第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组知识归纳与题型突破（12题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北京版2024）

第4章 一元一次不等式和一元一次不等式组 知识归纳与题型突破（12题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一．一元一次不等式的定义 1 一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2 概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 二．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 三．一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 四．由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 五．一元一次不等式的应用 1 由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2 列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 3 列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 03 题型归纳 题型一　不等式的性质 例题： 1．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上（或减去）一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号改变方向． 利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：已知，两边同乘得，则A不符合题意； 已知，两边同时减去3得，则B符合题意； 已知，两边同乘再同时加上5得，则C不符合题意； 已知，两边同乘得，则D不符合题意； 故选：B． 巩固训练 2．如果，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、因为，所以，故A选项正确； B、因为，所以，故B选项正确； C、因为，，所以，故C选项错误； D、因为，所以，因为，所以，故D选项正确． 故选：C． 3．若，则下列不等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A． 由可得，成立，不符合要求； B．由可得，成立，不符合要求； C．由可得不一定成立，例如，但，符合要求； D．由可得，成立，不符合要求． 故选：C． 4．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由可得，则此项正确，不符合题意； B、由可得，则，则此项错误，符合题意； C、由可得，则此项正确，不符合题意； D、因为，所以由可得，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 5．已知，下列结论： ； ；若，则；若，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，，故结论错误； ∵， ∴当时，；当时，，故结论错误； ∵， ∴，故结论错误； ∵，， ∴， ∴，故结论正确； ∴正确的个数是个， 故选：． 题型二　数轴上表示解集 例题： 6．把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是掌握一元一次不等式解集的表示方法，当符号为“”或“”，边界点为实心圆点，当符号为“”或“”，边界点为空心圆点，即可． 【详解】∵不等式组的解集为：， ∴数轴上表示为：， 故选：B． 巩固训练 7．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式并在数轴上表示，不等式的解集在数轴上表示的方法：，向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示 【详解】解：， 解得：． ∴不等式在数轴上表示正确的是B． 故选：B． 8．一个关于x的不等式组的解集为，把这个解集表示在数轴上正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知同大取大，同小取小，大小、小大取中间，大大小小是无解是解答此题的关键． 根据数轴实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左可知解集在数轴上即可表示． 【详解】 解：根据数轴实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左可知解集在数轴上表示为 ． 故选：D． 9．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用数轴表示不等式的解集，求出不等式的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集，判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示出解集，如图： ； 故选C． 10．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 先求出不等式的解集，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 题型三　列一元一次不等式 例题： 11．一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不到5小时．已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，正确找出不等关系是解题的关键． 由题意知顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，根据“逆流而上返回A是需要不到5小时”，即可列出一元一次不等式． 【详解】水流速度是每小时千米，船在静水中的速度是每小时千米， 顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米， ∴． 故选C． 巩固训练 12．在一次知识竞赛中，共有道题，每一题答对得分，不答得0分，答错扣分，冰冰有一道题没答，竞赛成绩超过分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．根据题目的总数、冰冰未答的题目数及答对的题目数，可得出他答错了道题，利用竞赛成绩答对题目数答错题目数，结合冰冰的竞赛成绩超过100分，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：共有道题，冰冰有一道题没答，设答对了x道题， 他答错了道题． 根据题意得：． 故选：B． 13．某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？设将该商品打折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．直接利用打折与利润的计算方法得出不等关系进而得出答案． 【详解】解：设将该商品打折销售，则售价为， 则利润为， 根据题意可得：， 故选：D． 14．丹东九九草莓是一种品质优良、花朵大、果实颜色鲜艳且糖度高的草莓品种，广泛栽培于辽宁省的丹东市和周边地区．因其好看、好吃等特点，在市场上备受欢迎．某大型超市从生产基地花费4000元购进丹东九九草莓，运输过程中质量损失，超市计划销售这批草莓至少获得的利润（不计其他费用），售价至少定为多少？设售价定为x元/kg，根据题意，可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出不等关系，列出不等式即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，这批草莓可卖元． 根据“这批草莓至少获得20%的利润”，得． 故选：B． 15．某超市用元购进某种水果千克，运输和销售的过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出不等关系，列出不等式．根据题意可得，这批水果可卖元，根据“这批水果至少获得的利润”即可列出不等式． 【详解】解：设该水果每千克的售价为元， 根据题意所列不等式为， 故选：B． 题型四　查找错误步骤 例题： 16．某同学在解不等式的过程中，步骤如下： ①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④系数化为1，得． 其中错误的步骤是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，涉及一元一次不等式的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得，①正确； 去括号得，②正确； 移项得，③正确； 合并同类项得， 系数化为1得，④错误； 故选：D． 巩固训练 17．下面是小王解不等式的过程，则他开始出现错误是从（  ）步开始 第一步：去分母，得. 第二步：去括号，得. 第三步：移项，得. 第四步：合并同类项，得. 第五步：系数化为1，得. A．第一步 B．第三步 C．第四步 D．第五步 【答案】D 【分析】本题主要考查解分式不等式，熟记不等式两边同时除以负数不等号的方向要改变这一知识是解题的关键． 【详解】解： 第五步：系数化为1，得 故选：D． 18．在解不等式的过程中，出现错误的一步是(      ) 去分母，得① 去括号，得② 移项，得③ ∴④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．去括号时，不要漏乘没有分母的项；系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐项分析即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴出现错误的一步是④． 故选：D． 19．小明解不等式的过程如下： 解：    ①         ②         ③         ④         ⑤ 其中，小明出现错误的一步是（　　） A．从①到② B．从②到③ C．从③到④ D．从④到⑤ 【答案】D 【分析】此题考查解一元一次不等式．其关键是掌握相关法则和解一元一次不等式的一般步骤，要注意去分母时两边都要乘及两边乘以或除以负数时，不等号要改变方向，运用不等式性质、去括号法则、移项法则，合并同类项法则逐步检查，发现错误． 【详解】解： ①去分母得， ②去括号得， ③移项得， ④合并同类项得， ⑤未知数的系数为1得， 故选：D． 20．小明同学在完成课后作业解不等式：时，写出了如下的过程： 解：去分母，得  ① 去括号，得    ② 移项，得   ③ 合并同类项，得   ④ 系数化为1，得  ⑤ 以上过程中开始出现错误的步骤是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据解不等式的步骤分析即可． 【详解】解：去分母，得  ① 去括号，得    ② 移项，得   ③ 合并同类项，得   ④ 系数化为1，得  ⑤ ∴以上过程中开始出现错误的步骤是①． 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键． 题型五　整数解问题 例题： 21．不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组．根据题意解出不等式组即可找到整数解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴不等式组的整数解有：， 故选：B． 巩固训练 22．不等式组的整数解的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查求一元一次不等式组的整数解，分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，求出整数解即可 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为， 因此整数解有，0，1，2，3，共有5个， 故选：B． 23．在不等式组的解集中，整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解．解题的关键是正确求出不等式组的解集． 先求出不等式组的解集，然后再求出其范围内的整数解，即可． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴整数有：0、1、2，共3个． 故选：B． 24．关于x的不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查根据不等式组的解的情况求参数的值，求出不等式组的解集，根据不等式组的所有整数解的和为9，求出的范围，进而得到的整数解，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式组的所有的整数解为9，且， ∴不等式组的整数解为：或2,3,4， ∴或， 解得：或， ∴整数a的值有-2，-1，4，5共4个； 故选：D 25．关于的不等式组恰好有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．21 B．33 C．23 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解以及由不等式组解集的情况求参数，先解出的不等式组，得出，结合恰好有3个整数解建立不等式组，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵恰好有3个整数解 ∴ ∴ 解得 ∵为整数 ∴ ∴符合条件的所有整数的和为21 故选：A 题型六　由一元一次不等式定义求参数 例题： 26．若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得且，据此求解即可，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 巩固训练 27．若是关于x的一元一次不等式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得出，解一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 28．若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义可知，，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：． 29．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义和绝对值的意义进行计算即可解答． 本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 且， ∴， 故答案为：． 30．若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式定义求参数及解一元一次不等式，根据一元一次不等式定义先求出，代入原不等式求解即可得到答案，熟记一元一次不等式定义及一元一次不等式的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解： 是关于的一元一次不等式， ，且，解得， 题中的不等式为，解得， 故答案为：． 题型七　无解问题 例题： 31．若不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数的取值范围，由不等式组无解可知两个不等式的解集无公共部分，即可得，理解不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分是解题的关键． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 巩固训练 32．关于的不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解不等式①，得，解不等式②，得不等式组无解，． 33．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先把a当作已知条件表示出不等式的解集，再由不等式组无解即可得出结论． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 34．如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的无解问题，根据关于x的不等式组无解，则，即可作答． 【详解】解：∵关于x的不等式组无解， ∴， 故答案为：． 35．若关于x不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无解建立新不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴解①得，，解②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 故答案为：． 题型八　列不等式组 例题： 36．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解． 【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为： 最后一个同学最多分得3个， 则，即． 故答案为． 【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键． 巩固训练 37．若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为 【答案】 【分析】先根据“每间住人，人无处住”可得学生人数，再根据“每间住人，空一间还有一间不空也不满”建立不等式组即可得． 【详解】设有间宿舍，则学生有人， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 38．把43个苹果分给若干个学生，除一名学生分得的苹果不足3个外，其余每人均分得6个苹果，求学生的人数．若设学生有x人，则可以列出不等式组为 ． 【答案】 【分析】设学生数为x，则每人6个有一人分得的不足3个，可得两个不等关系：剩余苹果数=苹果数-（x-1）个人每人分6个＜3；剩余苹果数=苹果数-（x-1）个人每人分6个≥0．根据这两个不等关系就可以列出不等式组． 【详解】设学生有x人， 由题意得：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的关系，此题的不等关系是：0≤剩余苹果数＜3． 39．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 40．用若干辆载重量为8t的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4t，则剩下20t货物；若每辆汽车装满8t，则最后一辆汽车不满也不空，若设有x辆汽车，可列不等式组 ． 【答案】 【分析】 本题考查一元一次不等式组的应用，解题关键是掌握题目中的不等关系．设有辆车，则有吨货物．根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组即可． 【详解】解：设有辆车，则有吨货物，根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组得， 故答案为：． 题型九　解不等式 例题： 41．解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，关键是能根据不等式的性质解出不等式．根据不等式的性质求出不等式的解即可． 【详解】解：两边同时乘以6得，， 去括号得，， 移项得，， 整理得， 系数化为1得，． 巩固训练 42．解不等式： 【答案】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的相关运算． 根据解一元一次不等式的相关运算方法即可求解． 【详解】解：， ， ． 43．解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，先取分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； 44．解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】解： 去分母，得，                            移项，得，                                       合并同类项，得，                                     系数化为1，得． 45．解不等式： 【答案】 【分析】此题考查的是解不等式，掌握不等式的基本性质是解决此题的关键． 【详解】解： ． 题型十　一元一次不等式应用题 例题： 46．某市出租车的收费标准如下： 里程 收费标准元 千米以下（含千米） 千米以上的部分，每增加千米 此外，每辆出租车均加收元燃油附加费． 今天下大雨，小华想从学校打车回家，他身上只带了元钱，经过计算，够打车到家．请问小华家到学校最多多远？ 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意，并根据题意列出不等式是解题关键．直接利用表格设小华家到学校，判断当时满足题意；当时，表示出所需费用进而得出不等式求出答案． 【详解】解：设小华家到学校， 当时， 因为， 故满足题意； 当时， 根据题意可得：， 解得：， 答：小华家到学校最多． 巩固训练 47．小华想利用暑假去太原植物园，了解热带雨林、沙生植物、四季花卉等植物特性．小华在网上了解到该植物园的票价是每人50元，15人及以上按团体票，可享五折优惠．小华现有500元的活动经费，且每人往返车费共3元，则至多可以去多少人？ 【答案】至多可以去17人 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设可以去人，根据计费规则以及总费用不高于500元列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【详解】解：设可以去人， 根据题意，得， 解得． 为正整数， 的最大值为17． 答：至多可以去17人． 48．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，七年级1班代表队被评为优秀（90分或90分以上），求这个队至少要答对多少道题？ 【答案】这个队至少答对13道题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设这个队答对了x道题，则答错或放弃道题，利用得分答对题目数答错或放弃题目数，结合得分不低于90分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设这个队答对了x道题，则答错或放弃道题， 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为13， ∴这个队至少答对13道题． 49．已知杜鹃花宜居在的环境中，某山区要种植杜鹃花．已知平均气温为，且海拔每上升米，气温就下降．山脚的海拔的取值范围是多少？ 【答案】米 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高米的山坡上，根据题意列出不等式即可求解，根据题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高米的山坡上， 由题意得，， 解得， 答：山脚的海拔的取值范围是米． 50．2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元。 (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润不少于6000元，求m的最小值？ 【答案】(1)购进“滨滨”400个，“妮妮”600个 (2)m的最小值为200 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的实际应用： （1）设购进“滨滨”x个，则购进“妮妮”个，根据题意列一元一次方程，解方程即可； （2）根据促销规则列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详解】（1）解：设购进“滨滨”x个，则购进“妮妮”个． ， 解得， ∴． 答：购进“滨滨”400个，“妮妮”600个． （2）解：由题意得， 解得， 答：m的最小值为200． 题型十一　解不等式组 例题： 51．解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 巩固训练 52．解不等式组：． 【答案】． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集是． 53．解一元一次不等式组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据解一元一次不等式组的步骤，对所给一元一次不等式组进行求解即可． 【详解】解：解得，， 解得，， 不等式组的解集为， 54．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法．先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解可得：， 解可得：， ∴不等式组的解集为：． 55．解不等式组： 【答案】． 【分析】本题考查解一元一次不等式组．分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求出其公共解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集为． 题型十二　不等式组应用题 例题： 56．笔、墨、纸、砚是中国独有的书法绘画工具，又称“文房四宝”．某校计划购买两种型号的“文房四宝”，其中每套型号的价格比每套型号的价格少元，买套A型号和套型号共用元． (1)求每套型号的“文房四宝”的价格； (2)若该校需购进两种型号的“文房四宝”共套，总费用不超过元，要求购进型号的数量不超过型号数量的倍，求购得以上工具的最低费用． 【答案】(1)每套型号的价格是元，每套B型号的价格是元； (2)购得以上工具的最低费用是元． 【分析】（）设每套型号的价格是元，则每套型号的价格是元，由题意列出方程即可； （）设购进B型号套，则购进A型号套，列出不等式组即可； 此题考查一元一次方程和一元一次不等式组应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式组． 【详解】（1）设每套型号的价格是元，则每套型号的价格是元， 由题意可得，解得， ． 答：每套型号的价格是元，每套B型号的价格是元； （2）设购进B型号套，则购进A型号套， 由题意可得，解得， 又∵为正整数， ∴可以取，， 当购进套型号“文房四宝”，套型号“文房四宝”， 费用（元） 当购进套型号“文房四宝”，套型号“文房四宝”， 费用（元） ∵， ∴购得以上工具的最低费用是元． 巩固训练 57．为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进单价分别为80元/件和50元/件的A，B两种纪念品． (1)若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7100元，那么该商店共有几种进货方案？ (2)若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（1）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该商店共有4种进货方案 (2)该商店购进A种纪念品70件，B种纪念品30件可获利最大，最大利润是2700元 【分析】（1）设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品件，根据题意列一元一次不等式组求解即可； （2）分别求出每个方案的利润，然后比较即可得出结论． 本题考查一元一次不等式组的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：设该商店购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品件， 由题意得， 解得． ∵为整数，∴，68，69，70． 答：该商店共有4种进货方案． （2）解：当时，利润为（元）， 当时，利润为（元）， 当时，利润为（元）， 当时，利润为（元）， 答：该商店购进A种纪念品70件，B种纪念品30件可获利最大，最大利润是2700元． 58．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知B型充电桩比A型充电桩的单价多万元，且用24万元可购买A型充电桩12个和与B型充电桩10个． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买A，B两种型号充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问有几种购买方案？ 【答案】(1)A，B两种型号充电桩的单价各是1万元，万元 (2)共有3种购买方案 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为万元，根据用用24万元可购买A型充电桩12个和与B型充电桩10个，列出方程求解即可； （2）设购买A型号充电桩m个，则购买B型号充电桩个，根据购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的，列出不等式组求出m的取值范围，得出购买方案即可． 【详解】（1）解：设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A，B两种型号充电桩的单价各是1万元，万元； （2）解：设购买A型号充电桩m个，则购买B型号充电桩个，根据题意得： ∵购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的． ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴，，18， 即购买A型充电桩16个，B型充电桩10个； 购买A型充电桩17个，B型充电桩9个； 购买A型充电桩18个，B型充电桩8个； ∴共有3种购买方案． 59．某工厂只生产甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲机器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示： 机器型号 A种材料（千克） B 种材料（千克） 售后利润 （万元） 甲 55 20 5 乙 40 36 6 (1)若生产甲、乙两种机器9台，共获利润50万元，问甲：乙两种机器各生产了多少台？ (2)若库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克， 计划生产甲、乙两种机器共200台，要使工厂所获利润最大，请你帮忙规划一下，如何安排生产？最大利润是多少？ 【答案】(1)生产甲机器4台，生产乙机器5台 (2)生产甲机器77台，乙机器123台，利润最大为1123万元 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设生产甲机器x台，则生产乙机器台，根据“总利润为50万元”列方程求解即可； （2）设生产甲机器m台，则生产乙机器台，根据“库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克”列不等式组，求出整数m的值，然后求出每一种方案的利润，最后比较即可． 【详解】（1）解：设生产甲机器x台，则生产乙机器台， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：生产甲机器4台，生产乙机器5台； （2）解：设生产甲机器m台，则生产乙机器台， 根据题意，得， 解得， ∴整数m有77，，7，79，80， ∴生产方案如下： ①生产甲机器77台，乙机器123台，利润为（万元）； ②生产甲机器78台，乙机器122台，利润为（万元）； ③生产甲机器79台，乙机器121台，利润为（万元）； ④生产甲机器80台，乙机器120台，利润为（万元）； ∵， ∴生产甲机器77台，乙机器123台，利润最大为1123万元． 60．为了进一步深化基础教育综合改革，推进素质教育，郑州市教育局、市发改委、市公安局等11部门联合制定并发布《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》．为了有效落实该方案，某中学进行研学旅行活动，原计划租用可坐乘客45 人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． (1)求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ (2)若该校计划租用A，B两种客车共26辆，要求B种客车不超过4辆，且每人都有座位，求有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆240元，B种客车租金为每辆320元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】(1)26辆，1200人 (2)有3种租车方案：方案1：租用2辆B种客车，24辆A 种客车；方案2：租用3辆B种客车，23辆A种客车；方案3：租用4辆B种客车，22辆A种客车 (3)租用2辆B种客车，24辆A种客车最合算 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用——方案选择问题．熟练掌握总人数与每种每辆车载人数和每种车辆数的关系列出一元一次方程与一元一次不等式组，总租金与每种每辆车租金和每种车辆数的关系计算、比较、选择方案，是解题的关键． （1）设原计划租用A 种客车x辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设租用B种客车y辆，则租用 A 种客车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）分别求得三种方案的费用，比较，即可求解． 【详解】（1）设原计划租用 A 种客车x辆， 则这次研学去了人． 根据题意，得， 解得， ∴（人）． 答：原计划租用 A 种客车26辆，这次研学去了1200人． （2）设租用B种客车y辆，则租用 A 种客车辆． 根据题意，得， 解得， ∴， 又∵y为正整数， ∴y可以为2，3，4， ∴该学校共有3种租车方案． 方案1：租用2辆B种客车，24辆A 种客车； 方案2：租用3辆B种客车，23辆A种客车； 方案3：租用4辆B种客车，22辆A种客车． （3）选择方案 1 的总租金为：（元）； 选择方案 2 的总租金为：（元）； 选择方案 3 的总租金为：（元）． ∵， ∴租用2辆B种客车，24辆A种客车最合算． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元一次不等式和一元一次不等式组 知识归纳与题型突破（12题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一．一元一次不等式的定义 1 一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2 概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 二．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 三．一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 四．由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 五．一元一次不等式的应用 1 由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2 列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 3 列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 03 题型归纳 题型一　不等式的性质 例题： 1．已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 2．如果，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，下列结论： ； ；若，则；若，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 题型二　数轴上表示解集 例题： 6．把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 7．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．一个关于x的不等式组的解集为，把这个解集表示在数轴上正确的是（　　） A． B． C． D． 9．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 10．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 题型三　列一元一次不等式 例题： 11．一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不到5小时．已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 12．在一次知识竞赛中，共有道题，每一题答对得分，不答得0分，答错扣分，冰冰有一道题没答，竞赛成绩超过分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（   ） A． B． C． D． 13．某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？设将该商品打折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（    ） A． B． C． D． 14．丹东九九草莓是一种品质优良、花朵大、果实颜色鲜艳且糖度高的草莓品种，广泛栽培于辽宁省的丹东市和周边地区．因其好看、好吃等特点，在市场上备受欢迎．某大型超市从生产基地花费4000元购进丹东九九草莓，运输过程中质量损失，超市计划销售这批草莓至少获得的利润（不计其他费用），售价至少定为多少？设售价定为x元/kg，根据题意，可列不等式为（    ） A． B． C． D． 15．某超市用元购进某种水果千克，运输和销售的过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（    ） A． B． C． D． 题型四　查找错误步骤 例题： 16．某同学在解不等式的过程中，步骤如下： ①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④系数化为1，得． 其中错误的步骤是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 巩固训练 17．下面是小王解不等式的过程，则他开始出现错误是从（  ）步开始 第一步：去分母，得. 第二步：去括号，得. 第三步：移项，得. 第四步：合并同类项，得. 第五步：系数化为1，得. A．第一步 B．第三步 C．第四步 D．第五步 18．在解不等式的过程中，出现错误的一步是(      ) 去分母，得① 去括号，得② 移项，得③ ∴④ A．① B．② C．③ D．④ 19．小明解不等式的过程如下： 解：    ①         ②         ③         ④         ⑤ 其中，小明出现错误的一步是（　　） A．从①到② B．从②到③ C．从③到④ D．从④到⑤ 20．小明同学在完成课后作业解不等式：时，写出了如下的过程： 解：去分母，得  ① 去括号，得    ② 移项，得   ③ 合并同类项，得   ④ 系数化为1，得  ⑤ 以上过程中开始出现错误的步骤是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 题型五　整数解问题 例题： 21．不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练 22．不等式组的整数解的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 23．在不等式组的解集中，整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 24．关于x的不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．关于的不等式组恰好有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．21 B．33 C．23 D．11 题型六　由一元一次不等式定义求参数 例题： 26．若是关于的一元一次不等式，则 ． 巩固训练 27．若是关于x的一元一次不等式，则m的值是 ． 28．若是关于x的一元一次不等式，则 ． 29．已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 30．若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 题型七　无解问题 例题： 31．若不等式组无解，则的取值范围是 ． 巩固训练 32．关于的不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 33．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 34．如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 ． 35．若关于x不等式组无解，则m的取值范围是 ． 题型八　列不等式组 例题： 36．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ． 巩固训练 37．若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为 38．把43个苹果分给若干个学生，除一名学生分得的苹果不足3个外，其余每人均分得6个苹果，求学生的人数．若设学生有x人，则可以列出不等式组为 ． 39．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 40．用若干辆载重量为8t的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4t，则剩下20t货物；若每辆汽车装满8t，则最后一辆汽车不满也不空，若设有x辆汽车，可列不等式组 ． 题型九　解不等式 例题： 41．解不等式： 巩固训练 42．解不等式： 43．解不等式：． 44．解不等式：． 45．解不等式： 题型十　一元一次不等式应用题 例题： 46．某市出租车的收费标准如下： 里程 收费标准元 千米以下（含千米） 千米以上的部分，每增加千米 此外，每辆出租车均加收元燃油附加费． 今天下大雨，小华想从学校打车回家，他身上只带了元钱，经过计算，够打车到家．请问小华家到学校最多多远？ 巩固训练 47．小华想利用暑假去太原植物园，了解热带雨林、沙生植物、四季花卉等植物特性．小华在网上了解到该植物园的票价是每人50元，15人及以上按团体票，可享五折优惠．小华现有500元的活动经费，且每人往返车费共3元，则至多可以去多少人？ 48．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，七年级1班代表队被评为优秀（90分或90分以上），求这个队至少要答对多少道题？ 49．已知杜鹃花宜居在的环境中，某山区要种植杜鹃花．已知平均气温为，且海拔每上升米，气温就下降．山脚的海拔的取值范围是多少？ 50．2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元。 (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润不少于6000元，求m的最小值？ 题型十一　解不等式组 例题： 51．解不等式组： 巩固训练 52．解不等式组：． 53．解一元一次不等式组． 54．解不等式组：． 55．解不等式组： 题型十二　不等式组应用题 例题： 56．笔、墨、纸、砚是中国独有的书法绘画工具，又称“文房四宝”．某校计划购买两种型号的“文房四宝”，其中每套型号的价格比每套型号的价格少元，买套A型号和套型号共用元． (1)求每套型号的“文房四宝”的价格； (2)若该校需购进两种型号的“文房四宝”共套，总费用不超过元，要求购进型号的数量不超过型号数量的倍，求购得以上工具的最低费用． 巩固训练 57．为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进单价分别为80元/件和50元/件的A，B两种纪念品． (1)若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7100元，那么该商店共有几种进货方案？ (2)若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（1）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？ 58．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知B型充电桩比A型充电桩的单价多万元，且用24万元可购买A型充电桩12个和与B型充电桩10个． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买A，B两种型号充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问有几种购买方案？ 59．某工厂只生产甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲机器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示： 机器型号 A种材料（千克） B 种材料（千克） 售后利润 （万元） 甲 55 20 5 乙 40 36 6 (1)若生产甲、乙两种机器9台，共获利润50万元，问甲：乙两种机器各生产了多少台？ (2)若库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克， 计划生产甲、乙两种机器共200台，要使工厂所获利润最大，请你帮忙规划一下，如何安排生产？最大利润是多少？ 60．为了进一步深化基础教育综合改革，推进素质教育，郑州市教育局、市发改委、市公安局等11部门联合制定并发布《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》．为了有效落实该方案，某中学进行研学旅行活动，原计划租用可坐乘客45 人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． (1)求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ (2)若该校计划租用A，B两种客车共26辆，要求B种客车不超过4辆，且每人都有座位，求有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆240元，B种客车租金为每辆320元，应该怎样租车才最合算？ 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$