三角函数与解三角形专题训练-2025届高考数学一轮复习题

三角函数与解三角形专题训练-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（   ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 3．设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 4．下列对于函数的说法正确的是：（     ）. A．既可能存在对称中心，又可能存在对称轴 B．可能存在对称中心，但不可能存在对称轴 C．不可能存在对称中心，但可能存在对称轴 D．既不可能存在对称中心，又不可能存在对称轴 5．已知，，则（   ） A．3 B． C． D． 6．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在中，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．24 D．48 8．在中，内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 9．下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下面说法正确的是（   ） A．是的一个周期 B．的最大值为 C．是的对称轴 D．是的对称中心 11．已知函.（    ） A．的最小值为 B．在区间上单调递减 C．若当时，取得极大值，则 D．若在区间恰有3个零点，则 三、填空题 12．在0到范围内，与角终边相同的角是 （用弧度制表示）. 13．已知函数，满足的的最小值为，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是 . 14．如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为 平方米．（结果保留整数） 四、解答题 15．已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 16．已知平面四边形中，，. (1)若，，，求； (2)若，的面积为，求四边形周长的最大值. 17．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域． 18．已知在中，角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为边上一点，且，求的值． 19．如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．    (1)求的值和两点间的距离； (2)若，求折线段赛道的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《三角函数与解三角形专题训练-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B D B C B BCD AD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求，再结合诱导公式求. 【详解】因为，所以， 即， 所以． 故选：D． 2．D 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期分或时，和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，即， 对于，周期为， 且，， 当或时，不等式在中无整数解； 当时，若不等式有在内只有1个整数解， 比如时，此时在内的整数解为， 而， 则在中可能有个整数解； 若不等式有在内只有2个整数解， 比如时，此时在内的整数解为或， 则在中可能有个整数解； 由于， 则在内最多只有2个整数解，因此在中不可能有1012个整数解. 故选：D. 3．C 【分析】按三角函数的定义计算即可. 【详解】依题意，，且， 解得，则， 故选：C. 4．B 【分析】令，利用方程法求出函数的零点，若存在对称中心或对称轴，则其横坐标为，进而，，分别验证、 即可下结论. 【详解】令，得或即， 当时，解得； 当时，解得或， 得或或， 即或或， 即. 所以有定零点和动零点， 所以若存在对称中心或对称轴，则其横坐标只能为， 而定零点也应具有对称性，所以，， 此时：，， ，， ①当时，， 此时存在对称中心； ②当或时， 或， 此时，所以不存在对称轴. 综上，存在对称中心，不存在对称轴. 故选：B. 5．D 【分析】利用两角和差公式可得，结合题意即可得结果. 【详解】因为，则，， 又因为， 则①， 等式①的两边同时除以 可得，解得. 故选：D. 6．B 【分析】根据给定的变换求出函数，再求出相位所在区间，结合零点情况列出不等式求解即得. 【详解】依题意，，当时，， 由在区间上恰有5个零点，得，解得. 故选：B 7．C 【分析】先根据余弦定理求出边的长度，再利用三角形面积公式求出三角形面积即可. 【详解】设，根据余弦定理， 已知，，，代入可得： ，即，解得， 由于，则为直角三角形， 则. 故选：C. 8．B 【分析】首先利用基本不等式，将等式转化为不等式，再根据三角函数的性质以及等号成立的条件，转化为，再利用正弦定理化边为角，即可求解. 【详解】由题可得， ，，当且仅当取等号， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用基本不等式求得，进而得，求得角，从而解决问题. 9．BCD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：利用基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：例如，则，可得， 所以的最小值不为4，故A错误； 对于选项B：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D正确； 故选：BCD. 10．AD 【分析】根据二倍角公式可得，即可判断A；结合周期性利用导数求出函数的最大值即可判断B；利用即可判断C；利用即可判断D. 【详解】， 因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为，故A正确； ， 又，令， 因为的周期为，所以只需讨论内的的最大值， 此时当时，，当时，， 故当即时，有极大值， 又，因此的最大值为， 因为， 所以直线不是图象的对称轴，故B错误，C错误； ， 所以点是图象的对称点，故D正确. 故选：AD 11．ACD 【分析】利用二倍角公式结合二次函数性质可得A正确，对求导可判断B错误，由极值点定义可判断C正确，结合函数图象以及零点个数得出不等式关系，解得，可得D正确. 【详解】对于A，易知， 由二次函数性质可得当时，取得最小值为，即A正确； 对于B， 当有正负，可知B选项错误， 对于C，由B可知当时，单调递增，当时，单调递减； 所以当时，取得极大值时，即C正确； 对于D，易知， 当时， 由正弦函数图象性质可得有3个零点时满足，解得，即D正确. 故选：ACD 12． 【分析】根据终边相同的角的表示方法得解. 【详解】与角终边相同的角为（） 当时，得. 故答案为： 13． 【分析】根据三角函数图象性质可得，再根据函数在区间内有零点，无最值限定出不等式，再根据的范围可得结果. 【详解】因为函数，且满足的的最小值为， 所以函数的最小正周期，所以，解得， 即可得， 因为，所以. 因为函数在区间内有零点，无最值， 所以，解得， 即， 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据满足的的最小值为求出，再结合正弦函数图象性质由零点和最值个数限定出不等式可解得的取值范围. 14．137 【分析】根据已知条件知，当三角形的两边分别与圆弧相切时，三角形的面积最大，设切点为，，由三角形全等得到，将三角形面积的表达式用表示，从而转化为三角函数，利用换元法转化为基本不等式求最值即可求解. 【详解】设游乐区所在的三角形为，在线段上，在线段上，如图所示， 当分别于圆弧相切时，取得最大值， 由对称性，只讨论， 设与圆弧相切于点，连接， 设，因为≌，≌， 则，， 因为，所以，， ，， 所以 ， 因为，所以， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以平方米， 即该游乐区面积的最大值为137平方米． 故答案为：137. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据条件，得到，再利用余弦定理，即可求解； （2）由（1）结果，利用基本不等式，得到，再利用面积公式，即可求解. 【详解】（1），得到， 由余弦定理知，， 因为，所以． （2），得到，当且仅当取等， 所以，（当且仅当取等．）故面积的最大值为． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，再利用余弦定理求解即可. （2）首先利用正弦定理面积公式和余弦定理得到，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）在△ABD中，由余弦定理得. 在△BCD中，由余弦定理得. 因为，所以， 即， 得. （2）由题意可知， 由，，则， 则，得. 在中，由余弦定理得. 令，，在中， 由余弦定理得，即. 所以， 即，，当且仅当时取等号. 所以四边形ABCD周长的最大值为.. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据图象易得和周期，结合可得结果； （2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法即可求解函数的值域. 【详解】（1）观察图象可得，函数的周期，解得， 即，由，得， 即，，而，则， 所以函数的解析式是. （2）将的图象向左平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象，则， 当时，， 则，即， 因此在上的值域为. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合三角恒等变换与辅助角公式可求得，求解即可； （2）设，利用等边三角形的性质得，在中利用余弦定理求得，即可求解比例. 【详解】（1）依题意，， 由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 即， 所以，即， 因为，所以，所以，即． （2）不妨设，则， 因为，所以为等边三角形， 则， 由余弦定理得， 所以，解得或（舍去）， 所以． 19．(1)， (2) 【分析】（1）根据图形可得及周期，根据周期即可求出，再求出点的坐标，进而可得出答案； （2）在中，利用余弦定理求出，即可得解. 【详解】（1）由题可得， ， 当时，，即， 又，（千米）； （2）在中，设，则， ， ， ， ， （千米）， 折线段赛道的长度为千米. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$