第18章 平行四边形-2024-2025学年人教版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷

2024-2025学年人教版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷 第18章 平行四边形 试题满分：100分 难度系数：0.38（较难） 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2分）（2024秋•顺德区期末）如图，点在矩形的边上．若△是等边三角形，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：△是等边三角形， ， 四边形是矩形， ， ． 故选：． 2．（2分）（2024•管城区校级一模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为　　 A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 3．（2分）（2024•织金县一模）如图，是三角形的中位线，点在上，且，若，，则　　 A．4 B．3 C．2.5 D．1.5 解：为的中位线， ， 在中，是的中点， ， ， 故选：． 4．（2分）（2024•重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分交于点．若，则的长度为　　 A．2 B． C． D． 解：四边形是正方形， ，， 在△和△中， ， △△， ； 平分， ， 在△和△中， ， △△， ； 四边形是正方形， ，， 设，则，，， 在△中，根据勾股定理，得，即， 解得． 故选：． 5．（2分）（2024•泸州一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为　　 A．3 B．3.5 C．2 D．2.5 解：点，分别是边，的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形，， ，，，， 即， ， ， 在中，由勾股定理得：， 点是的中点，， 是的中位线， ， 故选：． 6．（2分）（2024春•新会区校级期末）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．有以下结论：①为等边三角形；②；③； ④．其中正确的有　　个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：在菱形中，， ， 为等边三角形，故①正确； 四边形是菱形， ，， ，故②正确； ，， ， ，， ， ，故③正确； 如图，延长交于点， ，， ， ，平分， ， ， ， ，， ， ，故④正确， 综上所述：正确的有4个． 故选：． 7．（2分）（2024•越秀区二模）如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，连接交对角线于点，连接，若，，则　　 A． B． C． D． 解：如图，连接，， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 过作，交于， ，， 四边形为正方形， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 8．（2分）（2024春•肇庆期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的个数是　　 ①；②四边形是菱形；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：四边形是矩形，是中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， 垂直平分， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， △是等边三角形， ， 垂直平分， 是的中点， 连接， ，，三点是共线的，一定是的中点， 垂直平分， ， ， △为等边三角形， ，故①是正确的； ， ， △△， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 四边形是菱形， ②正确， ，， ， ， ， ， ；故③正确； ④四边形是矩形，四边形是菱形， ，，， △△， ， ， ，， ， ，，， △△， ， ， 设，则，， ，故④错误； 故选：． 9．（2分）如图，矩形中，是边的中点，是边上一点，，，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 解：延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ，， 是边的中点， ， 在和中，， ， ， ，，，，，， ，， 设， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ； 故选：． 10．（2分）（2024春•潮阳区期末）如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的结论为　　 A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④ 解：①，， ，故①正确； ②， ， ， ，故②正确； ③作于，作交的延长线于， 则， ， ， ， ，故③错误； ④的面积，故④正确； 其中正确的结论为①②④， 故选：． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（2分）（2024秋•碑林区期末）如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交，于点，，，若的长的最小值为3，则的长为 　6　． 解：过作于，连接， 垂直平分， ， ， 四边形是菱形， 平分， ， ， ， ， 当时，的长最小，最小值是3， 此时平分，，， ， ， ． 故答案为：6． 12．（2分）（2024秋•白银期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则　　． 解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， 方法． 方法， ， 即， ， ． 故答案为：． 13．（2分）（2024•丰顺县一模）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为 　　． 解：在正方形中，， ， ，， ， ， 在菱形中，， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 14．（2分）（2024春•石泉县期末）如图，在矩形中，点，分别是边，上的动点，点是线段的中点，过点作，，垂足分别为，，连接．若，，，则的最小值为 　6.5　． 解：连接、、，如图所示： 四边形是矩形， ，， ， 是线段的中点， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当、、三点共线时，最小， 的最小值是6.5， 故答案为：6.5． 15．（2分）（2021•香坊区校级开学）如图，在菱形中，连接，，点在线段上，点是边中点，连接、，且，，则的长为　20　． 解：如图，延长至，使，连接，取的中点，连接，，过点作，交的延长于， 四边形是菱形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， 点是中点， ， 点是中点，点是的中点， ，，， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为20． 16．（2分）（2024•枣庄一模）如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为 　　． 解：在正方形中，和为对角线， ，，， ， ； ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； 过点作于，如图， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17．（2分）（2024春•江阴市期中）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接，则在下列说法中：①；②四边形是正方形；③的大小随着点的运动不断改变；④的值是定值；正确的有 　①②④　． 解：如图，作于，于， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形，故②正确； ，， ， ， ，故①正确； ， ， 是定值，故③错误； 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值．故④正确； 故答案为：①②④． 18．（2分）（2024•凉山州模拟）如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点到点的最大距离是 　　． 解：如图：取线段的中点，连接，，， ，点是的中点，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 当点，点，点共线时，的长度最大． 点到点的最大距离， 故答案为：． 19．（2分）（2024春•德清县期末）定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形“．如图，在矩形中，，，“筝形“的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，则对角线的长 　7或　． 解：如图1，，， 是的中点，， ， 四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 是的中点， 四边形是矩形， ； 如图2，，， 过点作于点， ， 四边形是矩形， ， 点是的中点，， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， ， 在中，，， 由勾股定理得， 综上所述：的长为7或， 故答案为：7或． 20．（2分）（2021•丹东模拟）如图，矩形中，，，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为 　　． 解：如图，取中点，连接交于，连接， 四边形是矩形， ，，， 点是中点，点是中点， ， 四边形是矩形， 点是的中点， 即为点的运动轨迹， 当时，有最小值， ， ． 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（6分）（2024秋•天府新区期末）如图，在△中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． （1）证明：，点是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， 的长是． 22．（6分）（2024秋•市中区期中）如图，△中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． （1）　45　（直接写出结果不写解答过程） （2）①求证：四边形是正方形． ②若，求△的面积． （3）如图（2），在△中，，高，，则的长度是 　　（直接写出结果不写解答过程）． （1）解：， ，， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：45； （2）①证明：过点作于， 平分，，， ， 同理可得， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； ②， ， 在△和△中， ， △△， ， 同理可得， 设， ， ， ， ， ， 在△中，， ， 解得， ， ； （3）解：如图2所示，把△沿翻折得△，把△沿翻折得△，延长、交于点， 由折叠可得，，，，，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设，则，， 在△中，， ， 解得， ， 故答案为：2.8． 23．（8分）（2024春•越秀区校级期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度问点运动，规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． （1）若，两点同时出发． ①当为何值时，四边形为平行四边形？ ②当为何值时，？ （2）若点先运动3秒后停止运动，此时点从点出发，到达点后运动立即停止，则为何值时，为直角三角形． 解：（1）①根据题意，得，， ，，，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得， 故当秒时，四边形为平行四边形． ②当在点的右边时，根据①四边形为平行四边形时，， 此时． 当在点的左边时，过点作于点， ，，，， 四边形是矩形， ，，， ， 过点作于点， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得， 故当秒或时，． （2）当时， 根据题意，得，，四边形是矩形， ， ， ， 解得， 当时， 过点作于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ，， ，，， ，， ， 解得． 综上所述，当或时，为直角三角形． 24．（8分）（2024春•乐亭县期末）在矩形中，，，，分别是，中点，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）当，则四边形一定是怎样的四边形、相遇时除外），说明理由； （2）若四边形为矩形，的值为 　2或8　； （3）若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则的值为 　　 解：（1）四边形一定是平行四边形，理由如下： 连接交于点，如图1所示： 四边形为矩形，，，，， ，，，， 在中，由勾股定理得：， ， 点、分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒， ， 当时，点在上运动，点在上运动， ，分别是，中点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 又， 四边形一定是平行四边形； （2）连接，如图2所示： ，， ， 四边形一定是平行四边形； 经过点， ， 四边形为矩形，，分别是，中点， 四边形和四边形均为矩形， ， ， 若四边形为矩形时，则， ， 当秒时，四边形为矩形， ， 当运动到点图中的位置上时，点运动到点的位置上，此时四边形为矩形， 运动时间（秒， 综上所述：若四边形为矩形，的值为2或8； （3）连接，，如图3所示： 点，与点，同时运动，且运动的速度相同， 点，与点，运动的路程相同， ， 点到达点时所用的时间， ， ， ， 四边形是菱形，， 经过点， ， ， 为线段的垂直平分线， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 当时，四边形为矩形． 故答案为：． 25．（8分）（2024秋•法库县期末）如图，已知正方形中，为延长线上一点，且，、分别为、的中点，连交于，交，于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过作于点，连，则的值． （1）证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ； （2）证明：延长至，且使，连接，如图1所示： 则， 四边形是矩形， ，，， 在和中，， ， ， ，， 为的中点， 为的中位线， ， ； （3）解：过点作交于，如图2所示： 则， ， ， ， ， ，， 由角的互余关系得：， ， 在和中，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ． 26．（8分）（2024春•河北期末）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． （1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）①证明：如图，作于，于， 得矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②解：正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． ， ， 连接， ， ． 正方形的边长为． 27．（8分）（2024春•城厢区校级期中）如图，矩形中，，．一动点从点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时另一动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间为秒．过点作于点，连接，． （1）求证：； （2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． （1）证明：， ， 在中，， ， ， 又， ； （2）解：①当时，四边形为矩形， ， ，， ，即； ②当时，， 在中，， ， ， ， ， ③当时，此种情况不存在， 综上所述，当或时，为直角三角形． 28．（8分）（2023春•张店区校级期中）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边中，是边上一点（不含端点，，是的外角的平分线上一点，且．求证：． （1）点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，请完成剩余证明过程： （2）拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，，是正方形的外角的平分线上一点，且．求证：． 证明：（1）点拨：如图2，作，与的延长线相交于点，得等边，连接， 易证， ，； ， ， ； ， ． ， ， ； （2）拓展：延长至，使，连接、，如图所示： 则，中， 是等腰直角三角形， ， 是正方形的外角的平分线上一点， ， ， 、、，三点共线， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷 第18章 平行四边形 试题满分：100分 难度系数：0.38（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2分）（2024秋•顺德区期末）如图，点在矩形的边上．若△是等边三角形，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2024•管城区校级一模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为　　 A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 3．（2分）（2024•织金县一模）如图，是三角形的中位线，点在上，且，若，，则　　 A．4 B．3 C．2.5 D．1.5 4．（2分）（2024•重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分交于点．若，则的长度为　　 A．2 B． C． D． 5．（2分）（2024•泸州一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为　　 A．3 B．3.5 C．2 D．2.5 6．（2分）（2024春•新会区校级期末）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．有以下结论：①为等边三角形；②；③； ④．其中正确的有　　个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2分）（2024•越秀区二模）如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，连接交对角线于点，连接，若，，则　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2024春•肇庆期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的个数是　　 ①；②四边形是菱形；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2分）如图，矩形中，是边的中点，是边上一点，，，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2024春•潮阳区期末）如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的结论为　　 A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④ 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（2分）（2024秋•碑林区期末）如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交，于点，，，若的长的最小值为3，则的长为 　　． 12．（2分）（2024秋•白银期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则　　． 13．（2分）（2024•丰顺县一模）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为 　　． 14．（2分）（2024春•石泉县期末）如图，在矩形中，点，分别是边，上的动点，点是线段的中点，过点作，，垂足分别为，，连接．若，，，则的最小值为 　　． 15．（2分）（2021•香坊区校级开学）如图，在菱形中，连接，，点在线段上，点是边中点，连接、，且，，则的长为　　． 16．（2分）（2024•枣庄一模）如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为 　　． 17．（2分）（2024春•江阴市期中）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接，则在下列说法中：①；②四边形是正方形；③的大小随着点的运动不断改变；④的值是定值；正确的有 　　． 18．（2分）（2024•凉山州模拟）如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点到点的最大距离是 　　． 19．（2分）（2024春•德清县期末）定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形“．如图，在矩形中，，，“筝形“的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，则对角线的长 　　． 20．（2分）（2021•丹东模拟）如图，矩形中，，，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为 　　． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（6分）（2024秋•天府新区期末）如图，在△中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 22．（6分）（2024秋•市中区期中）如图，△中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． （1）　　（直接写出结果不写解答过程） （2）①求证：四边形是正方形． ②若，求△的面积． （3）如图（2），在△中，，高，，则的长度是 　　（直接写出结果不写解答过程）． 23．（8分）（2024春•越秀区校级期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度问点运动，规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． （1）若，两点同时出发． ①当为何值时，四边形为平行四边形？ ②当为何值时，？ （2）若点先运动3秒后停止运动，此时点从点出发，到达点后运动立即停止，则为何值时，为直角三角形． 24．（8分）（2024春•乐亭县期末）在矩形中，，，，分别是，中点，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）当，则四边形一定是怎样的四边形、相遇时除外），说明理由； （2）若四边形为矩形，的值为 　　； （3）若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，则的值为 　　 25．（8分）（2024秋•法库县期末）如图，已知正方形中，为延长线上一点，且，、分别为、的中点，连交于，交，于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过作于点，连，则的值． 26．（8分）（2024春•河北期末）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 27．（8分）（2024春•城厢区校级期中）如图，矩形中，，．一动点从点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时另一动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间为秒．过点作于点，连接，． （1）求证：； （2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 28．（8分）（2023春•张店区校级期中）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 如图①，在等边中，是边上一点（不含端点，，是的外角的平分线上一点，且．求证：． （1）点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，请完成剩余证明过程： （2）拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，，是正方形的外角的平分线上一点，且．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$