2.2探索直线平行的条件（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大版）七年级下册数学《第2章 相交线与平行线》 2.2 探索直线平行的条件 知识点一 平行线及其表示方法 ★1、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 记作：AB∥CD； 记作：a∥b； 读作：直线AB平行于直线CD． 读作：直线a平行于直线b． 【注意】 1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线) 2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行． 知识点二 平行线的画法 ◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法： 一“落”把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”沿三角尺过已知点的边画直线． 【注意】 1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线． 2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线． 3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行. 知识点三 平行公理及其推论 ★1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. ★2、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c. 【注意】 1、平行公理的推论中，三条直线可以不在同一个平面内． 2、平行公理中强调“直线外一点”，因为若点在直线上，不可能有平行线；“有且只有”强调这样的直线是存在的，也是唯一的． 知识点四 同位角、内错角、同旁内角 ★1、同位角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． ★2、内错角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． ★3、同旁内角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． ★4、 同位角、内错角、同旁内角的特征 【注意】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 知识点五 平行线的判定方法 ★1、平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠3(已知)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠4(已知)， ∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠1＋∠2＝180°(已知)， ∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)． ★2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直． 几何语言表示： 直线a，b，c在同一平面内， ∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b． 【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立. ★3、判定两直线平行的方法 （1）平行线的定义； （2）平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3利用同位角相等说明两直线平行； （4）利用内错角相等说明两直线平行； （5）利用同旁内角互补说明两直线平行； （6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 题型一 平行线的识别 解题技巧提炼 解题的关键是准确把握平行线的概念，牢记平行线的三个条件：①在同一平面内；②不相交；③都是直线，通过与定义进行对比来进行判断. 1．（2024春•泰山区期中）在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交 2．下列说法正确的是（　　） A．同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们互相垂直 B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相垂直 C．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相平行 D．同一平面内，如果两条直线不垂直，那么它们互相平行 3．（2024春•武威月考）下列四边形中，AB不平行于CD的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•徐汇区校级期末）在长方体ABCD﹣ABCD中，下列棱中，既与棱CC1异面又与棱BC平行的是（　　） A．棱AD B．棱AB C．棱AA1 D．棱A1B1 5．（2024春•枣阳市期末）下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c 6．在同一平面内，直线l1与l2满足下列关系，写出其对应的位置关系： （1）若l1与l2没有公共点，则l1和l2　 　； （2）若l1与l2只有一个公共点，则l1和l2　 　； （3）若l1与l2有两个公共点，则l1和l2　　 ． 题型二 作已知直线的平行线 解题技巧提炼 利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，是几何画图的基本技能之一.注意“移”时经过的边是三角尺落在已知直线上的那一边，而不是任意一边. 1．如图，直线a，点B，点C． （1）过点B画直线a的平行线，能画几条？ （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？ 2．如图中完成下列各题． （1）用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD． （2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系． 3．如图，已知直线a和直线a外一点A． （1）完成下列画图：过点A画AB⊥a，垂足为点B，画AC∥a； （2）过点A你能画几条直线和a垂直？为什么？过点A你能画几条直线和a平行？为什么？（3）说出直线AC与直线AB的位置关系． 4．作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作： （1）过点A作BC的平行线； （2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D； （3）过点B作AB的垂线． 5．如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 题型三 平行公理及其推论 解题技巧提炼 在判定两条直线平行时，一定要理解它们成立的条件，特别是关键字词及其重要特征. 1．（2024春•东阳市月考）在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 2．（2024春•和平区校级期末）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 3．（2024春•惠城区期中）下列推理中，错误的是（　　） A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF 4．（2023秋•新安县期末）下列说法正确的是（　　） A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两个相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定是邻补角 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 5．（2024春•丛台区校级期中）如图，过点A画直线l的平行线，能画（　　） A．两条以上 B．2条 C．1条 D．0条 6．（2024春•康巴什期末）如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是　　 ． 7．（2023春•安达市校级期中）如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是　 　． 题型四 同位角、内错角、同旁内角 解题技巧提炼 本题运用了定义法，识别同位角、内错角、同旁内角，其关键是看两个角所涉及的直线是否只有三条，并且有没有一条边在同一直线（截线）上，如果没有，就不是；如果有，再根据角的位置特征判断. 1．（2024春•上城区期末）下列四个图形中，∠1与∠2互为内错角的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•晋江市期末）如图所示，下列说法一定正确的是（　　） A．∠1和∠2互为余角 B．∠1和∠4是内错角 C．∠3和∠4互为补角 D．∠2和∠5是同位角 3．（2024秋•西山区校级期末）下列判断错误的是（　　） A．∠2与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠1与∠5是同位角 4．（2024春•广阳区校级期中）如图，∠1的同位角有（　　） A．∠2 B．∠2或∠DME C．∠2或∠3 D．∠2或∠3或∠DME 5．如图．在图中， （1）同位角共　 　对，内错角共　 　对，同旁内角共　 　对； （2）∠1与∠2是　 　，它们是　 　被　 　截成的； （3）∠3与∠4中　 　被　 　所截而得到的角； （4）AB和BE被AC所截而成的内错角是　 　，同旁内角是　 　． 6．（2024春•成县月考）如图，BF，DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C． （1）指出DE，BC被BF所截形成的同位角、内错角、同旁内角； （2）指出DE，BC被AC所截形成的内错角； （3）指出FB，BC被AC所截形成的同旁内角． 7．（2024春•兴庆区校级期中）如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． （1）请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角； （2）若测得∠AOE＝65°，∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由． 8．（1）如图1，两条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对， 同旁内角 对； （2）如图2，三条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对， 同旁内角 对； （3）根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角 有 对，内错角有 对，同旁内角 对； 题型五 同位角相等，两直线平行 解题技巧提炼 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行. 1．（2024秋•三水区期末）如图，直线a、b被直线c所截，∠2＝36°，下列条件中可以判定a∥b的是（　　） A．∠1＝36° B．∠1＝54° C．∠1＝72° D．∠1＝144° 2．（2024秋•碑林区校级期末）如图，下列条件能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠5 B．∠1＝∠4 C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠2 3．（2024春•洞头区期中）如图，在下列给出的条件中，能判定DF∥BC的是（ ） A．∠B＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180° 4．（2024春•昭阳区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝　 　时，a∥b． 5．（2024秋•新城区期末）如图，直线a，b，c被直线l所截，其中∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°．求证：a∥c． 6．（2023秋•泰和县期末）如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD． 7．（2024春•樟树市期中）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F． 求证：CF∥AB． 题型六 内错角角相等，两直线平行 解题技巧提炼 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行. 1．（2023秋•太原期末）把一副三角板按如图的方式放在桌面上，能够判定AD∥BC的依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 2．（2024秋•哈尔滨期末）如图，能判定AB∥CD的条件是（　　） A．∠A+∠ABC＝180° B．∠A＝∠C C．∠CBD＝∠ADB D．∠ABD＝∠CDB 3．（2024秋•兰州期末）如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB． 4．（2024秋•黄埔区期中）如图，∠B＝42°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝64°，证明：AB∥CD． 5．（2024秋•城关区校级期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．求证：AB∥CE． 6．（2023秋•高州市期末）已知：如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，∠EBC＝∠A， 求证：BE∥CD． 7．（2024秋•福州期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连结OF． （1）求证：OC⊥OD； （2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB． 题型七 同旁内角互补，两直线平行 1．（2024春•滦南县期末）如图，由∠A+∠B=180°，可得： ．理由是  ． 2．（2024秋•阳山县期末）如图，∠2=∠3=65°，要使直线a∥b,则∠1= 度． 3．（2024秋•康平县期末）如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°； ③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°． 其中能判断AD∥BC的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 4．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°，求证：BC∥GD． 5．（2024春•江阴市校级月考）如图，∠1=75°，∠2=105°，AB与ED平行吗？为什么？ 6．（2024秋•新兴县校级期中）已知：如图，E为AC上一点，BE⊥DE，∠1＝∠B，∠2＝∠D，求证：AB∥CD． 7．（2024春•郾城区校级月考）如图，∠B+∠E+∠C=360°，试判断AB与CD是否平行？请说明理由． 题型八 利用两直线平行的条件解决实际问题 解题技巧提炼 题中会给出一个生活中的实际问题，要读懂题意，结合图形构造平行线模型，选择相应的判定定理求解. 1．（2024春•太原期中）木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 2．（2024春•新吴区月考）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． 3．如图，是一个防盗窗棂的示意图，如果测得∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°，能否断定AB∥CD，已知条件够不够？如不够，需要再补充一个什么条件？ 4．如图所示，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为A→B→C→D．若∠1=30°，∠3=60°，探究直线AB与CD是否平行？为什么？ 5．你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？ 6．（2024春•沂水县期中）【问题情境】学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①—④，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】发现一：如图④，由图②中的折叠可知，PE⊥AB，由图③中的折叠可知，PE⊥CD，则AB∥CD．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． 发现二：如图④，由图②中的折叠可知，∠1＝90°，由图③中的折叠可知∠2＝90°，则∠1＝∠2，所以AB∥CD．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． 【解决问题】如图⑤，AD⊥BC于点D，AD平分∠BAC，EG⊥BC于点G．求证：∠E＝∠1． 题型九 通过阅读推理过程填空 解题技巧提炼 题中会给出一个平行线判定问题的求解过程，要求填写理由，此时要认真分析题意，然后联系上下文求. 1．（2024秋•道里区校级月考）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵∠1＝∠3（已知）， ∴　 　∥　 　（ 　 　）． （2）∵∠2＝∠3（已知）， ∴EF∥AD（ 　 　）． （3）∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知）， ∴DG∥BA（ 　 　）． （4）∵∠B＝∠CDG（已知）， ∴　 　∥　 　（ 　 　）． 2．（2024春•禅城区校级期中）如图，已知E，B，C三点共线，BE平分∠DBF，∠1＝∠ACB，试说明：BF∥AC． 因为BE平分∠DBF（ 　 　）， 所以 　 　＝　 （ 　 　）， 又因为∠1＝∠ACB（ 　 　 ）， 所以∠2＝∠ACB（ 　 ）． 所以BF∥AC（ 　 　）． 3．（2024春•龙华区期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠1+∠2＝180°（ 　 　）， ∠2+∠3＝180°（平角的定义）， ∴　 ＝∠3（ 　 　）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4（ 　 　）， ∴c∥d（ 　　 ）． 4．（20224秋•洛宁县期末）如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由． 解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知） ∴∠1＝∠2（ 　 　）； ∴AC∥BD（ 　 　）； 又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知）， ∴　 　（垂直的定义）； ∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（ 　 　）； 即∠　 　＝∠　 　； ∴　 　∥　 　（同位角相等，两直线平行）． 5．（2024春•防城港期末）已知：如图，EF⊥FG，垂足为F，且点F在直线CD上，FE与直线AB相交于点H，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．（请完成下面的证明过程） 证明：∵EF⊥FG（已知）， ∴∠EFG＝　 　°（垂直的定义）， 即∠EFD+　 　＝90°． 又∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠EFD＝　 　（ 　 　）， ∴AB∥CD（ 　 　）． 6．请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据． 如图，点M在直线AB上，MP⊥直线CD，垂足为P，MP平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求证：AB∥CD． 证明：∵MP平分∠NMQ， ∴∠NMP＝∠PMQ（ 　） ∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ， ∴∠AMN+　 　＝　 　+∠PMQ． ∵∠AMB＝180°， ∴∠AMP＝90°， ∵MP⊥直线CD， ∴∠MPD＝90°（　 　）． ∴AB∥CD（　 　） 7．（2024春•皇姑区期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整． 如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠ABF＝∠1（对顶角相等） ∠BFG＝∠2（ 　 ） ∴∠ABF＝　 　（等量代换）， ∵BE平分∠ABF（已知）， ∴∠EBF　 　（ 　 ）． ∵FC平分∠BFG（已知）， ∴∠CFB　　 （ 　 　）． ∴∠EBF＝　 　， ∴BE∥CF（ 　 　）． 题型十 平行线判定方法的综合运用 解题技巧提炼 1、 由两角相等或互补关系，判定两条直线平行，其关键是找出两个角是哪两条直线被第三条直线所截而成的角.2、选用两角相等，还是选用互补关系说明两条直线平行，应根据所给的图形，灵活运用其中一种方法说明即可. 1．（2024秋•紫金县期末）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1+∠3＝180° B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠6 2．（2024秋•沈河区期末）如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 3．（2023秋•西安期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、BA、AC上的点，连接EF，ED，EC，则下列条件中，能判定DE∥AC的是（　　） A．∠BED＝∠EFC B．∠1＝∠2 C．∠BEF+∠B＝180° D．∠3＝∠4 4．（2023春•涪城区期末）已知，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝108°． 证明：AB∥EF，DE∥BC． 5．（2024春•河南期末）如图，已知AC⊥BE交BE于点C，AE平分∠CAD，∠B＝32°，∠BAE＝103°，试判断AD与BC是否平行，并说明理由． 6．（2024春•双流区校级期中）如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF． （1）求证：AE⊥CE； （2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD． 7．（2024春•威海期末）如图1，线段BA⊥AC于点A，BD平分∠ABC，M为射线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F． （1）如图1，当M为线段AC上一点，你能判断BD、MF的位置关系吗？请说明理由； （2）如图2，M为线段AC延长线上一点，你能判断BD、MF的位置关系吗？请说明理由． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）七年级下册数学《第2章 相交线与平行线》 2.2 探索直线平行的条件 知识点一 平行线及其表示方法 ★1、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 记作：AB∥CD； 记作：a∥b； 读作：直线AB平行于直线CD． 读作：直线a平行于直线b． 【注意】 1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线) 2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行． 知识点二 平行线的画法 ◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法： 一“落”把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”沿三角尺过已知点的边画直线． 【注意】 1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线． 2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线． 3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行. 知识点三 平行公理及其推论 ★1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. ★2、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c. 【注意】 1、平行公理的推论中，三条直线可以不在同一个平面内． 2、平行公理中强调“直线外一点”，因为若点在直线上，不可能有平行线；“有且只有”强调这样的直线是存在的，也是唯一的． 知识点四 同位角、内错角、同旁内角 ★1、同位角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． ★2、内错角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． ★3、同旁内角 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． ★4、 同位角、内错角、同旁内角的特征 【注意】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 知识点五 平行线的判定方法 ★1、平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠3(已知)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠2＝∠4(已知)， ∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 几何语言表示： ∵∠1＋∠2＝180°(已知)， ∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)． ★2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直． 几何语言表示： 直线a，b，c在同一平面内， ∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b． 【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立. ★3、判定两直线平行的方法 （1）平行线的定义； （2）平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3利用同位角相等说明两直线平行； （4）利用内错角相等说明两直线平行； （5）利用同旁内角互补说明两直线平行； （6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. 题型一 平行线的识别 解题技巧提炼 解题的关键是准确把握平行线的概念，牢记平行线的三个条件：①在同一平面内；②不相交；③都是直线，通过与定义进行对比来进行判断. 1．（2024春•泰山区期中）在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交 【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线得出即可． 【解答】解：∵在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c， ∴b与c的位置关系是相交， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线，相交线的应用，能根据定理进行判断是解此题的关键，注意：过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线． 2．下列说法正确的是（　　） A．同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们互相垂直 B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相垂直 C．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相平行 D．同一平面内，如果两条直线不垂直，那么它们互相平行 【分析】根据平行线的判定及垂直、相交的定义判断求解即可． 【解答】解：在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交，故A不符合题意； 在同一平面内，两条直线不相交，那么这两条直线平行，故B不符合题意； 同一平面内，如果两条直线不相交，那么这两条直线平行，故C符合题意； 同一平面内，如果两条直线不垂直，它们不一定平行，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查了平行线的判定、垂直、相交等知识，熟练掌握有关定理、定义是解题的关键． 3．（2024春•武威月考）下列四边形中，AB不平行于CD的是（　　） A． B． C． D． 【分析】A是平行四边形，B是梯形，C是正方形．D是一般的四边形，AB不平行于CD． 【解答】解：因为A、B、C都是特殊的四边形，正确； 故选：D． 【点评】本题考查常见的几种特殊四边形的边的关系． 4．（2024春•徐汇区校级期末）在长方体ABCD﹣ABCD中，下列棱中，既与棱CC1异面又与棱BC平行的是（　　） A．棱AD B．棱AB C．棱AA1 D．棱A1B1 【分析】首先确定与BC平行的棱，再确定符合与CC1异面的棱即可． 【解答】解：观察图象可知，既与棱CC1异面又与棱BC平行的是A1D1，AD． 故选：A． 【点评】本题考查认识立体图形，平行线的判定、异面直线的判定等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题． 5．（2024春•枣阳市期末）下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c 【分析】根据题意画出图形，从而可做出判断． 【解答】解：先根据要求画出图形，图形如图所示： 根据所画图形可知：A正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是平行线，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 6．在同一平面内，直线l1与l2满足下列关系，写出其对应的位置关系： （1）若l1与l2没有公共点，则l1和l2　 　； （2）若l1与l2只有一个公共点，则l1和l2　 　； （3）若l1与l2有两个公共点，则l1和l2　　 ． 【分析】（1）结合平行线的定义进行解答即可； （2）结合相交的定义进行解答即可； （3）结合重合的定义进行解答即可． 【解答】解：（1）由于l1和l2没有公共点，所以l1和l2平行； （2）由于l1和l2有且只有一个公共点，所以l1和l2相交； （3）由于l1和l2有两个公共点，所以l1和l2重合； 故答案为：（1）平行；（2）相交；（3）重合． 【点评】本题侧重考查两直线的位置关系，掌握平行定义是解题关键． 题型二 作已知直线的平行线 解题技巧提炼 利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，是几何画图的基本技能之一.注意“移”时经过的边是三角尺落在已知直线上的那一边，而不是任意一边. 1．如图，直线a，点B，点C． （1）过点B画直线a的平行线，能画几条？ （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？ 【分析】根据平行公理及推论进行解答． 【解答】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行； （2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下： 如图，∵b∥a，c∥a， ∴c∥b． 【点评】本题考查了平行公理及推论． 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思）； 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2．如图中完成下列各题． （1）用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD． （2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系． 【分析】（1）根据AB所在直线，利用AB所在直角三角形得出EF，以及MD⊥CD即可； （2）根据图形得出EF，MD⊥CD，标出字母即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）EF∥AB，MC⊥CD． 【点评】此题考查了基本作图以及直角三角形的性质，利用直角三角形的性质得出平行线以及垂线是解答此题的关键． 3．如图，已知直线a和直线a外一点A． （1）完成下列画图：过点A画AB⊥a，垂足为点B，画AC∥a； （2）过点A你能画几条直线和a垂直？为什么？过点A你能画几条直线和a平行？为什么？（3）说出直线AC与直线AB的位置关系． 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）过点A有一条直线和直线a垂直，过点A可以画一条直线和a平行． （3）结论：AC⊥AB． 【解答】解：（1）直线AB、AC如图所示； （2）过点A有一条直线和直线a垂直， 理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直． 过点A可以画一条直线和a平行． 理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行． （3）结论：AC⊥AB． 【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作： （1）过点A作BC的平行线； （2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D； （3）过点B作AB的垂线． 【分析】（1）A所在的横线就是满足条件的直线； （2）在直线AD上到A得等于BC的点D，则直线CD即为所求； （3）取AE上D右边的点F，过B，F的直线即为所求． 【解答】解：如图， （1）A所在的横线就是满足条件的直线，即AE就是所求； （2）在直线AE上，到A距离是5个格长的点就是D，则CD就是所求与AB平行的直线； （3）取AE上D右边的点F，过B，F作直线，就是所求． 【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 5．如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 【分析】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为：相等或互补． 【解答】解：（1）（2）如图所示， （3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补． 【点评】注意∠2与∠O是互补关系，容易漏掉． 题型三 平行公理及其推论 解题技巧提炼 在判定两条直线平行时，一定要理解它们成立的条件，特别是关键字词及其重要特征. 1．（2024春•东阳市月考）在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行，进行判断即可． 【解答】解：若a∥b，且a与c相交， ∴b与c相交， 故选：B． 【点评】本题考查平行公理，解题的关键是正确推理． 2．（2024春•和平区校级期末）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 【分析】根据平行公理及推论，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵a∥b，b∥c，∴c∥a，故A不符合题意； B、∵a∥c，b∥d，∴c与d不一定平行，故B不符合题意； C、∵a∥b，a∥c，∴b∥c，故C符合题意； D、∵a∥b，c∥d，∴a与c不一定平行，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查里平行公理及推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线平行是解题的关键． 3．（2024春•惠城区期中）下列推理中，错误的是（　　） A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF 【分析】根据相关的定义或定理判断． 【解答】解：A、AB⊥EF，EF⊥CD，答案不确定，有多个答案，AB可能与CD平行，也可能垂直，在空间中也可能异面等，故A选项错误； B、由∠α＝∠β，∠β＝∠γ，根据角的等量代换可知，∠α＝∠γ，故B选项正确； C、由a∥b，b∥c，根据平行线的平行的传递性可知a∥c，故C选项正确； D、根据线段长度的等量代换可知AB＝EF，易知D选项正确； 故选：A． 【点评】主要考查学生对平行公理及推论的运用，注意等量代换的应用． 4．（2023秋•新安县期末）下列说法正确的是（　　） A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两个相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定是邻补角 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【分析】根据平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，以及垂线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误； B、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误； C、邻补角互补，但互补的两个角不一定是邻补角，故本选项错误； D、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，垂线段最短，是基础概念题． 5．（2024春•丛台区校级期中）如图，过点A画直线l的平行线，能画（　　） A．两条以上 B．2条 C．1条 D．0条 【分析】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【解答】解：因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 所以如图，过点A画直线l的平行线，能画1条． 故选：C． 【点评】本题考查了平行公理及推论．平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． 6．（2024春•康巴什期末）如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是　　 ． 【分析】直接利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，得出即可． 【解答】解：∵MC∥AB，NC∥AB，∴点M，C，N在同一条直线上， 理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【点评】此题主要考查了平行公理，熟练掌握平行公理是解题关键． 7．（2023春•安达市校级期中）如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是　 　． 【分析】根据平行公理解答． 【解答】解：EF与CD的位置关系是EF∥CD， 理由是：平行于同一直线的两直线互相平行． 故答案为：EF∥CD；平行于同一直线的两直线互相平行． 【点评】本题考查了平行公理，是基础题，熟记公理是解题的关键． 题型四 同位角、内错角、同旁内角 解题技巧提炼 本题运用了定义法，识别同位角、内错角、同旁内角，其关键是看两个角所涉及的直线是否只有三条，并且有没有一条边在同一直线（截线）上，如果没有，就不是；如果有，再根据角的位置特征判断. 1．（2024春•上城区期末）下列四个图形中，∠1与∠2互为内错角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角逐一判断即可． 【解答】解：A．∠1与∠2不是内错角，不符合题意，选项错误； B．∠1与∠2不是内错角，不符合题意，选项错误； C．∠1与∠2是内错角，符合题意，选项正确； D．∠1与∠2不是内错角，不符合题意，选项错误， 故选：C． 【点评】本题考查了内错角，能根据内错角的定义正确判断是解题关键． 2．（2024秋•晋江市期末）如图所示，下列说法一定正确的是（　　） A．∠1和∠2互为余角 B．∠1和∠4是内错角 C．∠3和∠4互为补角 D．∠2和∠5是同位角 【分析】根据互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义结合具体图形进行判断即可． 【解答】解：A．由于∠1与∠2的和不一定是90°，所以∠1和∠2不一定是互为余角，因此选项A不符合题意； B．∠1和∠4不是两条直线被第三条直线所截得的角，不符合内错角的定义，因此选项B不符合题意； C．∠3和∠4是一组同旁内角，但∠3和∠4不一定互补，因此选项C不符合题意； D．∠2和∠5是两条直线被第三条直线所截的同位角，因此选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角，掌握互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义是正确解答的关键． 3．（2024秋•西山区校级期末）下列判断错误的是（　　） A．∠2与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠1与∠5是同位角 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【解答】解：A、∠2与∠4是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意； B、∠3与∠4是内错角，原说法正确，故此选项不符合题意； C、∠5与∠6不是同旁内角，原说法错误，故此选项符合题意； D、∠1与∠5是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的定义． 4．（2024春•广阳区校级期中）如图，∠1的同位角有（　　） A．∠2 B．∠2或∠DME C．∠2或∠3 D．∠2或∠3或∠DME 【分析】要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线即可求解． 【解答】解：∠2是∠1的同位角，∠3不是∠1的同位角，∠DME是∠1的同位角． 故选：B． 【点评】此题主要考查在复杂的图形中识别同位角，准确识别同位角，弄清哪两条直线被哪一条线所截即可求解． 5．如图．在图中， （1）同位角共　 　对，内错角共　 　对，同旁内角共　 　对； （2）∠1与∠2是　 　，它们是　 　被　 　截成的； （3）∠3与∠4中　 　被　 　所截而得到的角； （4）AB和BE被AC所截而成的内错角是　 　，同旁内角是　 　． 【分析】（1）直接利用同位角、内错角、同旁内角的定义得出答案； （2）利用内错角的定义得出答案； （3）利用内错角的定义得出答案； （4）利用已知图形得出内错角、同旁内角． 【解答】解：（1）同位角共4对，内错角共6对，同旁内角共12对． 故答案为：4；6；12； （2）∠1与∠2是内错角，它们是AD、BC被AC截成的． 故答案为：内错角；AD、BC；AC； （3）∠3与∠4中AB、CD被AC所截而得到的角． 故答案为：AB、CD；AC； （4）AB和BE被AC所截而成的内错角是∠3和∠ACE，同旁内角是∠3和∠2． 故答案为：∠3和∠ACE；∠3和∠2． 【点评】此题主要考查了内错角、同位角、同旁内角的定义，正确把握相关定义是解题关键． 6．（2024春•成县月考）如图，BF，DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C． （1）指出DE，BC被BF所截形成的同位角、内错角、同旁内角； （2）指出DE，BC被AC所截形成的内错角； （3）指出FB，BC被AC所截形成的同旁内角． 【分析】（1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据同旁内角的定义求解即可． 【解答】解：（1）同位角：∠FAE和∠B；内错角：∠B和∠DAB；同旁内角：∠EAB和∠B； （2）解：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG都是内错角； （3）解：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG都是同旁内角． 【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形． 7．（2024春•兴庆区校级期中）如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． （1）请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角； （2）若测得∠AOE＝65°，∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由． 【分析】（1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案； （2）由邻补角的性质求出∠AOM的度数，由∠MOE＝∠AOE﹣∠AOM，即可得到答案． 【解答】解：（1）∠1的同旁内角是∠MOE，∠AOE，∠ADE，∠2的内错角是∠MOE，∠AOE； （2）∵∠BOM＝145°， ∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝35°， ∴∠MOE＝∠AOE﹣∠AOM＝65°﹣35°＝30°， ∴水下部分向上折弯了30度． 【点评】本题考查同旁内角，内错角，角的计算，关键是掌握同旁内角，内错角的定义，邻补角的性质． 8．（1）如图1，两条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对， 同旁内角 对； （2）如图2，三条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有 对，内错角有 对， 同旁内角 对； （3）根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角 有 对，内错角有 对，同旁内角 对； 【分析】根据同位角是两个角在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案. 【解答】如图1，两条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有12 对，内错角有2对，同旁内角2对； （2）如图2，三条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角6 对； （3）根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有2n（n﹣1） 对，内错角有n（n﹣1）对，同旁内角n（n﹣1）对； 【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 题型五 同位角相等，两直线平行 解题技巧提炼 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行. 1．（2024秋•三水区期末）如图，直线a、b被直线c所截，∠2＝36°，下列条件中可以判定a∥b的是（　　） A．∠1＝36° B．∠1＝54° C．∠1＝72° D．∠1＝144° 【分析】先标注∠3，根据同位角相等，两直线平行判断即可． 【解答】解：直线a、b被直线c所截，∠2＝36°，如图， ∴∠2＝∠3＝36°， ∴∠1＝∠3＝36°， ∴a∥b． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 2．（2024秋•碑林区校级期末）如图，下列条件能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠5 B．∠1＝∠4 C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠2 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∠1＝∠5，根据内错角相等，两直线平行，可以判定AB∥CD； B、∠1和∠4不是直线AB、CD构成的同位角，不能判定AB∥CD； C、∵∠1＝∠2，∠1+∠3＝180°， ∴∠2+∠3＝180°， 根据“同旁内角互补，两直线平行”可以判定EFGH，不能判定AB∥CD； D、∠1＝∠2不能判定AB∥CD； 故选：A． 【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 3．（2024春•洞头区期中）如图，在下列给出的条件中，能判定DF∥BC的是（　 ） A．∠B＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180° 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【解答】解：∵∠B=∠3， ∴AB∥EF， 故A不符合题意； ∵∠1=∠4， ∴AB∥EF， 故B不符合题意； ∵∠1=∠B， ∴DF∥BC， 故C符合题意； ∵∠B+∠2=180°， ∴AB∥EF， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 4．（2024春•昭阳区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝　 　时，a∥b． 【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，得出a∥b即可． 【解答】解：当∠2＝40°时，a∥b；理由如下： 如图所示： ∵∠1＝50°， ∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°， 当∠2＝40°时，∠2＝∠3， ∴a∥b． 故答案为：40°． 【点评】本题考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键． 5．（2024秋•新城区期末）如图，直线a，b，c被直线l所截，其中∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°．求证：a∥c． 【分析】由同旁内角互补，两直线平行推出a∥b，由补角的性质得到∠3＝∠4，由同位角相等，两直线平行推出b∥c，即可证明a∥c． 【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴a∥b， ∵∠2+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°， ∴∠3＝∠4， ∴b∥c， ∴a∥c． 【点评】本题考查平行线的判定，余角和补角，关键是判定a∥b，b∥c． 6．（2023秋•泰和县期末）如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD． 【分析】根据平行线的判定，依据角平分线的定义即可解决问题． 【解答】证明：∵CE平分∠ACD，∠1＝30°， ∴∠ACD＝2∠1＝60°（角平分线定义）， ∵∠2＝60°，（已知）， ∴∠2＝∠ACD（等量代换）， ∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）． 【点评】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（2024春•樟树市期中）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F． 求证：CF∥AB． 【分析】根据CF平分∠DCE以及∠DCE＝90°即可得出∠FCE＝45°，再根据三角形ABC为等腰直角三角形，即可得出∠ABC＝∠FCE＝45°，利用“同位角相等，两直线平行”即可证出结论． 【解答】证明：∵CF平分∠DCE，∠DCE＝90°， ∴∠FCE∠DCE＝45°． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABC＝∠FCE， ∴CF∥AB． 【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是找出∠ABC＝∠FCE＝45°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角的关键． 题型六 内错角角相等，两直线平行 解题技巧提炼 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行. 1．（2023秋•太原期末）把一副三角板按如图的方式放在桌面上，能够判定AD∥BC的依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 【分析】根据题意可得：∠ADB=∠CBD=90°，然后利用内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，即可解答． 【解答】解：由题意得：∠ADB=∠CBD=90°， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 2．（2024秋•哈尔滨期末）如图，能判定AB∥CD的条件是（　　） A．∠A+∠ABC＝180° B．∠A＝∠C C．∠CBD＝∠ADB D．∠ABD＝∠CDB 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：∵∠A+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， 故A不符合题意； 由∠A＝∠C，不能判定AB∥CD， 故B不符合题意； ∵∠CBD＝∠ADB， ∴AD∥BC， 故C不符合题意； ∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 3．（2024秋•兰州期末）如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB． 【分析】先利用角平分线定义得到∠3∠ADC，∠2∠ABC，而∠ABC＝∠ADC，则∠3＝∠2，加上∠1＝∠2，则∠1＝∠3，于是可根据平行线的判定得到DC∥AB． 【解答】证明：∵BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线， ∴∠3∠ADC，∠2∠ABC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠3＝∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴DC∥AB． 【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 4．（2024秋•黄埔区期中）如图，∠B＝42°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝64°，证明：AB∥CD． 【分析】在△ABC中，∠B＝42°即已知∠A+∠1＝180°﹣42°＝138°，又∠A+10°＝∠1可以求出∠A的大小，只要能得到∠A＝64°，根据内错角相等，两直线平行，就可以证出结论． 【解答】证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1＝180°，∠B＝42°， ∴∠A+∠1＝138°， 又∵∠A+10°＝∠1， ∴∠A+∠A+10°＝138°， 解得：∠A＝64°． ∴∠A＝∠ACD＝64°， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，解决问题的关键是利用三角形内角和定理和∠A与∠1的关系求出∠A的度数，再利用平行线的判定方法得证． 5．（2024秋•城关区校级期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．求证：AB∥CE． 【分析】由同旁内角互补，两直线平行推出DE∥BC，得到∠ADF＝∠B，因此∠ADF＝∠E，即可证明AB∥CE． 【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴DE∥BC， ∴∠ADF＝∠B， ∵∠B＝∠E， ∴∠ADF＝∠E， ∴AB∥CE． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是判定DE∥BC，得到∠ADF＝∠E． 6．（2023秋•高州市期末）已知：如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，∠EBC＝∠A， 求证：BE∥CD． 【分析】根据垂直的定义得到∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，等量代换可得∠EBC＝∠BCD，再根据平行线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：∵BC⊥AC，CD⊥AB， ∴∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA， ∴∠BCD＝∠A， ∵∠EBC＝∠A， ∴∠EBC＝∠BCD， ∴BE‖CD． 【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 7．（2024秋•福州期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连结OF． （1）求证：OC⊥OD； （2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB． 【分析】（1）根据OC平分∠AOF，OD平分∠BOF可知∠COF∠AOF，∠DOF∠BOF，据此可得出结论； （2）由（1）知∠COD＝90°，故可得出∠1+∠DOB＝90°，再由∠D+∠1＝90°可知∠D＝∠DOB，故可得出结论． 【解答】证明：（1）∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF， ∴∠COF∠AOF，∠DOF∠BOF， ∵∠AOF+∠BOF＝180°， ∴∠COF+∠DOF（∠AOF+∠BOF）＝90°， ∴OC⊥OD； （2）由（1）知，OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠1+∠DOB＝90°， ∵∠D+∠1＝90°， ∴∠D＝∠DOB， ∴ED∥AB． 【点评】本题考查的是平行线的判定，余角和补角及垂线的定义，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． 题型七 同旁内角互补，两直线平行 1．（2024春•滦南县期末）如图，由∠A+∠B=180°，可得： ．理由是  ． 【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：由∠A+∠B=180°，可得：AD∥BC，理由是同旁内角互补，两直线平行； 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 2．（2024秋•阳山县期末）如图，∠2=∠3=65°，要使直线a∥b,则∠1= 度． 【分析】根据平行线的判定解决问题即可． 【解答】解：要使直线a∥b,必须∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠1=180°﹣65﹣65°=50°， 故答案为50． 【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2024秋•康平县期末）如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°； ③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°． 其中能判断AD∥BC的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴AD∥BC； ②∵∠2+∠5＝180°，∵∠5＝∠AGC，∴∠2+∠AGC＝180°，∴AB∥DC； ③∵∠4＝∠B，∴AB∥DC； ④∵∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BC． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 4．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°，求证：BC∥GD． 【分析】由已知等式等量代换得到一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行即可得证． 【解答】证明：∵∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°（已知）， ∴∠BCD+∠CDG＝180°（等量代换）， ∴BC∥GD（同旁内角互补，两直线平行）． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 5．（2024春•江阴市校级月考）如图，∠1=75°，∠2=105°，AB与ED平行吗？为什么？ 【分析】根据邻补角互补可得∠1+∠COA=180°，然后再计算出∠COA的度数，进而可得根据同位角相等，两直线平行可得AB与ED平行． 【解答】解：AB与ED平行， ∵∠1+∠COA=180°，∠1=75°， ∴∠COA=180°﹣75°=105°， ∵∠2=105°， ∴∠AOC=∠2， ∴AB∥ED． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 6．（2024秋•新兴县校级期中）已知：如图，E为AC上一点，BE⊥DE，∠1＝∠B，∠2＝∠D，求证：AB∥CD． 【分析】由BE⊥DE，得到∠1+∠2＝90°，于是得到∠1+∠B+∠2+∠D＝180°，根据三角形的内角和得到∠A+∠C＝360°﹣∠1﹣∠B﹣∠2﹣∠D＝180°，于是得到结论． 【解答】证明：∵BE⊥DE， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠1＝∠B，∠2＝∠D， ∴∠1+∠B+∠2+∠D＝180°， ∵∠A+∠1+∠B＝∠C+∠2+∠D＝180°， ∴∠A+∠C＝360°﹣∠1﹣∠B﹣∠2﹣∠D＝180°， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查了平行线的判定，垂线的定义，三角形的内角和，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 7．（2024春•郾城区校级月考）如图，∠B+∠E+∠C=360°，试判断AB与CD是否平行？请说明理由． 【分析】过点E作AB∥EF，再根据平行公理的推论得出即可． 【解答】解：AB与CD平行，理由如下： 过点E作AB∥EF， ∵AB∥EF， ∴∠B+∠BEF=180°， ∵∠B+∠E+∠C=360°， ∴∠C+∠CEF=180°， ∴EF∥CD， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查了平行线的判定和平行公理的推论的应用，能求出AB和EF平行是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 题型八 利用两直线平行的条件解决实际问题 解题技巧提炼 题中会给出一个生活中的实际问题，要读懂题意，结合图形构造平行线模型，选择相应的判定定理求解. 1．（2024春•太原期中）木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 【分析】根据同位角相等，两直线平行即可得出结论． 【解答】解：木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是同位角相等，两直线平行， 故选：A． 【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键． 2．（2024春•新吴区月考）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． 【分析】根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定a∥b． 【解答】解：平行．理由如下： 如图，∵∠3＝∠4， ∴∠5＝∠6， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠5＝∠2+∠6， ∴a∥b． 【点评】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定． 3．如图，是一个防盗窗棂的示意图，如果测得∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°，能否断定AB∥CD，已知条件够不够？如不够，需要再补充一个什么条件？ 【分析】根据平行线的判定方法由∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°不能断定AB∥CD，当补充BA＝BC时，则∠BAC＝∠3＝60°＝∠2，于是可根据内错角相等，两直线平行得到AB∥CD． 【解答】解：不能判断AB∥CD，可以补充BA＝BC． ∵BA＝BC， ∴∠BAC＝∠3＝60°， 而∠2＝60°， ∴∠BAC＝∠2， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 4．如图所示，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为A→B→C→D．若∠1=30°，∠3=60°，探究直线AB与CD是否平行？为什么？ 【分析】根据光线反射得到∠2=∠1=30°，∠3=∠4=60°，再利用平角的定义得到∠ABC=120°，∠BCD=60°，则∠ABC+∠BCD=180°，于是根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线AB与CD平行． 【解答】解：AB∥CD．理由如下： 根据光的反射定律和等角的余角相等得到∠2=∠1=30°，∠3=∠4=60° ∴∠ABC=120°，∠BCD=60°， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 5．你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？ 【分析】首先分别求出∠5，∠6的度数，然后根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，进行判定． 【解答】解：∵∠1=∠2=45°，∠3=∠4=45°， ∴∠5=180°-45°×2=90°， ∠6=180°-45°×2=90°， ∴∠5=∠6， 故进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的． 【点评】本题考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行． 6．（2024春•沂水县期中）【问题情境】学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①—④，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】发现一：如图④，由图②中的折叠可知，PE⊥AB，由图③中的折叠可知，PE⊥CD，则AB∥CD．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． 发现二：如图④，由图②中的折叠可知，∠1＝90°，由图③中的折叠可知∠2＝90°，则∠1＝∠2，所以AB∥CD．用数学符号写出这个推理过程，并注明推理的依据． 【解决问题】如图⑤，AD⊥BC于点D，AD平分∠BAC，EG⊥BC于点G．求证：∠E＝∠1． 【分析】发现一：利用同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行进行分析即可； 发现二：利用同位角相等，两直线平行进行分析即可； 【解决问题】：由题意可得AD∥EG，则有∠1＝∠2，∠E＝∠3，再由角平分线的定义可得∠2＝∠3，则可求得∠1＝∠E． 【解答】发现一：解：∵PE⊥AB，PE⊥CD， ∴AB∥CD（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）； 发现二：解：∵∠1＝90°，∠2＝90°， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）； 【解决问题】：证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G， ∴AD∥EG， ∴∠1＝∠2，∠E＝∠3， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠2＝∠3． ∴∠E＝∠1． 【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并灵活运用． 题型九 通过阅读推理过程填空 解题技巧提炼 题中会给出一个平行线判定问题的求解过程，要求填写理由，此时要认真分析题意，然后联系上下文求. 1．（2024秋•道里区校级月考）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵∠1＝∠3（已知）， ∴　 　∥　 　（ 　 　）． （2）∵∠2＝∠3（已知）， ∴EF∥AD（ 　 　）． （3）∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知）， ∴DG∥BA（ 　 　）． （4）∵∠B＝∠CDG（已知）， ∴　 　∥　 　（ 　 　）． 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行作答即可． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠3（已知）， ∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）； （2）∵∠2＝∠3（已知）， ∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）； （3）∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知）， ∴DG∥BA（同旁内角互补，两直线平行）； （4）∵∠B＝∠CDG（已知）， ∴AB∥DG（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：（1）AB，DG，内错角相等，两直线平行； （2）同位角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行； （4）AB，DG，同位角相等，两直线平行． 【点评】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． 2．（2024春•禅城区校级期中）如图，已知E，B，C三点共线，BE平分∠DBF，∠1＝∠ACB，试说明：BF∥AC． 因为BE平分∠DBF（ 　 　）， 所以 　 　＝　 （ 　 　）， 又因为∠1＝∠ACB（ 　 　 ）， 所以∠2＝∠ACB（ 　 ）． 所以BF∥AC（ 　 　）． 【分析】根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，结合已知，通过等量代换得到∠2＝∠ACB，即可证明． 【解答】解：因为BE平分∠DBF（已知）， 所以∠1＝∠2（角平分线的定义）， 又因为∠1＝∠ACB（已知）， 所以∠2＝∠ACB（等量代换）． 所以BF∥AC（同位角相等，两直线平行）． 【点评】此题考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 3．（2024春•龙华区期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠1+∠2＝180°（ 　 　）， ∠2+∠3＝180°（平角的定义）， ∴　 ＝∠3（ 　 　）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4（ 　 　）， ∴c∥d（ 　　 ）． 【分析】由已知及邻补角的定义得到∠3＝∠1，等量代换得出∠1＝∠4，即可判定 c∥d． 【解答】证明：如图， ∵∠1+∠2＝180° （已知）， ∠2+∠3＝180°（平角的定义）， ∴∠3＝∠1（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （等量代换）， ∴c∥d（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；同角的补角相等；∠1；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键． 4．（20224秋•洛宁县期末）如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由． 解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知） ∴∠1＝∠2（ 　 　）； ∴AC∥BD（ 　 　）； 又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知）， ∴　 　（垂直的定义）； ∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（ 　 　）； 即∠　 　＝∠　 　； ∴　 　∥　 　（同位角相等，两直线平行）． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【解答】解：AC∥BD，AE∥BF，理由如下： 如图， ∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知）， ∴∠1＝∠2（等量代换）， ∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）， 又∵AC⊥AE，BD⊥BF（已知）， ∴∠EAC＝∠FBD＝90°（垂直的定义）， ∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（等式的性质）， 即∠EAB＝∠FBM， ∴AE∥BF（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：等量代换；同位角相等，两直线平行；∠EAC＝∠FBD＝90°；等式的性质；EAB；FBM；AE；BF． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定是解题的关键． 5．（2024春•防城港期末）已知：如图，EF⊥FG，垂足为F，且点F在直线CD上，FE与直线AB相交于点H，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．（请完成下面的证明过程） 证明：∵EF⊥FG（已知）， ∴∠EFG＝　 　°（垂直的定义）， 即∠EFD+　 　＝90°． 又∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠EFD＝　 　（ 　 　）， ∴AB∥CD（ 　 　）． 【分析】根据垂线定义得出∠EFG＝90°，根据余角性质得出∠EFD＝∠1，根据平行线的判定，得出结论即可． 【解答】证明：∵EF⊥FG（已知）， ∴∠EFG＝90°（垂直的定义）， 即∠EFD+∠2＝90°， 又∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠EFD＝∠1（同角的余角相等）， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：90；∠2；∠1；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 【点评】本题主要考查了垂线定义，平行线的判定，关键是平行性判定方法的掌握． 6．请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据． 如图，点M在直线AB上，MP⊥直线CD，垂足为P，MP平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求证：AB∥CD． 证明：∵MP平分∠NMQ， ∴∠NMP＝∠PMQ（ 　） ∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ， ∴∠AMN+　 　＝　 　+∠PMQ． ∵∠AMB＝180°， ∴∠AMP＝90°， ∵MP⊥直线CD， ∴∠MPD＝90°（　 　）． ∴AB∥CD（　 　） 【分析】先根据角平分线的定义得出∠NMP＝∠PMQ，再由∠AMN＝∠BMQ得出∠AMN+∠NMP＝∠BMQ+∠PMQ，根据补角的定义得出∠AMP＝90°，由此可得出结论． 【解答】证明：∵MP平分∠NMQ， ∴∠NMP＝∠PMQ（角平分线的定义）． ∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ， ∴∠AMN+∠NMP＝∠BMQ+∠PMQ． ∵∠AMB＝180°， ∴∠AMP＝90°， ∵MP⊥直线CD， ∴∠MPD＝90°（垂直的定义）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；∠NMP，∠BMQ；垂直的定义；内错角相等，两直线平行． 【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行． 7．（2024春•皇姑区期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整． 如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠ABF＝∠1（对顶角相等） ∠BFG＝∠2（ 　 ） ∴∠ABF＝　 　（等量代换）， ∵BE平分∠ABF（已知）， ∴∠EBF　 　（ 　 ）． ∵FC平分∠BFG（已知）， ∴∠CFB　　 （ 　 　）． ∴∠EBF＝　 　， ∴BE∥CF（ 　 　）． 【分析】根据对顶角相等、角平分线定义求出∠EBF＝∠BFC，根据平行线的判定得出即可． 【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠ABF＝∠1（对顶角相等）， ∠BFG＝∠2（对顶角相等）， ∴∠ABF＝∠BFG（等量代换）， ∵BE平分∠ABF（已知）， ∴∠EBF∠ABF（角平分线的定义）， ∵FC平分∠BFG（已知）， ∴∠CFB∠BFG（角平分线的定义）， ∴∠EBF＝∠CFB， ∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 题型十 平行线判定方法的综合运用 解题技巧提炼 1、 由两角相等或互补关系，判定两条直线平行，其关键是找出两个角是哪两条直线被第三条直线所截而成的角.2、选用两角相等，还是选用互补关系说明两条直线平行，应根据所给的图形，灵活运用其中一种方法说明即可. 1．（2024秋•紫金县期末）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1+∠3＝180° B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠6 【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法判断． 【解答】解：A．由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠3，故能判断直线a∥b； B．由∠2＝∠3，能直接判断直线a∥b； C．由∠4＝∠5，不能直接判断直线a∥b； D．由∠4＝∠6，能直接判断直线a∥b； 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角． 2．（2024秋•沈河区期末）如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据平行线的判定方法，对选项一一分析，排除错误答案． 【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴b∥c（同位角相等，两直线平行）； ②∵∠2＝∠3，∴b∥c（内错角相等，两直线平行）； ③∠1＝∠4无法判断两直线平行； ④∵∠2+∠5＝180°，∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行）． 故选：A． 【点评】考查了平行线的判定，在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． 3．（2023秋•西安期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、BA、AC上的点，连接EF，ED，EC，则下列条件中，能判定DE∥AC的是（　　） A．∠BED＝∠EFC B．∠1＝∠2 C．∠BEF+∠B＝180° D．∠3＝∠4 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：由∠BED＝∠EFC，不能判定DE∥AC， 故A不符合题意； ∵∠1＝∠2， ∴EF∥BC， 故B不符合题意； ∵∠BEF+∠B＝180°， ∴EF∥BC， 故C不符合题意； ∵∠3＝∠4， ∴DE∥AC， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 4．（2023春•涪城区期末）已知，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝108°． 证明：AB∥EF，DE∥BC． 【分析】由∠1＝72°，∠2＝72°得出∠1＝∠2，再由内错角相等，两直线平行得出DE∥BC； 由∠3＝108°，∠3+∠DGB＝180°得出∠DGB＝72°，再由∠2＝72°得出∠DGB＝∠2，最后根据同位角相等，两直线平行得出AB∥EF． 【解答】证明：∵∠1＝72°，∠2＝72°（已知）， ∴∠1＝∠2（等量代换）， ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）． ∵∠3＝108°（已知），∠3+∠DGB＝180°（邻补角定义）， ∴∠DGB＝180°﹣108°＝72°． ∴∠DGB＝∠2（等量代换）． ∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）． ∴AB∥EF，DE∥BC． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．平行线的判定：同位角相等，两直线平行． 内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行． 5．（2024春•河南期末）如图，已知AC⊥BE交BE于点C，AE平分∠CAD，∠B＝32°，∠BAE＝103°，试判断AD与BC是否平行，并说明理由． 【分析】根据直角三角形的性质求出∠BAC＝58°，则∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝45°，根据角平分线定义求出∠CAD＝2∠CAE＝90°＝∠ACB，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得解． 【解答】解：AD∥BC，理由如下： ∵AC⊥BE， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∵∠B＝32°， ∴∠BAC＝58°， ∵∠BAE＝103°， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝45°， ∵AE平分∠CAD， ∴∠CAD＝2∠CAE＝90°＝∠ACB， ∴AD∥BC． 【点评】此题考查了平行线的判定、垂线，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 6．（2024春•双流区校级期中）如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF． （1）求证：AE⊥CE； （2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD． 【分析】（1）根据垂直的定义，角平分线的定义解答即可； （2）根据平行线的判定解答即可． 【解答】证明：（1）∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF， ∴∠2BEF，∠3DEF， ∵∠BEF+∠DEF＝180°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴AE⊥CE； （2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C， ∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°， ∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°， ∴AB∥CD． 【点评】此题考查平行线的判定和角平分线的定义，关键是根据平行线的判定定理解答． 7．（2024春•威海期末）如图1，线段BA⊥AC于点A，BD平分∠ABC，M为射线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F． （1）如图1，当M为线段AC上一点，你能判断BD、MF的位置关系吗？请说明理由； （2）如图2，M为线段AC延长线上一点，你能判断BD、MF的位置关系吗？请说明理由． 【分析】（1）利用平行线的判定即可证明； （2）利用各角之间的关系，证明BD所在的直线与MF的夹角为90°即可． 【解答】解：（1）BD∥MF， 理由：∵BA⊥AC， ∴∠A＝90°， ∵ME⊥BC， ∴∠A＝∠CEM， ∴∠CME＝∠ABC， ∴∠ABC+∠AME＝180°， ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME， ∴∠AMF+∠ABD＝90°， ∴∠AFM＝∠ABD， ∴BD∥MF； （2）BD⊥MF， 理由：延长BD，交MF于点G， ∵在Rt△ABC和Rt△CME中，∠BAC＝∠CEM，∠BCA＝∠MCE， ∴∠ABC＝∠CME， 又∵BD、MF分别为∠ABC和∠CME的平分线， ∴∠FBG＝∠AMF， 又∵∠AMF+∠AFM＝90°， ∴∠FBG+∠AFM＝90°， ∴∠BGF＝90°， ∴BD⊥MF． 【点评】本题考查了平行线的判定以及垂线的判定，熟练掌握平行线的判定以及垂线的判定是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$