专题一三角函数的图象和性质讲义-2025届高三数学二轮复习

答案详解 专题一　三角函数的图象和性质讲义 二、回归真题 1.C　[因为函数y=2sin, 所以函数y=2sin在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象, 所以作出函数y=2sin与y=sin x在[0,2π]上的图象如图所示, 由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C.] 2.BC　[对于A,令f(x)=0,则x=,k∈Z,又g≠0,故A错误; 对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1,故B正确;对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π,故C正确; 对于D,f(x)图象的对称轴方程为2x=+kπ,k∈Z,即x=,k∈Z,g(x)图象的对称轴方程为2x-+kπ,k∈Z,即x=,k∈Z,故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故D错误.故选BC.] 3.2　[由题意知f(x)=sin x-,当x∈[0,π]时,x-,∴sin, 于是f(x)∈[-,2],故f(x)在[0,π]上的最大值为2.] 考点探究 例1　(1)C　(2)B　[(1)由图象可知,A=2,由f(0)=f可得,T=π,又T=,所以,解得ω=3,所以f(x)=2sin(3x+φ).由f可得,f=-2,所以f=-2,即+2kπ,k∈Z,即φ=-π+2kπ,k∈Z,且|φ|<,当k=1时,φ=,所以f(x)=2sin,则f.故选C. (2)依题意,g(x)=f+φ,由g(x)是偶函数,得-,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z,而|φ|<,取k=-1,则φ=-.故选B.] 训练1　(1)B　(2)D　[(1)由题意ωx+φ=,则x=,所以T. 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为,所以解得 所以2y1=y2=f(x2)=f=sin=cos(2ωx1+2φ) =1-2sin2(ωx1+φ)=1-2,所以2+2y1-1=0,又由图可知y1>0,所以y1=.故选B. (2)观察图象可知函数为偶函数,对于A,f(-x)=sin(tan(-x))=sin(-tan x)=-sin(tan x)=-f(x),为奇函数,排除; 对于B,f(-x)=tan(sin(-x))=tan(-sin x)=-tan(sin x)=-f(x),为奇函数,排除;同理,C,D选项为偶函数,而对于C项,其定义域为,k∈Z,不是R,舍去,故D正确.故选D.] 例2　(1)D　(2)D　[(1)由说法②可得ω=1,说法③可得,则T=π=,则ω=2,②和③相互矛盾;当①②④成立时,由题意A=3,ω=1,,k∈Z.因为φ∈,故k=0,φ=,即f(x)=3sin,f;说法①③④成立时,由题意A=3,ω=2,,k∈Z,φ=kπ-,故不合题意.故选D. (2)对于A,因为f(x+π)=sin(x+π)+sin(2x+2π)=-sin x+sin 2x≠f(x),故周期不是π,故A错误;对于B,因为函数y=sin x的最大值为1,y=,故两个函数同时取最大值时,f(x)的最大值为,此时需满足x=+2kπ,k∈Z且2x=+2kπ,k∈Z,不能同时成立,故最大值不能同时取到,故f(x)的最大值不为,则B错误;对于C,f(π-x)=sin(π-x)+sin[2(π-x)]=sin x-sin 2x,则f(x)+f(π-x)=2sin x≠0,故f(x)的图象不关于点对称,C错误;对于D,因为f(x)=sin x+sin 2x=sin x(1+cos x)=0时,sin x=0,又x∈[0,π],所以x=0或者x=π;或者1+cos x=0,此时cos x=-1,又x∈[0,π],所以x=π,综上可知,f(x)在区间 [0,π]上有2个零点,故D正确,故选D.] 训练2　(1)BC　(2)ACD　[(1)因为函数f(x)=2sin(ω>0)图象关于点中心对称,所以=kπ(k∈Z),可得ω=4k+(k∈Z),因为ω>0,可得ω=4k+(k∈N),所以f(x)=2sin(k∈N).对于A选项,f(x)的最小正周期为T=≤3π(k∈N),A错; 对于B选项,f=2sin=2sin=1(k∈N),B对; 对于C选项,f(π)=2sin=2(k∈N),故函数f(x)的图象关于直线x=π对称,C对; 对于D选项,将f(x)的图象向左平移个单位后,可得到函数y= 2sin=2sin =故f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数,D错.故选BC. (2)因为g(x)=sin =cos,将函数f(x)的图象右移, 将函数f(x)的图象右移,故A正确,B错误;由A选项可知,g(x)=f,所以函数f(x)与g(x)=f对称,故C正确; 若函数f(x)与g(x)的图象关于点对称,则在f(x)上取点A(x1,y1)关于-x1,-y1必在g(x)上,所以y1=cos 2x1,所以g=-cos 2x1=-y1,故D正确.故选ACD.] 例3　(1)D　(2)C　[(1)若0≤x<,则φ≤x+φ<+φ,又因为0<φ<π,函数f(x)在上存在最大值,但不存在最小值,所以当+φ≥π,即φ≥时,只需满足,此时;当+φ<π,即φ<时,函数一定存在最大值,要让函数无最小值,则,此时,综上,,即φ的取值范围是.故选D. (2)由图可知函数过点(0,),所以f(0)=2sin φ=,即sin φ=,又0<φ<π,所以φ=,依题意可得ω>0,若φ=则靠近 y轴的最大值的横坐标不可能为负数,故舍去;所以φ=,即f(x)=2sinωx+,因为x∈,所以ωx+. 又y=sin x,x∈的图象如图所示: 要使函数f(x)在区间恰有一条对称轴和一个对称中心,则<2π,解得,即ω的取值范围是.故选C.] 训练3　(1)A　(2) [(1)由题意得,函数f(x)的单调增区间为-π+2kπ≤ωx-≤2kπ(k∈Z),且ω>0,解得(k∈Z).由题意可知:(k∈Z).于是k(k∈Z).又ω>0,于是0<ω≤.故选A. (2)由于f(x)在区间上有且只有两个零点,所以,即⇒3<ω≤9,由f(x)=0得,ωx+=kπ,k∈Z,∵x∈, ∴ωx+. ∴ 解得,所以ω的取值范围是.] 答案详解 专题一　三角函数的图象和性质练习 1.C　[由图可得:A=2,π,即T=π=,即ω=±2,观察各选项可知,本题考虑ω=2即可,则y=2sin(2x+φ),把点代入y=2sin(2x+φ)中,可得sin=1,故+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,所以y=2sin2x+.故选C.] 2.C　[由题意T==π,解得ω=2,所以f(x)=cos+1,当x∈时,t=2x+,所以f(x)在区间,当且仅当x=0时等号成立.故选C.] 3.A　[由题图可知f(0)=2sin φ=-,即sin φ=-,又|φ|<,所以φ=-,又f(x)=2sin(ωx+φ)对称,且f=2,因为T>π且ω>0,所以>π,解得0<ω<2,所以-,所以,解得ω=,所以f(x)=2sin,所以f =2sin=1.故选A.] 4.C　[设y1=4|cos t|,y2=的大致图象,当t=5π时,y1=4>=y2;当t=6π时,y1=4<=y2.根据图象可得两个函数共有11个交点.故选C.] 5.B　[由三角函数的图象变换规律可知,g(x)=sin,x∈,则ωx-,因为函数g(x)在-,0上单调递增,所以-,且ω>0,得0<ω≤.故选B.] 6.D　[根据题意可知若x∈,则可得ωx-,显然当x=0时,可得2sin,由f(x)的值域为,利用三角函数图象性质可得+π,解得,即ω的取值范围是.故选D.] 7.D　[ω>0,当x∈[0,π]时,ωx-,设ωx-=t,如图作出函数y=sin t的图象,若f(x)有且仅有三个零点,则y=sin t在有两个最小值点,有一个或两个最大值点,故A,B正确;由于函数y=f(x)在[0,π]上有且只有3个零点,由图象可知2π≤πω-<3π,解得,C正确;当x∈时,ωx-,由<0,所以y=sin t在上单调递减,在上单调递增,D错误.故选D.] 8.A　[由sin x-cos x=,若sin x<cos x,则sin<0,可得(2k+1)π<x-<2(k+1)π,k∈Z,所以2kπ+,k∈Z,若sin x≥cos x,则sin≥0,可得2kπ≤x-≤(2k+1)π,k∈Z,所以2kπ+,k∈Z,所以f(x)=其函数图象如图, 要使f(x)=a有4个不同实根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则<a<1,由图知: x1+x2=-,x3+x4=π, 故,且<f(x1)<1,所以f(x1)sin .故选A.] 9.AD　[把函数y=2sin个单位长度,可得函数y=2sin=2cos 2x的图象,A正确;把函数y=2sin个单位长度,可得函数y=2sin2x-的图象,B错误;把函数y=2sin个单位长度,可得函数y=2sin2x+的图象,C错误;把函数y=2sin2x-个单位长度,可得函数y=2sin=2cos 2x的图象,D正确;故选AD.] 10.AC　[对A,由fπ=0,故A正确;对B,f(x)的图象向右平移sin 2x,显然其为奇函数,故B错误;对C,当x∈时,则2x+,由余弦函数单调性知,f(x)在区间上单调递减,故C正确;对于D,由f(x)=1,得cos,解得x=+kπ,k∈Z,f(x)在区间(0,m)上与y=1有且只有6个交点,其横坐标从小到大依次为:,,,,,,而第7个交点的横坐标为,∴,故D错误.故选AC.] 11.BD　[由T=⇒Tω=2π,又f(T)=2cos(ωT+φ)=,可得cos φ=,又0<φ<π,则φ=,即f(x)=2cos,若f(x)在上单调,则π,即,令t=ωx+,则-π<π,即y=2cos t在-,上单调递减,即-,即,此时ymin≥=1,此时ymax-ymin≤2-1=1,不符合题意,所以f(x)在[-,]上不单调,即y=2cos t在-,上不单调,又ymax-ymin=3,即⇒ω≤3,即0<ω≤3,即π,-,若ymin=2cos,此时-,符合题意;若ymin=2cos,此时=π,不符合题意;综上可得,ω=,φ=,即f(x)=2cos,对于A,f(0)=2cos ,故错误;对于B,f=1,f=1,故B正确;对于C,当x∈,则,且y=2cos x在0,π上先递减后递增,故C错误;对于D,因为f'(x)=-3sin,所以f'(0)= -,f(0)=,可得y=x是y=f(x)在(0,f(0))处的切线,故D正确;故选BD.] 12.-　[由T==π(ω>0)得,ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),又f(x)=sin(2x+φ)的图象关于点中心对称,所以+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,又|φ|<,所以取k=1,则φ=-.] 13.　[由题意可知,f是函数的最大值,则ω·+2kπ,k∈Z,得ω=+3k,k∈Z,且在区间上无最小值,所以,所以0<ω≤3,所以ω=.] 14.　[令f(x)-1=2sin-1=0,即sin,当x∈(0,π)时,ωx+,即有2π+,解得2<ω≤.] 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一　三角函数的图象和性质（讲义） 一、考情分析 高频考点 2025年高考预测 图象变换(三角函数图象的平移、伸缩变换) 继续以选择、填空题形式考查三角函数的图象、性质及应用,难度中等偏下 图象识别(辨别函数图象、求解析式中参数值) 图象、性质应用(判断零点个数、解不等式、考查最值、周期性、单调性、奇偶性、对称性等) 二、回归真题 1.(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 2.(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 3.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是　　　　.  三、考点探究 考点一　三角函数的图象与解析式 例1　(1)(2024·衡阳二联)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,f(0)=f,则f等于(　　) A.0 B.-1 C.- (2)(2024·安徽“江南十校”联考)已知函数f(x)=3sin(2x+φ)个单位长度后,得到函数g(x)的图象.若g(x)是偶函数,则φ为(　　) A. 总结　1.左右平移,即把x换为x+φ(φ>0时左移,φ<0时右移),横坐标的伸缩,即把x换成x(ω>0). 2.由图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的步骤:先定A,再定ω,最后利用“五点法”中的最值点或零点确定φ(用零点时要分清第几个零点). 3.若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=kπ+(k∈Z);若y=Asin(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z). 训练1　(1)(2024·武汉调研)如图,在函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象中,若,则点A的纵坐标为(　　) A. (2)(2024·广州综合测试)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)=sin(tan x) B.f(x)=tan(sin x) C.f(x)=cos(tan x) D.f(x)=tan(cos x) 考点二　三角函数的性质及应用 例2　(1)(2024·南京、盐城模拟)关于函数f(x)=Asin(ωx+φ),有下列说法: ①f(x)的最大值为3; ②f(x)的图象可由y=3sin x的图象平移得到; ③f(x)的图象上相邻两个对称中心间的距离为; ④f(x)的图象关于直线x=对称. 若有且仅有一个说法是错误的,则f等于(　　) A.- (2)(2024·郑州二模)声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asin ωt,但我们平 时听到的乐音不止是一个音在响,而是许多个音的结合,称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sin x+ sin 2x(x∈R),则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的一个周期为π B.f(x)的最大值为 C.f(x)的图象关于点对称 D.f(x)在区间[0,π]上有2个零点 总结　1.研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质,注意以下几点:(1)把ω化为正数;(2)把ωx+φ看作一个整体(令t=ωx+φ);(3)结合y=Asin t的图象进行分析. 2.注意是研究一个函数的性质,还是两个函数之间的关系. 训练2　(1)(多选)(2024·浙江七彩阳光联盟联考)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的图象关于点中心对称,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期3π B.f=1 C.f(x)的图象关于直线x=π对称 D.f(x)的图象向左平移个单位后关于y轴对称 (2)(多选)(2024·杭州调研)已知函数f(x)=cos 2x,g(x)=sin,则下列结论正确的是(　　) A.将函数f(x)的图象右移个单位可得到函数g(x)的图象 B.将函数f(x)的图象右移个单位可得到函数g(x)的图象 C.函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=对称 D.函数f(x)与g(x)的图象关于点对称 考点三　三角函数中参数的最值(范围) 例3　(1)(2024·武昌质检)已知函数f(x)=sin(x+φ),0<φ<π,若函数f(x)在上存在最大值,但不存在最小值,则φ的取值范围是(　　) A. (2)(2024·东北三省三校联考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,若f(x)在区间恰有一条对称轴和一个对称中心,则ω的取值范围是(　　) A. 总结　解此类问题的思路:一般令t=ωx+φ(ω>0),再利用y=Asin t的图象,结合条件列出关于参数的等价不等式(组)求解. 训练3　(1)(2024·温州模拟)已知函数f(x)=,其中ω>0.若f(x)在区间上单调递增,则ω的取值范围 是(　　) A. D.(0,1] (2)(2024·茂名综测)函数f(x)=2sin(ω>0)在区间上有且只有两个零点,则ω的取值范围是　　　　　　　　.  专题一　三角函数的图象和性质（练习） (分值：73分) 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分. 一、单选题 1.(2024·东北三省三校模拟)下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是(　　) A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin 2.(2024·苏州调研)已知函数f(x)＝cos＋1(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在区间上的最大值为(　　) A. B.1 C. D.2 3.(2024·德州测试)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f等于(　　) A.1 B. C. D. 4.(2024·山西质检)方程4|cos t|－＝0的实数根的个数为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 5.(2024·贵阳适考)将函数f(x)＝sin x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的(ω>0)倍，得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D.(0，1] 6.(2024·温州适考)若函数f(x)＝2sin(ω>0)，x∈的值域为[－，2]，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7.(2024·湖北名校三联)已知函数f(x)＝sin(ω>0，0≤x≤π)，若f(x)有且仅有三个零点，则下列说法中不正确的是(　　) A.f(x)＋1有且仅有两个零点 B.f(x)－1有一个或两个零点 C.ω的取值范围是 D.f(x)在区间上单调递减 8.(2024·长郡中学适考)已知函数f(x)的定义域为，且f(x)＝若关于x的方程f(x)＝a有4个不同实根x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则f(x1)sin 的取值范围是(　　) A. B. C.(1，) D.(－，1) 二、多选题 9.(2024·浙江9＋1高中联盟模拟)为了得到函数y＝2cos 2x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 10.(2024·山西质评)已知函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的一个对称中心为 B.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是偶函数 C.f(x)在区间上单调递减 D.若f(x)在区间(0，m)上与y＝1有且只有6个交点，则m∈ 11.(2023·杭州二中高三测试)记函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，且f(x)在上的最大值与最小值的差为3，则(　　) A.f(0)＝1 B.f＝f C.f(x)在区间上单调递减 D.直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 三、填空题 12.(2024·深圳调研)若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于点中心对称，则φ＝________. 13.(2024·湖北七市(州)联测)已知函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(x)≤f恒成立，且在区间上无最小值，则ω＝________. 14.(2024·河南TOP二十名校质检)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，若关于x的方程f(x)－1＝0在区间(0，π)上恰有两个实数根，则ω的取值范围为________. 学科网（北京）股份有限公司 $$