数学（江苏南通卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（南通卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．计算﹣3+5的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 2．由陈凯歌、张一白、管虎等七位导演执导的电影《我和我的祖国》于2019年9月30日在全国上映，电影票房便超过299400000元，数299400000用科学记数法表示为（　　） A．0.2994×109 B．2.994×108 C．29.94×107 D．2994×106 3．以下问题．不适合用全面调查的是（　　） A．了解全班同学每周体育锻炼的时间 B．学校招聘老师，对应聘者进行面试 C．了解“神舟十五号”载人飞船发射前零部件的状况 D．某批种子的发芽率 4．如图，AB∥CD，点E在AB上，过点E作AB的垂线与CD相交于点F，连接CE，若∠ECD＝40°，则∠CEF的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 5．一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象经过点P（﹣2，﹣1）且y随着x的增大而减小，则该图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．在我国古代数学著作《九章算术》中记录着这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知钱数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“现有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组（　　） A． B． C． D． 7．下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．等腰梯形的对角和相等 D．矩形的对角线互相垂直平分 8．若关于x的不等式3m﹣2x＜9的解集是x＞3，则实数m的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 9．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为，则k的值是（　　） A．7 B．14 C．21 D．28 10．已知二次函数，（m，n为常数，n≠0）的最小值分别为p，q，（　　） A．若p+q＝0，则p＝q＝0 B．若p﹣q＝0，则p＝q＝0 C．若p+q＝1，则p＝q＝0.5 D．若p﹣q＝1，则p＝1，q＝0 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．分解因式：m2﹣2m+1＝　 　． 12．因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为，类比以上推理，的小数部分为 　 　． 13．一个多边形的内角和与外角和相等，则它是　 　边形． 14．如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处，观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度为 　 　m（结果保留整数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）． 15．设a是方程x2+2x﹣2＝0的一个实数根，则2a2+4a+2020＝　 　． 16．如图，已知半圆O的直径为MN，点A在半径OM上，B为的中点，点C在弧BN上，以AB、BC为邻边作矩形ABCD，边CD交MN于点E，连接DO，并延长DO交AB于点P，若BP＝2AP，则的值为 　 　． 17．如图，△AOB的边AB∥x轴，点C在OB上，反比例函数y（k＞0）的图象经过A，C两点．若△AOB的面积为5，且OC＝2BC，则k的值为 　 　． 18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，M是AO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在直线BD上运动，连结AF、ME，若AB＝6，，则AF+ME的最小值是 　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（1）计算：； （2）化简代数式，并请你取一个合适的a值，代入化简后的代数式求值． 20．（10分）某校九（1）班学生成立了一个“关于新冠肺炎45个知识点”的防疫科普宣传小组，其中男生2人，女生3人，现从小组中选人进社区宣传． （1）若选1人，则恰好选中女生的概率是 　 　； （2）若选2人，求恰好选中一男一女的概率． 21．（12分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）求证：AP＝CQ； （2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值； （3）在P点运动过程中，当t为何值时，△AOP是等腰三角形．（直接写出答案即可） 22．（10分）为全面深入学习宣传贯彻全国“两会”精神，学深悟透习近平总书记在“两会”期间的系列重要讲话精神，培养学生的爱国情怀，某校组织全校学生参加了“聚焦全国两会•凝聚奋进力量”主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各15名学生的成绩x（单位：分），过程如下： 【收集数据】： 八年级15名学生竞赛成绩分别为：77，84，88，98，97，88，100，92，88，91，94，91，97，95，100； 七年级15名学生竞赛成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90． 【整理数据】： 年级 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 八年级 1 1 m 4 6 七年级 1 2 3 4 5 【分析数据】： 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 92 a 92 37.7 七年级 90 87 b 50.2 根据以上提供的信息，回答下列问题： （1）填空：m＝　 　，a＝　 　，b＝　 　； （2）该校八年级学生有600人，假设全部参加此次竞赛，请估计八年级成绩超过平均分的人数； （3）请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由．（写出一条理由即可） 23．（12分）亳州市某超市经销某种特色水果的成本为每千克20元，在一段时间内，销售单价P（元/千克）与时间t（天）的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+120（其中天数t为整数）． （1）当0≤t≤40天，求销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式； （2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）在前20天中，超市决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．而且每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 24．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，作射线AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与AC，AB分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交半圆O于点D，过点D画半圆O的切线，分别交射线AB，AC于点E，F． （1）求∠AFD的度数； （2）若AF＝3，∠ADF＝60°，求BD的长． 25．（13分）（1）【活动背景】在鹿鸣成长课程中，同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题．如图1，在矩形ABCD的边AD和BC上分别取点E、F，且CF＝2DE，连接CE、DF交于点O，将边AD沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在AB和CD上，试说明：点Q是边CD的三等分点． （2）【活动操作】同学们进一步发现，在作图的过程中也可以参考类似的方法．如图2，已知线段BC，点E是BC的中点，请用无刻度直尺和圆规作平行四边形ABCD，使得AE⊥BD．（不写作法保留作图痕迹） （3）【活动证明】同学们通过查阅资料发现，不能通过圆规直接三等分角，但可以通过圆规和带刻度的直尺得出三等分角，如图3，点C是OA上一点，用尺规作出CD⊥OB，CF∥OB后，将直尺一端放在点O处，不断转动直尺与CD、CF交于点M、N，当MN与CO满足某种数量关系时，即可得到，试猜想MN与CO的数量关系并证明． （4）【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形ABCD，若BC＝kAB，请直接写出k的取值范围． 26．（13分）如图，直线y＝kx+b（b＞0）与抛物线yx2相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设△OCD的面积为S，且kS+2＝0．过点B作x轴的垂线交AO的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的平行线l1，l2，直线l3（不平行于y轴）与抛物线yx2有唯一公共点，分别交l1，l2于P，Q两点． （1）求b的值； （2）求点E的纵坐标； （3）探究CP2﹣CQ2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（南通卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．计算﹣3+5的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 2．由陈凯歌、张一白、管虎等七位导演执导的电影《我和我的祖国》于2019年9月30日在全国上映，电影票房便超过299400000元，数299400000用科学记数法表示为（　　） A．0.2994×109 B．2.994×108 C．29.94×107 D．2994×106 3．以下问题．不适合用全面调查的是（　　） A．了解全班同学每周体育锻炼的时间 B．学校招聘老师，对应聘者进行面试 C．了解“神舟十五号”载人飞船发射前零部件的状况 D．某批种子的发芽率 4．如图，AB∥CD，点E在AB上，过点E作AB的垂线与CD相交于点F，连接CE，若∠ECD＝40°，则∠CEF的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 5．一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象经过点P（﹣2，﹣1）且y随着x的增大而减小，则该图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．在我国古代数学著作《九章算术》中记录着这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知钱数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“现有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组（　　） A． B． C． D． 7．下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．等腰梯形的对角和相等 D．矩形的对角线互相垂直平分 8．若关于x的不等式3m﹣2x＜9的解集是x＞3，则实数m的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 9．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为，则k的值是（　　） A．7 B．14 C．21 D．28 10．已知二次函数，（m，n为常数，n≠0）的最小值分别为p，q，（　　） A．若p+q＝0，则p＝q＝0 B．若p﹣q＝0，则p＝q＝0 C．若p+q＝1，则p＝q＝0.5 D．若p﹣q＝1，则p＝1，q＝0 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．分解因式：m2﹣2m+1＝　 　． 12．因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为，类比以上推理，的小数部分为 　 　． 13．一个多边形的内角和与外角和相等，则它是　 　边形． 14．如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处，观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度为 　 　m（结果保留整数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）． 15．设a是方程x2+2x﹣2＝0的一个实数根，则2a2+4a+2020＝　 　． 16．如图，已知半圆O的直径为MN，点A在半径OM上，B为的中点，点C在弧BN上，以AB、BC为邻边作矩形ABCD，边CD交MN于点E，连接DO，并延长DO交AB于点P，若BP＝2AP，则的值为 　 　． 17．如图，△AOB的边AB∥x轴，点C在OB上，反比例函数y（k＞0）的图象经过A，C两点．若△AOB的面积为5，且OC＝2BC，则k的值为 　 　． 18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，M是AO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在直线BD上运动，连结AF、ME，若AB＝6，，则AF+ME的最小值是 　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（1）计算：； （2）化简代数式，并请你取一个合适的a值，代入化简后的代数式求值． 20．（10分）某校九（1）班学生成立了一个“关于新冠肺炎45个知识点”的防疫科普宣传小组，其中男生2人，女生3人，现从小组中选人进社区宣传． （1）若选1人，则恰好选中女生的概率是 　 　； （2）若选2人，求恰好选中一男一女的概率． 21．（12分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）求证：AP＝CQ； （2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值； （3）在P点运动过程中，当t为何值时，△AOP是等腰三角形．（直接写出答案即可） 22．（10分）为全面深入学习宣传贯彻全国“两会”精神，学深悟透习近平总书记在“两会”期间的系列重要讲话精神，培养学生的爱国情怀，某校组织全校学生参加了“聚焦全国两会•凝聚奋进力量”主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各15名学生的成绩x（单位：分），过程如下： 【收集数据】： 八年级15名学生竞赛成绩分别为：77，84，88，98，97，88，100，92，88，91，94，91，97，95，100； 七年级15名学生竞赛成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90． 【整理数据】： 年级 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 八年级 1 1 m 4 6 七年级 1 2 3 4 5 【分析数据】： 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 92 a 92 37.7 七年级 90 87 b 50.2 根据以上提供的信息，回答下列问题： （1）填空：m＝　 　，a＝　 　，b＝　 　； （2）该校八年级学生有600人，假设全部参加此次竞赛，请估计八年级成绩超过平均分的人数； （3）请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由．（写出一条理由即可） 23．（12分）亳州市某超市经销某种特色水果的成本为每千克20元，在一段时间内，销售单价P（元/千克）与时间t（天）的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+120（其中天数t为整数）． （1）当0≤t≤40天，求销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式； （2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）在前20天中，超市决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．而且每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 24．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，作射线AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与AC，AB分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交半圆O于点D，过点D画半圆O的切线，分别交射线AB，AC于点E，F． （1）求∠AFD的度数； （2）若AF＝3，∠ADF＝60°，求BD的长． 25．（13分）（1）【活动背景】在鹿鸣成长课程中，同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题．如图1，在矩形ABCD的边AD和BC上分别取点E、F，且CF＝2DE，连接CE、DF交于点O，将边AD沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在AB和CD上，试说明：点Q是边CD的三等分点． （2）【活动操作】同学们进一步发现，在作图的过程中也可以参考类似的方法．如图2，已知线段BC，点E是BC的中点，请用无刻度直尺和圆规作平行四边形ABCD，使得AE⊥BD．（不写作法保留作图痕迹） （3）【活动证明】同学们通过查阅资料发现，不能通过圆规直接三等分角，但可以通过圆规和带刻度的直尺得出三等分角，如图3，点C是OA上一点，用尺规作出CD⊥OB，CF∥OB后，将直尺一端放在点O处，不断转动直尺与CD、CF交于点M、N，当MN与CO满足某种数量关系时，即可得到，试猜想MN与CO的数量关系并证明． （4）【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形ABCD，若BC＝kAB，请直接写出k的取值范围． 26．（13分）如图，直线y＝kx+b（b＞0）与抛物线yx2相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设△OCD的面积为S，且kS+2＝0．过点B作x轴的垂线交AO的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的平行线l1，l2，直线l3（不平行于y轴）与抛物线yx2有唯一公共点，分别交l1，l2于P，Q两点． （1）求b的值； （2）求点E的纵坐标； （3）探究CP2﹣CQ2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（南通卷） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D C A D D A B A 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．m2﹣2m+1＝（m﹣1）2 12．3． 13．四 14．8． 15．2024． 16．． 17．8． 18．． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）【详解】解：（1）原式＝39+4﹣21（3分） ＝﹣6；（5分） （2）原式[] （） ，（8分） 当a＝2时，原式．（10分） 20．（10分）【详解】解（1）∵男生2人，女生3人， ∴选1人，则恰好选中女生的概率是． 故答案为：．（4分） （2）根据题意，画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中符合题意的有12种，（6分） ∴P．（10分） 21．（10分）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠PAO＝∠QCO，∠APO＝∠CQO， 在△APO和△CQO中， ， ∴△APO≌△CQO（AAS）， ∴AP＝CQ；（4分） （2）解：如图： ∵AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°， ∴BC＝2AB＝6， 由（1）知，AP＝CQ＝t， ∴BQ＝BC﹣CQ＝6﹣t， 由AP∥BQ可知，AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴t＝6﹣t， 解得t＝3， 答：当四边形ABQP是平行四边形时，t的值是3；（8分） （3）解：①当AP＝AO时，△AOP是等腰三角形，如图： ∵AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°， ∴ACAB＝3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝COAC， ∴AP＝AO， ∴t； ②当AO＝PO时，△AOP是等腰三角形，过O作OH⊥AD于H，如图： ∵AD∥BC， ∴∠HAO＝∠ACB＝30°， 在Rt△AOH中， OHAO，AHOH， ∵AO＝PO，OH⊥AD， ∴AP＝2AH， ∴t； ③当AP＝OP时，△AOP是等腰三角形，过P作PK⊥AO于K，如图： ∵AP＝OP，PK⊥AO， ∴AKAO， 在Rt△APK中， AP， ∴t， 综上所述，当t为或或时，△AOP是等腰三角形．（12分） 22．（10分）【详解】解：（1）由题意知m＝3，八年级成绩的众数a＝88， 七年级成绩的中位数是第8个数，即91， 所以b＝91， 故答案为：3，88，91；（4分） （人）， 答：八年级成绩超过平均分的人数为280人；（7分） （3）八年级成绩更好． 从平均数看，八年级成绩的平均数大于七年级，所以八年级成绩更好．（10分） 23．（12分）【详解】解：（1）当0≤t≤40天，设销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝kt+30， ∴40＝40t+30， 解得t， ∴当0≤t≤40天，销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为pt+30；（4分） （2）设日销售利润为w元， 当0≤t≤40天时， w＝（p﹣20）y ＝（t+10）（﹣2t+120） （t﹣10）2+1250， ∴当t＝10时，w有最大值为1250； 当t＞40时， w＝（p﹣20）y ＝20（﹣2t+120） ＝﹣40t+2400＜800， ∴第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元；（8分） （3）∵w＝（p﹣20﹣n）（﹣2t+120） t2+（2n+10）t+1200﹣120n， ∴a，对称轴为直线t＝2n+10， ∵每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， ∴， ∴5≤n＜9．（12分） 24．（10分）（1）证明：如图，连接OD， ∵EF与半圆O相切于点D， ∴OD⊥DF， 由题意知，AD平分∠BAC， 即∠BAD＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥OD， 又OD⊥DF， ∴DF⊥AC， ∴∠AFD＝90°；（5分） （2）解：由（1）知，∠AFD＝90°，∠BAD＝∠CAD， 在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3，AF2+DF2＝AD2， ∴∠DAF＝30°， ∴AD＝2DF， ∴AF＝3， ∴32+DF2＝（2DF）2， ∴DF， ∴AD＝2， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝∠AFD＝90°， ∴△ADF∽△ABD， ∴， ∴， 解得BD＝2．（10分） 25．（13分）【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴＝＝ 将边AD沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在AB和CD上， ∴∠APB＝∠BPQ＝90°，∠DQP＝∠CQP＝90°， 在矩形ABCD中，∠A＝90°， ∴四边形APQD是矩形， ∴AD∥PQ， ∴＝＝， ∴DQ＝CD，即Q是边CD的三等分点；（4分） （2）解：如图2，以BE为直径画圆O，在圆O上取点N，连接BN，EN，延长BN至A，使ND＝2BN，延长EN至A，使AN＝2NE，连接AD，AB，CD，则四边形ABCD为所求四边形； 证明：∵AN＝2NE，DN＝2BN， ∴＝＝2， ∵∠AND＝∠BNE， ∴△AND∽△ENB， ∴∠NBE＝∠ADN，＝2， ∴AD∥BE，AD＝2BE， 又∵E为BC的中点， ∴2BE＝BC， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵BE为圆O的直径， ∴∠BNE＝90°， ∴AE⊥BD； ∴平行四边形ABCD符合条件；（8分） （3）解：取MN的中点H，连接CH，如图3， ∵CD⊥OB，CF∥OB， ∴CD⊥CF， ∴CH＝MN， ∵点H是MN的中点， ∴MH＝NH＝MN， ∴CH＝NH， ∴∠HCN＝∠CNH， ∴∠OHC＝∠HCN+∠CNH＝2∠CNH， ∵∠MOD＝∠AOB， ∴∠COH＝2∠MOD， ∵CF∥OB， ∴∠NOB＝∠CNH， ∵∠OHC＝2∠CNH，∠COH＝2∠NOB＝2∠CNO， ∴∠OHC＝∠COH， ∴CO＝CH＝MN；（10分） （4）解：作CM⊥BD交BD于M， ∴AE∥CM， ∵BE＝EC， ∴BN＝NM， ∵DN＝2BN， ∴MD＝NM＝BN， 在Rt△ABN和Rt△BNE中，BN2＝AB2﹣AN2＝BE2﹣NE2， ∴AB2﹣BE2＝AN2﹣NE2＝3NE2＞0， ∴AB2﹣（）2＞0， ∴AB2﹣AB2＞0， ∴1﹣＞0， ∴k2＜4， 又∵k＞0， ∴0＜k＜2； 在Rt△BCM和Rt△DCM中，CD2﹣DM2＝BC2﹣BM2， ∴AB2﹣BC2＝DM2﹣BM2， ∴k2﹣AB2＝BM2﹣DM2＝3DM2＞0， ∴（k2﹣1）AB2＞0， ∴k2＞1， 又∵k＞0， ∴k＞1； 综上，k的取值范围1＜k＜2． 方法二： ∵DN＝2BN， 延长BC至H，满足BE＝EC＝CH， 即EH＝2BE， ∴EN∥DH， ∴∠BDH＝∠BNE＝90°， ∴点D在以BH为直径的圆上运动， ∵BC\BH长度固定， ∴CD最小值大于CH，最小值小于BC， ∴1＜＜2， 即1＜k＜2．（13分） 26．（13分）【详解】解：（1）∵y＝kx+b（b＞0）， ∴当x＝0时，y＝b，当y＝0时，， ∴C（0，b），， ∴， ∵kS+2＝0， ∴， ∵b＞0， ∴b＝2；（4分） （2）设，点B的横坐标为x2，则点E的横坐标为x2， 设直线OA为y＝tx，则， 解得， ∴直线OA的解析式为， 由（1）可知y＝kx+2， 令， 整理得x2﹣4kx﹣8＝0， 则x1，x2是方程的两个实数根， ∴x1x2＝﹣8， 将x＝x2代入， 得， ∴点E的纵坐标为﹣2；（8分） （3）是定值，理由如下： 设直线l3的解析式为y＝mx+n， 令， 整理得x2﹣4mx﹣4n＝0， ∵直线y＝mx+n与抛物线只有一个交点， ∴（4m）2﹣4×（﹣4n）＝0， ∴n＝﹣m2， ∴y＝mx﹣m2， 由（1）（2）可知C（0，2），E点的纵坐标为﹣2， ∴当y＝2时，，当y＝﹣2时，， ∴，， ∴，， ∴8﹣16＝﹣8， ∴CP2﹣CQ2的值为定值﹣8．（13分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第一次模拟考试（南通卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分） 11． _________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 17．__________________ 18．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 3、 解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分） 20. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （12分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（12分） 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（南通卷） 数学·全解全析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．计算﹣3+5的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 1．B 【分析】直接用有理数加法法则计算． 【详解】解：﹣3+5＝2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，掌握有理数的加法运算法则，符号的确定是解题关键． 2．由陈凯歌、张一白、管虎等七位导演执导的电影《我和我的祖国》于2019年9月30日在全国上映，电影票房便超过299400000元，数299400000用科学记数法表示为（　　） A．0.2994×109 B．2.994×108 C．29.94×107 D．2994×106 2．B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将299400000用科学记数法表示为2.994×108， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．以下问题．不适合用全面调查的是（　　） A．了解全班同学每周体育锻炼的时间 B．学校招聘老师，对应聘者进行面试 C．了解“神舟十五号”载人飞船发射前零部件的状况 D．某批种子的发芽率 3．D 【分析】根据全面调查需要简单易行，便于开展，要求精准，难度不大，无破坏性的特点，抽样调查是会给调查对象带来损伤破坏，以及经费和时间非常有限等特点，对各个选项的调查进行判断即可． 【详解】解：A．∵全班学生的数量少，容易调查，∴适合全面调查，故此选项不符合题意； B．∵学校招聘的老师一般都是人员有限，数量较少，容易调查，∴适合全面调查，故此选项不符合题意； C．∵人造飞船必须要精准，确保成功，∴适合全面调查，故此选项不符合题意； D．调查种子的发芽率，根据实际情况，不可能都让它们泡发，∴适合抽样调查，不适合全面调查，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全面调查和抽样调查，解题关键是根据调查对象的范围的大小作出判断． 4．如图，AB∥CD，点E在AB上，过点E作AB的垂线与CD相交于点F，连接CE，若∠ECD＝40°，则∠CEF的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 4．C 【分析】先利用平行线的性质可得∠AEC＝∠ECF＝40°，再根据垂直定义可得∠AEF＝90°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵AB∥CD ∴∠AEC＝∠ECF＝40°， ∵EF⊥AB， ∴∠AEF＝90°， ∴∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝50°， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 5．一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象经过点P（﹣2，﹣1）且y随着x的增大而减小，则该图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．A 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质可得出k＜0，b＜0，再利用一次函数图象与系数的关系，即可得出一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，即一次函数y＝kx+b的图象不经过第一象限． 【详解】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点P（﹣2，﹣1）， ∴﹣1＝﹣2k+b， ∴b＝2k﹣1． ∵y随着x的增大而减小， ∴k＜0， ∴2k﹣1＜0，即b＜0， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限， ∴一次函数y＝kx+b的图象不经过第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，求出k＜0，b＜0是解题的关键． 6．在我国古代数学著作《九章算术》中记录着这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知钱数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“现有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组（　　） A． B． C． D． 6．D 设甲的钱数为x，人数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y， 依题意得，． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．等腰梯形的对角和相等 D．矩形的对角线互相垂直平分 7．D 【分析】根据正方形、菱形、等腰梯形、矩形的性质，即可解答． 【详解】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，正确； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确； C、等腰梯形的对角和相等，正确； D、矩形的对角线互相平分，故错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形、菱形、等腰梯形、矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形、菱形、等腰梯形、矩形的性质． 8．若关于x的不等式3m﹣2x＜9的解集是x＞3，则实数m的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 8．A 【分析】根据解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：解3m﹣2x＜9，得x． 由不等式的解集，得3． 解得m＝5． 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于m的方程是解题关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为，则k的值是（　　） A．7 B．14 C．21 D．28 9．B 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接OC，OA， ∵⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径， ∴CB⊥x轴， ∴BC∥y轴， ∴S△ACD＝S△OAB， ∴k＝2S△BOC＝2×2S△OAB＝2×214． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值的几何意义是关键． 10．已知二次函数，（m，n为常数，n≠0）的最小值分别为p，q，（　　） A．若p+q＝0，则p＝q＝0 B．若p﹣q＝0，则p＝q＝0 C．若p+q＝1，则p＝q＝0.5 D．若p﹣q＝1，则p＝1，q＝0 10．A 【分析】根据对称轴公式求出y1和y2的对称轴，再依据二次函数，（m，n为常数，n≠0）都有最小值可知，两抛物线开口都是向上，进而得出pn，q1，结合条件得出p+q＝0，列出方程求解即可． 【详解】解：由两函数表达式可知， 函数y1的对称轴 为x， 函数y2的对称轴为直线x， ∵二次函数，（m，n为常数，n≠0）的最小值分别为p，q，（ ∴两函数图象均开口向上，两函数均在对称轴上取到最小值， 则有pn，q1， 若p+q＝0，则有n10， 解得：8n＝m2或n＝﹣1（舍去）， 将m2＝8n代入p，q得：p＝q＝0， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴及二次函数最大（小）值的求法． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．分解因式：m2﹣2m+1＝　（m﹣1）2　． 11．m2﹣2m+1＝（m﹣1）2 【分析】符合完全平方公式的结构形式，直接利用完全平方公式分解因式即可．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2． 【详解】解：m2﹣2m+1＝（m﹣1）2． 【点睛】本题主要考查完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 12．因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为，类比以上推理，的小数部分为 　3　． 12．3． 【分析】利用无理数的估算即可求得答案． 【详解】解：∵33＝27，43＝64， ∴34， ∴的小数部分为3； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 13．一个多边形的内角和与外角和相等，则它是　四　边形． 13．四 【分析】设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°，列方程解答． 【详解】解：设多边形的边数为n， 根据题意列方程得，（n﹣2）•180°＝360°， n﹣2＝2， n＝4． 故答案为四． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°． 14．如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处，观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度为 　8　m（结果保留整数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）． 14．8． 【分析】由锐角三角函数定义求出AC的长，再证BC＝CD＝40m，即可求解． 【详解】解：由题意得： ∠ACD＝90°，∠ADC＝50°，∠BDC＝45°，CD＝40m， 在Rt△ACD中，tan∠ADCtan50°， ∴AC＝CD•tan50°≈40×1.19＝47.6（m）， 在Rt△BCD中，∠BDC＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BC＝CD＝40m， ∴AB＝AC﹣BC＝47.6﹣40≈8（m）， 即旗杆的高度AB约为8m， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键． 15．设a是方程x2+2x﹣2＝0的一个实数根，则2a2+4a+2020＝　2024　． 15．2024． 【分析】首先由已知可得a2+2a﹣2＝0，即a2+2a＝2．然后化简代数式，整体代入，从而求得代数式的值． 【详解】解：把x＝a代入得到a2+2a﹣2＝0， 则a2+2a＝2， 又∵2a2+4a+2020＝2（a2+2a）+2020， 把a2+2a＝2代入2a2+4a+2020＝2（a2+2a）+2020＝2×2+2020＝2024， 故答案为：2024． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，整体代入思想的应用是解题的关键． 16．如图，已知半圆O的直径为MN，点A在半径OM上，B为的中点，点C在弧BN上，以AB、BC为邻边作矩形ABCD，边CD交MN于点E，连接DO，并延长DO交AB于点P，若BP＝2AP，则的值为 　　． 16．． 【分析】先证明OH为BC的垂直平分线，OG是AD的垂直平分线，OF为AP的垂直平分线，设AF＝FP＝2x，BP＝2AP＝4x．再利用射影定理得BO2＝BF•BA，故BOx，OFx，再计算即可． 【详解】解：过O作OH⊥BC，HO延长线交AD于G， 过O作OF⊥AB，FO延长线交CD于P，连OB、OC． ∵OB＝OC， ∴OH为BC的垂直平分线． ∵矩形ABCD， ∴OG是AD的垂直平分线， ∴OA＝OD． ∴∠OAD＝∠ODA． ∵∠OAD+∠PAO＝∠ODA+APO＝90°． ∴∠OAP＝∠OPA， ∴OA＝OP， ∴OF为AP的垂直平分线， 设AF＝FP＝2x， ∴BP＝2AP＝4x． ∵B为的中点， ∴BO⊥AO， ∵∠ABO＝∠ABO，∠OFB＝∠BOA＝90°， ∴△BFO～△BOA， ∴BO2＝BF•BA， ∴BOx， ∴OFx， ∴BC＝2BH＝2OF＝2x， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，综合运用这些知识是解题关键． 17．如图，△AOB的边AB∥x轴，点C在OB上，反比例函数y（k＞0）的图象经过A，C两点．若△AOB的面积为5，且OC＝2BC，则k的值为 　8　． 17．8． 【分析】作CE⊥x轴，BF⊥x轴，设点C（m，），利用相似可得B（，），A（，），利用△AOB的面积为5，建立方程求出k值即可． 【详解】解：如图，作CE⊥x轴，BF⊥x轴， ∵CE∥BF， ∴△OEC∽△OFB， ∵OC＝2BC， ∴， ∴BFCE， 设点C（m，），则B（，），A（，）， ∴AB＝（）m， ∵△AOB的面积为5， ∴， 解得：k＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数k值几何意义，熟练掌握k值几何意义是关键． 18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，M是AO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在直线BD上运动，连结AF、ME，若AB＝6，，则AF+ME的最小值是 　　． 18．． 【分析】取AD的中点P，连接FP，MP，CP，且CP交BD于点H，证明四边形MEFP为平行四边形，得出ME＝PF，由正方形的性质得出AF＝CF，则可得出CF+FP≥CP，由勾股定理求出PC的长，则可得出答案． 【详解】解：∵正方形ABCD中，AB＝6， ∴BD＝6， ∴OD＝3， 取AD的中点P，连接FP，MP，CP，且CP交BD于点H， ∵M为AO的中点， ∴MP∥OD，MPOD， ∵EF， ∴EF＝MP， ∴四边形MEFP为平行四边形， ∴ME＝PF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴A，C关于BD对称， ∴AF＝CF， ∵AF+ME＝CF+FP≥CP， 即F与H重合时，AF+ME最小，最小值为PC的长， ∵PD＝3，CD＝6， ∴PC， ∴AF+ME的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理，能够将两线段和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（1）计算：； （2）化简代数式，并请你取一个合适的a值，代入化简后的代数式求值． 19．（1）﹣6； （2），a＝3时，原式． 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，整数指数幂的性质计算即可； （2）先计算括号，再计算乘除，最后代入计算． 【详解】解：（1）原式＝39+4﹣21 ＝﹣6； （2）原式[] （） ， 当a＝2时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 20．（10分）某校九（1）班学生成立了一个“关于新冠肺炎45个知识点”的防疫科普宣传小组，其中男生2人，女生3人，现从小组中选人进社区宣传． （1）若选1人，则恰好选中女生的概率是 　　； （2）若选2人，求恰好选中一男一女的概率． 20．（1）． （2）． 【分析】（1）根据概率公式计算即可． （2）画树状图计算即可． 【详解】解（1）∵男生2人，女生3人， ∴选1人，则恰好选中女生的概率是． 故答案为：． （2）根据题意，画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中符合题意的有12种， ∴P． 【点睛】本题考查了概率公式计算，用画树状图法或列表法求概率，熟练掌握画树状图计算概率是解题的关键． 21．（12分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）求证：AP＝CQ； （2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值； （3）在P点运动过程中，当t为何值时，△AOP是等腰三角形．（直接写出答案即可） 21．（1）证明见解答过程； （2）当四边形ABQP是平行四边形时，t的值是3； （3）当t为或或时，△AOP是等腰三角形． 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可证△APO≌△CQO（AAS），即得AP＝CQ； （2）根据AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，得BC＝2AB＝6，而AP＝CQ＝t，知BQ＝BC﹣CQ＝6﹣t，若四边形ABQP是平行四边形，则t＝6﹣t，可得t＝3； （3）分三种情况：①当AP＝AO时，△AOP是等腰三角形，由AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，可得AP＝AO，t；②当AO＝PO时，△AOP是等腰三角形，过O作OH⊥AD于H，在Rt△AOH中，OHAO，AHOH，即得AP＝2AH，t；③当AP＝OP时，△AOP是等腰三角形，过P作PK⊥AO于K，由AKAO，在Rt△APK中，可得AP，t． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠PAO＝∠QCO，∠APO＝∠CQO， 在△APO和△CQO中， ， ∴△APO≌△CQO（AAS）， ∴AP＝CQ； （2）解：如图： ∵AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°， ∴BC＝2AB＝6， 由（1）知，AP＝CQ＝t， ∴BQ＝BC﹣CQ＝6﹣t， 由AP∥BQ可知，AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴t＝6﹣t， 解得t＝3， 答：当四边形ABQP是平行四边形时，t的值是3； （3）解：①当AP＝AO时，△AOP是等腰三角形，如图： ∵AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°， ∴ACAB＝3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝COAC， ∴AP＝AO， ∴t； ②当AO＝PO时，△AOP是等腰三角形，过O作OH⊥AD于H，如图： ∵AD∥BC， ∴∠HAO＝∠ACB＝30°， 在Rt△AOH中， OHAO，AHOH， ∵AO＝PO，OH⊥AD， ∴AP＝2AH， ∴t； ③当AP＝OP时，△AOP是等腰三角形，过P作PK⊥AO于K，如图： ∵AP＝OP，PK⊥AO， ∴AKAO， 在Rt△APK中， AP， ∴t， 综上所述，当t为或或时，△AOP是等腰三角形． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质及应用，等腰三角形性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 22．（10分）为全面深入学习宣传贯彻全国“两会”精神，学深悟透习近平总书记在“两会”期间的系列重要讲话精神，培养学生的爱国情怀，某校组织全校学生参加了“聚焦全国两会•凝聚奋进力量”主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各15名学生的成绩x（单位：分），过程如下： 【收集数据】： 八年级15名学生竞赛成绩分别为：77，84，88，98，97，88，100，92，88，91，94，91，97，95，100； 七年级15名学生竞赛成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90． 【整理数据】： 年级 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 八年级 1 1 m 4 6 七年级 1 2 3 4 5 【分析数据】： 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 92 a 92 37.7 七年级 90 87 b 50.2 根据以上提供的信息，回答下列问题： （1）填空：m＝　3　，a＝　88　，b＝　91　； （2）该校八年级学生有600人，假设全部参加此次竞赛，请估计八年级成绩超过平均分的人数； （3）请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由．（写出一条理由即可） 22．（1）3，88，91； （2）280人； （3）八年级成绩更好，理由见解答． 【分析】（1）根据题干所列数据及中位数和众数的概念求解即可； （2）总人数乘以样本中八年级成绩超过平均分的人数所占比例即可； （3）根据平均数、中位数及方差的意义求解即可． 【详解】解：（1）由题意知m＝3，八年级成绩的众数a＝88， 七年级成绩的中位数是第8个数，即91， 所以b＝91， 故答案为：3，88，91； （人）， 答：八年级成绩超过平均分的人数为280人； （3）八年级成绩更好． 从平均数看，八年级成绩的平均数大于七年级，所以八年级成绩更好． 【点睛】本题考查频数分布表，样本估计总体，掌握中位数、众数、方差及平均数的定义和意义是正确解答的关键． 23．（12分）亳州市某超市经销某种特色水果的成本为每千克20元，在一段时间内，销售单价P（元/千克）与时间t（天）的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+120（其中天数t为整数）． （1）当0≤t≤40天，求销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式； （2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ （3）在前20天中，超市决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．而且每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 23．（1）当0≤t≤40天，销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为pt+30； （2）第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元； （3）5≤n＜9． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，分两种情况：当0≤t≤40天时及当t＞40时，分段求得w的最大值，则可得答案； （3）先求出每天扣除捐赠后的日销售利润后的销售利润与时间t的关系，由二次函数的性质列出不等式组，求解即可． 【详解】解：（1）当0≤t≤40天，设销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝kt+30， ∴40＝40t+30， 解得t， ∴当0≤t≤40天，销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为pt+30； （2）设日销售利润为w元， 当0≤t≤40天时， w＝（p﹣20）y ＝（t+10）（﹣2t+120） （t﹣10）2+1250， ∴当t＝10时，w有最大值为1250； 当t＞40时， w＝（p﹣20）y ＝20（﹣2t+120） ＝﹣40t+2400＜800， ∴第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元； （3）∵w＝（p﹣20﹣n）（﹣2t+120） t2+（2n+10）t+1200﹣120n， ∴a，对称轴为直线t＝2n+10， ∵每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， ∴， ∴5≤n＜9． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，作射线AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与AC，AB分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交半圆O于点D，过点D画半圆O的切线，分别交射线AB，AC于点E，F． （1）求∠AFD的度数； （2）若AF＝3，∠ADF＝60°，求BD的长． 24．（1）见解析； （2）2． 【分析】（1）连接OD，由AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，又OA＝OD，得∠BAD＝∠ADO故∠CAD＝∠ADO，得AC∥OD，又EF与半圆O相切于点D，可得结论； （2）由含30度直角三角形的性质和勾股含定理求出DF，证明△ADF∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求出BD． 【详解】（1）证明：如图，连接OD， ∵EF与半圆O相切于点D， ∴OD⊥DF， 由题意知，AD平分∠BAC， 即∠BAD＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥OD， 又OD⊥DF， ∴DF⊥AC， ∴∠AFD＝90°； （2）解：由（1）知，∠AFD＝90°，∠BAD＝∠CAD， 在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3，AF2+DF2＝AD2， ∴∠DAF＝30°， ∴AD＝2DF， ∴AF＝3， ∴32+DF2＝（2DF）2， ∴DF， ∴AD＝2， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝∠AFD＝90°， ∴△ADF∽△ABD， ∴， ∴， 解得BD＝2． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 25．（13分）（1）【活动背景】在鹿鸣成长课程中，同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题．如图1，在矩形ABCD的边AD和BC上分别取点E、F，且CF＝2DE，连接CE、DF交于点O，将边AD沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在AB和CD上，试说明：点Q是边CD的三等分点． （2）【活动操作】同学们进一步发现，在作图的过程中也可以参考类似的方法．如图2，已知线段BC，点E是BC的中点，请用无刻度直尺和圆规作平行四边形ABCD，使得AE⊥BD．（不写作法保留作图痕迹） （3）【活动证明】同学们通过查阅资料发现，不能通过圆规直接三等分角，但可以通过圆规和带刻度的直尺得出三等分角，如图3，点C是OA上一点，用尺规作出CD⊥OB，CF∥OB后，将直尺一端放在点O处，不断转动直尺与CD、CF交于点M、N，当MN与CO满足某种数量关系时，即可得到，试猜想MN与CO的数量关系并证明． （4）【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形ABCD，若BC＝kAB，请直接写出k的取值范围． 25．（1）证明见解析过程； （2）作图见解析过程； （3），理由见解答过程； （4）1＜k＜2． 【分析】（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，可得，由折叠可得PQ∥AD，进而PQ∥BC，可得，所以DQCD，得证点Q是边CD的三等分点； （2）以BE为直径画圆O，在圆O上取点N，连接BN，EN，延长BN至A，使ND＝2BN，延长EN至A，使AN＝2NE，连接AD，AB，CD，则四边形ABCD为所求四边形； （3）取MN的中点H，连接CH，CH＝MH＝NHMN，由等边对等角与三角形的外角可得∠CHM＝2∠CNH，由CF∥OB与∠MOD∠AOB可得∠CON＝2∠CNO，故∠CHM＝∠CON，所以CO＝CH＝\frac{1}{2}$MN； （4）作CM⊥BD交BD于M，首先推导出MD＝NM＝BN，在Rt△ABN和Rt△BNE中，BN2＝AB2﹣AN2＝BE2﹣NE2，得到0＜k＜2；在Rt△BCM和Rt△DCM中，CD2﹣DM2＝BC2﹣BM2，推导出k＞1，进而得解． 【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴＝＝ 将边AD沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在AB和CD上， ∴∠APB＝∠BPQ＝90°，∠DQP＝∠CQP＝90°， 在矩形ABCD中，∠A＝90°， ∴四边形APQD是矩形， ∴AD∥PQ， ∴＝＝， ∴DQ＝CD，即Q是边CD的三等分点； （2）解：如图2，以BE为直径画圆O，在圆O上取点N，连接BN，EN，延长BN至A，使ND＝2BN，延长EN至A，使AN＝2NE，连接AD，AB，CD，则四边形ABCD为所求四边形； 证明：∵AN＝2NE，DN＝2BN， ∴＝＝2， ∵∠AND＝∠BNE， ∴△AND∽△ENB， ∴∠NBE＝∠ADN，＝2， ∴AD∥BE，AD＝2BE， 又∵E为BC的中点， ∴2BE＝BC， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵BE为圆O的直径， ∴∠BNE＝90°， ∴AE⊥BD； ∴平行四边形ABCD符合条件； （3）解：取MN的中点H，连接CH，如图3， ∵CD⊥OB，CF∥OB， ∴CD⊥CF， ∴CH＝MN， ∵点H是MN的中点， ∴MH＝NH＝MN， ∴CH＝NH， ∴∠HCN＝∠CNH， ∴∠OHC＝∠HCN+∠CNH＝2∠CNH， ∵∠MOD＝∠AOB， ∴∠COH＝2∠MOD， ∵CF∥OB， ∴∠NOB＝∠CNH， ∵∠OHC＝2∠CNH，∠COH＝2∠NOB＝2∠CNO， ∴∠OHC＝∠COH， ∴CO＝CH＝MN； （4）解：作CM⊥BD交BD于M， ∴AE∥CM， ∵BE＝EC， ∴BN＝NM， ∵DN＝2BN， ∴MD＝NM＝BN， 在Rt△ABN和Rt△BNE中，BN2＝AB2﹣AN2＝BE2﹣NE2， ∴AB2﹣BE2＝AN2﹣NE2＝3NE2＞0， ∴AB2﹣（）2＞0， ∴AB2﹣AB2＞0， ∴1﹣＞0， ∴k2＜4， 又∵k＞0， ∴0＜k＜2； 在Rt△BCM和Rt△DCM中，CD2﹣DM2＝BC2﹣BM2， ∴AB2﹣BC2＝DM2﹣BM2， ∴k2﹣AB2＝BM2﹣DM2＝3DM2＞0， ∴（k2﹣1）AB2＞0， ∴k2＞1， 又∵k＞0， ∴k＞1； 综上，k的取值范围1＜k＜2． 方法二： ∵DN＝2BN， 延长BC至H，满足BE＝EC＝CH， 即EH＝2BE， ∴EN∥DH， ∴∠BDH＝∠BNE＝90°， ∴点D在以BH为直径的圆上运动， ∵BC\BH长度固定， ∴CD最小值大于CH，最小值小于BC， ∴1＜＜2， 即1＜k＜2． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的性质，尺规作图．解题的关键是读懂题意，熟练运用各个知识． 26．（13分）如图，直线y＝kx+b（b＞0）与抛物线yx2相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设△OCD的面积为S，且kS+2＝0．过点B作x轴的垂线交AO的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的平行线l1，l2，直线l3（不平行于y轴）与抛物线yx2有唯一公共点，分别交l1，l2于P，Q两点． （1）求b的值； （2）求点E的纵坐标； （3）探究CP2﹣CQ2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 26．（1）2； （2）﹣2； （3）是，﹣8． 【分析】（1）求出一次函数与坐标轴的两个交点，根据面积公式结合kS+2＝0，求出b的值即可； （2）设，点B的横坐标为x2，则点E的横坐标为x2，求出OA的解析式，令，整理得x2﹣4kx﹣8＝0，韦达定理得到x1x2＝﹣8，把x＝x2代入OA的解析式中，求出E点的纵坐标即可； （3）设直线l3的解析式为y＝mx+n，令，根据两个图象只有一个交点得到n＝﹣m2，得到y＝mx﹣m2，进而求出P，Q坐标，利用两点间的距离公式，求出CP2，CQ2，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵y＝kx+b（b＞0）， ∴当x＝0时，y＝b，当y＝0时，， ∴C（0，b），， ∴， ∵kS+2＝0， ∴， ∵b＞0， ∴b＝2； （2）设，点B的横坐标为x2，则点E的横坐标为x2， 设直线OA为y＝tx，则， 解得， ∴直线OA的解析式为， 由（1）可知y＝kx+2， 令， 整理得x2﹣4kx﹣8＝0， 则x1，x2是方程的两个实数根， ∴x1x2＝﹣8， 将x＝x2代入， 得， ∴点E的纵坐标为﹣2； （3）是定值，理由如下： 设直线l3的解析式为y＝mx+n， 令， 整理得x2﹣4mx﹣4n＝0， ∵直线y＝mx+n与抛物线只有一个交点， ∴（4m）2﹣4×（﹣4n）＝0， ∴n＝﹣m2， ∴y＝mx﹣m2， 由（1）（2）可知C（0，2），E点的纵坐标为﹣2， ∴当y＝2时，，当y＝﹣2时，， ∴，， ∴，， ∴8﹣16＝﹣8， ∴CP2﹣CQ2的值为定值﹣8． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，根与系数的关系，两点间的距离公式等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考第一次模拟考试（南通卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（本大题共 8小题，第 11～12题每题 3分，第 13～18题每题 4分，共 30分） 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 17．__________________ 18．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤） 19．（10分） 20. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （12分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（12分） 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （13分）