专题训练 实数相关运算精练-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版2024）

实数的运算问题 实数的混合运算 1．（24-25七年级上·山东威海·期末）计算：． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期末）计算： (1) (2) 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算： (1) (2) 5．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）计算∶ (1)； (2) 程序设计与实数运算 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的的值为16时，输出的的值为（    ） A．4 B． C． D．2 2．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（    ）    A．2 B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期中）如图，这是一个数值转换机，当输入的x值为时，输出的y值是 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图为一个数值转换器．当输入的x值为81时，输出的y值为 ；当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 6．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 新定义下的实数运算 1．（24-25八年级上·河南周口·期中）对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（   ） A． B． C．14 D．10 2．（2024九年级上·全国·专题练习）设，都是有理数，规定 ，则= ． 3．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）用表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有．例如，那么 ． 4．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，为的差倒数，则 ；若，则 ． 5．（24-25七年级上·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：． (1)_______． (2)求的平方根． (3)我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由． 6．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为__________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若x，y满足关系式：，则的“共同体区间”为__________． 实数运算相关规律题 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 2．（23-24八年级下·云南大理·期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）设，则的值为 ． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 5．（24-25九年级上·山西晋城·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是 ．（用含的代数式表示） 6．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 7．（24-25八年级上·河南周口·期末）观察下列等式，并解答问题． ， ， ， ， …… (1)将2025写成相邻两数的平方差的形式：_____________． (2)用含有字母m（m为不小于0的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个奇数的平方差一定是8的倍数吗？请说说你的理由． 8．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 9．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实数的运算问题 实数的混合运算 1．（24-25七年级上·山东威海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据乘方、算术平方根、立方根的定义运算即可求解，掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键， （1）利用负数指数幂、开立方、平开方对各项进行化简，再计算即可得到答案； （2）利用开平方、去绝对值、开立方对各项进行化简，再计算即可得以答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数的运算顺序和法则，立方根，零指数幂，绝对值，完全平方公式，平方差公式． （1）化简立方根，零指数幂，绝对值，然后合并同类二次根式即可； （2）先运用完全平方公式，平方差公式展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）． （2）． 5．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）计算∶ (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别化简，再计算减法即可； （2）有的式分别化简零指数幂，乘方，立方根，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 程序设计与实数运算 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的的值为16时，输出的的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，理解“数值转换机”，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：当时，是整数，不是无理数； 当时，是整数，不是无理数； 当时，是无理数， ∴输出的的值为， 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，读懂程序框图的走向是解题关键．依据转换器流程，先求出的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值． 【详解】解：的算术平方根是8，是有理数， 取的立方根为，是有理数， 取的算术平方根为，是无理数，即可输出， 输出的值是． 故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期中）如图，这是一个数值转换机，当输入的x值为时，输出的y值是 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，求一个数的算术平方根等知识点，当输入的x值为时，的算术平方根为，且为有理数；的算术平方根为，且为无理数；据此即可求解； 【详解】解：当输入的x值为时，的算术平方根为，且为有理数； 的算术平方根为，且为无理数； ∴输出的y值是， 故答案为： 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图列式计算，求解即可． 【详解】解：当输入的x值为时：为有理数， 输入3，为无理数，输出； 故答案为：． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图为一个数值转换器．当输入的x值为81时，输出的y值为 ；当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 【答案】 625 【分析】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．根据运算规则即可求解；根据三次取算术平方根运算；输出的y值为，返回运算三次平方可得y的值． 【详解】解：当时，，，输出的y值为； 当经过三次取算术平方根运算，输出的y值为时， 则，，． 故答案为：；625． 6．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5，25（5的偶次方都对） 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 所以当，1时，始终输不出y值． （3）解：的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 新定义下的实数运算 1．（24-25八年级上·河南周口·期中）对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（   ） A． B． C．14 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了新定义，算术平方根的意义，弄清题中的新定义是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）设，都是有理数，规定 ，则= ． 【答案】1 【分析】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：1 3．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）用表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有．例如，那么 ． 【答案】19 【分析】本题考查实数的运算，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：19． 4．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，为的差倒数，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的定义新运算，数字规律，有理数的混合运算，代入求值，理解定义新运算的方法，理解新运算、找到规律是解题的关键． 根据差倒数的计算方法求出的值，找出规律，再运用有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】解：， ， ， ， …， 该列数是以，2这三个数循环出现， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：． (1)_______． (2)求的平方根． (3)我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)实数a，b的这种新运算满足交换律； 【分析】此题主要考查了新定义下的实数运算，利用代入法求代数式的值，求平方根（1）运用运算公式，计算即可； （2）先求得，再计算平方根，即可求解． （3）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解： 的平方根为 （3）解：满足交换律 ∵， ， ∴， ∴实数a，b的这种新运算满足交换律． 6．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 【答案】(1) (2)30 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义，列出算式． （1）根据题干提供的信息列出算式进行计算即可； （2）根据x为的整数部分，得出，然后把代入列式求解即可； （3）先求出，，比小，得出m的取值范围，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， 又∵x为的整数部分， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ， 又∵比小， ∴， ∴， ∴满足条件的m值可以是．（答案不唯一） 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为__________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若x，y满足关系式：，则的“共同体区间”为__________． 【答案】(1)； (2)的“共同体区间”为； (3)． 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，解得，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解： 的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， 即 的“共同体区间”为； （3）解：∵ ，， ∴， ∴， ， 解得：， 当时， 的“共同体区间”为， 故答案为：． 实数运算相关规律题 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可； 【详解】解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． 2．（23-24八年级下·云南大理·期中）有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 【答案】73 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：73． 5．（24-25九年级上·山西晋城·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了实数的规律探究．根据题意推导规律是解题的关键．由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根，且前行的数据个数为，则第（是整数，且）行从左向右数第个数为，整理作答即可． 【详解】解：由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根， 前行的数据个数为， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数为， 故答案为：． 6．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河南周口·期末）观察下列等式，并解答问题． ， ， ， ， …… (1)将2025写成相邻两数的平方差的形式：_____________． (2)用含有字母m（m为不小于0的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个奇数的平方差一定是8的倍数吗？请说说你的理由． 【答案】(1) (2) (3)是，理由见详解 【分析】该题考察了平方差公式的应用和实数运算规律以及整式混合运算的知识. （1）观察发现，每个奇数都可以表示为相邻两个整数的平方差，且较大的数为较小的数加1．奇数可以表示为：，则2025可以表示为． （2）根据观察到的规律，可知，然后验证即可． （3）相邻两个奇数的平方差可以表示为，利用平方差公式展开后得到 ．由于n为正整数，因此一定是8的倍数． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴， ∴ （2）解：由（1）可知， 方程右边为： ， 方程左边为：， ∴方程左边等于方程右边， ∴等式成立． （3）解：设两个相邻的奇数分别为：和， 相邻两个奇数的平方差可以表示为， ∴ ， ∴n为正整数， ∴一定是8的倍数． 8．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案 （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 9．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干例举的等式，即可答案； （2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：； （3）解：原式 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$