专题突破 实数估算相关计算问题-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版2024）

专题突破：实数估算相关计算问题 常用方法 1、夹逼法 估算( )时，可利用夹逼法确定的大小，首先确定的整数部分，根据算术平方根的定义，若，其中是连续的自然数，则，的整数部分取，同理可取的小数部分，如此进行下去，可得的近似值。 2、估算法 确定一个无限不循环小数的整数部分、小数部分的方法：确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法估算到个位；确定其小数部分的方法，首先确定其整数部分，然后用这个数减去它的整数部分即得小数部分。 题型一 估计算术平方根的取值范围 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）估计18的算术平方根介于（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【变式1-1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在5和6之间． 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：∵小丽家有一块的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在之间， 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知识．由，a，b均为正整数，可知当b取最大值时，即，由此求解即可． 【详解】解：∵，a，b均为正整数， ∴ ∴当b取最大值时，即时，， ∴， 解得， 故答案为：4． 【变式1-4】（24-25八年级上·山西晋城·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根以及算术平方根的估算，首先计算三角形的面积为，在估算的范围，可得，从而可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ，介于整数和之间， ， 故答案为：3． 【变式1-5】（24-25八年级上·甘肃白银·期中）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有 （精确到1秒）． 【答案】14秒/ 【分析】本题考查实数运算，理解算术平方根的意义是解答关键，将代入进行计算即可． 【详解】解：当时，， ∴ ∵，解得（秒）， 故答案为：14秒． 题型二 求算术平方根的整数部分和小数部分 【例2】（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）大家知道的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用来表示的小数部分（因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）． （1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值 ． （2）已知：，其中x是整数，且，求的相反数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． （1）先根据的小数部分为，的整数部分为，求出、的值，然后求出即可； （2）根据，其中x是整数，且，得出x为的整数部分，y为的小数部分，得出，，求出，最后写出其相反数即可． 【详解】解：（1）∵，, ∴，， ∵的小数部分为， ∴， ∵的整数部分为， ∴， ∴. （2）∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴ 的相反数为. 【变式2-1】（2020上·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ． 【答案】 3 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为3，． 【变式2-2】（2024下·广东江门·七年级江门市第二中学校考阶段练习）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为 ． 【答案】0 【分析】此题考查了无理数的估算和代数式求值，得出的值是解题关键． 根据无理数的估算，分别求出的整数部分和小数部分，再代入计算即可得出答案． 【详解】解： ∵的整数部分为a，小数部分为b， ，， ． 故答案为：0． 【变式2-3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）若的整数部分是，的小数部分是，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用夹值法估算出的范围是解此题的关键． 根据题意求出、的范围，得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型三 无理数的整数部分、小数部分有关计算 【例3】（24-25八年级上·河北邢台·期中）我们知道，是一个无理数，无理数是无限不循环小数，若将这个数减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是，请回答以下问题： (1)已知为的整数部分，是的小数部分，则___________，___________． (2)若，其中是整数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)3； (2)4 【分析】本题考查了无理数的大小的估算和算术平方根，根据平方根的意义正确确定无理数的整数部分与小数部分是解题的关键． （1）根据，即可求出的值； （2）先求出的整数部分和分数部分，再求出x和y的值，把x和y值代入中，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，为的整数部分，是的小数部分， ∴，， 故答案为：3，． （2）解：，即， 的整数部分是2，小数部分是， ， ， 是整数，且， ，， ， 的算术平方根为4， 的算术平方根为4． 【变式3-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，和为相邻的整数，则的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，根据算术平方根可进行求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴； 故选B． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知：，且a，b为两个连续的整数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的大小估算，已知字母的值求代数式的值，先由，得出，则，结合a，b为两个连续的整数，则，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵，且a，b为两个连续的整数， 则， ∴， 故选：B． 【变式3-3】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小和实数的混合运算，能估算出的范围是解此题的关键． 先估算出的范围，求出的值，再代入求出即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【变式3-4】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若取到最小值，则整数的值是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了实数的性质，算术平方根，熟练掌握实数的大小比较，算术平方根的意义是解决问题的关键．根据，取到最小值，x为整数，则整数x的取值要更接近，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，又取到最小值，x为整数， ∴整数x的取值要更接近， ∵， ∴3比4更接近， ∴当取到最小值，． 故选：C． 【变式3-5】（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）的小数部分为的小数部分为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先分别求出、的取值范围，即可求出、的值，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， ， ， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， 故答案为：． 【变式3-6】（2024·全国·八年级竞赛）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的值是 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据不等式的性质计算无理数的整数部分和小数部分的代数式解决本题的关键． 通过估算和，求出a、b值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴的整数部分为1， ∴， ∵b是的小数部分， ∴． ∴． 故答案为：15 【变式3-7】（24-25八年级上·四川甘孜·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． （1）先用夹逼法估算，即可解答； （2）先用夹逼法估算和，得出和的值，即可解答； （3）先得出的取值范围，再得出的取值范围，进而得出和的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵的小数部分为的整数部分为， ， ． （3）解：∵， ∴，即， ， ∵是整数部分，是小数部分， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：实数估算相关计算问题 常用方法 1、夹逼法 估算( )时，可利用夹逼法确定的大小，首先确定的整数部分，根据算术平方根的定义，若，其中是连续的自然数，则，的整数部分取，同理可取的小数部分，如此进行下去，可得的近似值。 2、估算法 确定一个无限不循环小数的整数部分、小数部分的方法：确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法估算到个位；确定其小数部分的方法，首先确定其整数部分，然后用这个数减去它的整数部分即得小数部分。 题型一 估计算术平方根的取值范围 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）估计18的算术平方根介于（   ） 【变式1-1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间 【变式1-2】（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【变式1-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时， ． 【变式1-4】（24-25八年级上·山西晋城·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是 【变式1-5】（24-25八年级上·甘肃白银·期中）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有 （精确到1秒）． 题型二 求算术平方根的整数部分和小数部分 【例2】（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）大家知道的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用来表示的小数部分（因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）． （1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值 ． （2）已知：，其中x是整数，且，求的相反数 ． 【变式2-1】（2020上·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ． 【变式2-2】（2024下·广东江门·七年级江门市第二中学校考阶段练习）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为 ． 【变式2-3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）若的整数部分是，的小数部分是，则的值为 ． 题型三 无理数的整数部分、小数部分有关计算 【例3】（24-25八年级上·河北邢台·期中）我们知道，是一个无理数，无理数是无限不循环小数，若将这个数减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是，请回答以下问题： (1)已知为的整数部分，是的小数部分，则___________，___________． (2)若，其中是整数，且，求的算术平方根． 【变式3-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，和为相邻的整数，则的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知：，且a，b为两个连续的整数，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【变式3-4】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若取到最小值，则整数的值是（   ） A．4 B． C．3 D． 【变式3-5】（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）的小数部分为的小数部分为，则 ． 【变式3-6】（2024·全国·八年级竞赛）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的值是 ． 【变式3-7】（24-25八年级上·四川甘孜·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$