第一章 整式的乘除（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（四川成都专用，北师大版2024）

第一章 整式的乘除 （A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一个数是0.0000016，这个数用科学记数法表示的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，那么（  ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 5．下列计算中，运算正确的个数是（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　） A． B． C． D． 7．已知a+b=7，ab=10，则(a﹣b)2的值是(    ) A．69 B．29 C．±3 D．9 8．杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角： 按照前面的规律，则的展开式中含有的项的系数为（   ） A．15 B．20 C．21 D．35 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9． ． 10．若，则a，b的值分别为 11．计算： ． 12．若的计算结果中不含的一次项，则的值是 ． 13．如果是个完全平方式，那么的值是 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（1）计算：； （2）已知，求的值． 15．某学校准备在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分），    (1)求铺设地砖的面积；（用含的式子表示，结果化为最简） (2)若，铺设地砖的成本为元平方米，则完成铺设地砖需要多少元？ 16．阅读材料：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解： ∵， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：_________________； (2)求代数式最小值． 17．数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 18．如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形，设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式___________（用式子表达）； (2)应用公式计算：； (3)应用公式计算：． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知22n＋1＋4n＝48，则n＝ ． 20．若多项式是一个完全平方式，则整数 ． 21．已知关于的两个多项式与的差中不含项，则代数式的值为 ． 22．若，则的值为 ． 23．已知，则的值为 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含的式子表示安装健身器材区域的地面面积，并化简； (2)当，时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，求建设该居民健身场所所需的地面费用． 25．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了”（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式，　　　． (2)的展开式中共有　　　项，所有项的系数和为　　　； (3)利用上面的规律计算：． (4)今天是星期五，过了天后是星期几？（直接写答案） 26．【教材重现】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． 上述操作能验证的公式是  　 ． 【类比探究】把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中B，C，G三点在同一直线上．若，求阴影部分的面积． 【拓展应用】根据前面的经验探究：若x满足，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除 （A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一个数是0.0000016，这个数用科学记数法表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．已知，，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法的逆用，逆用幂的乘方、同底数幂的乘法公式，将变形为，整体代入求解即可，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：，，， ， 故选：C． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘法进行计算，即可判断出正确答案． 【详解】解：A、根据积的乘方法则得（﹣2a）2＝4a2， ∴原式错误； B、根据完全平方公式得（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴原式错误； C、根据同底数幂的乘法法则得a2•2a2＝2a4， ∴原式正确； D、根据同底数幂的乘法法则得a•2a2＝2a3， ∴原式错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的相关运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 4．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征即可得出答案． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 5．下列计算中，运算正确的个数是（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘，根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：①，计算正确，符合题意； ②，计算错误，不符合题意； ③，计算错误，不符合题意； ④，计算正确，符合题意； ⑤，计算正确，符合题意； 综上所述，正确的①④⑤，共3个， 故选：C． 6．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法公式与几何图形面积，理解图形面积的计算，掌握乘法公式的变形计算是解题的关键．根据题意，分别表示出图1，图2的面积，根据面积相等即可求解； 【详解】解：图1中的阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， ∵图1，图2中边长相等， ∴阴影部分的面积相等， ∴， 故选：B ． 7．已知a+b=7，ab=10，则(a﹣b)2的值是(    ) A．69 B．29 C．±3 D．9 【答案】D 【分析】首先去括号，合并同类项将原代数式化简，再将所求代数式化成用（a+b）与ab表示的形式，然后把已知代入即可求解． 【详解】 当，时 原式 故选D 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握公式及公式变形是解题的关键． 8．杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角： 按照前面的规律，则的展开式中含有的项的系数为（   ） A．15 B．20 C．21 D．35 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式以及规律型中数字的变化，观察图形，得出的系数从左到右分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，含有的项是左数第四项为：． 【详解】解：通过观察得：的系数从左到右分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，且a的次数从7逐次减低，b的次数从0逐次增加，项的次数都是7， 所以含有的项是左数第四项为：，故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9． ． 【答案】2 【分析】先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算加法即可． 【详解】解： 故答案为：2． 【点睛】本题考查负整数指数幂和零指数幂，解题的关键是熟练掌握（a不为0，b为整数），以及任何一个不为0的数的零指数幂为1． 10．若，则a，b的值分别为 【答案】， 【分析】先按照多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用多项式的恒等进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算法则，先逆用幂的乘方法则将化成，再逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 12．若的计算结果中不含的一次项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法；首先将展开，然后根据题意得到求解即可． 【详解】解： ∵计算结果不含x的一次项 ∴ 解得． 故答案为：． 13．如果是个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键． 根据完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵是个完全平方式， ∴， ∴或， 解得，或， 故答案为：或 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）11 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，注意完全平方公式的使用． （1）先算乘方，再算乘除法即可； （2）先运用完全平方公式及多项式乘多项式的法则将式子化简，再整体代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∵ ∴ 原式． 15．某学校准备在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一块长为米，宽为米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分），    (1)求铺设地砖的面积；（用含的式子表示，结果化为最简） (2)若，铺设地砖的成本为元平方米，则完成铺设地砖需要多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】（1）根据题意可知长方形空地的面积为米，长方形草坪的面积为米，再利用整式的混合运算法则即可解答； （2）将代入铺设地砖的面积进而即可解答． 【详解】（1）解：∵长方形空地的长为米，宽为米， ∴长方形空地的面积为平方米， ∵长方形草坪的长为米，宽为米， ∴长方形草坪的面积为平方米， ∴铺设地砖的面积为： 平方米， 答：铺设地砖的面积为平方米； （2）解：∵铺设地砖的面积为平方米， ∴当时， 原式， ∵铺设地砖的成本为元平方米， ∴（元）． 答：完成铺设地砖需要元． 【点睛】本题考查了整式的混合运算的实际应用，熟练整式混合运算的法则是解题关键． 16．阅读材料：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解： ∵， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：_________________； (2)求代数式最小值． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是掌握的运用，即可． （1）根据，即可； （2），对变形为：，即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：，． （2）∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 17．数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2) (3)1275 【分析】（1）大正方形面积为，小正方形的面积为，作差即可； 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可； （2）根据第（1）小题发现的规律写出等量关系即可； （3）每两个数为一组按照根据第（2）小题写出的规律进行变形，问题即可解决． 【详解】（1）解：小明的方法：大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 小红的方法：长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为． （2）解：这三个代数式之间的数量关系为： ； （3）解： ． 【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律． 18．如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形，设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式___________（用式子表达）； (2)应用公式计算：； (3)应用公式计算：． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握平方差公式． （1）结合对应图形面积公式即可得解； （2）逆用平方差公式即可求解； （3）运用平方差公式，将转变为即可求解． 【详解】（1）解：依题得：，， ， 利用图形的面积关系所得到的公式为． 故答案为：；；． （2）解：由（1）得：， 原式， ， ， ． （3）解：根据（1）中所得关系式可得， 原式， ， ， ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知22n＋1＋4n＝48，则n＝ ． 【答案】2 【分析】先把左边利用同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算结合乘法的分配律化为，从而可得：于是可得答案. 【详解】解： 22n＋1＋4n＝48， ， 故答案为：2 【点睛】本题考查的是幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，乘法分配律的应用，熟悉以上运算的运算法则是解题的关键. 20．若多项式是一个完全平方式，则整数 ． 【答案】 【分析】形如的式子称为完全平方式，先确定原式中a,b的值，再确定整数m. 【详解】解：，所以 故答案为 【点睛】本题考查了完全平方式，准确由原式确定a,b的值是解题的关键. 21．已知关于的两个多项式与的差中不含项，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】要求的值就必须知道的值，而的值通过两个多项式与作差合并后不含的项意味着系数为0而求得. 【详解】 ∵不含项 ∴ ∴ 代入中，得 【点睛】本题主要考查合并同类项、去括号以及代数式求值，利用两个多项式的差不含项得出的系数为0是解题关键. 22．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，换元思想；设，则，，由完全平方公式变形应用可求得的值，从而求得结果． 【详解】解：设， 则， ∴； ∵， ∴ ， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 23．已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，，，结合已知可得，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 所以原式 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含的式子表示安装健身器材区域的地面面积，并化简； (2)当，时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，求建设该居民健身场所所需的地面费用． 【答案】(1)安装健身器材的区域面积为平方米 (2)篮球场地面积为平方米，安装健身器材的区域面积为平方米 (3)建设该居民健身场所所需的地面费用为元． 【分析】本题考查整式的应用，涉及列代数式、整式的乘法，正确列式并计算是关键． （1）根据安装健身器材的区域面积场所总面积篮球场地面积列式即可； （2）表示出篮球场地面积，再将，分别代入即可； （3）列式计算即可． 【详解】（1） （平方米）， 答：安装健身器材的区域面积为平方米； （2）当，时， 安装健身器材区域的地面面积（平方米）， 篮球场地面积（平方米）， 答：篮球场地面积为平方米，安装健身器材的区域面积为平方米； （3）（元）， 答：建设该居民健身场所所需的地面费用为元． 25．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了”（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式，　　　． (2)的展开式中共有　　　项，所有项的系数和为　　　； (3)利用上面的规律计算：． (4)今天是星期五，过了天后是星期几？（直接写答案） 【答案】(1) (2)8， (3) (4)如果今天是星期五，过了天后是星期六． 【分析】此题主要了考查了杨辉三角的规律探索以及应用能力，关键是能根据完全平方式准确理解并运用杨辉三角． （1）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图即可得到答案； （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，所有项系数的和为，即可得到答案； （3）利用（1）（2）的规律，可取，，代入计算即可得到答案． （4）根据，可得出都能被7整除，则除以7余1，则可得出答案． 【详解】（1）解：利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：    ， 故答案为：； （2）解：由题意得，利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：    共2项，所有项系数的和为； 共3项，所有项系数的和为； 共4项，所有项系数的和为； …… ∴共项，所有项系数的和为， ∴共8项，所有项系数的和为， 故答案为：8，； （3）解：由题意可知 ， ∴可取，， 即原式； （4）解：今天是星期五，过了天后是星期六， ∵（a，b，c，d，e，为各项的系数） ∵都能被7整除， ∴除以7余1， ∴如果今天是星期五，过了天后是星期六． 26．【教材重现】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． 上述操作能验证的公式是  　 ． 【类比探究】把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中B，C，G三点在同一直线上．若，求阴影部分的面积． 【拓展应用】根据前面的经验探究：若x满足，求的值． 【答案】教材重现：；类比探究：120；拓展应用：31 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特点是解答此题的关键． 类比探究：表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案； 教材重现：根据，得到，利用完全平方公式得到，然后再将已知整体代入即可求解； 拓展应用：设，则，利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：教材重现：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； 类比探究： 如图3， ∵， ∴ ； 拓展应用： 设，则， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$