第1章 整式的乘法（单元测试）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

第1章 整式的乘法 （试卷满分120，考试用时120分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列计算正确的是（ ） A．（am）n=am+n B．2a+a=3a2 C．（a2b）3=a6b3 D．a2•a3=a6 2．下列各式中不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．计算：，其中，第一步运算的依据是（   ） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 4．若，则m+n的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．-3 5．计算：（    ） A． B． C． D． 6．已知a=255，b=344，c=533，d=622 ，那么a,b,c,d大小顺序为（   ） A．a<b<c<d B．a<b<d<c C．b<a<c<d D．a<d<b<c 7．已知光在真空中的速度大约为，太阳光照射到地球上大约需要，则地球与太阳的距离大约是（    ） A． B． C． D． 8．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图（1）可以用来解释．那么通过图（2）的面积可解释的代数恒等式是（   ） A． B． C． D． 9．在计算整式的值过程中，的取值比原来扩大，的取值比原来缩小，则该整式的值（    ） A．比原来扩大 B．比原来缩小 C．比原来扩大 D．比原来缩小 10．如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边（）．则①；②；③；④，错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．计算： 12．若，则的值为 ． 13．计算： ； 14．（a+2b+2c）（a+2b-2c）等于 ； 15．若，，则M与N的大小关系为 ．（用“”连接） 16．如果是个完全平方式，那么的值是 ． 17．已知(x＋y)2＝1，(x－y)2＝49，则x2＋y2的值为 ． 18．用一些棋子摆成如图所示的长方形点阵和等边三角形点阵，长方形点阵的长所用棋子的颗数是宽所用棋子颗数的2倍，等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多．如果等边三角形点阵比长方形点阵多用20颗棋子，则等边三角形点阵所用棋子的颗数为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）计算： (1) (2) 20．（本题6分）计算∶ (1) (2) 21．（本题8分）化简求值：，其中，. 22．（本题8分）若的展开式中不含，项（其中m，n均为常数）． (1)求m，n的值； (2)先化简，然后在（1）的条件下，求A的值． 23．（本题9分）如图，某市有一块长为米，宽为米，规划部门计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像（阴影部分）． (1)求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示） (2)若a、b满足时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 24．（本题9分）已知 ，求代数式的值． 解：                 （第一步）                          （第二步）                           （第三步） 由，得                   （第四步） 所以，原式       （第五步） 任务： (1)该解法运用的主要数学思想是___________． A．转化思想        B．数形结合思想        C．公理化思想        D．整体思想 (2)该解答过程在第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． (3)请你借鉴该解题方法，写出此题的正确解答过程． 25．（本题10分）对于较为复杂的问题，可以先从简单情况入手，通过观察和分析，发现规律，进而解决复杂问题． 【探究发现】 （1）______； （2）______； （3）______； …… 【猜想归纳】 （4）______； 【问题解决】利用上述规律解决下列问题： （5）计算：； （6）若，求的值． 26．（本题10分）数学活动课上，老师准备了若干个如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图大正方形的面积． 方法：______；方法：______： (2)观察图，请你写出代数式，，之间的等量关系：______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值： ②已知，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 整式的乘法 （试卷满分120，考试用时120分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列计算正确的是（ ） A．（am）n=am+n B．2a+a=3a2 C．（a2b）3=a6b3 D．a2•a3=a6 【答案】C 【详解】分析：直接利用幂的乘方运算法则以及结合合并同类项法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则求出答案． 详解：A．（am）n=amn，故此选项错误；     B．2a+a=3a，故此选项错误；     C．（a2b）3=a6b3，正确；     D．a2•a3=a5，故此选项错误．     故选C． 点睛：本题主要考查了幂的乘方运算以及合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握运算法则是解题的关键． 2．下列各式中不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式：，进行判断即可． 【详解】解：A、可以用平方差公式进行计算，不符合题意； B、可以用平方差公式进行计算，不符合题意； C、可以用平方差公式进行计算，不符合题意； D、，不能用平方差公式进行计算，符合题意； 故选D 3．计算：，其中，第一步运算的依据是（   ） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 【答案】D 【分析】本题主要考查幂的运算，关键是熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据题意可知，第一步运算的依据是积的乘方法则：积的乘方，等于每个因式乘方的积． 【详解】解：∵， ∴其中，第一步运算的依据是积的乘方法则． 故选：D． 4．若，则m+n的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．-3 【答案】B 【详解】, , , 求和可解得m+n=2.选B. 5．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方逆用，先把原式变形为，再逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解： ． 故选A． 6．已知a=255，b=344，c=533，d=622 ，那么a,b,c,d大小顺序为（   ） A．a<b<c<d B．a<b<d<c C．b<a<c<d D．a<d<b<c 【答案】D 【详解】【分析】根据（am）n=amn,将各个式子化为指数相同，再比较底数的大小，指数大的，幂也就大. 【详解】∵a=255=（25）11， b=344=（34）11， c=533=（53）11， d=622=(62)11, 53＞34＞62＞25， ∴（53）11＞（34）11＞（62）11＞（25）11， 即a＜d＜b＜c， 故正确选项为：D. 【点睛】此题考核知识点:幂的乘方（am）n=amn.解题的关键：对有理数的乘方的正确理解.，化为底数相同的形式，再比较底数的大小. 7．已知光在真空中的速度大约为，太阳光照射到地球上大约需要，则地球与太阳的距离大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法，单项式乘法，根据路程等于速度乘以时间，进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 8．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图（1）可以用来解释．那么通过图（2）的面积可解释的代数恒等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用两种方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小正方形的面积列式整理即可得解． 【详解】解：阴影部分的面积：， 还可以表示为：， 此等式是． 故选：B 9．在计算整式的值过程中，的取值比原来扩大，的取值比原来缩小，则该整式的值（    ） A．比原来扩大 B．比原来缩小 C．比原来扩大 D．比原来缩小 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减及乘法运算，根据题意列出代数式计算即可判断求解，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴该整式的值比原来缩小． 故选：． 10．如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边（）．则①；②；③；④，错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项． 【详解】解：①x-y等于小正方形的边长，即x-y=n，故本项正确，不符合题意； ②∵xy为小长方形的面积， ∴xy=，故本项正确，不符合题意； ③x2-y2=（x+y）（x-y）=mn，故本项正确，不符合题意； ④x2+y2=（x+y）2-2xy=m2-2×=，故本项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算以及因式分解的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．计算： 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 根据单项式乘以多项式的运算求解即可． 【详解】解： ． 12．若，则的值为 ． 【答案】108 【分析】本题考查同底数幂的逆运算，根据同底数幂的逆运算进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：108． 13．计算： ； 【答案】 【详解】将拆分成和，再利用乘法分配律进行求解．本题考查同底数幂的乘法，熟记相关法则：底数不变，指数相加，是解题关键． 【分析】解： 故答案为： 14．（a+2b+2c）（a+2b-2c）等于 ； 【答案】 【详解】（a+2b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-4c2=. 15．若，，则M与N的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整式的加减，熟练掌握整式的乘法运算是解题的关键． 根据作差法比较大小即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 16．如果是个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键． 根据完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵是个完全平方式， ∴， ∴或， 解得，或， 故答案为：或 ． 17．已知(x＋y)2＝1，(x－y)2＝49，则x2＋y2的值为 ． 【答案】25 【详解】解：因为（x+y）2+（x﹣y）2=2x2+2y2，可得：x2+y2=×（1+49）=25．故答案为25． 点睛：本题考查了完全平方公式，关键是利用完全平方公式进行变形解答． 18．用一些棋子摆成如图所示的长方形点阵和等边三角形点阵，长方形点阵的长所用棋子的颗数是宽所用棋子颗数的2倍，等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多．如果等边三角形点阵比长方形点阵多用20颗棋子，则等边三角形点阵所用棋子的颗数为 ． 【答案】820 【分析】设长方形的长所用的棋子为n个，则它的宽所用的棋子为n个，共用的棋子数为n2个；等边三角形的边长所用的棋子数为n个，共用的棋子数为1+2+3+•••+n=，由题意，列出方程，结论可求． 【详解】解：设长方形的长所用的棋子为n个，则它的宽所用的棋子为n个，共用的棋子数为n2个． ∵等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用棋子一样多， ∴等边三角形的边长所用的棋子数为n个． ∴等边三角形点阵所用棋子的颗数为1+2+3+•••+n=． 由题意得：． 解得：n=40． ∴等边三角形点阵所用棋子的颗数为=820． 故答案为：820． 【点睛】本题主要考查了图形的变化的规律，准确找出图形变化与数字的关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法运算法法则计算； （）利用幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式的运算法则计算，最后合并同类项． 本题考查了单项式乘多项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握单项式乘多项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 20．（本题6分）计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式： （1）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可； （2）先把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（本题8分）化简求值：，其中，. 【答案】； 【分析】此题考查了整式的混合运算和乘法公式的应用，利用乘法公式展开后合并同类项即可得到化简结果，再把字母的值代入计算即可. 【详解】 当，时 原式 22．（本题8分）若的展开式中不含，项（其中m，n均为常数）． (1)求m，n的值； (2)先化简，然后在（1）的条件下，求A的值． 【答案】(1)， (2)； 【分析】（1）将原式展开合并后，令含，项的系数之和为0即可求出m与n的值． （2）根据整式的加减运算法则进行化简，然后将m与n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）原式 ， 由题意可知：，， ∴，， （2）原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 23．（本题9分）如图，某市有一块长为米，宽为米，规划部门计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像（阴影部分）． (1)求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示） (2)若a、b满足时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 【答案】(1)平方米 (2)10750元 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式以及代数式求值，掌握多项式乘多项式的计算方法，完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图形中面积之间的关系进行计算即可； （2）求出a、b的值，代入求出草坪的面积，再根据单价×数量=总价进行计算即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）解：∵， ∴，， ∴草坪的面积为（平方米）， ∴购买草坪所需要的总费用为（元）． 24．（本题9分）已知 ，求代数式的值． 解：                 （第一步）                          （第二步）                           （第三步） 由，得                   （第四步） 所以，原式       （第五步） 任务： (1)该解法运用的主要数学思想是___________． A．转化思想        B．数形结合思想        C．公理化思想        D．整体思想 (2)该解答过程在第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． (3)请你借鉴该解题方法，写出此题的正确解答过程． 【答案】(1)D (2)二，去括号时，括号里的没有 (3)见解析 【分析】（1）直接根据解答过程进行判断即可； （2）直接利用整式的混合运算法则判断即可； （3）直接利用整式的混合运算法则计算，进而将已知代入求出答案． 【详解】（1）解：解题过程中运用到整体思想 故选：D． （2）解答过程在第二步上开始出现了错误， 错误的原因中：去括号时没有， 故答案为：二；去括号时，括号里的没有． （3）                                                                       由，得                   所以，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 25．（本题10分）对于较为复杂的问题，可以先从简单情况入手，通过观察和分析，发现规律，进而解决复杂问题． 【探究发现】 （1）______； （2）______； （3）______； …… 【猜想归纳】 （4）______； 【问题解决】利用上述规律解决下列问题： （5）计算：； （6）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的规律探究，掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题． 〖探究发现〗（1）（2）（3）利用多项式乘以多项式法则及平方差公式化简即可得到结果； 〖猜想归纳〗（4）根据〖探究发现〗归纳出规律即可； 〖问题解决〗（5）利用归纳总结得到，即可求出所求式子的结果；（6）利用得出的结论可得，从而可得到结果． 【详解】解：〖探究发现〗：（1）； （2）； （3） 故答案为：（1）．（2）．（3）． 〖猜想归纳〗（4）． 故答案为：． 〖问题解决〗（5）原式． （6） ． ． 解得或（舍）． 的值是． 26．（本题10分）数学活动课上，老师准备了若干个如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图大正方形的面积． 方法：______；方法：______： (2)观察图，请你写出代数式，，之间的等量关系：______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值： ②已知，求的值． 【答案】(1)，， (2)； (3)①；② 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，多项式乘多项式，完全平方公式，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）方法：根据正方形的面积边长的平方进行计算，即可解答； 方法：根据正方形的面积两个正方形的面积两个长方形的面积进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论，即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答； 设，则，，然后利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：用两种不同的方法表示图大正方形的面积， 方法：；方法：； 故答案为：；； （2）解：观察图，代数式，，之间的等量关系：， 故答案为：， 故答案为：， （3）解：，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$