第22讲 锐角三角函数及其应用（练习，20题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第四章 三角形 第22讲 锐角三角函数及其应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 理解锐角三角函数的概念 👉题型02 求角的三角函数值 👉题型03 由三角函数求边长 👉题型04 由特殊角的三角函数值求解 👉题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 👉题型06 特殊角三角函数值的混合运算 👉题型07 根据特殊角三角函数值求角的度数 👉题型08 已知角度比较三角函数值的大小 👉题型09 利用同角的三角函数求解 👉题型10 三角函数综合 👉题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值 👉题型12 特殊角三角函数值的另类应用 👉题型13 在网格中求锐角三角函数值 👉题型14 解直角三角形的相关计算 👉题型15 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 👉题型16 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题 👉题型17 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题 👉题型18 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题 👉题型19 运用解直角三角形的知识解决实际问题 👉题型20 运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境） 👉题型01 理解锐角三角函数的概念 1．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·湖北·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）． A． B． C． D． 3．（2023·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中作，使． (2)在图②中作，使． (3)在图③中作，使． 👉题型02 求角的三角函数值 4．（2024·陕西西安·模拟预测）直角三角形的斜边与一直角边的比是，且较大的锐角为，则等于（ ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为，小正方形面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ． 7．（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰三角形，．已知，用两种方法表示的面积______ 【探究】你能否从这里得出的计算公式呢？ 👉题型03 由三角函数求边长 8．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为 ． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，已知，D为直线边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，若，则的最小值为 ． 10．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A顺时针旋转后，得到菱形，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽·三模）如图，中，，以为直径的经过点C，交的角平分线于点D，是的切线，交延长线于点E． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点F，，求的长． 👉题型04 由特殊角的三角函数值求解 12．（2024·贵州·模拟预测）中，，，则的值（    ） A． B． C． D． 13．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，三角形的其中两边长如下：；，求边上的高线长． 14．（2023·浙江宁波·模拟预测）平面直角坐标系中，点与点 关于轴对称，如果函数的图象经过点，那么 ． 15．（2023·山东青岛·一模）计算： ． 👉题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 16．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 17．（2021·贵州黔西·模拟预测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 👉题型06 特殊角三角函数值的混合运算 18．（2023·四川绵阳·模拟预测）（1）计算：； （2）化简求值：，为方程的两根． 19．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 20．（2024·云南昆明·模拟预测）计算：． 👉题型07 根据特殊角三角函数值求角的度数 21．（23-24九年级上·福建泉州·期中）某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为 ． 22．（2023·云南昆明·模拟预测）在中，已知，是锐角，若，则的度数为 ． 23．（2023·辽宁·一模）如图所示是潜望镜工作原理的平面示意图．一条平行光线经镜面反射到后得到光线，且．虚线所示为光线反射轨迹．若测得两条平行光线间的距离为，虚线长度为2，则虚线与所夹钝角的度数为（    ） A． B． C． D． 24．（2023·安徽六安·二模）如图，过原点，与轴、轴分别交于两点，已知，则弧的长为 ．    👉题型08 已知角度比较三角函数值的大小 25．（2020·甘肃张掖·模拟预测）若，则下列说法不正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．cos随的减小而减小 C．tan随的增大而增大 D．0<sin<1 26．（2020·内蒙古·二模）在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为 ，写出sin70º、cos40º、cos50º的大小关系 ． 27．（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 28．（2023·江苏苏州·一模）化简等于（    ） A． B．0 C． D．以上都不对 👉题型09 利用同角的三角函数求解 29．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 30．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，点C是弧的中点，点D在圆O上，点E在的延长线上，且．    (1)求证：DE是的切线； (2)连接，若，，求的长． 31．（2023·江苏淮安·二模）如图，已知是的直径，，的延长线交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 32．（2023·海南海口·模拟预测）如图，直线，相邻两条平行直线间的距离都是2，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，交于点E，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 👉题型10 三角函数综合 33．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，是的切线，P为切点，连接，分别与相交于点C，点D，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 34．（2023·上海普陀·三模）如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 35．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接．当时，求的长． 👉题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值 36．（2023·江苏苏州·二模）如图，点O为坐标系原点，点A为y轴正半轴上一点，点B为第一象限内一点，，，将绕点O顺时针旋转一个锐角度数至，此时反比例函数刚好经过的中点，则（    ） A． B． C． D． 37．（2022·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B在x轴上． (1)在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不写作法； (2)若函数的图象经过点M，且，求k的值． 38．（2022·江苏常州·一模）如图，平面直坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，，点B的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式． 39．（2023·河北张家口·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点；，直线l的解析式为，点A，点B关于直线l的对称点分别为点，点 (1)当时， ①若点的坐标为，则的长为______，b的值为______，此时与直线l的位置关系是：______； ②若，求b的值； (2)当时，若点，都在直线a上，且直线a经过点，直接写出直线l与y轴所夹锐角的度数． 👉题型12 特殊角三角函数值的另类应用 40．（23-24九年级上·四川巴中·阶段练习）进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式： ，， ．利用这些公式求出下列三角函数值． (1) (2) 41．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式，求的值，即 ．试用公式，求出的值是 ． 👉题型13 在网格中求锐角三角函数值 42．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，是由的小正方形组成的网格，小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 43．（2024·广东佛山·三模）如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 44．（2024·贵州·模拟预测）如图，A、B、C、D四点均在由边长为1的小正方形组成的网格格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 45．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点， ， ，，都在网格的格则的正弦值为（   ） A． B． C． D． 👉题型14 解直角三角形的相关计算 46．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）在中，分别是边上的高，则（   ） A． B． C． D． 47．（2024·河北石家庄·二模）如图，矩形中，，，点P为的中点，若点P绕上的点Q旋转后可以与点B重合，则的长为（    ） A．6 B． C．3 D．4 48．（2024·四川绵阳·三模）如图中，，，若，，且的面积是面积的10倍，则的长度是（   ） A． B． C． D． 49．（2024·湖北·模拟预测）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，，，，则的面积是（      ） A．10 B． C． D． 👉题型15 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 50．（2020·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 51．（2023·北京东城·模拟预测）已知：如图，在中，是边上一点，圆过、、三点，． (1)求证：直线是圆的切线； (2)若，，圆的半径为，求的长． 52．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于F，若，，求的长． 53．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，，． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积．（结果保留） 54．（2023·四川达州·模拟预测）如图，是⊙的弦，是⊙的直径，是的中点，过点作，连接并延长交的延长线于点，已知． (1)判断与⊙的位置关系，并给予证明； (2)若，，试求阴影部分的面积． 👉题型16 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题 55．（2024·福建泉州·模拟预测）某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为，点在圆锥底面、地面上的正投影分别为点，，点为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即米），圆锥底面离地面的高度为3米（即米）． (1)若米，求圆锥的侧面积； (2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量的高度，工人先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），利用测角仪分别测得点的仰角为，，其中，，再测得，两点间的距离为米（即米），已知测角仪的高为1米（即米），求亭盖的外部面积（用含的代数式表示）． 56．（2022·四川成都·模拟预测）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼距离为57米，则教学楼的高度为多少米？（） 57．（2024·贵州·模拟预测）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，前有一座高为的观景台，已知， ，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 ． (1)求的长； (2)求塔的高度．（，结果保留整数） 👉题型17 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题 58．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，一艘轮船在海面上航行，准备要停靠到码头，当轮船航行到处时，测得码头在北偏东方向上，此时收到北偏东方向处的一发生故障渔船的求助信号，这艘轮船调整航向，沿着方向继续航行海里到达处对渔船进行了救助，又沿着南偏东方向航行到达码头． (1)求的度数； (2)求轮船从处到码头距离．（结果精确到海里．参考数据：，，，） 59．（2024·湖北恩施·一模）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持40海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东方向有一我国渔政执法船C． (1)求的值．（保留2个有效数字，，） (2)求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号） 60．（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 👉题型18 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题 61．（2024·湖北宜昌·三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，的长为米，的长为米． (1)请求出的长？ (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 62．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 63．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，斜坡的坡度为，斜坡的坡角，求坝底的长． 👉题型19 运用解直角三角形的知识解决实际问题 64．（2025·上海奉贤·一模）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． (1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 65．（2025·甘肃·模拟预测）某校三个数学研究小组测量某古城墙的高度．测量方案与测量数据如下表： 项目 测量古城墙的高度 测量工具 测角仪，皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 说明 点A，B在古城墙的地面边缘线上，点C，D在古城墙的上部边缘线上，且 测量数据 ， ， ， ， ， ， 问题解决： (1)直接指出所有可行方案的小组； (2)在可行方案的小组里，任选一种方案，按照所测数据，计算古城墙的高度；(精确到 ，参考数据：，，，，，) (3)计算的古城墙的高度和实际结果有一定的误差，请提出一条减小误差的合理建议． 66．（2025·安徽·模拟预测）生活中，我们经常用平均速度的大小来描述物体的运动快慢．如图为某校物理兴趣小组利用小球在斜面上运动模拟汽车区间测速的装置．先将木板垫成倾斜角为的斜面，让小球从点（此时小球的速度为）沿斜面下滑到点，测出这一过程中小球运动的时间为，再将同样长度的木板放置在处，使点在上，且，，在同一水平线上，测得，此时倾斜角为，按照同样的条件测得小球从点沿斜面运动到点所用的时间为．求木板端点到的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 67．（2025·山东临沂·一模）某中学为新操场采购了一批可调节高度的篮球架，右图是其侧面示意图，底座高度忽略不计．已知其支架，，安装完毕后小明测得， ， 国家规定中学生所用篮球架中篮筐距地面标准高度约为，请你帮小明判断安装后的这批篮球架是否符合国家标准？（参为数据：，结果保留整数） 👉题型20 运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境） 68．（2024·黑龙江绥化·一模）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即米，支架MN与墙面的夹角． 素材2 宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 角的正切值 4 3 2.5 2 素材3 宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E． 任务1 确定安装点 请求出支架的固定点M与A点的距离的长． 任务2 确定影子长 请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度． 任务3 判断能否照射到 这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围． 69．（2023·江西吉安·三模）学科综合：我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把 称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． (1)求入射角的度数． (2)若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 70．（2023·四川达州·模拟预测）阅读理解： 如图1，在中，，，，的对边分别为，，（注：）． ，，，．． ，． 拓展探究： 如图2，在锐角中，，，的对边分别为，，．思考特例中的结论是否仍然成立？请说明理由． 解决问题： 如图3，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，．请用前面的结论，求点到点的距离（不取近似值）． 71．（2024·江西南昌·模拟预测）图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知，，M，N，P，Q四点分别是的中点（N，P两点也分别在和上），底座，垂足为O，经测量，，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)求折叠资料架的高（点A到底座HI的距离）．（参考数据：．结果保留一位小数） 72．（2024·河北邯郸·模拟预测）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点．如图1，初始情况下A，C重合，． (1)求圆心到水面的距离； (2)探究图1中的水槽沿向右无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，此时B，D重合，如图2． ①求水位下降的高度； ②求圆心移动的距离，并比较圆心移动的距离与半径的大小．（参考数据：，） 73．（2024·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】 探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系 背景介绍 在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知． 而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就． 建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方式探究屋面结构与建筑高度的关系． 实践任务 以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系． 资料查阅 1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》（GB50016-2014）（2018年版）A．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平均高度，即：建筑高度室外设计地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度（h2）． 如图1，建筑高度． 2、如图2，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度/半坡宽度．数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营造． 模型初建 将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以简化成数学几何图形（简化为一层房檐)．如图3，为等腰三角形， ，假定米，米．                 图3 模型优化 屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力． 学习小组通过查阅资料可知，屋面可以近似看作圆心角为30o的圆弧．如图所示，弧和弧是半径为、圆心角为30o的圆弧，檐口B到地面的距离为． 补充模型 从对屋顶曲线进行数学模拟时，却发现圆弧的拟合度并非最佳．学习小组的同学经过探索，发现运用到了最速降线的理论．最速降线可以使得物体下滑所需时间最短，达到排水的目的．古人如何造出“最速降线”的呢？查阅资料得知，宋朝古人利用“举折法”测定屋顶坡度及屋盖曲面线． 如图5所示，折线为宋代常见的一种屋顶建筑．是中边上的四等分点，过作交于，将降低米得到，连接；重复上述步骤，过作交于，将降低米得到，连接；过作交于，将降低米得到，连接； “举之峻慢，折之圆和”，求此曲面线，谓之定侧样．这就是古代的“举折法”．               图5 问题解决 任务1 模型初建 （1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中的建筑高度； 任务2 模型优化 （2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊A与檐口B的竖直高度h2和建筑高度h（结果保留整数部分，）； 任务3 补充模型 （3）若，求出屋脊与檐口竖直高度． 1．（2024·山西·中考真题）如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为 ． 2．（2024·宁夏·中考真题）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 （结果精确到）（参考数据：） 3．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，．求的值． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； (3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值． 6．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 3．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 8．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 9．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 10．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）      A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 11．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 12．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ． 14．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 15．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 16．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 17．（2024·江苏南京·中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜，与墙面所成的角，厂房高，房顶与水平地面平行．小强在点的正下方处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处到他的距离是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 18．（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 19．（2024·山东德州·中考真题）如图，中，对角线平分．    (1)求证：是菱形； (2)若，，求菱形的边长．（参考数据：，，） 20．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 21．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】（1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________； 【解决问题】（3）求的长． 22．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． $$第四章 三角形 第22讲 锐角三角函数及其应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 理解锐角三角函数的概念 👉题型02 求角的三角函数值 👉题型03 由三角函数求边长 👉题型04 由特殊角的三角函数值求解 👉题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 👉题型06 特殊角三角函数值的混合运算 👉题型07 根据特殊角三角函数值求角的度数 👉题型08 已知角度比较三角函数值的大小 👉题型09 利用同角的三角函数求解 👉题型10 三角函数综合 👉题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值 👉题型12 特殊角三角函数值的另类应用 👉题型13 在网格中求锐角三角函数值 👉题型14 解直角三角形的相关计算 👉题型15 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 👉题型16 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题 👉题型17 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题 👉题型18 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题 👉题型19 运用解直角三角形的知识解决实际问题 👉题型20 运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境） 👉题型01 理解锐角三角函数的概念 1．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（2022·湖北·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可； 【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°， ∴∠A=∠DBC， A．=cosA，不符合题意； B．=tanA，不符合题意； C．=cos∠DBC=cosA，不符合题意； D．=sin∠DBC=sinA，符合题意； 故选： D． 【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键． 3．（2023·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中作，使． (2)在图②中作，使． (3)在图③中作，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由于，因此作一个以B为直角顶点或以C为直角顶点的等腰直角三角形即可； （2）由于，因此作一个以D为直角顶点的直角三角形，其中，； （3）由于，因此作一个以E为直角顶点的直角三角形，其中，． 【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形． 或 （2）解：如图，为所求作的三角形． （3）解：如图，为所求作的三角形． 【点睛】本题主要考查了正切函数的定义，在网格中作直角三角形，解题的关键是熟练掌握正切函数的定义，网格中作垂线的方法． 👉题型02 求角的三角函数值 4．（2024·陕西西安·模拟预测）直角三角形的斜边与一直角边的比是，且较大的锐角为，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 设斜边与一直角边分别为、，利用勾股定理列式求出另一直角边，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解． 【详解】解：设斜边与一直角边分别为、， 由勾股定理得，另一直角边， 较大的锐角为， ∴， 故选：D． 5．（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为，小正方形面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为，根据正方形面积计算公式可得，则，再由勾股定理得到，解方程求出的值，进而求出的值，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为， ∵大正方形面积为，小正方形面积为， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 6．（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ． 【答案】3 【分析】设与交于Q，连接并延长交于点，由题意得，点为的重心，则为中点，，则为等腰直角三角形，设，则，即可求解． 【详解】解：设与交于Q，连接并延长交于点， 由题意得，点为的重心， ∴为中点， ∵， ∴， ∵，为中点 ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴设，则， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求一个角的正切值，等腰三角形的性质，重心的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰三角形，．已知，用两种方法表示的面积______ 【探究】你能否从这里得出的计算公式呢？ 【答案】题空：， 探究： 【分析】此题主要考查了锐角三角形函数恒等式．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形面积证法，正弦和余弦定义，是解题的关键． 填空：根据等腰三角形性质得到，其面积的两种表示法为，， 探究：得到，结合等腰三角形性质得到，根据，，，，，即得． 【详解】题空： ∵是等腰三角形，， ∴，， 故答案为：，； 探究： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴． 👉题型03 由三角函数求边长 8．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为 ． 【答案】 【分析】过点P作轴于点M，利用三角函数的定义，勾股定理，点的坐标的意义解答． 本题考查了正弦函数的应用，勾股定理，坐标的确定，熟练掌握正弦函数，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点P作轴于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，已知，D为直线边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，先证明，得到点E在直线上运动，过点B作于点G，解答即可． 【详解】解：连接， ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，． 故点E在直线上运动，， 过点B作于点G， 根据垂线段最短，得当点E与点G重合时，取得最小值， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，三角函数的应用，熟练掌握全等的性质，垂线段最短，三角函数的应用是解题的关键． 10．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A顺时针旋转后，得到菱形，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，，作轴于，作轴于，由菱形，，，可得，，，则，，，，由旋转的性质可知，，，则，，，计算求解，进而可得点的坐标． 【详解】解：如图，连接，，作轴于，作轴于， ∵菱形，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴，， ∴点的坐标是， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，正弦，余弦，点坐标等知识．熟练掌握菱形的性质，旋转的性质，正弦，余弦，点坐标是解题的关键． 11．（2024·安徽·三模）如图，中，，以为直径的经过点C，交的角平分线于点D，是的切线，交延长线于点E． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点F，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，交于点M．由角平分线的定义可得出，进而可得出，进而可得出，由圆的切线性质可得出，进而可判定． （2）先得出为的中位线，由三角形中位线的性质可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，由（1）得结论可得出，，进而证明四边形是矩形，由矩形的性质可得出，由正切的定义得出，设，则，由勾股定理得，进而可求出，，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，交于点M． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴． （2）由（1）可知，点M为中点， ∴为的中位线， ∴ ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， 设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，圆切线的性质，直径所对的圆周角等于，正切的定义，矩形的判定以及性质，三角形中位线的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 👉题型04 由特殊角的三角函数值求解 12．（2024·贵州·模拟预测）中，，，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求特殊角的三角函数值，以及直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余得出，然后根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：如下图： ∵中，， ∴， ∴． 故选：C．    13．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，三角形的其中两边长如下：；，求边上的高线长． 【答案】 【分析】先计算，勾股定理求得，利用直角三角形的面积公式计算即可． 本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数，勾股定理，熟练掌握公式和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 设边上的高线长为h， 根据题意，得， ∴． 14．（2023·浙江宁波·模拟预测）平面直角坐标系中，点与点 关于轴对称，如果函数的图象经过点，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可知点坐标；代入函数关系式求解．主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和特殊角的三角函数值及坐标系中的对称点的坐标特点． 【详解】解：， 点， ∵点与点 关于轴对称 ∴点为， 函数的图象经过点， ． 故答案为：． 15．（2023·山东青岛·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题实数的混合运算，先根据特殊角的三角函数值和二次根式化简，再计算即可． 【详解】， 故答案为：． 👉题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 16．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 17．（2021·贵州黔西·模拟预测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值可判断，，从而可求出，即证明的形状是直角三角形． 【详解】∵，都是锐角，且，， ∴，， ∴， ∴的形状是直角三角形． 故选D． 【点睛】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 👉题型06 特殊角三角函数值的混合运算 18．（2023·四川绵阳·模拟预测）（1）计算：； （2）化简求值：，为方程的两根． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）先化简零指数幂，二次根式，代入三角函数值，在进行加减运算即可求解． （2）先将括号里面的通分，进行因式分解，再将除法转成乘法运算，约分化简，再根据根与系数关系和代入值后，得到，，再代入原式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ∵为方程的两根， ∴，， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，零指数幂，二次根式化简求值和特殊角三角函数，一元二次方程根与系数关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，再根据30度角的正弦值为求出，最后代值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 20．（2024·云南昆明·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，二次根式的化简，零次幂，负指数幂的计算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 先算特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的化简，零次幂的值，负指数幂的值，最后再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 👉题型07 根据特殊角三角函数值求角的度数 21．（23-24九年级上·福建泉州·期中）某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题，利用坡度的定义及特殊锐角三角函数值可求出斜坡的坡角的度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， 故答案为：． 22．（2023·云南昆明·模拟预测）在中，已知，是锐角，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的三角函数值．根据绝对值和偶次方的非负性可得：，，从而可得，，进而可得，，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 23．（2023·辽宁·一模）如图所示是潜望镜工作原理的平面示意图．一条平行光线经镜面反射到后得到光线，且．虚线所示为光线反射轨迹．若测得两条平行光线间的距离为，虚线长度为2，则虚线与所夹钝角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用，求出虚线与所夹锐角的正弦值即可． 【详解】如图，设虚线与的交点分别为，过作直线的垂线交于点， 由题意可得，， 设虚线与直线所夹锐角为， 则， ， 即虚线与直线所夹钝角为． 故选：B． 24．（2023·安徽六安·二模）如图，过原点，与轴、轴分别交于两点，已知，则弧的长为 ．    【答案】 【分析】如图，连接，，过作于，由，可得，，，可得，，，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，，过作于，    ∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴的长为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的求解是解本题的关键． 👉题型08 已知角度比较三角函数值的大小 25．（2020·甘肃张掖·模拟预测）若，则下列说法不正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．cos随的减小而减小 C．tan随的增大而增大 D．0<sin<1 【答案】B 【分析】如图，作半径为的，均为直径， 都在上，利用锐角三角函数的定义分析可得答案． 【详解】解：如图，作半径为的，均为直径， 都在上， 由 显然，＜，而＜， 所以当时，随的增大而增大，故A正确； 同理可得： 当时，cos随的减小而增大，故B错误； 当时，tan随的增大而增大，故C正确； 当，当点逐渐向移动，边逐渐接近， 逐渐接近 当时，0<sin<1，故D正确； 故选B． 【点睛】本题考查的是锐角的正弦，余弦，正切的增减性，掌握利用辅助圆理解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 26．（2020·内蒙古·二模）在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为 ，写出sin70º、cos40º、cos50º的大小关系 ． 【答案】 sin70º＞cos40 º＞cos50 º 【分析】根据余弦的定义即可确定答案；根据sin70°=cos20°且正弦随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小即可确定大小关系． 【详解】解：∵直角三角形ABC中，角C为直角 ∴BC为斜边，AC为直角边且为∠A的一边 ∴余弦的定义为； ∵sin70°=cos20°且正弦在锐角范围内随角度的增大而增大，余弦在锐角范围内随角度的增大而减小 ∴sin70º==cos20 º＞cos40º，cos40 º＞cos50 º ∴sin70º＞cos40 º＞cos50 º． 故答案为，sin70º＞cos40 º＞cos50 º． 【点睛】本题考查了余弦函数的定义和正弦、余弦函数的增减性，掌握正弦在锐角范围内为增函数 、余弦在锐角范围内为减函数是解答本题的关键． 27．（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 当，， ， ， ， 综上所述，与的差不能确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论． 28．（2023·江苏苏州·一模）化简等于（    ） A． B．0 C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质得出，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性化简即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键． 👉题型09 利用同角的三角函数求解 29．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，余角的性质，以及三角形的面积公式， 过辅助线如图，证明，得出，即，求出，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解∶过C作交延长线于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选∶D． 30．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，点C是弧的中点，点D在圆O上，点E在的延长线上，且．    (1)求证：DE是的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）连接，，利用等弧所对圆心角相等以及平角定义求出，进而求出，利用等边对等角可得出，，结合对顶角的性质可求出，利用切线的判定即可得证； （2）过D作于H，利用同角的三角函数性质求出，设，，半径为r，在中，利用勾股定理求出 ，进而求出，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：连接，，    ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又， ∴，即， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； （2）解：过D作于H，    ∵， ∴， ∴， 设，，半径为r， 则， 在中，， ∴， 解得 ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键． 31．（2023·江苏淮安·二模）如图，已知是的直径，，的延长线交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)证明见解析； (2)直径为． 【分析】（1）连接，由平行线得到，根据可得，利用可证明是的切线； （2）作，由设，，由勾股定理得，利用等角的正切值相等得到，应用建立方程即可求出，代入即可求解． 【详解】（1）解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 是直径， 是的切线． （2）解：作交于点， ， ， 设，， 由勾股定理得， 由得，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得或（舍去）， 直径． 【点睛】本题考查的知识点是切线的判定、圆周角定理、三角函数的定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用三角函数定义． 32．（2023·海南海口·模拟预测）如图，直线，相邻两条平行直线间的距离都是2，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，交于点E，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】过点A作于点F，交于点G，利用正方形的性质，正切函数，余弦函数，平行线间的距离． 熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点F，交于点G， ∵， ∴， ∵相邻两条平行直线间的距离都是2， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，正切函数，余弦函数，平行线间的距离． 熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 👉题型10 三角函数综合 33．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，是的切线，P为切点，连接，分别与相交于点C，点D，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用弧长公式进行计算，即可解答． 本题考查了切线的性质，弧长的计算，锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是的切线，P为切点， ，即， ， ， 在中，，， ． ， ， ， ， 的长． 故选：C． 34．（2023·上海普陀·三模）如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，作于点，根据直角三角形性质得到，利用解直角三角形得到，最后根据三角函数即可解题． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，三角函数综合，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 35．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接．当时，求的长． 【答案】 【分析】先证明是等边三角形，再证明四边形是菱形，计算即可． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数值的应用，熟练掌握性质和三角函数值是解题的关键． 👉题型11 在平面直角坐标系中求锐角三角函数值 36．（2023·江苏苏州·二模）如图，点O为坐标系原点，点A为y轴正半轴上一点，点B为第一象限内一点，，，将绕点O顺时针旋转一个锐角度数至，此时反比例函数刚好经过的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作于，过作于，证明，设，可得，，，可得，的中点坐标为：，，可得，整理得，再解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴，的中点坐标为：，， ∵反比例函数刚好经过，的中点， ∴， ∴， 解得：或（不合题意舍去）， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，求解锐角的正切，熟练的建立方程求解是解本题的关键． 37．（2022·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B在x轴上． (1)在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不写作法； (2)若函数的图象经过点M，且，求k的值． 【答案】(1)见详解 (2)k=3 【分析】整体分析： （1）直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等； （2）根据OA=3，sin∠OAB=求出B的坐标，再由M是AB的中点，求点M的坐标. 【详解】（1）解：如图所示：作AB的垂直平分线，垂足为M，点M，即为所求；连结OM， 点M为AB中点， ∴AM=BM， ∵△AOB为直角三角形， ∴OM=AM=BM， ∴点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等， （2）解：∵sin∠OAB=， ∴设OB=4x，AB=5x， 由勾股定理可得：32+（4x）2=（5x）2， 解得：x=1， ∴OB=4，由B（4，0）， 由作图可得：M为AB的中点，则M的坐标为：（2，）． ∴k=3 【点睛】本题考查尺规作图，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握尺规作图，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理是解题关键． 38．（2022·江苏常州·一模）如图，平面直坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，，点B的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过A作AE⊥x轴于E，由，得到OE=3AE，根据勾股定理即可求出AE和OE的长，即得到A的坐标，代入双曲线即可求出k的值，得到解析式； （2）把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出B的坐标，把A和B的坐标代入一次函数的解析式即可求出k、b的值，即得到答案． 【详解】（1）过A作AE⊥x轴于E， ∵， ， ∵， ∴AE=1，OE=3， ∴A的坐标为（3，1）， ∵A点在反比例函数上， ∴1=， ∴k=3， ∴反比例函数的解析式． （2）∵B（m，-2）在反比例函数上， ∴， 解得：， ∴B的坐标是（，-2）， 代入一次函数的解析式得：， 解得：， 则一次函数的解析式为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法一次函数的解析式，一次函数图象上与坐标轴的交点，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键． 39．（2023·河北张家口·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点；，直线l的解析式为，点A，点B关于直线l的对称点分别为点，点 (1)当时， ①若点的坐标为，则的长为______，b的值为______，此时与直线l的位置关系是：______； ②若，求b的值； (2)当时，若点，都在直线a上，且直线a经过点，直接写出直线l与y轴所夹锐角的度数． 【答案】(1)①2，，；②或 (2)或 【分析】（1）①求出线段的中点，利用待定系数法求解；②由①可知中点的坐标，则可得出答案； （2）如图，作关于直线的对称点，连接．解直角三角形可求出答案． 【详解】（1）解：①，， ， ，关于直线对称， ， 由题意， ， ，关于直线对称， 直线经过的中点，， ， ， 故答案为：2，，； ②由①可知的中点为或， 或， 或． （2）解：如图1中，作关于直线的对称点，连接． 由题意直线的解析式为，， 关于直线的对称线段在直线上， 又直线经过点， 点在直线上， ，， 点的横坐标为1， 的纵坐标， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，，关于直线的对称点为， ， ， 直线与轴的夹角为． 如图2中，当在轴的右侧时，同理可求， 直线与轴的夹角为． 综上所述，直线与轴所夹锐角的度数为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题． 👉题型12 特殊角三角函数值的另类应用 40．（23-24九年级上·四川巴中·阶段练习）进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式： ， ， ． 利用这些公式求出下列三角函数值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值的应用，解题的关键是根据题目中所给公式对待求式进行变形； （1）根据，把写成，将其展开，再根据特殊角的函数值进行计算即可得到结果； （2）根据，把写成，将其展开，再根据特殊角的函数值进行计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 41．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式，求的值，即 ．试用公式，求出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题要熟记特殊角的三角函数值，并能把“新定义”的问题转化为已知问题解答．将化为和两个特殊角，然后根据给出的公式及特殊角的三角函数值来解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 👉题型13 在网格中求锐角三角函数值 42．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，是由的小正方形组成的网格，小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了求一个角的正弦，勾股定理，首先求出，然后利用正弦的概念求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：B． 43．（2024·广东佛山·三模）如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接、， ，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，由正切函数求出的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得，构建直角三角形求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 由正方形的性质得： ， ，， ， ， ， ， ； 故选：A． 44．（2024·贵州·模拟预测）如图，A、B、C、D四点均在由边长为1的小正方形组成的网格格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．连接，作，利用勾股定理求出，利用面积法求出，然后利用正弦的定义即可求出，同理可求出，然后相加即可． 【详解】连接，作， 由勾股定理，得 ，． ∵， ∴， ∴． 同理可求出， ∴． 故选B． 45．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点， ， ，，都在网格的格则的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，先证明，从而可得，然后在中，求出的值，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：D． 👉题型14 解直角三角形的相关计算 46．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）在中，分别是边上的高，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由，继而得到，即可求解． 【详解】解：如图， 、分别是、边上的高， ， ， ∴ 又 ， ， ， 故选：D． 47．（2024·河北石家庄·二模）如图，矩形中，，，点P为的中点，若点P绕上的点Q旋转后可以与点B重合，则的长为（    ） A．6 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据点绕上的点旋转后可以与点重合，得到，作于点，则，根据矩形中，，，点为的中点， 求得，得到，得到，解答即可． 【详解】解：根据点绕上的点旋转后可以与点重合， ∴， 作于点， ∴， ∵矩形中，，，点为的中点， ∴，，， ， ∴，， ∵ ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转性质，正弦函数的应用，熟练掌握勾股定理，正弦函数是解题的关键． 48．（2024·四川绵阳·三模）如图中，，，若，，且的面积是面积的10倍，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．作辅助线，构建三角形高线，根据已知的三角函数值设未知数：设，则，，证明，根据相似三角形对应边成比例列式，表示出的长，根据已知的面积关系：的面积是面积的10倍，列方程解出即可． 【详解】解：如图，作于点F， 则， 设，则，， ，， ， 又 ， ， ， ， ， 的面积是面积的10倍， ， 即， 整理得， 解得（舍），， 经检验，是原方程的解， ，， 由勾股定理得， 故选C． 49．（2024·湖北·模拟预测）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，，，，则的面积是（      ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆圆心为点O，作圆的直径，交圆于点G，连接，且与的交点为H，利用圆周角定理，勾股定理，三角函数，垂径定理，等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：设的外接圆圆心为点O，作圆的直径，交圆于点G，连接，且与的交点为H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的内心，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的内心， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形， 过点B作于点M, 则， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角函数，垂径定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握性质和定理，三角函数的应用是解题的关键． 👉题型15 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 50．（2020·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判断． 【详解】解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c， 过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB； 过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB； ∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= acsinB； 当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= （a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB= acsinB， ∴运动过程中，阴影部分的面积不变， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 51．（2023·北京东城·模拟预测）已知：如图，在中，是边上一点，圆过、、三点，． (1)求证：直线是圆的切线； (2)若，，圆的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质可得，结合，通过角与角之间的关系可得，此时即可得证；   （2）首先由勾股定理得到的长，根据已知可得，作于点，则，根据锐角三角比即可解答； 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是圆的切线． （2）解：∵，，， ∴，． ∵， ∴， 作于点，则， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线的证明方法、圆周角定理，解直角三角形以及等腰三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 52．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角函数解直角三角形、勾股定理等： （1）连接，根据等边对等角得出，根据D 是弧的中点，可得，等量代换得出，推出，结合得出，即可证明是的切线； （2）先利用三角函数和勾股定理解求出，再证，求出，再证，根据对应边成比例列式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵D 是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：在 中，∵，， ∴，， 如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴的半径为5， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得． 53．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，，． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查圆的切线，扇形面积的计算，相似三角形，锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用． （1）连接，根据题意得，根据平行线的判定和性质，则，根据等边对等角，则，根据相似三角形的判定和性质，进行解答，即可； （2）根据题意，，设，则，根据，得到，根据勾股定理，求出，过点作于点，根据锐角三角函数，得，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设， ∴， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 如图，过点作于点， ∴， ∴阴影部分的面积是． 54．（2023·四川达州·模拟预测）如图，是⊙的弦，是⊙的直径，是的中点，过点作，连接并延长交的延长线于点，已知． (1)判断与⊙的位置关系，并给予证明； (2)若，，试求阴影部分的面积． 【答案】(1)相切，见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，进而可得，再证明，即可得证； （2）过点作于点，解，得出，设，根据，得出，在中，得出，，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解： 与相切．证明如下： 如图，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ， ， 与相切． （2）如图，过点作于点， ，， ， ，， ， ， ，， ． 设， 则，， ， 解得：， 即， 在中， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 👉题型16 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题 55．（2024·福建泉州·模拟预测）某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为，点在圆锥底面、地面上的正投影分别为点，，点为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即米），圆锥底面离地面的高度为3米（即米）． (1)若米，求圆锥的侧面积； (2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量的高度，工人先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），利用测角仪分别测得点的仰角为，，其中，，再测得，两点间的距离为米（即米），已知测角仪的高为1米（即米），求亭盖的外部面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)圆锥的侧面积为平方米 (2)亭盖的外部面积为平方米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆锥的侧面积．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．用到的知识点为：圆锥的侧面积母线长底面半径． （1）利用勾股定理求得圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积母线长底面半径，可得圆锥的侧面积； （2）设长米，根据的值，可得的值，进而根据的值可得用表示的．计算出的值后利用勾股定理求得的长度，根据圆锥的侧面积公式求得圆锥的侧面积即可． 【详解】（1）解：由题意得：． 米，米， （米． 圆锥的侧面积（米． 答：圆锥的侧面积为平方米； （2）解：由题意得：． 设长米． ， 米． 米， 米． ， ． 解得：． 米，米， 米． 米，． （米． 圆锥的侧面积（米． 答：亭盖的外部面积为平方米． 56．（2022·四川成都·模拟预测）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼距离为57米，则教学楼的高度为多少米？（） 【答案】教学楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，过点作于点，由题意得米，米，，，再由矩形的性质米，然后证是等腰直角三角形，得米，即可解决问题． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， 由题意得：米，米，，． 在中，， ， （米， （米， 四边形是矩形， 米， 在中，，， 是等腰直角三角形， 米， （米， 答：教学楼的高度为米． 57．（2024·贵州·模拟预测）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，前有一座高为的观景台，已知， ，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 ． (1)求的长； (2)求塔的高度．（，结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握仰俯角解直角三角形的方法是解题的关键． （1） 在中，根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2） 根据勾股定理可得，设，由等腰三角形的性质可得，在中，根据解直角三角形的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ， ， 的长为． （2）解：由题意得， 在中，， ， ∴， 在中，设， ， ， ， 如解图，过点作，垂足为， 由题意得，， ， ， 在中， ， ， ， 解得， ， 塔的高度约为． 👉题型17 运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题 58．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，一艘轮船在海面上航行，准备要停靠到码头，当轮船航行到处时，测得码头在北偏东方向上，此时收到北偏东方向处的一发生故障渔船的求助信号，这艘轮船调整航向，沿着方向继续航行海里到达处对渔船进行了救助，又沿着南偏东方向航行到达码头． (1)求的度数； (2)求轮船从处到码头距离．（结果精确到海里．参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)轮船从处到码头距离约为海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、平行线的性质、三角形的内角和等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图，过点作，交于点，先求解，，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）如图，过点作于，在中，求出，然后在中，求出，进而即可求解的长． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， 则， ， ， ， ； （2）如图，过点作于， 在中，，， ， ， 在中，， ， （海里）， 答：轮船从处到码头距离约为海里． 59．（2024·湖北恩施·一模）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持40海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东方向有一我国渔政执法船C． (1)求的值．（保留2个有效数字，，） (2)求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）过点B作于点D，首先得到，，然后根据三角形内角和定理求出即可； （2）在中，利用，，求出即可． 【详解】（1）解：过点B作于点D， 由题意可知：，， ∴， ∴； （2）解：在中，， 在中，． 答：此时船C与船B的距离是海里． 60．（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：， ∴，； （2）解：过点作，垂足为． ∵ ∴在中，，， ∴， ． 在中，， ． 答：点到道路的距离为千米． （3）解：连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为． 正八边形的外角均为， 在中，． ． 又，， ． ∵， ∴， ，即， ， ． 答：小李离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 【点睛】本题考查正多边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 👉题型18 运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题 61．（2024·湖北宜昌·三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，的长为米，的长为米． (1)请求出的长？ (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】(1)米 (2)该车库入口的限高数值为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米， ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为米． 62．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】m/10.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， 则， 答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为 63．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，斜坡的坡度为，斜坡的坡角，求坝底的长． 【答案】 【分析】根据矩形的判定和性质，坡比的意义，解直角三角形的知识解答即可． 本题考查了矩形的判定和性质，坡比的计算，解直角三角形，熟练掌握坡比的计算，解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：由题意得：四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴． ∵斜坡的坡度为， ∴， 则， 答：坝底的长为． 👉题型19 运用解直角三角形的知识解决实际问题 64．（2025·上海奉贤·一模）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． (1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点A作于点N，利用余切函数的定义，平行线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，余弦函数，解直角三角形的即可． （2）如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，过点O作于点K，则米，四边形是矩形，解直角三角形解答即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点N， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， ∴， ∵，米， ∴，米， ∴米， 设与地面的交点为G， 则米，四边形是矩形， ∴， ∵米， ∴米， ∴米． （2）解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P， 过点O作于点K， 则米，四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 根据（1）得（米）， ∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米． 【点睛】本题考查了余切函数，余弦函数，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键． 65．（2025·甘肃·模拟预测）某校三个数学研究小组测量某古城墙的高度．测量方案与测量数据如下表： 项目 测量古城墙的高度 测量工具 测角仪，皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 说明 点A，B在古城墙的地面边缘线上，点C，D在古城墙的上部边缘线上，且 测量数据 ， ， ， ， ， ， 问题解决： (1)直接指出所有可行方案的小组； (2)在可行方案的小组里，任选一种方案，按照所测数据，计算古城墙的高度；(精确到 ，参考数据：，，，，，) (3)计算的古城墙的高度和实际结果有一定的误差，请提出一条减小误差的合理建议． 【答案】(1)第一小组和第三小组的方案可行 (2)古城墙的高度约为 (3)多次测量取平均值(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， (1)根据上述方案，可知第一小组和第三小组的方案可行； (2)若选择第一小组：过点作于点,在中，可知,在中，可知,根据,可知,求解即可；若选择第二小组：设与的交点为O，过O点作交于点Q，用前面的第一小组的证明思路可证出的长，但不能证出的高，若选择第三小组，用第一小组的思路即可证得古城墙的高； (3)答案不唯一，如：多次测量取平均值； 根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形是解题的关键. 【详解】（1）解：∵第一组和第三组都可以把分成两个不同的三角形利用解直角三角形的知识解决问题，而第二个只能通过已知求出，与的交点与点A，B组成的三角形的边长和高，而不能求出交点与组成的三角形的高，故不能求出城墙的高度， ∴第一小组和第三小组的方案可行； （2）解：若选择第一小组：如图，过点作于点, , 在中，, , , 在中，, , , , , 即, 解得：， 答：大同古城墙的高度约为米； 若选择第二小组，设与的交点为O，过O点作交于点Q， , 在中，, , , 在中，, , , , , 即, 解得：, 而题目中的已知没法求出的高， ∴无法求出与间的距离，即在城墙的高； 若选择第三小组：如图，过点作于点, , 在中，, , , 在中，, , , , , 即, 解得：， 答：大同古城墙的高度约为米； （3）解：多次测量取平均值(答案不唯一)． 66．（2025·安徽·模拟预测）生活中，我们经常用平均速度的大小来描述物体的运动快慢．如图为某校物理兴趣小组利用小球在斜面上运动模拟汽车区间测速的装置．先将木板垫成倾斜角为的斜面，让小球从点（此时小球的速度为）沿斜面下滑到点，测出这一过程中小球运动的时间为，再将同样长度的木板放置在处，使点在上，且，，在同一水平线上，测得，此时倾斜角为，按照同样的条件测得小球从点沿斜面运动到点所用的时间为．求木板端点到的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 【答案】木板端点到的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和解一元一次方程，正确作出辅助线，建立直角三角形利用三角函数求边长是解答本题的关键． 过点作于点，设，分别在和中，通过三角函数关系列式，得到用的式子表示出的，，再利用列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点，设， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， 答：木板端点到的高度为． 67．（2025·山东临沂·一模）某中学为新操场采购了一批可调节高度的篮球架，右图是其侧面示意图，底座高度忽略不计．已知其支架，，安装完毕后小明测得， ， 国家规定中学生所用篮球架中篮筐距地面标准高度约为，请你帮小明判断安装后的这批篮球架是否符合国家标准？（参为数据：，结果保留整数） 【答案】符合国家标准 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过 点D作于 点H，过 点E作于点P，过点D作于点P ，过点F作于点G，易得四边形为矩形，四边形为矩形，在中，求出的长，在中，求出，进而求出的长即可． 【详解】解：符合国家标准； 理 由：过 点D作于 点H，过 点E作于点P，过点D作于点Q，过点F作于点G， ∴， ∴四边形为矩形，同理可得，四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∴符合国家标准． 👉题型20 运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境） 68．（2024·黑龙江绥化·一模）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即米，支架MN与墙面的夹角． 素材2 宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 角的正切值 4 3 2.5 2 素材3 宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E． 任务1 确定安装点 请求出支架的固定点M与A点的距离的长． 任务2 确定影子长 请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度． 任务3 判断能否照射到 这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围． 【答案】任务1：米；任务2： 米，任务3：大于米． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务1：过作于， 解三角形即可求出，，进而可得， 任务2：过作于，过作于，得四边形为矩形，再解三角形求出米，米，进而求出米，米，根据13点时，太阳高度角，由即可完成任务2， 任务3：由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，当14时，此时的长度就是龙舌兰摆放位置与墙壁的最大距离，求出此时米，即可完成任务3． 【详解】解：任务1：如图，过作于，   ， ∴， 又∵，， ∴（米）， （米）， （米）， ∴（米）， 任务2：如解图2，过作于，过作于，   ， 则， 四边形为矩形， ，， ∵米，， ∴（米）， （米）， （米）， ∵由题意可知：米， ∴（米） ∴（米），（米）， ∵13点时，太阳高度角， ∴， ∴（米） ∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度（米） 任务3： 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 当14时，此时的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 如解图3，在中，， 即（米）， （米）， 答：龙舌兰能被太阳光照射到，此时摆放点离墙角距离的大于米． 69．（2023·江西吉安·三模）学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把 称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． (1)求入射角的度数． (2)若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解； （）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，设法线为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴入射角约为； （2）解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴光线从空气射入水中的折射率， 答：光线从空气射入水中的折射率． 70．（2023·四川达州·模拟预测）阅读理解： 如图1，在中，，，，的对边分别为，，（注：）． ，，，．． ，． 拓展探究： 如图2，在锐角中，，，的对边分别为，，．思考特例中的结论是否仍然成立？请说明理由． 解决问题： 如图3，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，．请用前面的结论，求点到点的距离（不取近似值）． 【答案】拓展探究：仍然成立，理由见解析；解决问题： 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 拓展研究：仍然成立，理由：过点作于点，过点作于点，先根据正弦的定义可得，，从而可得，同样的方法可得，由此即可得； 解决问题：先根据三角形的内角和定理可得，再根据拓展研究的结论求解即可得． 【详解】解：拓展探究：结论仍然成立．理由如下： 如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， ， 同理可得：， ． 解决问题：在中，， ，， ， ， 答：点到点的距离为． 71．（2024·江西南昌·模拟预测）图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知，，M，N，P，Q四点分别是的中点（N，P两点也分别在和上），底座，垂足为O，经测量，，，． (1)求证：四边形为菱形． (2)求折叠资料架的高（点A到底座HI的距离）．（参考数据：．结果保留一位小数） 【答案】(1)见解析 (2)折叠资料架的高约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据线段中点的定义可得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形可得四边形为菱形，即可解答； （2）先利用线段中点的定义可得，然后根据题意可得：，再在中，利用锐角三角函数的定义求的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵M是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：如图： ∵点Q是的中点， ∴， 由题意得：，，， 在中，， ∴， ∴， ∴折叠资料架的高约为． 72．（2024·河北邯郸·模拟预测）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点．如图1，初始情况下A，C重合，． (1)求圆心到水面的距离； (2)探究图1中的水槽沿向右无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，此时B，D重合，如图2． ①求水位下降的高度； ②求圆心移动的距离，并比较圆心移动的距离与半径的大小．（参考数据：，） 【答案】(1) (2)①；②，圆心移动距离大于半径（） 【分析】（1）根据题意得，由切线定理和垂径定理得，且； （2）①由题意得，且，则即可求得水位下降的高度；②结合和得，知，得，可求得点移动的距离为的长，利用弧长公式即可求得点移动的距离，比较数字大小即可知圆心移动的距离与半径的大小． 【详解】（1）解：在图1中，设与交于点，如图， ∵， ∴， 由题意得， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴圆心到水面的距离为； （2）①在图2中，设与的交点为，如图， ∵， ∴． ∵此时点B，D重合，是半径， ∴． 在中，∵，， ∴， ∴水位下降的高度为； ②在图2中连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由题意可得点移动的距离为的长， ∴点移动的距离为． ∵半径为5， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理、切线定理、解直角三角形、勾股定理和弧长公式，解题的关键是熟悉圆的知识和解直角三角形． 73．（2024·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】 探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系 背景介绍 在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知． 而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就． 建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方式探究屋面结构与建筑高度的关系． 实践任务 以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系． 资料查阅 1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》（GB50016-2014）（2018年版）A．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平均高度，即：建筑高度室外设计地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度（h2）． 如图1，建筑高度． 2、如图2，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度/半坡宽度．数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营造． 模型初建 将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以简化成数学几何图形（简化为一层房檐)．如图3，为等腰三角形， ，假定米，米．                 图3 模型优化 屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力． 学习小组通过查阅资料可知，屋面可以近似看作圆心角为30o的圆弧．如图所示，弧和弧是半径为、圆心角为30o的圆弧，檐口B到地面的距离为． 补充模型 从对屋顶曲线进行数学模拟时，却发现圆弧的拟合度并非最佳．学习小组的同学经过探索，发现运用到了最速降线的理论．最速降线可以使得物体下滑所需时间最短，达到排水的目的．古人如何造出“最速降线”的呢？查阅资料得知，宋朝古人利用“举折法”测定屋顶坡度及屋盖曲面线． 如图5所示，折线为宋代常见的一种屋顶建筑．是中边上的四等分点，过作交于，将降低米得到，连接；重复上述步骤，过作交于，将降低米得到，连接；过作交于，将降低米得到，连接； “举之峻慢，折之圆和”，求此曲面线，谓之定侧样．这就是古代的“举折法”．               图5 问题解决 任务1 模型初建 （1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中的建筑高度； 任务2 模型优化 （2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊A与檐口B的竖直高度h2和建筑高度h（结果保留整数部分，）； 任务3 补充模型 （3）若，求出屋脊与檐口竖直高度． 【答案】（1）建筑高度为11；（2）（米）；（3）竖直高度是6米 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，构造直角三角形是解题的关键． （1）过A作于H,则,然后利用勾股定理求出,解题即可； （2）在上找到一点M，使得，得到△是等边三角形，即可得到，过A作上的高，可知，利用勾股定理得到，代入数值计算即可； （3）根据题意得到，进而得到，求出，同理可以得到和的值即可求出的长． 【详解】（1）过A作于H, 由知，, 在中，, ∴， 由勾股定理得，， ∴, 根据资料信息可得：建筑高度（米） 答：建筑高度为11米； （2）的值为4米；H的高度为17米 在上找到一点M，使得 所以 ∵， ∴△是等边三角形， 所以可得 在△中，， 过A作上的高，可知， 则 在中，， ∴ 由资料可得，檐口B与屋脊A的竖直高度/檐口B与屋脊A的水平宽度， 所以，即 所以建筑高度（米） （3）由题知 则 又因为是公共角 那么， 所以， 同理可得， ∴，， 因为是线段的四等分点，所以 可得， 则， 同理可得， 则， 同理可得， 则， 解得：， 答：竖直高度是6米． 1．（2024·山西·中考真题）如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质等知识点，正确地添加辅助线构造相似三角形并利用相似三角形的性质进行计算是解题的难点和关键． 如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K，由得，进而得 ，则，再由得，则，由，得，在中由勾股定理得，则，证明得，则，再证明得，由此可得BG的长． 【详解】解：如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， 在中，， ∴， 由勾股定理得：，即， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2024·宁夏·中考真题）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 （结果精确到）（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据，求出，根据，求出，根据，，求出，根据该陶盉管状短流口距地面的高度为：，即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该陶盉管状短流口距地面的高度为：． 故答案为：． 3．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键． （1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得； （2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，．求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证； （2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：∵将沿直线翻折到， ∴， ∵为的直径，是切线， ∴， ∴； （2）解：∵是切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （3）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； (3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线：，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的纵坐标为3． ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴，即， ∵点D在反比例函数图象上， 把代入得，， 解得， ∴， ∴； （3）解：∵将直线向上平移6个单位得到直线：， ∵直线与函数图象交于，两点， ∴联立方程组得，， 即， 设、， ∴， ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， 把代入得，， 解得， ∴直线与x、y轴交于点、， ∴，， ∴， ∴， 过点O作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 2．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 3．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可； 【详解】解：∵12个相似的直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 故选C 6．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可． 【详解】解：设米， 在中，， ，即， 整理得：米， 在中，， ，即， 整理得：米， ∵米， ∴，即， 解得：， 侧这栋楼的高度为米． 故选：A． 7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可． 【详解】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 8．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答． 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴ 故选：B． 10．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）      A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 11．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 12．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点作，证明，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可． 【详解】解：∵矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 过点作，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 13．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 15．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：点A在直线上，且点A的横坐标为4， 点A的坐标为， ， 当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点， 由对称性质可知，， 当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为， 由对称性质可知，， 作于点，有， 设，则， ， ， 解得， 经检验是方程的解， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况． 16．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：作，交y轴于点F， 由题可得：， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（2024·江苏南京·中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜，与墙面所成的角，厂房高，房顶与水平地面平行．小强在点的正下方处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处到他的距离是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作交于点，由平行线的性质及入射角等于反射角得，由正切函数得，即可求解；理解实际意义，掌握直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： 点在点正下方， ，即， 房顶与水平地面平行，为墙面， 四边形为矩形． ， ， ， 地面上的点经过平面镜反射后落在点，结合物理学知识可知： ， ， ， 在中， ， ， ， 即水平地面上最远处到小强的距离是． 18．（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据圆周角定理得出，证明，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，解直角三角形得出，证明，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，解直角三角形得出，根据勾股定理得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 19．（2024·山东德州·中考真题）如图，中，对角线平分．    (1)求证：是菱形； (2)若，，求菱形的边长．（参考数据：，，） 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题考查平行四边形性质和菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形． （1）根据平行四边形性质得出，再结合角平分线的定义及等腰三角形的判定即可得出，，根据邻边相等的平行四边形是菱形进而得出结论； （2）连接，由菱形性质可知，，，在利用余弦求出长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． （2）连接，交于点O，    ∵四边形是菱形．，， ∴，，， ∴， 即菱形的边长为5． 20．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 21．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：_________； （2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________； 【解决问题】 （3）求的长． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（1）； （2）可推出四边形是平行四边形，从而，从而，进而得出，根据，得出，进一步得出结果； （3）作于，解直角三角形求得和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理列出方程，进而得出结果． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）、、、均与所在直线平行， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； （3）如图， 作于， ， ，， ， 设，则，， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识． 22．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证； （）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解； 本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即的直径为． $$