安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

芜湖一中 2024—2025 学年第一学期高二年级期末教学质量监控 数学试卷 一、单选题（每小题 5 分，共 40 分） 1 ．已知直线 l 经过（3,2）且与直线x + 2y一1 = 0 垂直，则直线 l 的方程为 ( ) A ． 2x + y 一 8 = 0 B ． 2x 一y 一 4 = 0 C ． x 一 2y +1 = 0 D ． x + 2y 一 7 = 0 2 ．已知{bn } 是等比数列，若b3 = 3,b7 = 27 ，则b5 的值为 ( ) A ．9 B ． 一9 C . ±9 D ．81 3 ．已知圆C1 : x2 + 4x + y2 + 3 = 0 与圆C2 : (x 一 a )2 + y 2 = 4 相交，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． 3 < a < 5 B ． 一5 < a < 一3 C ． 一1 < a < 1 或 一5 < a < 一3 D ． 一1 < a < 1 或3 < a < 5 4 ．已知等差数列{an } 的前m 项和为 30 ，前3m项和为 180 ，则它的前2m项和为 ( ) A ．60 B ．90 C ．120 D ．140 5 ．已知双曲线 一 与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是 ( ) A ．双曲线的焦点坐标为(一2, 0) ， (2, 0) B ．双曲线的渐近线方程为y = ±x C ．双曲线的离心率 D ．双曲线的实轴长为 1 2 2 6．已知点P 为椭圆上任意一点，直线l 过ΘM ：x2 + y2 一 4x + 3 = 0 的圆心且与ΘM 交于 A, B 两 点，则P--A . P--B 的取值范围是 ( ) A ． [3, 35] B ． (3, 35] C ． [2, 6] D ． (2, 6] 7 ．已知数列{an } 的前n 项和为sn ，且a1 = 1 ， a2 = 2 ， an+1 + an = 3n ，则 ( ) A ． S19 = 300 B ． S31 = 720 C ．当 n 为偶数时， an = 3n 一1 D ． n 为奇数时， Sn = 2 2 8 ．如图，O 是坐标原点，P 是双曲线 一 右支上的一点，F 是 E 的右焦点，延长 PO， PF 分别交 E 于 Q ，R 两点，已知 QF⊥FR ，且| QF |= 2 | FR | ，则 E 的离心率为 ( ) A ． B ． C ． D . 二、多选题（每小题 6 分，共 18 分） 9 ．已知向量 = (1, 1, 0), b (→) = (0, 1, 1), = (1, 2, 1) ，则下列结论正确的是 ( ) A ．向量 与向量b (→) 的夹角为 B ． 丄 ( 一 b (→)) C ．向量 在向量b (→) 上的投影向量为 D ．向量 与向量 , b (→) 共面 10 ．已知抛物线 C： y2 = 4x 的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线 C 交于 A 、B 两点，直线 l： x=一 1 ，M 为 l 上一动点，则下列结论正确的是 ( ) A ．对任意点 M，均有M–– . M–– ≥ 0 B ．若 AA1 丄 l ， A1 为垂足，且MA 为上A1AB 的平分线，则MF ⊥ AB C ．若 AF = 2 BF ，则| AB |= D.若 AF = 2 BF ，则 l 倾斜角的正弦值为 11．如图，已知正三角形ABC 的边长为 3 ，取正三角形ABC 各边的三等分点D, E, F 作第二个正三角形，然后再 取正三角形DEF 的各边的三等分点M, N, P 作正三角形，以此方法一直循环下去．设正三角形ABC 的边长 为a1 ，后续各正三角形的边长依次为a2 , a3 , … , an ；设△AEF 的面积为b1 ， △EMP 的面积为b2 ，后续各三角 形的面积依次为b3 , … , bn ，则下列选项正确的是 ( ) A ． a3 = 1 B ．从正三角形 ABC 开始，连续 n 个正三角形面积之和为 C ．使得不等式bn > 成立的n最大值为 3 D ．数列{bn } 的前n 项和Sn < 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12 ．已知数列{an } 的前 n 项和Sn = 一n2 + 2n + 3 ，则通项公式an = . 试卷第 2页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 13 ．M，N 分别为边长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DA 与 DC 上的点且DA, DN = 则 D 到平面 D1MN 的距离为 . 14 ．已知双曲线x2 一 y2 = 1与直线l : y = kx + m(k ≠ ±1) 有唯一的公共点A ，则 A 坐标为 （用 k,m 表 示）; 过点A 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于B(x , 0) , C (0, y ) 两点，当点A 运动时，点D(x , y ) 的 轨迹方程是 . 四、解答题 15 ．在等差数列{an } 中， a3 = 7, a9 = 一5, {an } 的前n 项和为Sn . （1）求 {an } 的通项公式； （2）求Sn 的最大值及Sn 取得最大值时n 的值； （3）求 {a n } 的前 n 项和Tn . 16 ．已知圆E经过点A0, 1 , B 1,4 ，且与Y轴相切. （1）求圆E的方程； （2）过点P(−5,4)且与直线X + Y − 3 = 0 平行的光线经X轴反射后与圆E相交于MN，求直线 MN 的方程； （3）在（2）的条件下，求△ EMN 的面积. 17 ．在四棱锥P 一 ABCD 中， 上ABC = 上ACD = 90。， 上BCA = 上CDA = 30。，PA 丄 平面 ABCD ， E ，F 分别 为PD ，PC 的中点， AB = 1 . （1）求证：平面PAC 丄 平面AEF ； （2）若二面角A 一 PD 一 C 的余弦值为 ，求PA . 学科网（北京）股份有限公司 18 ．已知数列{an}的前n项和为sn ， 3an = 2Sn + 3 （n ∈ N* ）. （1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn = 2 log3 an 1 ，数列 {}的前n项和为Tn； n 证明： 19．已知椭圆 的上顶点为A(0, 1)，离心率3 ，过点P 的直线l 与椭圆Γ 交 于B ， C 两点，直线 AB 、 AC 分别与x 轴交于点M 、 N . （1）求椭圆Γ 的方程； （2）求 △AMN 的重心坐标； （3）若S△AMN = 2S△ABC ，求直线l 的方程. 试卷第 4页，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B B A D B 题号 9 10 11 答案 BD ABC ABD 12 ． , n ≥ 2 6 13 . 7 答案不唯 15 . （1）记数列{an } 的公差为5 ，解得a1 = 11,d = -2 ， 所以an = 11+ (n -1)× (-2) = -2n +13 ..........................................3 由 知， Sn = 11n + = -n 2 + 12n = - 2+ 36 ， 所以，当n = 6 时， Sn 取得最大值36 ........................................8 （3）因为an = 13 - 2n ， 所以当13- 2n ≥ 0 时，得n ≤ , 即当n ≤ 6 时有an > 0 ；当n ≥ 7 时有an < 0 ； 答案第 1页，共 5页 学科网（北京）股份有限公司 ( T n T n )当n ≤ 6 时， 当n ≥ 7 时， = a1 + a2 + a3 + …+ an = a1 + a2 + a3 + …+ an = Sn = 1 - n = a1 + a2 + …+ a6 - a7 - … - an 2 , = 2 (a1 + a2 + …+ a6 )- (a1 + a2 + a3 + …+ a n ) = 2S6 - Sn = 2( 12× 6 - 36) -( 12n - n ( 2) ) = n ( 2) -12n + 72， 综上， ∈ N* .......................................13 16 . （1）设圆E的方程为(x − a)2 + (y − b)2 = r2 (r > 0)， 由题可得 则a2 + (1 − b)2 = a 2 ⇒ b = 1 ，(1 − a)2 + (4 − b)2 = a 2 ⇒ a = 5, 所以 故圆E的方程为(x − 5)2 + (y − 1)2 = 25 ．..........................................5 （2） 设过点p(−5,4)且与直线x + y − 3 = 0 平行的光线所在直线为l1， 则斜率为k1 = − 1 ，故直线l1 的方程为x + y + 1 = 0， 设经x轴反射后为直线lMN ，斜率k2 =− k1 = 1， 则直线lMN 的方程为x − y + 1 = 0 ，..........................................10 （3）圆心E到直线lMN 的距离为 故△ EMN的面积为 ．..........................................15 17 . （1）证明： ∵ PA 丄 平面 ABCD ， ∴ PA 丄 CD ， 又∵上ACD=90。， ∴ CD 丄 AC ， PA∩ AC = A ， ∴ CD 丄 平面PAC ， 又∵E ，F 分别为PD ， PC 的中点 ∴ EF//CD ， ∴ EF 丄 平面PAC ， ∵ EF 平面 AEF ， ∴平面 AEF 丄 平面PAC ...........................................6 （2）如图建系 答案第 2页，共 5页 学科网（北京）股份有限公司 ∵ AB = 1 ， 上BCA = 上CDA = 30。， 上ABC = 上ACD = 90。， ∴ AC = 2 ， BC = 3 ， AD = 4 ， CD = 2 3 ， ∴ A(0, 2, 0) ， C (0, 0, 0) ， D (2·、i3, 0, 0 ) ，设PA = m ， ∴P(0, 2, m) ， A (-)- = (0, 0, m) ， - = (2S3, —2, —m ) ， C (-)-D-→ = (2、i3, 0, 0 )， 设平面 APD 和平面PDC 的一个法向量分别为n (–)–1 (–→) = (x1, y1, Z1 ， n (-) = (x2,y2,z2 )， ∴ {2 (m)z1x (=)10— 2y1 — mz1 = 0 → = (1, ··i3 , 0) ， z2 — mz2 = 0→ , 显然二面角 A — PD — C 平面角为锐角， ∴ cosθ= ∴ m = 2 ，即PA = 2 ．.......................................... 15 18 ．（1） 3a = 2S + 3 . n n ∴ n ≥ 2 时， 3an — 3an — 1 = 2 (Sn — Sn — 1 ) 化为an = 3an — 1 ， n = 1 时， 3a1 = 2S1 + 3 ，解得a1 = 3 . ∴数列{an }是等比数列，首项为 3 ，公比为 3， ∴ an = 3n ．..........................................5 设其前n 项和为Tn . 答案第3页，共 5页 两式相减得： Tn = + + + … + 2n —1)(|( ),|n+1 ， 化简可得 n +1 .......................................... 12 T = 1 — n 3n （3） 当 n=1 时， < . ( 12 |( ( 3 , , | 12 3 . 1 — 2 3 2 . 3 — 2 3 3 . 5 — 2 3 n . ( 2n — 1 ) — 2 12 )1+ 1 (|1 — (| 1 )|n )| < 13 : 1 + 1 + 1 + … + 1 < 13 : + + + … + < ..........................................17 19 . （1）依题意b = 1 ， e = = ，又c2 = a2 —b2 ， 解得a = 2 ，所以椭圆 Γ 的方程为 + y2 = 1 ；..........................................4 （2）依题意可得直线l 的斜率存在、不为0 且斜率为负数， 设直线l : y —1 = k(x + 2) (k < 0) ( [ y = kx + 2 k + 1 ){ x2 2 → (1+ 4k2 )x2 + (16k2 + 8k)x +16k2 +16k = 0 ， l 4 + y = 1 直线 AB ： y —1 = x ，令y = 0 ，得 同理可得： xN = = —4 答案第 4页，共 5页 设 △AMN 的重心为G ，则xG = ， yG = 所以 ，即 △AMN 的重心坐标为 ...........................................10 （3）依题意可得直线l 的斜率存在、不为0 且斜率为负数， 设直线l : y -1 = k(x + 2) (k < 0) ， B(x1, y1 ) ， C(x2, y2 ) (x1 ≠ 0, x2 ≠ 0, y1 ≠ 1, y2 ≠ 1)， 则直线 AB ： y -1 = x ，令y = 0 ，得 同理可得： xN = ； 所以xN - xM = - -= - = (x1 +x2 (1)(x (x)2 (2) + 2) 设直线l 与y 轴交于Q 点，则Q(0, 2k + 1) ，所以AQ = -2k ，S△AMN = 因为S△AMN = 2S△ABC ，故得 = x1x2 + 2 代入①得 解得 ， 所以 故直线l 的方程为x + 2y = 0 ...........................................17 答案第5页，共 5页 学科网（北京）股份有限公司 $$