6.2.2平行四边形的判定（2题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

6.2.2平行四边形的判定 题型一 利用判定定理3证明一个四边形是平行四边形 1．如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个? 请选择其中一个进行证明； (2)与的面积相等吗? 请说明理由． 2．如图，已知点是的边上一点，，交于点，．求证：四边形是平行四边形． 3．如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)请在图中连接，若恰好平分，求证：四边形是平行四边形． 4．如图，四边形中，对角线，点E，F分别在线段，且，证明四边形是平行四边形 题型二 利用判定定理3进行作图或计算 1．四边形是平行四边形，E、F分别是、上的点，连接． (1)如图1，对角线、相交于点O，若经过点O，求证：． (2)在如图2中，仅用无刻度的直尺作线段，使它满足： ①点M、N分别在、上； ②．（不写画法，保留画图痕迹） (3)证明（2）中 2．在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝80°，则∠ADC＝ ． 3．已知：如图，E、F是对角线上的两点．      (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数． 1．如图，在中，，点，分别在边，上，连接，． (1)求证：； (2)连接，点为的中点，连接，． ①依题意补全图形； ②若，求的大小． 2．在中，点M为的中点． (1)如图1，求证：； (2)延长到D，使得，延长到E，使得，联结． ①如图2，联结，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请你在图3中证明：． 1．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点M是的中点，连接并延长交于点D，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：， ， ，，， ①______， 又，， （②______）， ， 四边形ABCD是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（1）阅读理解 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 　　．这种方法叫做倍长中线法． （2）问题解决： 如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由． （3）问题拓展： 如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：． 3．【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为cm的等边三角形学具，是边上一个动点，由点 向点 运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为． (1)【问题】填空：　　； (2)当时，求的值； (3)【探究】如图，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由． 1．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．四边形中，对角线，相交于点O，给出下列四组条件：①；②，；③，；④，；其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 3．下列说法中，错误的是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．两组对角相等的四边形是平行四边形 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.2平行四边形的判定 题型一 利用判定定理3证明一个四边形是平行四边形 1．如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个? 请选择其中一个进行证明； (2)与的面积相等吗? 请说明理由． 【答案】(1)平行四边形，平行四边形，证明见解析 (2)相等，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等． （1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等即可证明． 【详解】（1）（1）图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形， 理由是：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）由（1）知四边形是平行四边形， ∴ ， ∴． 2．如图，已知点是的边上一点，，交于点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，先利用证明，得出，然后利用平行四边形的判定即可得证． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ， 又， 3．如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)请在图中连接，若恰好平分，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出、，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定，然后根据等量代换即可证明结论； （2）如图：连接，由（1）得，，由等腰三角形三线合一可得，再证明，即，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵是的平分线， ∴ ∴ ∴（等边对等角）. ∴ （2）解：如图：连接 由（1）得，. ∵恰好平分， ∴（等腰三角形三线合一） 在和中， ∴, ∴EC=ED（全等三角形的对应边相等）， ∴四边形是平行四边形． 4．如图，四边形中，对角线，点E，F分别在线段，且，证明四边形是平行四边形 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，对顶角相等，先证明，得到，推出，再结合即可得出结论． 【详解】证明：与是对顶角， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 题型二 利用判定定理3进行作图或计算 1．四边形是平行四边形，E、F分别是、上的点，连接． (1)如图1，对角线、相交于点O，若经过点O，求证：． (2)在如图2中，仅用无刻度的直尺作线段，使它满足： ①点M、N分别在、上； ②．（不写画法，保留画图痕迹） (3)证明（2）中 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质． （1）证明即可； （2）利用（1）的结论进行作图即可； （3）由（1）的方法可证，则，同理可证，则，则四边形为平行四边形，即可得到到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：如图，即为所求作的线段； （3）由（1）的方法可证， ∴， 同理可证， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 2．在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝80°，则∠ADC＝ ． 【答案】80° 【详解】∵OA=OC,OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴∠ADC=∠ABC=80° 3．已知：如图，E、F是对角线上的两点．      (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接交于O，根据，得，，继可证得，即可由平行四边形的判定定理得出结论． （2）先由，，得出，，再证，得，从而证得四边形是平行四边形，即可根据平行四边形的性质得． 【详解】（1）证明：连接交于O，      ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 1．如图，在中，，点，分别在边，上，连接，． (1)求证：； (2)连接，点为的中点，连接，． ①依题意补全图形； ②若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析  ② 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，进而得到再根据等校对等边即可得到结论； （2）①根据题意补图即可； ②延长至点，使，连接，则四边形是平行四边形，然后推导，得到，然后得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴ ∴； （2）①如图所示, ②延长至点，使，连接， ∵点为的中点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，                ∴垂直平分，             ∴，                     由（1）得:，              又∵，                  ∴，                        ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．在中，点M为的中点． (1)如图1，求证：； (2)延长到D，使得，延长到E，使得，联结． ①如图2，联结，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请你在图3中证明：． 【答案】(1)见解析 (2)①；见解析；②见解析 【分析】（1）延长AP至H，使PH=AP，则AH、BC互相平分，四边形ABHC是平行四边形；在中，由三角形三边关系知：而等量代换后即可证得所求的结论； （2）①过点B作AE的平行线，交DE于点H，联结可知若∠则是等边三角形，易证也是等边三角形，此时可证四边形是平行四边形，点P为对角线的交点，且再证明，可进一步得出结论；②分两种情况：情况1：时，由题意知则BC是三角形的中位线，此时情形2：时，以BC、BD为边作平行四边形DBCG，联结GE，易证则；由平行四边形的性质得，在等腰三角形中，由三角形三边关系得即综合上述两种情况即可证得所求结论 【详解】（1）证明：延长至H点，使得，联结、、 ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴ 在中，， ∴， ∴． （2）解：①结论： 证明：过点B作BH//AE交于点H，联结、 ∵BH//AE， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形 ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵M是的中点， ∴M是对角线与的交点， ∴A、M、H三点共线， 在和中， ，，， ∴， ∴； ②证明：i）时，， ∴ ii）时，以、为一组邻边作平行四边形， ∴，， ∵AD//CG， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中，， ∴， 综上所述， 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 1．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点M是的中点，连接并延长交于点D，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：， ， ，，， ①______， 又，， （②______）， ， 四边形ABCD是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定及全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形外角性质，即可得①的答案，根据判断全等三角形的方法，即得②的答案． 【详解】证明：， ， ，，， ， 又，， （）， ， 四边形是平行四边形． 故选D． 2．（1）阅读理解 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 　　．这种方法叫做倍长中线法． （2）问题解决： 如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由． （3）问题拓展： 如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）延长至，使，连接，由证明，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围； （2）延长至，使，连接，证明，可得到，，再证明，可得． （3）延长到，使得．首先证明四边形是平行四边形，再证明，推出，由，推出，推出，即可解决问题； 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示： ， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ； 故答案为：； （2）解：成立． 理由：延长至，使，连接，如图2所示： 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． （3）证明：如图，延长到，使得． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图是一块边长为cm的等边三角形学具，是边上一个动点，由点 向点 运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为． (1)【问题】填空：　　； (2)当时，求的值； (3)【探究】如图，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变，是定值 【分析】（1）由线段和差关系可求解； （2）由直角三角形的性质可列方程，即可求的值； （3）过点作交延长线于点连接，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得； 【详解】（1）解：∵ 是边长为的等边三角形， ∴ ， 设 ， 则 ， ， （2）解： ， 解得： （3）解：线段的长度不改变， 如图：过点作交延长线于点连接 ∵点 速度相同， 是等边三角形， ， ∴四边形是平行四边形， 【点睛】本题考查的是三角形综合题，等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键． 1．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、，，推出，，则能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、，，不能判定这个四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、由，推出，又，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、，，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：B． 2．四边形中，对角线，相交于点O，给出下列四组条件：①；②，；③，；④，；其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法分别判断得出即可．此题主要考查了平行四边形的判定方法，准确无误的掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 【详解】解：如图， ①根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判定这个四边形是平行四边形； ②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②不能判定这个四边形是平行四边形； ③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判定这个四边形是平行四边形； ④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判定这个四边形是平行四边形； 一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有2组， 故选：C． 3．下列说法中，错误的是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．两组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，利用平行四边形的判定依次判断可求解． 【详解】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则选项A正确，不符合题意； 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，则选项B正确，不符合题意； 平行四边形的两条对角线不一定互相垂直，则选项C错误，符合题意； 两组对角相等的四边形是平行四边形，则选项D正确，不符合题意； 故选：C． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$