16.1分式及其基本性质（12大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

（华东师大版）八年级下册数学《第16章 分式》 16.1 分式及其基本性质 知识点一 分式的概念 ◆1、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． ◆2、分式必须满足的条件： （1）形如 的式子； （2）A，B都是整式； （3）分母B中含有字母. 知识二 分式有意义和无意义的条件 ◆1、分式有意义的条件：分式的分母不为0，即当B≠0时，分式有意义. ◆2、分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B＝0时，分式无意义． 知识三 分式的值为0的条件 ◆1、分式的值为0的条件是：当 A = 0 且 B≠0 时，分式 的值为零. ◆2、分式值为0的解题步骤： （1）写出分子等于0的等式； （2）求出使分子等于0的x的值； （3）代入分母检验其是否等于0，使分母为0的x值，必须将其舍去. 知识四 分式的基本性质 ◆1、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. ◆2、式子表示为：（其中 A，B，C 是整式.） 知识五 分式的约分 ◆1、分式的约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． ◆2、约分的依据：分式的基本性质． ◆3、约分的关键：是要找出分式的分子与分母的最大公因式． ◆4、约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，则直接约去分子、分母的公因式；如果分子、分母中至少有一个多项式，一般先分解因式，再确定公因式并约去． ◆5、最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【注意事项】 （1）约分前后分式的值要相等； （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式； （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 知识六 分式的通分 ◆1、分式的通分定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． ◆2、最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积. ◆3、通分的关键是确定最简公分母． ◆4、确定几个分式的最简公分母的方法： （1）分母含多项式且能分解的先因式分解； （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂； （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂； （5）取积：系数与所有字母（或因式）的最高次幂的积. ◆5、约分和通分的区别与联系 题型一 分式的概念 解题技巧提炼 1、判断时，注意含有 π 的式子，π 是常数； 2、 式子中含有多项时，若其中某一项或几项为分式，其他项为整式，则该式也为分式，如：1＋ . 1．（2024秋•滦州市期末）下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D．x﹣2 2．（2024秋•韶关期末）下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D．x+y 3．（2024秋•康县期末）下列各式，，，中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024秋•长沙县期末）给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 5．（2024秋•大祥区期末）在式子、、、，，中，分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 分式有意义、无意义的条件 解题技巧提炼 1、分式有意义的条件是分母不为零. 若分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零. 2、分式无意义的条件是分母为0. 1．（2024秋•西青区期末）若分式有意义，则x应满足的条件是（　　） A．x＝1 B．x≠1 C．x＝﹣2 D．x≠﹣2 2．（2024秋•武都区期末）要使分式有意义，则x需满足的条件是（　　） A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x≠±2 D．x≠0 3．（2024秋•西宁期末）当x＝﹣1时，下列分式中有意义的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•凤阳县校级期末）当x＝2时，下列各项中哪个无意义（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•永吉县期末）当x＝ 　 　时，分式无意义． 6．（2024秋•静安区期末）如果分式有意义，那么x应满足的条件是 　 　． 7．已知关于x的分式，求下列问题： （1）当x满足什么条件，分式无意义； （2）当x满足什么条件，分式有意义； （3）当x满足什么条件，分式的值等于0． 题型三 分式值为0的条件 解题技巧提炼 分式的值等于零，应满足分子等于零，同时分母不为零. 1．（2024•连州市模拟）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或2 2．（2024春•万州区期末）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0 3．（2023秋•蒙阴县期末）已知分式的值为0，则x＝（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 4．（2023秋•东平县期中）若分式的值为0，则x应满足的条件是 　 　． 5．（2023春•市北区期末）若分式的值为零，则x的值为　 　． 6．（2024秋•昌黎县期中）当x＝　 　时，分式的值是0． 7．当x为何值时，下列分式的值为0？ （1）；（2）；（3）． 题型四 求分式的值 解题技巧提炼 先根据题意求出字母的值，然后再代入所给的式子中，即可求出分式的值. 1．（2024秋•长清区期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•永兴县校级月考）已知非零有理数x，y满足x﹣3y＝0，则（　　） A． B． C． D． 3．（2023•苏州模拟）已知ab＝3（b﹣a），则的值是（　　） A．﹣3 B． C．3 D． 4．（2024春•江山市期末）已知x﹣y＝2xy，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2023•海东市一模）若单项式2x2my2与单项式是同类项，则　 　． 6． （2024秋•越秀区校级月考）若（a﹣1）2+|b+3|＝0，则的值是 　 　． 题型五 由分式的值求未知数的取值范围 解题技巧提炼 1、分式的值为正数的条件是分子、分母同号. 2、分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 1．（2024秋•普兰店区期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（　　） A．x＞4 B．x＜4 C．x＞﹣4 D．x＜﹣4 2．（2024•婺城区校级开学）若分式的值为正数，则x的取值范围是（　　） A．x B．0 C．x＞0 D．x且x≠0 3．（2024春•盐城期中）对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．若分式的值为正，则x的取值范围是（　　） A． B． C．，且x≠0 D． 5．（2023秋•襄都区月考）已知：代数式． （1）当m为何值时，该式无意义？ （2）若该式的值为正数，求m的取值范围． 6．当x的取值范围是多少时： （1）分式的值为负数？ （2）分式的值为正数？ （3）分式的值为负数？ 题型六 分式的值为整数时字母的取值 解题技巧提炼 平方差公式的几何意义主要是利用“等积法”来表示出图形的面积，从而得出平方差公式. 1．（2023春•天元区校级期末）使分式的值为整数的所有整数x的和为（　　） A．8 B．4 C．0 D．﹣2 2．若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024•云南模拟）若表示一个整数，则整数x可取值的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 4．（2024秋•冠县期末）已知x为整数，且分式的值为整数，则满足条件的所有整数x的和是（　　） A．﹣4 B．﹣5 C．1 D．3 5．（2024秋•江津区期末）若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且使得分式的值是一个整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．6 B．13 C．15 D．21 6．使分式的值为整数的整数x的值有多少个？ 请先阅读解题过程，回答有关问题． 因为， 又因为分式的值及x的值均为整数，所以2能整除x﹣1，当x＝1时，因为x﹣1＝0，所以分母为零，分式无意义． 所以x﹣1可取的值为﹣2，﹣1，1，2，相应的x的值为﹣1，0，2，3，那么，满足条件的x值共有4个． （1）本题的解题思路是 　 　； （2）运用这种解题思路，求出使分式的值为整数的整数x的值． 题型七 分式的基本性质 解题技巧提炼 分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 1．（2024秋•洪山区期末）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•门头沟区期末）下列各式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•大武口区期末）若分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（　　） A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的倍 D．不变 4．（2024秋•襄州区期末）不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•西安区校级期末）找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立，以下结论： ①；②；③；④， 则正确的结论有 　 　． 6．（2024秋•昌平区校级期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 　 　． 7． （2024秋•永兴县校级月考）不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化为整数为　 　． 题型八 最简分式的识别 解题技巧提炼 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 1．（2024秋•闵行区期末）下列分式中最简分式是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•甘井子区期末）下列是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•迁西县期中）下列分式中，不是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•宁阳县期中）下列分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•临武县校级月考）分式，，，中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024春•封丘县月考）已知三张卡片上面分别写有6，x﹣1，x2﹣1，从中任选两张卡片，组成了三个不同的式子：，，其中是最简分式的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型九 分式的约分 解题技巧提炼 1、若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂； 2、 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 1．（2024秋•卢龙县期中）约分的结果是（　　） A．3x B．3xy C．3xy2 D．3x2y 2．（2024秋•兴城市期末）下列各分式化简后与相等的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•张店区期中）若分式可以进行约分化简，则该分式中的A不可以是（　　） A．1 B．x C．﹣x D．4 4．（2024•榆次区二模）化简的结果是 　． 5．（2024春•鼓楼区期末）将分式约分后的结果是 　 　． 6．（2024春•永寿县月考）化简下列分式： （1）； （2）． 7．（2024秋•泰山区校级月考）约分： （1）． （2）． （3）． （4）． 题型十 分式的通分 解题技巧提炼 1、分式的通分定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 2、最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积. 3、通分的关键是确定最简公分母． 1．（2024秋•兴宾区期中）分式与的最简公分母是（　　） A．2x2 B．2x2y C．4x2y D．4x3y 2．（2024秋•娄底校级期末）分式的最简公分母是（　　） A．2x B．2x（2x﹣4） C．2x﹣4 D．2x（x﹣2） 3．（2024春•涟水县月考）式子的最简公分母是（　　） A．36x2y2 B．24x2y2 C．12x2y2 D．6x2y2 4．（2024秋•禹州市期末）将分式与分式通分后，的分母变为（1+a）（1﹣a）2，则的分子变为（　　） A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a 5．（2024春•原阳县月考）把，，通分过程中，不正确的是（　　） A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B． C． D． 6．2024秋•韩城市校级月考）将下列各分式通分： （1）与； （2）与． 7．（2024春•玄武区校级期中）（1）通分：和； （2）约分：． 题型十一 利用分式的基本性质求值 解题技巧提炼 1、用整体代入法求分式的值的方法，先将待求值的式子变形，使其含有条件式，再将条件式整体代入求值；也可先将将条件式变形，再将变形后的式子整体代入求值 2、设辅助参数法求值. 1．（2024•临沂一模）若，则的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 2．（2024秋•昆明期中）已知x3，则的值是（　　） A．10 B．8 C． D． 3．（2024春•江都区校级月考）已知a＞b＞0，a2+b2＝6ab，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•玄武区校级期中）已知，则　 ． 5．（2024秋•龙凤区期末）阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值． 解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）， ∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0． 依照上述方法解答下列问题： 已知：，其中x+y+z≠0，求的值． 6．（2024春•方城县月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即， ∴∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则，，，∴． 根据材料解答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 7．阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设， 则a＝3k，b＝4k，c＝5k①； 所以②． （1）上述解题过程中，第①步运用了　 　的基本性质； 第②步中，由求得结果运用了　 　的基本性质； （2）参照上述材料解题： 已知：，求分式的值． 题型十二 分式的规律性问题 解题技巧提炼 对于与分式相关的规律探究题，应全面分析式子中各项的分子、分母的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 1．（2023秋•广陵区校级期末）观察下列分式：，，，，…，按此规律第10个分式是 　 　． 2．（2024秋•夏津县期中）观察下列式子：，，，，，…，根据其中的规律，第n个式子是 　 ． 3．（2024秋•冠县期中）一组按规律排列的式子：，，，，…（ab≠0），则第n个式子 是 　 　（n为正整数）． 4．（2024春•铜仁市期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，，，，，，　 　，，…，请按照此规律在横线上补写出第6个分式． 5．（2024•高新区模拟）一组按规律排列的式子：，，，，…（a≠0），其中第10个式子是　 　． 6．一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是　 　，第n个式子是　 　（用含的n式子表示，n为正整数）． 7．给定一列分式：，，，，…（其中x≠0，y≠0），那么第n个分式是　 　，这列分式中第n个分式除以第（n﹣1）个分式的商是　 　． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ （华东师大版）八年级下册数学《第16章 分式》 16.1 分式及其基本性质 知识点一 分式的概念 ◆1、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． ◆2、分式必须满足的条件： （1）形如 的式子； （2）A，B都是整式； （3）分母B中含有字母. 知识二 分式有意义和无意义的条件 ◆1、分式有意义的条件：分式的分母不为0，即当B≠0时，分式有意义. ◆2、分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B＝0时，分式无意义． 知识三 分式的值为0的条件 ◆1、分式的值为0的条件是：当 A = 0 且 B≠0 时，分式 的值为零. ◆2、分式值为0的解题步骤： （1）写出分子等于0的等式； （2）求出使分子等于0的x的值； （3）代入分母检验其是否等于0，使分母为0的x值，必须将其舍去. 知识四 分式的基本性质 ◆1、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. ◆2、式子表示为：（其中 A，B，C 是整式.） 知识五 分式的约分 ◆1、分式的约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． ◆2、约分的依据：分式的基本性质． ◆3、约分的关键：是要找出分式的分子与分母的最大公因式． ◆4、约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，则直接约去分子、分母的公因式；如果分子、分母中至少有一个多项式，一般先分解因式，再确定公因式并约去． ◆5、最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【注意事项】 （1）约分前后分式的值要相等； （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式； （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 知识六 分式的通分 ◆1、分式的通分定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． ◆2、最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积. ◆3、通分的关键是确定最简公分母． ◆4、确定几个分式的最简公分母的方法： （1）分母含多项式且能分解的先因式分解； （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂； （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂； （5）取积：系数与所有字母（或因式）的最高次幂的积. ◆5、约分和通分的区别与联系 题型一 分式的概念 解题技巧提炼 1、判断时，注意含有 π 的式子，π 是常数； 2、 式子中含有多项时，若其中某一项或几项为分式，其他项为整式，则该式也为分式，如：1＋ . 1．（2024秋•滦州市期末）下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D．x﹣2 【分析】根据分式的定义，即可得出答案． 【解答】解：根据分式的定义可知，是分式． 故选：B． 【点评】本题主要考查分式的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．（2024秋•韶关期末）下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D．x+y 【分析】根据分式的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、是分数，不是分式，故A不符合题意； B、是分式，故B符合题意； C、是整式，不是分式，故C不符合题意； D、x+y是整式，不是分式，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 3．（2024秋•康县期末）下列各式，，，中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分式的定义解答即可． 【解答】解：，是分式． 故选：C． 【点评】本题考查的是分式，熟知分母中含有未知数的式子是分式是解题的关键． 4．（2024秋•长沙县期末）给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 【分析】根据分式的定义判断即可． 【解答】解：分式：①；③；共2个， 故选：C． 【点评】本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 5．（2024秋•大祥区期末）在式子、、、，，中，分式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【解答】解：分式：、，，共3个， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键． 题型二 分式有意义、无意义的条件 解题技巧提炼 1、分式有意义的条件是分母不为零. 若分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零. 2、分式无意义的条件是分母为0. 1．（2024秋•西青区期末）若分式有意义，则x应满足的条件是（　　） A．x＝1 B．x≠1 C．x＝﹣2 D．x≠﹣2 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解． 【解答】解：分式有意义， ∴3x+6≠0， 解得：x≠﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题的关键． 2．（2024秋•武都区期末）要使分式有意义，则x需满足的条件是（　　） A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x≠±2 D．x≠0 【分析】分式的分母不为零，即x2﹣4≠0． 【解答】解：由分式有意义的条件可知：x2﹣4≠0， ∴x≠±2， 故选：C． 【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 3．（2024秋•西宁期末）当x＝﹣1时，下列分式中有意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0对各个选项进行判断即可． 【解答】解：当x＝﹣1时，x+1＝0，A不正确； 当x＝﹣1时，|x|﹣1＝0，B不正确； 当x＝﹣1时，x﹣1≠0，C正确； 当x＝﹣1时，x2﹣1＝0，D不正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键． 4．（2024春•凤阳县校级期末）当x＝2时，下列各项中哪个无意义（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式无意义的条件是分母等于零进行判断即可． 【解答】解：当x＝2时，x2﹣4＝0， 所以当x＝2时，无意义． 故选：A． 【点评】本题考查了分式无意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，分式无意义的条件是分母等于零． 5．（2024秋•永吉县期末）当x＝ 　 　时，分式无意义． 【分析】分式无意义的条件是分母为0，据此解答即可． 【解答】解：由题意得，x﹣1＝0， 解得x＝1， 即当x＝1时，分式无意义． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件为分母不等于零． 6．（2024秋•静安区期末）如果分式有意义，那么x应满足的条件是 　 　． 【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x+1≠0， 解得x≠﹣1． 故答案为：x≠﹣1． 【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 7．已知关于x的分式，求下列问题： （1）当x满足什么条件，分式无意义； （2）当x满足什么条件，分式有意义； （3）当x满足什么条件，分式的值等于0． 【分析】（1）根据分母为零时，分式无意义解题即可； （2）根据分母不为零时，分式有意义解题即可； （3）根据分式值为0的条件：分子为0，而分母不等于0，解题即可． 【解答】解：（1）由题可得（x+1）（x﹣3）＝0， 解得：x＝﹣1或x＝3， ∴当x＝﹣1或x＝3时，分式无意义； （2）由题可得（x+1）（x﹣3）≠0， 解得：x≠﹣1且x≠3， ∴当x≠﹣1且x≠3时，分式有意义； （3）由题可得， 解得x＝1， ∴当x＝1时，分式的值等于0． 【点评】本题考查分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式值为0时分子为零而分母不为零的条件是解题的关键． 题型三 分式值为0的条件 解题技巧提炼 分式的值等于零，应满足分子等于零，同时分母不为零. 1．（2024•连州市模拟）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或2 【分析】根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣2＝0且x+2≠0， 解得x＝2． 故选：C． 【点评】本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零且分母不为零的条件是解题的关键． 2．（2024春•万州区期末）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0 【分析】由已知可得，分式的分子为零，分母不为零，由此可得x2﹣4＝0，x﹣2≠0，解出x即可． 【解答】解：∵分式的值为零， ∴x2﹣4＝0， ∴x＝±2， ∵x﹣2≠0， ∴x≠2， ∴x＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查分式的性质，熟练掌握分式值为零的条件，注意分母不为零的隐含条件是解题的关键． 3．（2023秋•蒙阴县期末）已知分式的值为0，则x＝（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 【分析】根据分式的值为0的条件列式求解即可． 【解答】解：根据题意得，|x|﹣1＝0且1﹣x≠0， 解得x＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 4．（2023秋•东平县期中）若分式的值为0，则x应满足的条件是 　 　． 【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可． 【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0且x+1≠0， 解得：x＝1， 故答案为：x＝1． 【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 5．（2023春•市北区期末）若分式的值为零，则x的值为　 　． 【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零，由此得到3﹣|x|＝0且x+3≠0，从而得到x的值． 【解答】解：依题意得：3﹣|x|＝0且x+3≠0， 解得x＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 6．（2024秋•昌黎县期中）当x＝　 　时，分式的值是0． 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【解答】解：∵分式的值是0， ∴1﹣x2＝0，且|x﹣1|≠0， 解得：x＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键． 7．当x为何值时，下列分式的值为0？ （1）；（2）；（3）． 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 【解答】解：（1）由题意得： ， 解得， 解得x＝﹣6； （2）由题意得： ， 解得， 解得x＝0； （3）由题意得： ， 解得， ∴x＝﹣2． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零． 题型四 求分式的值 解题技巧提炼 先根据题意求出字母的值，然后再代入所给的式子中，即可求出分式的值. 1．（2024秋•长清区期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先化简，代入数值计算即可． 【解答】解：∵， ． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的值，能化成是解题的关键． 2．（2024秋•永兴县校级月考）已知非零有理数x，y满足x﹣3y＝0，则（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意得到x＝3y，代入分式化简求解即可． 【解答】解：根据条件可知：x＝3y， ∴原式， 故选：C． 【点评】本题主要考查分式求值，熟练掌握分式的化简求值是关键． 3．（2023•苏州模拟）已知ab＝3（b﹣a），则的值是（　　） A．﹣3 B． C．3 D． 【分析】根据条件得到ab＝﹣3（a﹣b），从而得到3． 【解答】解：∵ab＝3（b﹣a）， ∴ab＝﹣3（a﹣b）， ∴3． 故选：A． 【点评】本题考查了分式的值，掌握b﹣a＝﹣（a﹣b）是解题的关键． 4．（2024春•江山市期末）已知x﹣y＝2xy，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】将分式变形为，然后代入求值即可． 【解答】解：∵x﹣y＝2xy， ∴ ， 故选：C． 【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． 5．（2023•海东市一模）若单项式2x2my2与单项式是同类项，则　 　． 【分析】直接利用同类项的定义得出关于m，n的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵单项式2x2my2与单项式是同类项， ∴2m＝2，n+4＝2， 解得：m＝1，n＝﹣2， 则3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了求分式的值及同类项，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 6．（2024秋•越秀区校级月考）若（a﹣1）2+|b+3|＝0，则的值是 　 　． 【分析】先运用非负数的知识求得a，b的值，再代入计算． 【解答】解：由题意得， a﹣1＝0，b+3＝0， 解得a＝1，b＝﹣3， ∴ ， 故答案为：． 【点评】此题考查了非负数的性质和分式求值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 题型五 由分式的值求未知数的取值范围 解题技巧提炼 1、分式的值为正数的条件是分子、分母同号. 2、分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 1．（2024秋•普兰店区期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（　　） A．x＞4 B．x＜4 C．x＞﹣4 D．x＜﹣4 【分析】由0，即可求x的取值． 【解答】解：∵分式的值是负数， ∴0， ∴4﹣x＜0， ∴x＞4， 故选：A． 【点评】本题考查分式的值，熟练掌握分式的值的求法，正确解不等式是解题的关键． 2．（2024•婺城区校级开学）若分式的值为正数，则x的取值范围是（　　） A．x B．0 C．x＞0 D．x且x≠0 【分析】根据分式的值的意义，由于分子﹣5＜0，要分式的值为正数，分母3x﹣4＜0． 【解答】解：由于分式的值为正数， 所以3x﹣4＜0， 即x， 故选：A． 【点评】本题考查分式的值，理解分式的值的计算方法是正确解答的关键． 3．（2024春•盐城期中）对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值． 【解答】解： ＝2， ∵x为非正整数，使得的值是一个整数， ∴x取值为0，﹣2，﹣6， ∴x的个数有3个， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，是解题的关键． 4．若分式的值为正，则x的取值范围是（　　） A． B． C．，且x≠0 D． 【分析】根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式． 【解答】解：∵x2＞0，且x≠0，分式的值为正， ∴2x+1＞0， ∴， ∴且x≠0． 故选：C． 【点评】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 5．（2023秋•襄都区月考）已知：代数式． （1）当m为何值时，该式无意义？ （2）若该式的值为正数，求m的取值范围． 【分析】（1）根据分母为零时分式没有意义进行列式计算即可； （2）当分母不小于零时，该式为正数进行列式计算即可． 【解答】解：（1）∵代数式无意义， ∴m+1＝0， ∴m＝﹣1； （2）由题意得，该式的值为正数时， 可得1+m＞0， 即m＞﹣1． 【点评】本题考查分式的值为零的条件和分式有意义的条件，掌握分母不为零和分子为零的条件是解题的关键． 6．当x的取值范围是多少时： （1）分式的值为负数？ （2）分式的值为正数？ （3）分式的值为负数？ 【分析】（1）由题意可得不等式3x﹣6＜0，求出x的取值即可； （2）根据题意可得不等式组或，求出x的取值即可； （3）根据题意可得不等式组或，求出x的取值即可． 【解答】解：（1）∵x2+1＞0， ∴3x﹣6＜0时，分式的值为负数， ∴x＜2； （2）∵分式的值为正数， ∴或， 解得x＜1； （3）∵分式的值为负数， ∴或， 解得x＞1或x． 【点评】本题考查分式的值，熟练掌握分式的求值方法，不等式组的解法是解题的关键． 题型六 分式的值为整数时字母的取值 解题技巧提炼 平方差公式的几何意义主要是利用“等积法”来表示出图形的面积，从而得出平方差公式. 1．（2023春•天元区校级期末）使分式的值为整数的所有整数x的和为（　　） A．8 B．4 C．0 D．﹣2 【分析】结合已知条件确定x的值，然后将它们相加计算即可． 【解答】解：∵分式的值为整数， ∴x﹣1＝±1或±7， 则x＝0或2或﹣6或8， 则0+2﹣6+8＝4， 故选：B． 【点评】本题考查分式的值，结合已知条件确定x﹣1＝±1或±7是解题的关键． 2．若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据题意列出等式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3， ∴a＝0，2，﹣2，4， 故选：C． 【点评】本题考分式的值，解题的关键是正确列出等式，本题属于基础题型． 3．（2024•云南模拟）若表示一个整数，则整数x可取值的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 【分析】由表示一个整数且x为整数，则2x+3＝±1或2x+3＝±2或2x+3＝±3或2x+3＝±6，进而求出x的值． 【解答】解：∵表示一个整数且x是整数， ∴2x+3＝±1或2x+3＝±2或2x+3＝±3或2x+3＝±6． 当2x+3＝1，则x＝﹣1． 当2x+3＝﹣1，则x＝﹣2． 当2x+3＝2，则x（不合题意，故舍去）． 当2x+3＝﹣2，则x（不合题意，故舍去）． 当2x+3＝3，则x＝0． 当2x+3＝﹣3，则x＝﹣3． 当2x+3＝6，则x（不合题意，故舍去）． 当2x+3＝﹣6，则x（不合题意，故舍去）． 综上，整数x的取值有﹣1、﹣2、0、﹣3． 故选：C． 【点评】本题主要考查分式，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键． 4．（2024秋•冠县期末）已知x为整数，且分式的值为整数，则满足条件的所有整数x的和是（　　） A．﹣4 B．﹣5 C．1 D．3 【分析】根据分式有意义的条件得出x≠±1，再将分式化简后，是分式的值为整数，得出x的值，最后计算即可． 【解答】解：由分式有意义可知，x2﹣1≠0，即x≠±1， 于是， 要使的值为整数，x为整数， 所以x+1＝±1，x+1＝±2， 所以x＝0或x＝﹣2或x＝﹣3或x＝1， 又因为x≠±1， 所以x＝0或﹣2或﹣3， 因此满足条件的所有整数x的和为0+（﹣2）+（﹣3）＝﹣5， 故选：B． 【点评】本题考查分式及分式的值，理解分式的意义，掌握分式值的计算方法是解决问题的前提． 5．（2024秋•江津区期末）若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且使得分式的值是一个整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．6 B．13 C．15 D．21 【分析】解不等式组，根据不等式组有且仅有3个整数解求出a的取值范围，从而得到a的取值；将化为，将a的可能值分别代入，将使得为整数的所有a的值加起来即可． 【解答】解：解不等式组，得x＜5， ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴12， ∴5＜a≤8， ∵a为整数， ∴a＝6，7，8． ， 当a＝6时，4； 当a＝7时，2； 当a＝8时，（舍去）， 6+7＝13， ∴满足条件的所有整数a的和为13． 故选：B． 【点评】本题考查分式的值、一元一次不等式组的整数解，掌握分式一元一次不等式组的解法是解题的关键． 6．使分式的值为整数的整数x的值有多少个？ 请先阅读解题过程，回答有关问题． 因为， 又因为分式的值及x的值均为整数，所以2能整除x﹣1，当x＝1时，因为x﹣1＝0，所以分母为零，分式无意义． 所以x﹣1可取的值为﹣2，﹣1，1，2，相应的x的值为﹣1，0，2，3，那么，满足条件的x值共有4个． （1）本题的解题思路是 　 　； （2）运用这种解题思路，求出使分式的值为整数的整数x的值． 【分析】（1）解题思路为：一般是将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题； （2）先把分子分母因式分解，再约分，根据题意得出整数x的值即可． 【解答】解：（1）题的解题思路是将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题； 故答案为：将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题； （2）， 要使分式的值为整数， ①当x﹣1＝1时，x＝2， ②当x﹣1＝2时，x＝3， ③当x﹣1＝3时，x＝4， ④当x﹣1＝6时，x＝7， ⑤当x﹣1＝﹣1时，x＝0， ⑥当x﹣1＝﹣2时，x＝﹣1， ⑦当x﹣1＝﹣3时，x＝﹣2， ⑧当x﹣1＝﹣6时，x＝﹣5， ∴使分式的值为整数的整数x的值﹣5、﹣2、﹣1、0、2、3、4、7． 【点评】本题考查了分式的化简，分式的结果要化成最简分式的形式，解题思路为：一般是将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题． 题型七 分式的基本性质 解题技巧提炼 分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 1．（2024秋•洪山区期末）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用分式的性质逐项判断即可． 【解答】解：不能约分，则A不符合题意； ，则B符合题意； ，则C不符合题意； 不能约分，则D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 2．（2024秋•门头沟区期末）下列各式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 【解答】解：，则A符合题意； 无法约分，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 3．（2024秋•大武口区期末）若分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（　　） A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的倍 D．不变 【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：， ∴分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值是原来的10倍， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 4．（2024秋•襄州区期末）不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质作答，分式分母、分子和分式本身的符号任意改变两个分式的值不变． 【解答】解：不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，根据分式的基本性质，分子分母同除以﹣1， A、； B、； C、； D、1， 故选：B． 【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变． 5．（2023秋•西安区校级期末）找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立，以下结论： ①；②；③；④， 则正确的结论有 　 　． 【分析】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值． 【解答】解：∵， ∴ad＝bc， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 设， ∴a＝bk，c＝dk， ∴，， ∴，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键． 6．（2024秋•昌平区校级期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 　 　． 【分析】根据分式的基本性质，不改变分式的值，把它的分子、分母同时乘10，即可把它的分子、分母的各项系数都化为整数． 【解答】解：不改变分式的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 7．（2024秋•永兴县校级月考）不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化为整数为　 　． 【分析】不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． 【解答】解：将分子分母同时乘以10，则分式变为：． 【点评】本题主要考查分式的基本性质的应用．是一个基础题． 题型八 最简分式的识别 解题技巧提炼 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 1．（2024秋•闵行区期末）下列分式中最简分式是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式；由此逐一分析探讨得出答案即可． 【解答】解：A、分子、分母含有公因数2，所以不是最简分式，不符合题意； B、分子、分母含有公因式（x+1），所以不是最简分式，不符合题意； C、分子、分母含有公因式（x+2y），所以不是最简分式，不符合题意； D、分子不能分解因式，分子分母没有非零次的公因式，所以是最简分式，符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查最简分式的定义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可． 2．（2024秋•甘井子区期末）下列是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的定义判断即可． 【解答】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、3a+b，不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 3．（2024秋•迁西县期中）下列分式中，不是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的定义判断即可． 【解答】解：A、是最简分式，不符合题意； B、是最简分式．不符合题意； C、是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了最简分式，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式． 4．（2023秋•宁阳县期中）下列分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用最简分式定义进行分析即可． 【解答】解：A、，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意； B、是最简分式，故此选项符合题意； C、，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意； D、，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了最简分式，关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 5．（2024秋•临武县校级月考）分式，，，中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用最简分式定义进行分析即可． 【解答】解：分式，，，中，最简分式有，，共2个． 故选：B． 【点评】此题主要考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 6．（2024春•封丘县月考）已知三张卡片上面分别写有6，x﹣1，x2﹣1，从中任选两张卡片，组成了三个不同的式子：，，其中是最简分式的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】直接利用最简分式的定义分析得出答案． 【解答】解：，，其中是最简分式的有：共1个． 故选：B． 【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键． 题型九 分式的约分 解题技巧提炼 1、若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂； 2、 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 1．（2024秋•卢龙县期中）约分的结果是（　　） A．3x B．3xy C．3xy2 D．3x2y 【分析】把分子分母的公因式约去即可得到答案． 【解答】解：， 故选：B． 【点评】本题考查的是分式的约分，掌握约分的法则是解本题的关键． 2．（2024秋•兴城市期末）下列各分式化简后与相等的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将各选项分式能约分的约分即可得出答案． 【解答】解：A．不能再进一步约分，不符合题意； B．不能再进一步约分，不符合题意； C．不能再进一步约分，不符合题意； D．，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查分式的约分，解题的关键是掌握约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 3．（2024秋•张店区期中）若分式可以进行约分化简，则该分式中的A不可以是（　　） A．1 B．x C．﹣x D．4 【分析】考虑x2﹣A有公因式x﹣1，x+2即可． 【解答】解：A＝1或x或4时，分子分母有公因式，可以约分． 故选：C． 【点评】本题考查约分，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（2024•榆次区二模）化简的结果是 　． 【分析】先把分式的分子、分母因式分解，再约去公因式即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 5．（2024春•鼓楼区期末）将分式约分后的结果是 　 　． 【分析】本题考查了分式的约分，找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查约分，找出分式分子和分母的最大公因式是解题的关键． 6．（2024春•永寿县月考）化简下列分式： （1）； （2）． 【分析】（1）根据分式的约分的方法可以化简本题； （2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题． 【解答】解：（1）； （2）． 【点评】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法． 7．（2024秋•泰山区校级月考）约分： （1）． （2）． （3）． （4）． 【分析】直接利用分式的性质化简，进而得出答案． 【解答】解：（1）． （2）2（y﹣x）2． （3）． （4）． 【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键． 题型十 分式的通分 解题技巧提炼 1、分式的通分定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 2、最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积. 3、通分的关键是确定最简公分母． 1．（2024秋•兴宾区期中）分式与的最简公分母是（　　） A．2x2 B．2x2y C．4x2y D．4x3y 【分析】先找系数的最小公倍数，找所有因式的最高次幂，其积便是最简公分母． 【解答】解：分式与的分母分别是2x2y、4x3，故最简公分母是4x3y， 故选：D． 【点评】本题考查了最简公分母，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键． 2．（2024秋•娄底校级期末）分式的最简公分母是（　　） A．2x B．2x（2x﹣4） C．2x﹣4 D．2x（x﹣2） 【分析】先变形得到2x﹣4＝2（x﹣2），然后根据最简公分母的定义进行判断即可． 【解答】解：的最简公分母为2x（x﹣2）， 故选：D． 【点评】本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 3．（2024春•涟水县月考）式子的最简公分母是（　　） A．36x2y2 B．24x2y2 C．12x2y2 D．6x2y2 【分析】先确定2、3、6的最小公倍数，再取x、y的最高次幂，然后把它们的积作为最简公分母． 【解答】解：式子的最简公分母是6x2y2． 故选：D． 【点评】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 4．（2024秋•禹州市期末）将分式与分式通分后，的分母变为（1+a）（1﹣a）2，则的分子变为（　　） A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a 【分析】找出两分式分母的最简公分母，利用分式的性质判断即可． 【解答】解：两分式的最简公分母为（1+a）（1﹣a）2， ∴， 则的分子变为1﹣a． 故选：A． 【点评】此题考查了通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母． 5．（2024春•原阳县月考）把，，通分过程中，不正确的是（　　） A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2 B． C． D． 【分析】按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案． 【解答】解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确； B、，通分正确； C、，通分正确； D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4； 故选：D． 【点评】根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等． 6．2024秋•韩城市校级月考）将下列各分式通分： （1）与； （2）与． 【分析】（1）（2）先确定分式的最简公分母，再通分即可． 【解答】解：（1）最简公分母是2a2b2， ∴，； （2）最简公分母是（x+5）（x﹣5）， ∴，． 【点评】本题考查的是分式的通分，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 7．（2024春•玄武区校级期中）（1）通分：和； （2）约分：． 【分析】（1）通分时先分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，计算即可； （2）先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，计算即可． 【解答】解：（1）； ； （2）原式 ． 【点评】本题考查的是通分和约分，熟练掌握其定义和规律方法总结是解题的关键． 题型十一 利用分式的基本性质求值 解题技巧提炼 1、用整体代入法求分式的值的方法，先将待求值的式子变形，使其含有条件式，再将条件式整体代入求值；也可先将将条件式变形，再将变形后的式子整体代入求值 2、设辅助参数法求值. 1．（2024•临沂一模）若，则的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 【分析】将变形得y﹣x＝3xy，然后整体代入即可求解． 【解答】解：∵， ∴y﹣x＝3xy， ∵， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查分式的求值，解题关键是正确变形整体代入求解． 2．（2024秋•昆明期中）已知x3，则的值是（　　） A．10 B．8 C． D． 【分析】观察已知和待求，可利用整体代入法解题，首先给已知等式两边同时平方并变形可得x27；待求式的倒数为x2+1，利用整体代入法可得到的值，待求式的值即为该数的倒数． 【解答】解：∵x3， ∴x2+29， ∴x27． ∵x2+1， ∴7+1＝8， ∴． 故选：D． 【点评】本题侧重考查分式的化简，掌握整体代入法是解题关键． 3．（2024春•江都区校级月考）已知a＞b＞0，a2+b2＝6ab，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用完全平方公式得出a+b，a﹣b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵a2+b2＝6ab， ∴a2+b2+2ab＝8ab， 即（a+b）2＝8ab， ∵a2+b2＝6ab， ∴a2+b2﹣2ab＝4ab， 即（a﹣b）2＝4ab， ∵a＞b＞0， ∴a+b＞0，a﹣b＞0， ∴． 故选：A． 【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，根据已知得出a+b，a﹣b的值是解题关键． 4．（2024春•玄武区校级期中）已知，则　 ． 【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到x、y、z与这一常数的关系式，将各关系式代入求值． 【解答】解：设k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，则． 故答案为． 【点评】本题主要考查分式的基本性质，设出常数是解题的关键． 5．（2024秋•龙凤区期末）阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值． 解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）， ∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0． 依照上述方法解答下列问题： 已知：，其中x+y+z≠0，求的值． 【分析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代数式． 【解答】解：设k， 则：， （1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z）， ∵x+y+z≠0， ∴k＝2， ∴原式． 【点评】本题主要考查分式的基本性质，重点是设“k”法． 6．（2024春•方城县月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即， ∴∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则，，，∴． 根据材料解答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【分析】（1）仿照材料一，利用倒数和完全平方公式进行计算求解； （2）仿照材料二，利用分式的基本性质计算求解． 【解答】解：（1）∵， ∴4， ∴4， 即x﹣14， ∴x5； （2）令k， ∴a＝5k，b＝4k，c＝3k， ∴原式， ＝2.4． 【点评】本题考查分式的化简求值，理解倒数的概念，掌握分式的基本性质是解题关键． 7．阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设， 则a＝3k，b＝4k，c＝5k①； 所以②． （1）上述解题过程中，第①步运用了　 　的基本性质； 第②步中，由求得结果运用了　 　的基本性质； （2）参照上述材料解题： 已知：，求分式的值． 【分析】（1）根据等式的基本性质分式的基本性质即可判断； （2）按照阅读材料中的设k法即可解答． 【解答】解：（1）上述解题过程中，第①步运用了等式的基本性质， 第②步中，由求得结果运用了分式的基本性质， 故答案为：等式，分式； （2）设， 则x＝2k，y＝3k，z＝6k， 所以 ， ∴分式的值为：． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握阅读材料中的设k法是解题的关键． 题型十二 分式的规律性问题 解题技巧提炼 对于与分式相关的规律探究题，应全面分析式子中各项的分子、分母的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 1．（2023秋•广陵区校级期末）观察下列分式：，，，，…，按此规律第10个分式是 　 　． 【分析】根据题干中的分式总结出各分式的符号，分子，分母的规律即可． 【解答】解：第1个分式为：； 第2个分式为：； 第3个分式为：； …， 第10个分式：， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的定义及规律问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 2．（2024秋•夏津县期中）观察下列式子：，，，，，…，根据其中的规律，第n个式子是 　 ． 【分析】由题意，可推导一般性规律为：第n个式子为（﹣1）n•，然后代值求解即可． 【解答】解：发现规律：第n个式子为（﹣1）n•， 故答案为：（﹣1）n•． 【点评】本题考查了式子的规律探究，有理数的乘方等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 3．（2024秋•冠县期中）一组按规律排列的式子：，，，，…（ab≠0），则第n个式子 是 　 　（n为正整数）． 【分析】根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母的变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的变化规律，即可得到该组式子的变化规律． 【解答】解：分子为b，其指数为2，5，8，11，…，其规律为3n﹣1， 分母为a，其指数为1，2，3，4，…，其规律为n， 分数符号为﹣，+，﹣，+，…，其规律为（﹣1）n， 所以第n个式子（﹣1）n． 故答案为：（﹣1）n． 【点评】此题考查了分式的变化规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题的关键． 4．（2024春•铜仁市期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，，，，，，　 　，，…，请按照此规律在横线上补写出第6个分式． 【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和得答案． 【解答】解：由给出的式子的特点， 即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和， 由此可得第6个式子是． 故答案为：． 【点评】本题考查了归纳推理，这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理成为归纳推理． 5．（2024•高新区模拟）一组按规律排列的式子：，，，，…（a≠0），其中第10个式子是　 　． 【分析】式子的符号：第奇数个是正号．偶数个是负号，分子等于序号的平方，分母中a的指数是：序号的3倍减去1，据此即可求解． 【解答】解：∵（﹣1）1+1•， （﹣1）2+1•， （﹣1）3+1•， … 第10个式子是（﹣1）10+1•． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了式子的特征，正确理解式子的规律是解题的关键． 6．一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是　 　，第n个式子是　 　（用含的n式子表示，n为正整数）． 【分析】观察分母的变化为a的1次幂、2次幂、3次幂…n次幂；分子的变化为：2、5、10、17…n2+1；分式符号的变化为：+、﹣、+、﹣…（﹣1）n+1． 【解答】解：∵（﹣1）2•， （﹣1）3•， （﹣1）4•， … ∴第7个式子是， 第n个式子为：． 故答案为：，． 【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． 7．给定一列分式：，，，，…（其中x≠0，y≠0），那么第n个分式是　 　，这列分式中第n个分式除以第（n﹣1）个分式的商是　 　． 【分析】观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为（﹣2）n﹣1乘以y的n次幂，据此得到第n个分式；用第二个分式除以第一个分式，第三个分数除以第二个分式，…，你能发现规律不难得到相除所得的商相等，至此问题便可迎刃而解了． 【解答】解：观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为（﹣2）n﹣1乘以y的n次幂， 所以第n个分式为； ， （）， …… 综上可知规律是：任意一个分式除以前面一个分式，商都为； 故这列分式中第n个分式除以第（n﹣1）个分式的商是． 故答案为：；． 【点评】本题侧重考查知识分式的定义，掌握分式的化简是解题的关键． 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$