×84+12＝3.6（万件）， 设每月销售量的增长率为x，则由题意得： 2.5（8+x）2＝3.6， 解得：x＝20%（负值舍去） 答：每个月的增长率为20%． 【点睛】本题考查一次函数解析式、一元二次方程，熟练掌握一元二次方程增长率问题是关键，本题是中考的常考知识点． 23．如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点． (1)求证：∠AOM＝∠AON； (2)如果AEON，AFOM，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂径定理的推论，得出，，再证Rt△AOM≌Rt△AON（HL），即可得出结论； （2）连接EF，交AO于点P．先证四边形AEOF是平行四边形，再证四边形AEOF是菱形，根据菱形的性质得，．然后证．得，代入即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵M、N分别是AB、AC的中点，OM、ON过圆心， ∴，． 又∵， ∴． ∵在Rt△AOM和Rt△AON中， ， ∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL）， ∴． （2）解：连接EF，交AO于点P． ∵，， ∴四边形AEOF是平行四边形． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴四边形AEOF是菱形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查垂径定理的推论，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，证四边形AEOF是菱形是解题的关键． 24．如图，二次函数 . 的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点 C，顶点为D，其对称轴与线段交于点 E，与x轴交于点 F． 连接．    (1)若 ， 求B 点和C 点坐标； (2)若 求m的值； (3)若在第一象限内二次函数 的图象上，始终存在一点P，使得 请结合函数的图象，直接写出m的范围． 【答案】(1)， (2)1 (3) 【分析】（1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标； （2）由题意得，，，进而可得，推出，连接，由，可得，推出，利用解直角三角形可得，，构建方程，求出即可； （3）设交轴于点，证明，推出，可得结论． 【解析】（1）当 时，， 令，得， 解得：，， 点在点的左侧， ， 令，得， ； （2）当时，， 解得：，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ， 如图1中，连接，   ， ，， ，，， 、关于对称轴直线对称， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 经检验，是方程的根， ， ； （3）如图2，设交轴于点，    当点在第一象限时，点总是在点的左侧，此时，即． ， ， ， 解得：， 又， 同法可得， ， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 25．如图，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点．    (1)如图，当点落在梯形的中位线上时，求的长． (2)如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域． (3)如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）如图中，延长交的延长线于，证明垂直平分线段，得，得到，由，，推出，即可得解； （2）如图中，设交于，，，证明得，可得，证明得，可得，继而得到，再根据，即可得出结论； （3）分三种情形：①如图中，当时；②如图中，当时；③如图中，当时，点与重合．分别求解即可． 【解析】（1）解：如图中，延长交的延长线于， ∵梯形中，，， ∴， ∵是梯形的中位线， ∴，，， ∴，即， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为；        （2）如图2中，过点作于点，设交于，设，， ∴，， ∵在梯形中，，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点在线段上（不与点重合），，， ∴， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ，得：， ∴， ∴与之间的函数关系式为；    （3）①如图3中，当时，延长交于，设， ∵在梯形中，，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴；    ②如图中，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴；      ③如图中，当时，点与重合， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，梯形的性质，梯形的中位线，垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第一次模拟考试（上海卷） 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共 24 分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，共 48 分） 7．___________ 8. ___________ 9.___________ 10.____________ 11. ____________ 12. ____________ 13.___________ 14.____________ 15. ____________ 16. ____________ 17.___________ 18.____________ 三、解答题（.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19.（10 分） 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 20．（10 分） 21．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1