数学（上海卷01）-学易金卷：2025年高考第二次模拟考试

2025年高考第二次模拟考试 高三数学（上海卷）01·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，则 . 【答案】 【分析】根据集合的补集、交集运算求解即可. 【解析】, , . 故答案为： 2．若复数满足，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式，再根据复数模公式运算得解. 【解析】，， . 故答案为：. 3．设，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由或即可求解. 【解析】由， 可得：或， 解得：或. 所以不等式的解集为：. 故答案为： 4．设随机变量服从二项分布，则 . 【答案】 【分析】利用二项分布的方差公式及方差的性质计算可得. 【解析】因为，所以， 所以. 故答案为： 5．设若，则 ． 【答案】1 【分析】根据分段函数，分和求解即可. 【解析】当时，，解得：，满足； 当时，，方程无解， 所以， 故答案为：1 6．已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则 ． 【答案】/0.375 【分析】先得到甲乙的中位数，可得到，再利用平均数相同即可求解 【解析】通过茎叶图可发现甲的中位数为，乙的中位数为 因为两组数据的中位数相同，则， 又因为平均数相同，则， ∴． 故答案为： 7．已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意求出点的纵坐标，结合点到准线的距离可求出的值，即可得出抛物线焦点的坐标. 【解析】抛物线的准线方程为， 设点，则，由于点到准线的距离为，可得， 因为点到轴的距离为，则，所以，，解得， 故抛物线的方程为，其焦点坐标为. 故答案为：. 8．在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，探求出线段与的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答. 【解析】在中，，，则，又平分，即有，    因此，即有，，整理得， 而，且不共线，于是， 所以. 故答案为： 9．第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为 ．（结果用分数表示） 【答案】/ 【分析】 根据古典概型的概率公式，结合排列数、组合数运算求解. 【解析】“甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动”共有种可能， “甲同学参加连续两天活动”共有种可能， 故甲同学参加连续两天活动的概率. 故答案为：. 10．设数列的前项和为，若，对任意正整数恒成立，则 ． 【答案】 【分析】利用与的关系式证得数列为等比数列，再利用等比数列的前项和公式取极限即可得解. 【解析】易知：， 可得：（）， 两式相减可得：（）， 当时，，，可得：，满足上式， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 可得：. 故答案为：. 11．修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 【答案】 【分析】连接CD，CE，设，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值. 【解析】连接CD，CE，由半圆半径为1得：. 由对称性，设，又，， 所以，， 易知，所以的长为. 又，故，故， 令且，则，， 所以. - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以栈道总长度最小值. 故答案为：. 12．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为 ．    【答案】 【分析】根据给定条件，可得旋转体垂直于轴的截面是圆环，求出圆环面积，利用祖暅原理求出旋转体体积作答. 【解析】双曲线的渐近线为，设直线交双曲线及其渐近线分别于，及，，如图，    由，得， 由，得, 线段，绕轴旋转一周得到一个旋转体的一个截面， 它是一个圆环，其内径，外径，    此圆环面积为 因此此旋转体垂直于轴的任意一截面面积都为，旋转体的高为，而底面圆半径为，高为的圆柱垂直于轴的任意一截面面积都为， 由祖暅原理知，此旋转体的体积等于底面圆半径为，高为的圆柱的体积为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用祖暅原理求几何体的体积，找到一个等高的可求体积的几何体，并将它们放置于两个平行平面间，再探求出被平行于两个平行平面的任意一平面所截，截面面积相等是解题的关键. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知a，b都是实数，那么“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【解析】由对数函数性质知，即充分性满足，但时，而不成立（不存在），必要性不满足，故为充分不必要条件， 故选：B． 14．设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称轴和的范围可得的值，从而可得周期，然后由题意可知的最小值为可得. 【解析】由题知，则， 因为，所以 所以 易知的最小值为. 故选：B 15．如图，在正方体中，分别是的中点.下列结论错误的是（    ） A． B．平面 C．与所成的角为 D．平面 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABD；利用线线角的向量求法求解判断C. 【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 对于A，，，，A正确； 对于B，，则，，而平面， 因此平面，B正确； 对于C，，， 因此与所成的角为，C错误； 对于D，由平面，得平面的一个法向量， 又，平面，因此平面，D正确. 故选：C 16．如果数列同时满足以下四个条件：（1）（）；（2）点在函数的图像上；（3）向量与互相平行；（4）与的等差中项为（）；那么，这样的数列，，，的个数为（    ） A．78 B．80 C．82 D．90 【答案】B 【分析】先分析出各项均为整数，且或，判断出，依次分析的变换过程，分类讨论，即可求解. 【解析】由（1）得， 由（2）点在函数的图像上，得：， 由（3）向量与互相平行，得：， 由（4）得，从而或， 从而，故， 考虑的变换， 每一步变换均为或，且和所加之和相等， ①若，则，则9步中只有1步为，且只能在2边，故有3种； ②若，则，则9步中有3步，6步， 共有种； ③若，则，则9步中有5步，4步， 共有种； ④若，则，则9步中有7步，2步，共有种， ⑤若，则，则9步都为，共有1种， 综上，共有种. 故选：B. 【点睛】计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，. (1)证明：平面平面； (2)若为线段上一点，且，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出平面，由平面进而得出面面垂直； （2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值. 【解析】（1）证明：在平面内，过做垂直于交于点， 由为等腰梯形，且，则 又，所以， 连接，由，可知且， 所以在三角形中，， 从而， 又平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面 （2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 所以， 由图可以看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为. 18．已知在中，角所对的边分别为，且满足． (1)若，求的面积； (2)求的最大值，并求其取得最大值时的值． 【答案】(1)或； (2)最大值，. 【分析】（1）首先由余弦定理求出c，再结合三角形面积公式即可求解； （2）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解． 【解析】（1），，， 又，， ． 又在中，，，， 因为，所以， 又在中，，， 再由三角形的余弦定理得：，， 即，解得或， 当时，， 当时，， （2），，． ． 其中，，，， 在中，，， 当时，取到最大值， 此时，． 19．垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表： 男生 女生 总计 A等级 40 20 60 B等级 20 20 40 总计 60 40 100 (1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？ 附：，其中，． (2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问． （i）求比赛只进行3局就结束的概率； （ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望． 【答案】(1)无关 (2)（i）；（ii）分布列见解析， 【分析】（1） 计算的值，再与进行比较即可得结论； （2）（i）由相互独立事件概率的乘法公式可直接求出答案； （ii）先由相互独立事件概率的乘法公式求出，则分布列可得，再由期望公式求数学期望即可. 【解析】（1）提出原假设:学生对垃圾分类的了解程度与性别无关， 确定显著性水平，由题意得， 可得， 由，且， 所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关. （2）（i）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为 比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为， 故比赛只进行3局就结束的概率为； （ii）的可能取值为， ，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故， ，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢， 故， ，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢， 故 ， ，即最后甲赢得比赛，由概率性质得， 所以分布为 0 1 2 3 故数学期望为. 20．已知双曲线的焦距为4，直线l：与交于两个不同的点D､E，且时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. (1)求双曲线的方程； (2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围； (3)设A､B分别是的左､右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）列方程求得a、b，即可得到双曲线的方程； （2）把坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，转化为，解不等式可得实数m的取值范围； （3）求得P、Q两点的坐标，得到，即可证明线段PQ在x轴上的射影长为定值. 【解析】（1）当直线l：与C的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形， 又双曲线的渐近线为，则 又焦距为4，则，解得，， 则所求双曲线的方程为. （2）设，，则， 由，得， 则， ，，， 又坐标原点O在以线段DE为直径的圆内， 则，即，即， 即，则， 即，则或， 即实数m的取值范围. （3）， 设，则， 直线BD的斜率为， 又， 则直线PQ的方程为，即， 直线AD的斜率为，直线AD的方程为， 由，得， 即点Q的横坐标为，则. 故线段PQ在x轴上的射影长为定值. 21．设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质. (1)设函数，其中为实数. （ⅰ）判断函数是否具有性质，请说明理由； （ⅱ）求函数的单调区间. (2)已知函数具有性质.给定，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围. 【答案】(1)（i）函数具有性质，理由见解析；（ii）答案见解析 (2) 【分析】（1）（i）对求导，可得恒成立，即可证明函数具有性质；（ii），与的符号相同，分，，和，讨论的正负，即可得出函数的单调区间； （2）对求导，，分析可知其在恒成立，分，和三种情况讨论求解m的取值范围． 【解析】（1）（i）函数具有性质，理由如下， ， 因为，恒成立，所以函数具有性质； （ii）设，与的符号相同. 当即时，，， 故此时在区间上递增； 当时，对于，有，所以此时在区间上递增； 当时，的图象开口向上，对称轴，而， 对于，总有，，所以此时在区间上递增； 当时，的图象开口向上，对称轴，方程的两根为： ，且，， 当时，，，此时在区间上递减； 同理得：在区间上递增. 综上所述：当时，在区间上递增； 当时，在区间上递减，在上递增； （2）由题意，得：， 又对任意的都有， 所以对任意的都有，在上递增， 又， 当时，，且， 所以，所以或， 若，则， 所以不合题意， 所以，即，解得：，， 当时，，，符合题意. 当时，，且， 同理有，即，解得：，， 综上所述，所求m的取值范围时. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键点是对进行分类讨论，本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识、考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（上海卷）01·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4． 5．1 6．/0.375 7． 8．/ 9．/ 10． 11． 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 B B C B 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）证明：在平面内，过做垂直于交于点， 由为等腰梯形，且，则 又，所以， 连接，由，可知且， 所以在三角形中，， 从而， 又平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面 (6分) （2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， (10分) 所以， 由图可以看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为. (14分) 18．（1），，， 又，， ． 又在中，，，， 因为，所以， (1分) 又在中，，， 再由三角形的余弦定理得：，， 即，解得或， 当时，， 当时，， (6分) （2），，． ． 其中，，，， (9分) 在中，，， 当时，取到最大值， 此时，． (14分) 19．（1）提出原假设:学生对垃圾分类的了解程度与性别无关， 确定显著性水平，由题意得， 可得， 由，且， 所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关. (2分) （2）（i）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为 比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为， 故比赛只进行3局就结束的概率为； (7分) （ii）的可能取值为， ，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故， ，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢， 故， ，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢， 故 ， ，即最后甲赢得比赛，由概率性质得， 所以分布为 0 1 2 3 故数学期望为. (14分) 20．（1）当直线l：与C的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形， 又双曲线的渐近线为，则 又焦距为4，则，解得，， 则所求双曲线的方程为. (4分) （2）设，，则， 由，得， 则， ，，， 又坐标原点O在以线段DE为直径的圆内， 则，即，即， 即，则， 即，则或， 即实数m的取值范围. (10分) （3）， 设，则， 直线BD的斜率为， 又， 则直线PQ的方程为，即， 直线AD的斜率为，直线AD的方程为， 由，得， 即点Q的横坐标为，则. 故线段PQ在x轴上的射影长为定值. (18分) 21．（1）（i）函数具有性质，理由如下， ， 因为，恒成立，所以函数具有性质； (4分) （ii）设，与的符号相同. 当即时，，， 故此时在区间上递增； 当时，对于，有，所以此时在区间上递增； 当时，的图象开口向上，对称轴，而， 对于，总有，，所以此时在区间上递增； 当时，的图象开口向上，对称轴，方程的两根为： ，且，， 当时，，，此时在区间上递减； 同理得：在区间上递增. 综上所述：当时，在区间上递增； 当时，在区间上递减，在上递增； (10分) （2）由题意，得：， 又对任意的都有， 所以对任意的都有，在上递增， 又， 当时，，且， 所以，所以或， 若，则， 所以不合题意， 所以，即，解得：，， 当时，，，符合题意. 当时，，且， 同理有，即，解得：，， 综上所述，所求m的取值范围时. (18分) 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（上海卷）01·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． __ __________________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第二次模拟考试 高三数学（上海卷）01·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（上海卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，则 . 2．若复数满足，则 ． 3．设，不等式的解集为 ． 4．设随机变量服从二项分布，则 . 5．设若，则 ． 6．已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则 ． 7．已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ． 8．在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ． 9．第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为 ．（结果用分数表示） 10．设数列的前项和为，若，对任意正整数恒成立，则 ． 11．修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 12．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知a，b都是实数，那么“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 14．设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在正方体中，分别是的中点.下列结论错误的是（    ） A． B．平面 C．与所成的角为 D．平面 16．如果数列同时满足以下四个条件：（1）（）；（2）点在函数的图像上；（3）向量与互相平行；（4）与的等差中项为（）；那么，这样的数列，，，的个数为（    ） A．78 B．80 C．82 D．90 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，. (1)证明：平面平面； (2)若为线段上一点，且，求二面角的余弦值. 18．已知在中，角所对的边分别为，且满足． (1)若，求的面积； (2)求的最大值，并求其取得最大值时的值． 19．垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表： 男生 女生 总计 A等级 40 20 60 B等级 20 20 40 总计 60 40 100 (1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？ 附：，其中，． (2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问． （i）求比赛只进行3局就结束的概率； （ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望． 20．已知双曲线的焦距为4，直线l：与交于两个不同的点D､E，且时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. (1)求双曲线的方程； (2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围； (3)设A､B分别是的左､右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值. 21．设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质. (1)设函数，其中为实数. （ⅰ）判断函数是否具有性质，请说明理由； （ⅱ）求函数的单调区间. (2)已知函数具有性质.给定，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（上海卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，则 . 2．若复数满足，则 ． 3．设，不等式的解集为 ． 4．设随机变量服从二项分布，则 . 5．设若，则 ． 6．已知甲乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则 ． 7．已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ． 8．在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ． 9．第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为 ．（结果用分数表示） 10．设数列的前项和为，若，对任意正整数恒成立，则 ． 11．修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 12．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知a，b都是实数，那么“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 14．设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在正方体中，分别是的中点.下列结论错误的是（    ） A． B．平面 C．与所成的角为 D．平面 16．如果数列同时满足以下四个条件：（1）（）；（2）点在函数的图像上；（3）向量与互相平行；（4）与的等差中项为（）；那么，这样的数列，，，的个数为（    ） A．78 B．80 C．82 D．90 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，. (1)证明：平面平面； (2)若为线段上一点，且，求二面角的余弦值. 18．已知在中，角所对的边分别为，且满足． (1)若，求的面积； (2)求的最大值，并求其取得最大值时的值． 19．垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表： 男生 女生 总计 A等级 40 20 60 B等级 20 20 40 总计 60 40 100 (1)根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？ 附：，其中，． (2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问． （i）求比赛只进行3局就结束的概率； （ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望． 20．已知双曲线的焦距为4，直线l：与交于两个不同的点D､E，且时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. (1)求双曲线的方程； (2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围； (3)设A､B分别是的左､右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值. 21．设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质. (1)设函数，其中为实数. （ⅰ）判断函数是否具有性质，请说明理由； （ⅱ）求函数的单调区间. (2)已知函数具有性质.给定，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$