9.4矩形、菱形、正方形同步练习2024-2025学年苏科版数学八年级下册

9.4矩形、菱形、正方形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②对角线相等的四边形是矩形； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形； ④对角线互相垂直的矩形是正方形． 其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且，取的中点P，则在坐标平面内所有满足条件的点围成的封闭图形的面积为（    ）    A．32 B．28 C．16 D．8 3．如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=2，则矩形的对角线AC的长为（      ） A． B． C．4 D．2 4．如图，四边形是边长为2的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到，…，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 5．下列命题中正确的是（　　） A．有一个角是直角的菱形是正方形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．对角线垂直的平行四边形是矩形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 6．如图，在正方形中，对角线与交于点O，，点E为线段的中点，连接，将线段绕着点E逆时针旋转，得到线段，连接，，则的面积为（　　）    A． B．3 C． D． 7．在边长为5的正方形ABCD中，以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上作等腰三角形，且含边长为4的所有大小不同的等腰三角形的个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．如图，为正方形内一点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC边上，连接DE、AE，若EA平分∠BED，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．菱形的两个邻角之比为，如果较短的对角线的长是，则它的周长为（    ） A． B． C． D． 11．如图，正方形的边长为10，对角线、相交于点O，平分交于点E，于点F，则的周长是（    ） A．5 B． C．10 D． 12．如图由12根完全相同的小棒拼接而成（图中所有的锐角与钝角互补），请你再添4根与前面完全相同的小棒，使拼接后的图形恰好有5个菱形，不同的添法共有（　　）    A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 二、填空题 13．如图，矩形的对角线相交于点O，若，则的度数是 ． 14．如图,将一个矩形纸条沿直线EF折叠,若∠1=40°,则∠2等于 . 15．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为 ． 16．如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是 ． 17．如图，在长方形纸片中，，；将该纸片沿折叠，使点B恰好落在点D处，点A落在点处，则折痕的长为 ． 三、解答题 18．如图，在平行四边形中，点P是对角线上的一点，，，垂足分别为E、F，且，平行四边形是菱形吗？这什么？ 19．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O．求证：四边形AECF是菱形． 【小海的证明过程】 证明：∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC，OE＝OF，EF⊥AC， ∴四边形AECF是平行四边形． 又∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形． 【老师评析】 小海利用对角线互相平分证明了四边形AECF是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了． 【挑错改错】 （1）请你帮小海找出错误的原因； （2）请你根据小海的思路写出此题正确的证明过程． 20．如图，在ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF.   （1）求证:四边形AECF是菱形     （2）若AB=6，BC=10，F为BC中点，求四边形AECF的面积 21．如图，在矩形中，平分． (1)求的度数； (2)求证：． 22．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）若∠ABC＝60°，CE＝2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由． 23．已知正方形的对角线，相交于点，过点作直线，分别交，于，两点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作直线的垂线分别交，于，两点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个四边形，使写出的每个四边形的面积都相等且都等于正方形面积的． 24．【阅读理解】如图1，，的面积与的面积相等吗？为什么？ 解：相等，在和中，分别作，，垂足分别为，． ， ． ， 四边形是平行四边形， ． 又，， ． 【类比探究】问题①，如图2，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积． 解：过点作于点，连接． 请将余下的求解步骤补充完整． 【拓展应用】问题②，如图3，在正方形的右侧作正方形，点，，在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 《9.4矩形、菱形、正方形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C A A B D C C 题号 11 12 答案 C C 1．B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定直接进行判断即可． 【详解】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题； ②对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题； ④对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题； 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．A 【分析】本题考查了坐标轴与图形、一次函数的应用、正方形的判定及性质，设，点在轴上，点在轴上，，，进而可得，分类讨论：当，时，当，时，当，时，当，时，根据点的轨迹进而可求解，根据点坐标特点找出满足情况点的运动轨迹为正方形是解答本题的关键． 【详解】解：如图：    设， 为的中点，点在轴上，点在轴上， ，， ，， ， ， ， 当，时，点的轨迹为线段，， 当，时，点的轨迹为线段，， 当，时，点的轨迹为线段，， 当，时，点的轨迹为线段，， ，， 四边形是正方形， 点围成的封闭图形是正方形， 面积为为：， 故选A． 3．C 【分析】根据矩形的性质得到∠BAD＝90o，AC=BD，再根据含30度直角三角形的性质求得BD＝2AB＝4，从而得出AC的长度． 【详解】∵矩形ABCD， ∴∠BAD＝90o，AC=BD， 又∵∠ADB=30°，AB=2， ∴AC＝BD＝2AB＝4． 故选C． 【点睛】考查学生运用矩形的性质及直角三角形的能力． 4．C 【分析】根据题意求出的面积，的面积，根据面积的变化规律总结的关系式即可． 【详解】解：∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∴的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积， 同理可求：的面积， ..． ∴的面积， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和三角形面积的计算是解题的关键． 5．A 【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】A、有一个角是直角的菱形是正方形，故选项正确；   B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； D、两组对边分别平行的四边形才是平行四边形，故选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊四边形的判定，解题的关键是要熟悉课本中的性质定理． 6．A 【分析】如图，过点E作，垂足分别为G，点F作 ，垂足为J，由四边形是正方形可知，进而证得，得到，从而，由点E为线段的中点，可求，中，，得，于是，，得． 【详解】如图，过点E作，垂足分别为G，点F作 ，垂足为J      ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ 又， ∴ ∴ ∵点E为线段的中点 ∴ 中， ∴,解得 ∴ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，基于题设条件添加辅助线构造全等三角形得到线段间的等量关系是解题的关键． 7．B 【分析】①以A为圆心，以4为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取2个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取4个单位，以截取的点为圆心，以4个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可；④连接AC，在AC上，以C为端点，截取2个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；⑤以A为端点在AB上截取4个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可，⑥以A为端点在AD上截取4个单位，再作这条线段的垂直平分线交BC一点，连接即可（和⑤大小一样）；⑦以A为端点在AD上截取4个单位，以截取的点为圆心，以4个单位为半径画弧，交CD一个点，连接即可（和③大小一样）． 【详解】解：满足条件的所有图形如图所示： 共5个． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 8．D 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题意得到，易得为等边三角形，即，进而得到，由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：是正方形， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故选：D． 9．C 【分析】过点A作AF⊥DE于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB，利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点A作AF⊥DE于F， 在矩形ABCD中，AB＝CD， ∵AE平分∠BED， ∴AF＝AB， ∵BC＝2AB， ∴BC＝2AF， ∴∠ADF＝30°， 在△AFD与△DCE中 ∵∠C=∠AFD=90°, ∠ADF=∠DEC, AF=DC,， ∴△AFD≌△DCE（AAS）， ∴△CDE的面积＝△AFD的面积＝ ∵矩形ABCD的面积＝AB•BC＝2AB2， ∴2△ABE的面积＝矩形ABCD的面积﹣2△CDE的面积＝（2﹣）AB2， ∴△ABE的面积＝, ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB． 10．C 【分析】根据菱形的性质，得到菱形的两个内角分别为，推出菱形的两条邻边和较短的对角线组成一个等边三角形，得到菱形的边长，即可得出结果． 【详解】解：如图：菱形，，则：，    ∵ ∴ ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴菱形的周长为：； 故选C． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是得到为等边三角形． 11．C 【分析】根据正方形的性质得到，，求出，利用角平分线的性质定理得到，证明，推出，由此求出的周长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵平分交于点E，于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，正确掌握正方形的性质是解题的关键． 12．C 【分析】根据菱形四边相等的性质，找不同位置进行添加，由图中已有3个菱形，且最终恰有5个，需要添加2个菱形，在已有一边的情况下单独添加一个菱形需要3个小棒，按照上下结构进行添加，计数即可． 【详解】解：将各种情况画出的图形如下：      不同的添法共有7种， 故选C． 【点睛】本题考查用相同长度线段构造菱形的做法，按照要求的个数，需要很强的逻辑分类和画图能力，严谨的画图是解题的关键． 13．/度 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的性质和判定．根据矩形的性质可得，进而得到是等边三角形即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴， 故答案为：． 14．110° 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据翻折变换的性质和平角等于180°列出方程求解即可． 【详解】 ∵矩形的对边平行， ∴∠3=∠1=40°， ∴2∠2−∠3=180°， 即2∠2−40°=180°， 解得∠2=110°. 【点睛】本题考查折叠问题和平行线的性质，解题的关键是掌握折叠问题和平行线的性质. 15． 【分析】本题考查的是平移的性质、正方形的性质、勾股定理，根据平移的性质求出是解题的关键．根据正方形的性质、勾股定理求出，根据平移的性质求出，计算即可． 【详解】解：∵四边形为边长为的正方形， ∴， 由平移的性质可知，， ∴， 故答案为：． 16．24 【详解】试题解析：∵菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8， ∴菱形的面积S=AC•BD=×8×6=24． 考点：菱形的性质． 17．2 【分析】根据矩形的性质可得，，设，则，由翻折可得，根据勾股定理求出x的值，然后证明是等边三角形，进而可以解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， 设，则， 由翻折可知：， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 18．平行四边形是菱形，理由见解析 【分析】首先根据定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得到，然后证明，可得到，再根据菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形，进而可得到结论． 【详解】解：是菱形． 理由如下：∵，，且， ∴是的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和平行四边形的性质，证明是解此题的关键． 19．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求解； （2）由“”可证，可得，且，，由菱形的判定可证四边形是菱形． 【详解】解：（1）是的垂直平分线， ，， 不能得出； （2）四边形是平行四边形， ． 是的垂直平分线， ，，且， ，且 四边形是平行四边形 ． 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质． 20．（1）详见解析；（2）24 【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可； （2）由菱形的性质得到AO=CO，即可得到OF为△ABC的中位线，从的得到FO∥AB，FO的长，进而得到A∠BAC=90°，EF的长．在Rt△BAC中，由勾股定理得出AC的长，根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，且AD∥BC． ∵DE=BF ∴AE=CF，且AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形． ∵AC⊥EF，∴四边形AECF为菱形． （2）∵四边形AECF是菱形，∴AO=CO． ∵F为BC中点，∴FO∥AB，FO=AB=3，∴∠BAC=∠FOC=90°，EF=6． ∵AB=6，BC=10，∴AC=8，∴S菱形AECF=24． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质，三角形中位线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质，结合题意，得出，，，再根据勾股定理，得出，进而得出，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案； （2）根据矩形的性质，得出，再根据（1）的结论，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据等量代换，得出，再根据等角对等边，得出，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、含角的直角三角形、等角对等边，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 22．见解析 【详解】试题分析：（1）先证得四边形ABED是平行四边形，又AB=AD， 邻边相等的平行四边形是菱形； （2）四边形ABED是菱形，∠ABC=60°，所以∠DEC=60°，AB=ED，又EC=2BE，EC=2DE，可得△DEC是直角三角形． 试题解析：梯形ABCD中，AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形， 又AB=AD， ∴四边形ABED是菱形； （2）∵四边形ABED是菱形，∠ABC=60°， ∴∠DEC=60°，AB=ED， 又EC=2BE， ∴EC=2DE， ∴△DEC是直角三角形， 考点：1．菱形的判定；2．直角三角形的性质；3．平行四边形的判定 23．(1)见解析； (2)四边形，四边形，四边形，四边形． 【分析】（1）由四边形是正方形，可得，，进而证明，即可得到； （2）根据正方形的对角线，互相垂直平分、全等三角形的面积相等，即可得出． 【详解】（1）∵正方形的对角线，相交于点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）四边形，四边形，四边形，四边形． 理由如下： ∵正方形的对角线，相交于点，且对角线，互相平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等是解题的关键． 24．①；②． 【分析】①过点作于点，连接，可得，根据材料可知，再由等腰三角形性质可知，即可求出； ②连接CE，证明，即可得，由此即可求解． 【详解】：①过点作于点，连接， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在正方形中，， ∴； ②， 过程如下：如解图3，连接CE， ∵在正方形、正方形中， ∴， ∴， ∴， ∵在正方形中，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形性质和平行线判定和性质以及三角形面积，解题关键是理解阅读材料，根据平行线找到等底等高的三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$