17.1 勾股定理（第3课时 利用勾股定理作图或计算）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理 17.1 勾股定理 第3课时 利用勾股定理作图或计算 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决 网格问题.（重点） 2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理 解决相应的折叠问题.（难点） 情景导入 欣赏下面海螺的图片： 在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案， 如第七届国际数学教育大会的会徽. 这个图是怎样绘制出来的呢？ 新知探究 在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′. 求证： △ABC≌△A′B′C′. 证明：在Rt△ABC和Rt△A ′B′ C′中，∠C=∠C′=90°， 根据勾股定理得 又AB=A′B′，AC=A′C′ ， ∴BC=B′C′． ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)． 探究 我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上画出表示的点吗？ 如果能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点．容易知道， 长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边．长为的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？ 利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边长为．由此， 可以依照如下方法在数轴上画出表示的点． 0 1 2 3 4 l A B C 1.如图，在数轴上找到点A,使OA=3; 2.作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; 3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交 于C点，则点C即为表示 的点. O 类似地，利用勾股定理可以作出长为 线段. 按照同样方法，可以在数轴上画出表示的点. 例题讲解 补充例题 例1 在数轴上作出表示的点. 解：∵ 12＋32＝10， ∴直角边长分别为1，3的直角三角形的斜边长为.如图所示. (1)画出数轴，在数轴上找出表示3的点A，则OA＝3； (2)过点A 作直线l 垂直于数轴，在l上取点B，使AB＝1； (3)连接OB，以点О为圆心，以OB 长为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点C，点C 即为表示的点. 例题讲解 补充例题 例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长． 解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2). 由勾股定理得 ∴△ABC的周长为 例题讲解 补充例题 例3 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，折叠△ABC，使点A 与点B 重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为_______． 3 解：由折叠的性质，得AE＝BE， 设CE＝x，则AE＝BE＝8－x， 在Rt△BCE 中，由勾股定理，得BC2＋CE2＝BE2， ∴ 42＋x2＝ (8－x)2，解得x＝3. ∴ CE 的长为3 . 概念归纳 实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上容易找到有理数与它对应的点，但要在数轴上标准标出无理数对应的点则比较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为(n 为大于1 的整数)的线段以及在数轴上画出表示无理数的点. 利用勾股定理表示无理数的方法： （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数的斜边长为半径画弧找到与数轴的交点，即可在数轴上找到表示该无理数的点. 勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度. 利用勾股定理求线段的长是勾股定理的一个重要应用，当题目中没有直角三角形时，往往作垂线构造直角三角形，然后利用勾股定理可求得线段的长.但是构造直角三角形时，尽量不要破坏已知条件中的特殊角和已知的边. 课堂练习 1. 在数轴上作出表示 的点. 4 3 2 1 0 ﹣1 A 5 1 O B l C 解：如图的数轴上找到点A，使OA=4，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=1，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 的点. 2.如图，等边三角形的边长是6. 求： （1）高AD的长； （2）这个三角形的面积. 解：（1）AD⊥BC于D，则BD=CD=3. 在Rt△ABD中，由勾股定理AD2=AB2－BD2=62－32=27， 故AD= . （2）这个三角形的面积为S= BC·AD= ×6× = . 分层练习 基础题 1. [2024沈阳期末]如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B都在格点上，则线段AB的长为(　　) A．3 B．4 C．5　 D．6 C 2. 平面直角坐标系中有两点和 ，那么这两点之间的 距离为( ) C A. B. C. D.6 （第2题） 3.[2024·东莞月考] 如图，点 到数轴的距离为1， ，则数轴上点 所表示的数为( ) B A. B. C. D. C 5. [2024武威月考]如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，BD＝5，AB＝4，则点D到BC的距离是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A （第3题） 6.如图，在 的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中， 标记格点，，， ，则下列线段长度为 的是( ) B A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 （第5题） 7.如图，的顶点，， 在边长为1的正方形网格的格点上， 于点，则线段 的长为( ) C A.4 B. C. D.5 （第6题） 9.如图，在长方形中，点为 延长线上一 点，为的中点，以为圆心， 长为半径的圆 弧过与的交点，连接．若 ， ，则 ( ) C A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 10．如图是由边长为1的小正方形组成的网格． 【解】(1)(2)如图①②所示． 11. 在数轴上作出表示和 的点. 解：如图，在数轴上取,过点 作 ,且，连接 ， 则, 以点为圆心， 长为半径画弧交数轴于点 ， 则点对应的实数即为 . 再过点作,且,连接 ， 则 , 以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点 ， 则点对应的实数即为 . 12. 如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，AB＝AC＝13，求点A的坐标和△ABC的面积． 综合应用题 13.[2024·南充] 如图，已知线段 ，按以下步 骤作图：①过点作，使 ， 连接；②以点为圆心，以 长为半径画 弧，交于点；③以点为圆心，以 长 A A. B. C. D. 为半径画弧，交于点.若，则 的值为( ) [解析] 点拨：， . 设，， ， ， 由题意得， ， ，， . C 15.[2024长春月考]如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝1，以点B为圆心，BC长为半径作弧，与AC交于点D，则线段CD的长为________． 16.[2024·常州] 如图，在中， ， ，，是边的中点，是边上一点， 连接，.将 沿翻折，点落在上的点处，则 __. [解析] 点拨： ，，，是边 的中点， ， . 由折叠得，， ， , ， 设，则, ， 在中，由勾股定理，得，解得 , . 17.为了比较与 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算， 其中 ，，点在上，且 .通过计算可得 ___（填“ ”“ ”或“ ”）. （第11题） (1)求线段AB的长； (2)若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，请求点P的坐标． 19.如图，在长方形中，， ，将该长方形 沿对角线 折叠. （1）判断 的形状，并说明理由； 解： 为等腰三角形.理由如下： 四边形 为长方形， ， . 由折叠得 , . 又， . 为等腰三角形. （2）求 的长； 解：设，则 . 在中，由勾股定理，得 ，解得 的长为 . （3）求阴影部分的面积. 解： . 创新拓展题 20.如图①，为线段上一动点，分别过点,作 ， ，连接,.已知，，，设 . （1）用含的代数式表示 的长为______________________； （2） 的最小值为_____； （3）根据（2）中的结论，请模仿图①在边长 为1的小正方形组成的网格中（图②）构图并 求代数式 的最小值. 解：如图，已知，， ， 设，则根据勾股定理可得， , ， 的最小值即为点与点 之间的距离， 易得的最小值为 . 习题 1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. (1) 已知a=12，b=5，求c； (2) 已知a=3，c=4，求b； (3) 已知c=10，b=9，求a． 解： 2.一木杆在离地面3 m处折断，木杆顶端落在离木杆底端 4 m处.木杆折断之前有多高？ 解：由题意得，图中直角三角形斜边长为 =5 (m)， ∴木杆折断之前有3+5=8 (m). 3.如图，一个圆锥的高AO=2.4，底面半径OB=0.7. AB的长是多少？ 解：在Rt△ABO中，AO=2.4，OB=0.7， 由勾股定理得 AB= 故AB的长为2.5. 4.已知长方形零件尺寸 (单位：mm)如图，求两孔中心的 距离 (结果保留小数点后一位). 解：AC=40－21=19 (mm)， BC=60－21=39 (mm)， 在Rt△ABC中，由勾股定理得 AB= 答：两孔中心的距离约为43.4 mm. 5.如图，要从电线杆离地面5 m处向地面拉一条长为7 m的钢缆．求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离(结果保留小数点后一位). 解：AB= 答：地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离约为4.9 m. 6.在数轴上作出表示 的点． 解：∵ ∴ 是以4，2为直角边长的直角三角形的斜边 长.在数轴上表示如图所示. 在△ABC中，∠C=90°，AB=c． (1) 如果∠A=30°，求BC，AC； 7. 解：(1) ∵AB=c，∠C=90°，∠A=30°， ∴ 由勾股定理，得 (2) 如果∠A=45°，求BC，AC． (2) ∵AB=c，∠C=90°，∠A=45°， ∴ ∠B=45°.∴ AC=BC. 设AC=BC=x，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2=c2. ∴2x2=c2.∴x= ∴AC=BC= 在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1，BC=2.8.求： (1) △ABC的面积； (2) 斜边AB； 8. 解： (2) 由勾股定理，得 (3) 高CD． 已知一个三角形工件尺寸(单位：mm)如图，计算高l的长(结果取整数)． 9. 解：由题意得 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 10. 解：设水的深度为x尺，则芦苇的长度为(x+1)尺，根据勾股定理，得 解得x=12. ∴x+1=13 (尺). 答：水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=2. 求斜边AB的长． 11. 解：在Rt△ABC中，∵∠A=30°， 由勾股定理，得AB2=BC2+AC2. 有5个边长为1的正方形，排列形式如图. 请把它们分割后拼接成一个大正方形. 12. 解：因为5个边长为1的正方形的面积和是5，所以拼成的大正方形的边长应为 .所以原图的分割与拼接如图所示. 如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆．求证：所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和(图中阴影部分)等于Rt△ACD的面积． 13. 解：由题意得 又根据勾股定理，得AC2＋CD2=AD2， ∴S半圆AEC＋S半圆CFD=S半圆ACD， S阴影=S△ACD＋S半圆AEC＋S半圆CFD－S半圆ACD， 即S阴影=S△ACD． 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上. 求证：AE2＋AD2=2AC2.(提示：连接BD) 14. 证明：如图，连接BD． ∵△ECD和△ACB都为等腰直角三角形， ∴∠ECD=∠ACB=90°． ∴∠ECA=∠DCB． 又∵CE=CD，CA=CB， ∴△ACE≌△BCD． ∴AE=BD，∠CDB=∠E=45°． 又∠EDC=45°，∴∠ADB=90°． 在Rt△ADB中，AD2＋DB2=AB2，易得AD2＋AE2=AC2＋CB2， 即AE2＋AD2=2AC2． 课堂小结 利用勾股定理 作图或计算 在数轴上表示出无理数的点 利用勾股定理解决网格中的问题 利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算 通常与网格求线段长或面积结合起来 通常用到方程思想 4．[2024清华附中期中]如图，点A在数轴上，其表示的数为2，过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB长为半径作弧，与数轴正半轴交于点P，则点P表示的实数为(　　) A． B．3.6 C． D．4 【点拨】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD＝5，AB＝4， ∴AD＝＝3.过点D作DE⊥BC，如图． 又∵BD是∠ABC的平分线，∠A＝90°， ∴DE＝AD＝3. ∴点D到BC的距离是3. 8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝75°，∠B＝60°，BC＝2，则AB的长度是__________． 3＋ 【点拨】过点C作CD⊥AB，垂足为D. ∵∠B＝60°，∴∠BCD＝30°. ∴BD＝BC＝. ∴CD＝＝＝3.∵∠ACB＝75°，∠BCD＝30°，∴∠ACD＝75°－30°＝45°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD＝3.∴AB＝AD＋BD＝3＋. (1)在图①中画出一条长度为的线段AB； (2)在图②中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形． 【解】过点A作AD⊥BC于点D. ∵B(－3，0)，C(7，0)，∴OB＝3，BC＝10.∵AC＝AB＝13，∴BD＝CD＝BC＝5.∴AD＝＝＝12.∵OD＝BD－OB＝2.∴A(2，12)． ∵AD＝12，BC＝10，∴S△ABC＝AD·BC＝60. 14．[2024浙江]如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若AE＝4，BE＝3，则DE＝(　　) A．5 B．2 C． D．4 【点拨】过点B作BH⊥CD于点H， 易得CH＝DH，设CH＝DH＝x，则AH＝3－x.在Rt△BCH和Rt△ABH中，由勾股定理得BH2＝BC2－CH2＝AB2－AH2，即12－x2＝32－(3－x)2，解得x＝，∴CD＝2CH＝. 18.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，B(3，0)A(1，)． 【解】过点A作AC⊥OB于点C. ∵B(3，0)，A(1，)，∴OB＝3，OC＝1，AC＝. ∴BC＝2.∴AB＝＝. 【解】当AP＝AB时，P(－1，0)；当BP＝AB时，P(3－，0)或P(3＋，0)；当BP＝PA时，设P(x，0)，则 (x－1)2＋(0－)2＝(3－x)2，解得x＝，∴P. 综上，点P的坐标为(－1，0)或(3－，0)或(3＋，0)或. $$