9.1图形的旋转同步练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

9.1图形的旋转 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，把直角坐标系放置在边长为1的正方形网格中，O是坐标原点，点A、B、C均在格点上，将△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°后，得到△A'B'C′，则点A′的坐标是（　　） A．（5，1） B．（5，﹣1） C．（﹣1，5） D．（1，﹣5） 2．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转n度（0<n<180）得到，若，则n的值为（    ） A．65 B．90 C．95 D．110 3．如图，在中，，将绕点O逆时针旋转100°得到（A、B分别与、对应），则的度数为（    ） A．30° B．70° C．90° D．130° 4．如图，将绕点C顺时针旋转得到，，相交于点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，O是等边内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③点；④；⑤．其中正确的有多少（　　）个 A．5 B．4 C．3 D．2 6．如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（　　） A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD 7．如图，O是等边内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段 嘉嘉：由图知； 琪琪：． 以下说法，正确的是（   ） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．两人都正确 D．两人都错误 8．如图，在平面直角坐标系中，若将绕点逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．如图，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C=25°，小贤同学将它绕点C旋转一定角度，扶起平放在地面上(如图)，则灰斗柄AB绕点C转动的角度为（  ） A．75° B．25° C．115° D．105° 10．如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（　　） A． B． C． D． 11．如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数．（　　） A． B． C． D． 12．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母），则至少旋转（    ）度后能与原来图形重合． A．36 B．54 C．72 D．108 二、填空题 13．如图，直线于点O，直线AB分别交EF，CD于A、B两点，且，，把绕O点逆时针旋转度得，点M是射线OC上的动点。 （1）若是以为直角边的等腰直角三角形，则OM的长度为 。 （2）若的三个顶点中存在两个顶点与点M构成等腰直角三角形，则OM的长度为 。 14．如图，将绕点C顺时针方向旋转，得，，则 ． 15．如图，将绕点逆时针旋转后得到，点在上，那么 ． 16．如图，直线与直线相交于点，将直线绕点A旋转后所得直线与x轴的交点坐标为 ． 17．如图，将以点A为旋转中心逆时针旋转得到，当点D在边上时，恰好有，若，则 ． 三、解答题 18．【综合与实践】 问题情境：数学课上，同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究，已知，，，． 【操作探究1】 （1）小颖将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时，、三点恰好共线．点，在点异侧，求线段的长； 【操作探究2】 （2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点按顺时针方向旋转角度（，射线和交于点（如图2）． ①求证：； ②如图3，当时，延长交于点，求线段的长． 19．如图，在中，，，将边CB绕点C顺时针旋转60，得到线段CD，连接AD，BD． (1)根据题意，将图形补充完整； (2)求的度数． 20．（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：如图①在等边内部，有一点P，若，求证：． 证明：将绕A点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形， ，，___________． ， ___________，即．    （2）类比延伸：如图②在等腰中，，内部有一点P，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明．    21．已知△ABC为等边三角形， M为三角形外任意一点，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置. (1)如图①，若∠BMC=120°，BM=2，MC=3.求∠AMB的度数和求AM的长. (2)如图②，若∠BMC = n°，试写出AM、BM、CM之间的数量关系，并证明你的猜想.      22．如图（1） 将三角板ABC与∠DAE摆放在一起，射线AE与AC重合，射线AD在三角形ABC外部，其中∠ACB＝30°，∠B＝60°，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°．固定三角板ABC，将∠DAE绕点A按顺时针方向旋转，如图（2），记旋转角∠CAE＝α． （1）当α为60°时，在备用图（1）中画出图形，并判断AE与BC的位置关系，并说明理由； （2）在旋转过程中，当0°＜α＜180°，∠DAE的一边与BC的平行时，求旋转角α的值； （3）在旋转过程中，当0°＜α≤90°时，探究∠CAD与∠BAE之间的关系． （温馨提示：对于任意△ABC，都有∠A＋∠B＋∠C＝180°） 23．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）． （1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1． （2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2； ②直接写出点B2的坐标为　 　． 24．如图，在网格中，是格点三角形（顶点在网格线交点上），直线经过格点． (1)画出关于直线的轴对称图形； (2)将绕点A逆时针旋转90°得到，画出． 学科网（北京）股份有限公司 《9.1图形的旋转》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D C A C C D D 题号 11 12 答案 C C 1．B 【分析】先根据旋转变换的性质分别作出A、B、C的对应点A′、B′、C′，然后再确定A′的坐标即可． 【详解】解：观察图象可知，A′（5，﹣1）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质作出对应点成为解答本题的关键． 2．D 【分析】由三角形的内角和定理求出，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是要熟练掌握平行线的性质． 3．B 【分析】本题主要考查的是旋转的性质．先依据旋转角的定义得到，再依据求解即可． 【详解】解：∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴． 故选：B． 4．D 【分析】此题考查了旋转的性质：旋转前后的对应角相等，对应点与旋转中心的连线是旋转角，据此得到，，利用三角形外角性质即可得到答案 【详解】解：由旋转得， ∴ 故选D 5．C 【分析】证明，又，所以可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论①正确；由是等边三角形，可知结论②正确；在中，三边长为3，4，5，结合勾股定理的逆定理证明是直角三角形；进而求得，故结论③正确；，故结论④错误；如图②，将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将转化为，计算可得结论⑤错误． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 又∵，     在和中， ∴， 又∵， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到， 故结论①正确； 如图①，连接， ∵，且， ∴是等边三角形， ∴． 故结论②正确； ∵， ∴． 在中，，，且， ∴是直角三角形，， ∴， 故结论③正确； ， 故结论④错误； 如图②所示，将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点． 同理可得是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形， 则 ， 故结论⑤错误． 综上所述，正确的结论为：①②③． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将向不同方向旋转，体现了结论①—结论④解题思路的拓展应用． 6．A 【分析】由对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角，可求解． 【详解】解：∵△ABC绕点A旋转至△ADE， ∴旋转角为∠BAD或∠CAE， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转角，掌握定义是解题关键． 7．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形，勾股定理的逆定理，旋转的性质，熟练掌握性质，并根据题意选择适当的知识求解是解题的关键．利用旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的逆定理逐一计算判断即可． 【详解】解：由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴，，故嘉嘉说法正确； 在等边中，，， 则， ∴， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，则， ∴，故琪琪说法正确； 综上，两人的说法都正确， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的判定和性质，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键．过B作于C，过作轴于D，构建，即可得出答案． 【详解】解：如图，过B作于C，过作轴于D， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ； 在和中， ， 又，即，， ， ． 故选C． 9．D 【分析】连结AC并且延长至E，根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解． 【详解】如图：连结AC并且延长至E， 因为∠DCE=180°-∠DCB-∠ACB=105°，即旋转角为105°， 所以灰斗柄AB绕点C转动的角度为105°． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由角的和差关系得到∠DCE的度数．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 10．D 【分析】本题旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD即为旋转角，利用角的和差关系求解． 【详解】解：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角， 即∠DOB=80°， 所以∠AOD=∠DOB-∠AOB=80°-45°=35°． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等． 11．C 【分析】首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题． 【详解】解：连接，由题意可知， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 12．C 【分析】本题考查了图形的旋转，根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：∵， ∴该图形绕中心至少旋转度后能和原来的图案互相重合． 故选C． 13． 或或或 【分析】（1）根据旋转的性质得出=OA=3，再根据等腰直角三角形的性质得出OM的长 （2）先根据勾股定理得出AB的长，在根据旋转的性质得出=AB，因为 则点在第四象限，在第一象限，然后分当和两种情况讨论即可 【详解】解：（1）∵绕O点逆时针旋转度得,∴=3         ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴ （2）∵，，; ∴ 由旋转的性质可得: =AB=， 当时，如图 则，∵, ∴, ∴, 设，，则， ∴，∴ ∴，， ∵, ∴, ∵ ∴, ∴, ∴OM= （2）当时，如图作⊥CD于P，⊥CD于Q，⊥于K，则四边形PKQ为矩形； ∵, ∴ ∴ ∴ 设则OP=3x， ∵， ∴, ∴ ∵,M= ∴ ∴，∴ ∵，∴y= ∵= ∴=1，∴x=，y=， ∴OM=PM+OP=3y-x+3x=3y+2x=, (3)当OA’与M点构成等腰三角形且作为直角边时，则为（1）的情况可知，OM=. (4)当OA’作为斜边时，. 综上所述OM的值为：或或或. 【点睛】此题考查了几何变换-旋转，涉及到勾股定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关的定理定义是解题的关键，有一定的难度 14．/50度 【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，根据旋转的性质可得，，根据，可得的度数，进而得到的度数． 【详解】解：如图， ∵绕点C顺时针方向旋转得，点B与对应， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】先由旋转性质得出对应角相等，再通过等腰三角形求出角度即可． 【详解】由旋转可知：，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质及其应用． 16．或 【分析】（1）当直线绕点A逆时针旋转，令直线与x轴相交于点B，直线与x轴相交于点C，过点B作的垂线，交线绕点A逆时针旋转后所得直线于点D，过点D作轴于点F，过点A作于点E，通过证明，得出点D的坐标，再用待定系数法求出直线的表达式，即可得出与x轴交点坐标；（2）当直线绕点A顺时针旋转，令直线与x轴相交于点Q，延长交于点F，则，根据等腰三角形的性质即有，则点B为的中点，结合点B和点D的坐标即可求的点F的坐标，利用待定系数法求得的解析式为，即可求的点Q． 【详解】解：（1）当直线绕点A逆时针旋转，如图， 令直线与x轴相交于点B，直线与x轴相交于点C，过点B作的垂线，交线绕点A旋转后所得直线于点D，过点D作轴于点F，过点A作于点E， 则， ∵， ∴， 把代入得：， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴与x轴交点坐标为； （2）当直线绕点A顺时针旋转，如图， 令直线与x轴相交于点Q，延长交于点F， 则， ∵， ∴， ∴， 即点B为的中点， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点， 综上所述，将直线绕点A旋转后所得直线与x轴的交点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及点的平移，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法和性质，用待定系数法求解函数表达式的方法，以及分类讨论思想的应用． 17． 【分析】由旋转可知，，，，可得，利用，可得，再利用平角求解即可． 【详解】解：由旋转可知：，， 则：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质及等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 18．（1）；（2）①见解析② 【分析】（1）根据勾股定理得的长，由全等知，可得，即可； （2）①由和线段的差可得结论； ②如图，当时，，分别求和的长，利用线段的差可得的长，设，则，根据勾股定理列方程可得结论． 【详解】（1）解：如图1， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得；， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：如图2，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ②当时，， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图 设，则， ∵， 在中，， ∴， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质，认真阅读理解题意，并正确画图是关键． 19．(1)见解析 (2)45° 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可以C为圆心，BC为半径画弧，再以B为圆心，BC为半径画弧，两弧的交点即为点D，最后连接CD、BD、AD即可； （2）由作图可知是等边三角形，即得出，，从而可求出的大小，再由等腰三角形的性质，进而可求出的大小，最后利用，即可求出的大小． 【详解】（1）补充图形如下： （2）根据画图，可知，， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 20．（1）见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可． 【详解】解：（1）证明：将绕A点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形， ，，． ， ，即． （2）关系式为：；    证明如图②：将绕点逆时针旋转，得到，连接， 则为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查几何变换中的旋转变换，熟悉旋转变换的性质，并通过旋转构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键． 21．（1）60°,5;（2）AM=BM+CM 【分析】（1）由旋转性质可得△ABM≌△CAN，根据全等三角形的性质和等边三角形的判定可得△AMN是等边三角形,继而求出∠AMN=60°，根据∠BMC=120°,∠AMN=∠AMC=60°，继而求出∠AMB；AM =MN= MC+ CN. （2） 【详解】解∵把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60到△ACN的位置， 所以∠NAM=60°， 因为AN=AM， 所以△AMN是等边三角形, 所以∠AMN=60°， 因为∠BMC=120°,∠AMN=∠AMC=60°， 所以∠AMB=∠BMG-∠AMG=120°-60°=60°， ∵把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△ACN的位置， 所以△ABM≌△CAN, 所以BM=CN=2， △AMN是等边三角形 AM =MN= MC+ CN= 3+2=5, 故答案为60°,5; （2）AM=BM+CM, ∵把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△ACN的位置， 所以△ABM≌△CAN, 因为AN=AM， 所以△AMN是等边三角形, 所以∠AMN=60°， 因为∠BMC=n°,∠AMN=∠AMC=60°， 所以∠MNA=∠MAN， 所以MA=MN， 所以AM=BM+CM. 【点睛】本题主要考的三角形的旋转及等边三角形的应用以及三角形全等性质的使用，解决本题的关键是要熟练掌握旋转性质和全等三角形的性质. 22．（1）当时，，证明见解析；（2）15°或150°；（2）或 【分析】（1）根据三角形的内角和公式即可求出，从而证出结论； （2）对和分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行线的性质即可得出结论； （3）根据和分类讨论，分别画出对应的图形，根据各角之间的关系即可求出结论． 【详解】解：（1）当时，， 如图（1），设与相交于点， ∵，， ∴， ∴； （2）①当时，如图（2），， ∵， ∴； ②当，如图（3），， ∴； （3）①如下图，当时， ，， ∴； ②如图（1）当时， ∵，， ∴． 【点睛】此题考查的是三角形与旋转问题和平行线的性质，掌握三角形的内角和定理、旋转的性质和平行线的性质是解决此题的关键． 23．（1）作图见解析；（2）①作图见解析；②（-3，3）． 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）①利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可； ②利用所画图形写出B2点的坐标． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）①画如图，△A2B2C2为所作； ②点B2的坐标为（﹣3，3）． 故答案为（-3，3）． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角． 24．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于直线的对称图形△； （2）根据旋转的性质即可将△绕点逆时针旋转90°得到△． 【详解】（1）解：如图，△即为所求； （2）如图，△即为所求． 【点睛】本题考查作图旋转对称变化，掌握旋转和轴对称的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$