内蒙古乌兰浩特第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

乌兰浩特一中2024~2025学年高二年级上学期期末考试·数学试题 参考答案、提示及评分细则 1.C令a-当-音得=2EN令a-将=名得m=5cN令a=号得n=号EN:令 a-串是得=1∈N,所以号不是a中的项做选C 2.D 因为直线1的顿斜角为头所以斜率=an要-一1，所以Z”--1,解得m一子·放选D 3.B由a⊥b,得-1×3+2x+1×1=0,则x=1,则|b|=3+1+1下=/T.故选B. 4.A圆C的标准方程为(x十2)2十y=2,圆心C(一2,0)，半径n1=2,圆C2的标准方程为(x+1)2十 (y+1)2=8,圆心C2(-1,-1),半径r1=22,所以|CC|=2=ry-n,圆C,C2内切，所以与圆C,C2 都相切的直线只有1条.故选A. 5.D不妨设AC=AA=2,AB=1,BC=√5，故AB+AC=BC,所以∠BAC =90°，即AB⊥AC,在直三棱柱ABC-A,B,C中，AA1⊥平面ABC,AC,AB C平面ABC,所以AA⊥AC,AA⊥AB.以A为坐标原点建立空间直角坐标 系Ax,如图所示，则A(0,0,2),B(1,0,0),D(0,2,1),所以AB 、q.0,=2AD0,2D所以sAB,AD=A月d后X有 -2 号，放异面直线AB与AD所成角的余弦值为号故选D, 6A由点P是椭圆C上一点，且PFLOF,,得P(,士安)，所以圆P的半径r =PF=号，过P作PQLy轴，垂足为Q,由∠APB=,得∠APQ=吾，在R△APQ中，AP=PF= ，PQ1=0F=c,所以公=2c,即2+2ac-d=0,即2+2e-1=0,解得e=2-1或e=-E-1(舍). a a 故选A. 7.C设小胡每月月底还款钱数为x元，根据等额本息还款法可得，第1次还款后欠银行贷款为A,=a(1十t) 一x,第2次还款后欠银行贷款为A=a(1十t)2一x(1十t)一x,…,第12次还款后欠银行贷款为A2= a(1+t)2-x(1+t)1-x(1+1)10-…-x(1+1)-x=a(1+1)12-x[(1+)1+(1+)0+…+ 1十)+1门=a1+D2-1±》☐=a1十)2+1-9+)，因为贷款12个月还清，所以 1-(1+t) Ae=0,即a(1+D+1-+D]=0,所以=a4) (1+)2故选C 8.B因为点P(一2,1)是抛物线C:x2=2y上的一点，所以（一2）2=2p,解得p=2,所以F(0,1).显然直线 PM的斜率存在且不为Q设直线PM的方程为y一1=(x十2)，由7十2)得4x一8k一4=0。 所以一2.xw=一8k-4,解得xw=4k十2，所以|FM=yw十1=k(4k十2十2)+1十1=4k+4k+2,同理可得 IFN=产-专+2，所以FM+|FN=4+4k+2+-冬+2=4(k-6+2）》'+11,所以 IFM+|FN的最小值是1，此时友一专+号=0，解得=1生区.故选B 4 ,AB由题知g一是=-2，放a十a=(a1十a:)=8,S=二2X2》=-2,A,B正确，C错误：又 1-(-2) a出=a=g=4,aa2=一8，故数列{aa+1}是首项为一8，公比为4的等比数列，D错误.故选AB aam1 10,BC因为双南线C:若一若-1的渐近线方程为：士ay=0,所以C的右焦点F到：士ay=0的距离d= cL=b,即1FMl=b,因为1OF1=c,所以OMl=a,因为sim∠MOF>sin∠MFO,所以2>g,所 /a+ 以会>1，所以C的离心率e=√+吾>厄.又因为C与直线y=3x无公共点，所以名<3e=√+多。 【高二年级期末考试·数学试题参考答案第1页（共4页）】 25-T-435B /10,所以2<e≤/10.故选BC 11.ABD以点A为坐标原点，AB,AD,AA:所在的直线分别为x轴，y轴，之轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A(0,0,2),B(2,0,2),D(0,2,2),C(2,2,2).设平面 ABCD的一个法向量为m=(x,,),AB=(2,0,0),AD=(0,2,一2)，则 m·A=2=0,令为=1，解得=0，=1，所以平面ABCD的一个法向量m=(01,1),又衣 m·A1D=2y-2=0, (2,2.0),AD=(0,2,2,因为A=λAC+μAD=X(2,2,0)十(0,2,2)=(2A,20+),2),故P(2,2(+,2μ). 设平面ACP的一个法向量为n=(,,则？：AC=2+2=0, {n·AP=2x2+2(a十)y+2u2=0, 令x2=1,解得 =一1，心=1，所以平面ACP的一个法向量n=(1,一1,1)，又m·n=一1+1=0，所以m⊥n,所以平面 PAC⊥平面ABCD,故A正确：当入十4=1时，点P(2以，2,2)，设平面A1BC的一个法向量u （)B=（-2.0,2,BC=0.22则：=2+2=0令0=1，解得为=-1，=. u.BC=2%+2=0, 所以平面ABC1的一个法向量为u=(1,一1,1)，且B驴=(2入-2,2,2)=(-24,2,2)，所以点P到平面 A的距离为产-房=2等，又△A的面积为定值，故三校维A-P的体积为定值 放B正确：当：=子时，此时P(2以，2(a+),号)所以萨=(2以-2,2x+号，号)，C户= (2以-2,2以-7，-7)，所以.CD-(2x-2)+(2+号)(2x-）-=8(a-号）°+g>0,所 以不存在点P,使得BP⊥PC,故C错误：当X=子，此时P(号，2（叶子），2），所以D币 (号，24-，2)，D心=20,0，BC=(0,2.2,因为心.Bd=0,要使BC1平面PCD,则D币.BC =(号，24,2以)小·(0,22)=-1十4=0，解得g=日，符合题意，故存在点P,使得BG⊥平面 PCD,故D正确.故选ABD 12.5或7 由题意知2女=2，所以c=1当椭圆号+片=1的焦点在x轴上时，0<m<6且6一m=1,解得m= 5:当椭圆后+片=1的焦点在)轴上时，m>6且m一6=1，解得m=7,放m的值为5或7 13.104 因为{am}为等差数列，设公差为d,a2+a3=2a1十3d=64十3d=40→d=一8，所以am=40-8n.所以 1a1=140-8m=(40-811·所以前7项之和为5X(32+0+2X(8,+16=80+24=104 18n-40,n≥6. 2 2 14.「3西，3 10’10 由题意可设E(3m十3，m),则圆E的方程为(x一3m-一3)十(y-m)2=4,若圆E上存 在点Q,使得PQ=310Q,设Q(,),则x-4)+了=3F+了，化简可得(x十2)》+y=,故 点Q在以F(一之，0)为圆心，号为半径的圆F上，因为点Q也在圆E上，所以圆E与圆F有交点，所以2 号<EF<2+号，即3≤√3m+3+z)广+m<名解得-器<m≤0，又0E=/3m+3)+m =√0m+18m+=√10(m+)+品，所以0E∈[3,3 ,即线段OE长度的取值范围 10 10 是3.30 L1010 15.解：(1)由圆的一般方程性质可知：（一2）+（一4）2一41>0，解得m<5, 所以当<5时，方程C表示圆。…5分 (2)由x2+y2-2x-4y+m=0,得(x-1)2+(y-2)2=5-m, 所以该圆圆心为(1,2)，半径r=⑤一m.…………7分 所以圆心到直线l:x+2y一4=0的距离d=1十44-昼 /1+2 5 10分 根据弦长公式可知：2=十(M),即5-m=吉+号，解得m=4… 13分 【高二年级期末考试·数学试题参考答案第2页（共4页）】 25-T-435B 16.解：(1)由抛物线的定义及1AF=5,知4十=5，解得p=2. 4分 将点A(4,t)的坐标代人抛物线C的方程y2=4.x,得=16， 又>0，所以1=4， 故p的值为2，l的值为4.…7分 (2)法一：设B点的坐标为（单咖） 因为OAL0B,A点的坐标为(4,4)，所以4X业十4yg=0,…11分 4 解得g=一4或yg=0(舍去).…12分 所以B点的坐标为(4，一4)，所以直线l的方程为x=4.…15分 法二：由题知l的斜率不为零，设直线l的方程为m(y一4)=x一4，整理得x=my一4m十4.…8分 设点A,B的坐标分别为(x1,1),(x22), 联立方程/少=4， =my4m+4.得y-4ny十16m-16=0. 所以M为=16m-16,a=4=0616)=16(m-1D. 16 16 10分 因为OAL0B,所以OA·Oi=+为=16(m-1)2+16m-16=0,解得m=1或m=0.…12分 当m=1时，直线1的方程为y=x,经过原点O不合题意：…13分 当m=0时，直线1的方程为x=4,满足题意， 故直线l的方程为x=4.… …15分 17.解：0)因为am1=(n+1)a,-12(m∈N), 2 n+l n …2分 1÷ …5分 1 又a=1符合，所以a=2… 6分 (2)由题意知S=a十am十…十aw=1X2十2X分十…+×2 受=1×号+2×+…+m×， 两式相减得 2 9分 1一 所以8=4 10分 若不等式（一1）以一2是<S.对任意的n∈N恒成立， 当n=2k,k∈N”时，则<4一，所以<3：…12分 当n=2-1,∈N时，则-<4一是所以-X<2,即>-2 …14分 所以一2<入<3，即入的取值范围为（一2,3）.…15分 18.解：(1)取AB,CD的中点分别为O,O,连接OO,因为底面ABCD是正方形，所以OO⊥AB, 因为△MAB是正三角形，O为AB的中点，所以MO⊥AB,又平面MAB⊥平面ABCD,平面MAB∩平面 ABCD=AB,MOC平面MAB,所以MO⊥平面ABCD,…2分 又AB,OO1C平面ABCD,所以MO⊥AB,MO⊥OO,,以O点为原点，以OB,OO,OM所在直线分别为x 轴，y轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 由题意，得O(0,0,0),A(一3,0,0)，B(3,0,0),C(3,6,0),D(-3,6,0),M00,35), 【高二年级期末考试·数学试题参考答案第3页（共4页）】 25-T-435B CD=(-6,0,0),CM=(-3,一6,33)，设平面CDM的法向量为n=(x, CD:n=0、即3x6y十33=0.令y=3,则x=0,2 y,,所以C,n=0, f-6.x=0, 25,即平面CDM的一个法向量为n=(0,3,2/3).…5分 易知平面ABM的一个法向量为m=(0,1,0), 设平面CDM与平面ABM所成二面角为0， 则|cos0=|cos(n,m〉|= n·mL=3一=2I n·m2I×1 ,所以sin0= /-cos0=27」 7 即平面CDM与平面ABM所成二面角的正弦值为29， …8分 (2)因为EF,G分别是线段AM,DM.CD上一点，且AE=号AM,DF=号DM,CG=号CD,所以E(-2, 0,3),F(-1,2,2/3),G1,6,0),所以EF=(1,23),EG=(3,6,-3),… 10分 设平面EFG的法向量为u=(a,b,c),所以 序·4=0即a+2十5c=0；令4=2，则6=-1，c=0,即平 Ed·w=0,3a+6b-3c=0, 面EFG的一个法向量为1=(2，一1,0). …13分 设-0<》.则=AB或，ai-成+=2，-6,0)+i(-3035)=(2-3,6350 …15分 所以点H到平面EFG的距离d=u:G 110-6以 2+(-1)+0 后，解得-号(-号合去)，即盟 5 6 17分 19.(1)证明：设不过原点的直线E的方程是ax十by十c=0(a,b,c都是常数，且a,b不同时为0，c≠0)，则曲线 E2的方程是a(入z)+b入y)+c=00,且A≠1)，即az十by十人=0，…2分 因为a,bc分都是常数，且a,b不同时为0，（≠0，（≠关， 所以曲线E2是一条直线，且与直线E平行.…3分 (2)①解：伸缩比入=时，曲线E通过关于原点的伸缩变换”得到的曲线是尼：后一兰-1， 所以曲线E的方程是2T》2三1，即子一y=1.……5分 4 E与x轴的两个交点A,B的坐标分别是（一2,0），(2,0)， 因为直线1过点(4,0)，斜率为k,所以直线1的方程为y=(x一4)，代入x2一4y=4, 消去y并整理得(4k2一1)x2一32kx十64k2十4=0，………7分 设My1),N(x2,2),则1-4k≠0，△=(-32k2)2-4(4k2-1)(64k+4)=16(12k+1)>0,x1+x2 67西西-6464 32k2 4k-1· …9分 一因为与E在y轴的右侧有两个交点所以4十x二与>0，且=今0，·1分 4k2一1 解得<一 或>合，所以k的取值范围是(-0，一)U(分，+∞)： …12分 ②证明：由①知k<-号或k>号，所以≠0， kaks = (m-4)(-4) 20-4k(+)+16k9 01-2 2-2 xx2-2(0+2)+4 x1x2-2(x1+x2)+4 k2(64k2+4)42×32k 4k2-1 4k-1 +16k 一12k2 3 4h写+4 64k+42×32k园 16k2 4 15分 4k2-1 红一1 = 4 十2-24-44 16分 所以：：一)=6：一66=}-（一是）=1为定值 17分 【高二年级期末考试·数学试题参考答案第4页（共4页）】 25-T-435B乡生准将一中 勤奋乐学·敏思果行 Ulanhot No.1 middle school 乌兰浩特一中2024~2025学年高二年级上学期期末考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 已知数列.的通项公式为a,一号则下列选项中不是a,中项的是 A c号 D.12 2.已知直线l:3mx+(1-2m)y一2024=0的倾斜角为，则m= A.-1 B.1 c- 3.已知向量a=(一1,2,1)，b=(3,x,1),且a⊥b,那么|b= A.5 B.√Π C.23 D.10 4.已知圆C1:x2+y2+4x十2=0及圆C2:x2十y2+2x+2y-6=0,则与圆C,C2都相切的直线 的条数为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，在直三棱柱ABC-A1BC,中，D为侧棱CC,的中点，AC: AA1:AB:BC=2:2:1:√5，则异面直线AB与AD所成角的余弦B 值为 A.② 5 3 C. n号 【高二年级期末考试·数学试题 第1页（共4页）】 25-T-435B 已知椭圆C:无+1(a>b>0)的右焦点为P,点P是椭圆C上一点，且PFLOF(O为 标原点)，以P为圆心，PF为半径的圆与y轴相交于A,B两点，若∠APB=经，则C的离心 率为 A.√2-1 B.5-1 7.某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款α元用来购买该 电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到 2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款 A.a(1十t)2元 B.a(1+t) 12 一元 c元 D4特元 8.已知点P(一2,1)是抛物线C:x2=2py上的一点，点F是C的焦点，动点M,N在C上，且 PM⊥PN,则|MF|+|NF|的最小值为 A.4 B.11 C.16 D.21 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知等比数列{an}的公比为q,a1=一2，a2=4,则 A.q=-2 B.a3十a4=8 C.S5=22 D.数列{aa+1}是公比为一4的等比数列 10,已知双曲线C:若一芳-1(。>0，b>0)与直线y=3x无公共点，过C的右焦点F作C的一条渐 近线的垂线，垂足为M,O为坐标原点，若sin∠M)F>sin∠MFO,则C的离心率可以是 A.√② B.2 C.3 D.4 11.在棱长为2的正方体ABCD-A,BC,D,中，点P满足AP=入AC+2AD1,其中1∈(0,1)， a∈(0,1)，则 A.平面PAC⊥平面A,B,CD B.当A十a=1时，三棱锥A,-PBC,的体积为定值 C当=是时，存在点P,使得BPLPC D.当入=时，存在点P,使得BC⊥平面PCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知椭圆后+=1的焦距为2，则m 13.已知等差数列{am}满足a1=32,a2十a3=40,则{am}的前7项之和为 【高二年级期末考试·数学试题第2页（共4页）】 25-T-435B 14.已知O为坐标原点，P(4,0),点E是直线l:x一3y一3=0上一点，若以E为圆心，2为半径 的圆E上存在点Q,使得|PQ=3OQ1,则线段OE长度的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知关于x,y的方程C:x2十y2-2x-4y十m=0. (1)当m为何值时，方程C表示圆： (2)若圆C与直线1：x+2y-4=0相交于M,N两点，且MN=45,求m的值 16.(本小题满分15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(4,t)(其中t>0)在抛物线C上，|AF=5. (1)求p和t的值： (2)O为坐标原点，过点A的直线l与抛物线C交于另一点B,OA⊥OB,求直线1的方程. 17.(本小题满分15分) 在数列{a,中，a=1,且a1=(n十1)a,-nt(n∈N). 2 (1)求{a.}的通项公式； (2)记数列{a,的前n项和为S,若不等式（一1）A一2”<S,对任意的n∈N恒成立，求入 的取值范围。 【高二年级期末考试·数学试题第3页（共4页）】 25-T-435B 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，△MAB是等边三角形，平 面MAB⊥平面ABCD. (1)求平面CDM与平面ABM所成二面角的正弦值： (2)已知E,F,G分别是线段AM,DM,CD上一点，且AE= 号AM,DF=号DM,CG=专CD,若H是线段BM上的一点， 且点H到平面EFG的距离为5，求的值， 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系Oy中，若在曲线E的方程F(x,y)=0中，以（入x,入y)(入>0且λ≠1）代 替(x,y)得到曲线E2的方程F(入x,入y)=O,则称E2是由曲线E,通过关于原点的“伸缩变 换”得到的曲线，入称为伸缩比 (1)若不过原点的直线E通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是E2,证明：E2是与E 平行的直线： (2)已知伸缩比X=时，曲线E通过关于原点的“伸缩变换"得到的曲线是民：需-苦= 1,且E1与x轴有A,B两个交点(A在B的左侧)，过点(4,0)且斜率为k的直线L与E 在y轴的右侧有M,N两个交点 ①求k的取值范围： ②若直线AM,BM,BV的斜率分别为k1k2,k3,证明：k2(k1一k3)为定值. 【高二年级期末考试·数学试题第4页（共4页）】 25-T-435B