专题01 旋转五大压轴模型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题01 旋转五大压轴模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 模型一、手拉手 2 模型二、半角模型 2 模型三、构造旋转模型 3 模型四、奔驰模型 3 模型五、费马点模型 3 压轴能力测评（9题） 7 模型一：“手拉手”模型 模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。 模型说明：如图1，▲ABE，▲ACF都是等边三角形，可证▲AEC≌▲ABF。 如图2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可证▲ADC≌▲ABE 如图2，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证▲ABD≌▲AFC 模型二： “半角”模型 模型特征：大角含半角+有相等的边，通过旋转“使相等的边重合，拼 出特殊角” 模型说明： （1）如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将▲ADF绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABG可证▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF （2）如图，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，将▲ACN绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABQ，可证▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN²+BM²=MN² （3）如图，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE=将▲CBD绕点B逆时针旋转∠CBA的度数得到▲ABD’可证▲DBE≌▲D’BE。 模型三： 构造旋转模型解题 方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形. 常见图形旋转： （1）“等边三角形”的旋转 方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决． 模型四：奔驰模型 模型五：费马点模型 【费马点问题】 问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 图文解析： 如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′， ∴PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′． ∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长 ∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′ 模型一、手拉手模型 【典例1】如图，在中，于，，是上一点，且，连接，． (1)判断与的关系（直接写结果）； (2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，与的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明； (3)如图，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求与夹角中锐角的度数． 【变式1-1】如图，点O是等边内一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【变式1-2】（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，和都是等边三角形，连结、交于点O，且分别交、于点F、G．求证：； （2）若将图1中的绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，和都是等边三角形，的度数变化吗？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； （3）如图3，在中，，，，以为边向外作等边，直接写出的长． 模型二、半角模型 【典例2】【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． (1)【思路梳理】“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整： ，将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，，，， ，即点，，共线， ， ，， 又，__________（__________________）（写依据） ． (2)【类比引申】“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形中，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由． (3)【联想拓展】“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在中，，，点，均在边上，且．当，时，直接写出的长度． 【变式2-1】问题：如图①，点分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系． (1)【发现证明】 小强把绕点逆时针旋转至的位置，从而发现． (2)【类比引申】 如图②，在四边形中，，，，点，分别在边上，则当与满足______关系时，仍有，请说明理由； (3)【探究应用】 如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知，，，，道路上分别有景点，且，，现要在之间修一条笔直的道路，这条道路的长______． 【变式2-2】我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． （1）思路梳理 ∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证_______其判断理由是______，可得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，． 与互补（、都不是直角），求证：； （3）联想拓展 如图3，在中，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程．若，求的最小值． 模型三、构造旋转模型解题 【典例3】（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，点M，N在斜边上，，，，你能求出的长度吗？ 小清通过观察，分析，思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，显然，连接；求出的长度； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，显然，连接，求出的长度； 请参考小清的思路，任选一种写出完整解答过程． （2）【类比探究】如图2，在等边中，点、在边上，，，，求的长．（直接写出答案）    【变式3-1】定义：在四边形中，如果，那么我们把这样的四边形称为“对余四边形”． 【定义理解】如图，已知是对余四边形的对角线，，，则的度数为 ． 【问题探索】问题：如图，已知、是对余四边形的对角线，，． 求证：． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为，，所以是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转，连接，． …… 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【灵活运用】如图，已知、是对余四边形的对角线，，，若，，求的长． 【变式3-2】阅读材料题：有这样一个题目：已知，如图1，P是正方形内一点，连接，若，，，求的长． 小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将绕点A顺时针旋转得到，再利用勾股定理即可求解本题．请根据数学老师的提示帮小明求出图1中线段的长为______． 【方法迁移】：已知：如图2，为正三角形，P为内部一点，若，，，求的大小． 【能力拓展】：已知：如图3，等腰三角形中，D、E是底边上两点且，若，，求的长． 【变式3-3】问题解决 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边内的一点，，，．你能求出的度数和等边的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 如图①将绕点B逆时针旋转，得到，连接，可得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而使问题得到解决． (1)结合小明的思路完成填空： ， ， (2)类比探究 ①如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的度数 ②如图③，若点P是正方形外一点，，，，求的度数． 【变式3-4】【知识技能】 （1）如图1，在等边三角形内有一点．若点到顶点的距离分别为6，10，8，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求得________°． 【构建联系】 利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题． （2） 如图2，在中，为上的点，且，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在等边三角形中，为内一点，连接，且，求的值． 模型四、奔驰模型 【典例5】【问题提出】如图①，在等边内部有一点，已知，，，求的度数． 【类比探究】如图②，等腰内部有一点，已知，，，则_____． 【联想拓展】如图③，等腰外部有一点，已知，，，则_____． 模型五、费马点模型 【典例5】已知，点O是等边内的任一点，连接． (1)如图1，已知，，将绕点按顺时针方向旋转得． ①的度数是　　　　； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)设，． ①当，满足什么关系时，有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由； ②若等边的边长为1，直接写出的最小值． 【变式5-1】（1）如图1，是平面上一动点，线段的长是5，连接点与线段的两个端点，求的最小值． （2）如图2，曲江金地某社区内有一块矩形的空地，且，空地内有一个老年活动中心在点处，社区准备从点处分别向三处修建三条小路，分别是，求三条小路的长度之和的最小值．    【变式5-2】（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【变式5-3】背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法． (1)请补充以下推理过程，如图1，我们可以将绕点C顺时针旋转60°得到，连接，可知为______三角形，故，由旋转可得，因此，由_______可知，的最小值与线段______的长度相等：如图2此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________； (2)如图3，在中，，点P为的费马点，连接、、，求的值． 1．如图，O是等边内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④四边形的面积是；⑤．其中正确结论的个数是 （   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，，，点在的内部，，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 3．综合与实践 (1)问题初探 如图1，在中，为边上的中线，求的取值范围．请直接写出的取值范围． (2)问题解决 如图2，P为等边三角形内一点，满足，试求的大小． (3)问题拓展 如图3，在正方形中，分别为边上的点，满足，若，求证的面积． 4．旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件集中，从而解决问题． (1)阅读填空：如图，中，，，点，为边上的点，且，把绕点逆时针旋转至，_____度，，连接易证_____，则，，之间的数量关系为_____． (2)拓展研究：请利用第题中的思想方法，解决下面的问题： 如图，等边内有一点，，请判断，，之间的数量关系并证明； 如图，在中，，，，在内部有一点，连接，，，请直接写出的最小值． 5．如图，中，，，点D为上一动点（不与A，B重合），连接，将绕点C顺时针旋转得到，，，连接AE． (1)求的值； (2)若的面积为5，时，求的长； (3)G为所在平面内一点，且，，，请画出草图并直接写出的度数． 6.【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 7．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．    8．如图1，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)若，则 ； (2)求证：； (3)好学的小安习惯超前学习，他已知道等腰三角形的性质：“在中，若，则”．请运用这个性质解决下面问题：如图2，在旋转过程中，若，，连接，求的度数． 9．在中，，，为平面内一点． (1)当在线段上时，将线段绕点顺时针旋转至，连接，请你在图1中完成作图，试判断与的位置关系并证明； (2)在（1）的条件下，连接交于，过点作的垂线交延长线于点，试判断线段与的数量关系并证明； (3)如图2，点位于上方，且，的面积为9，直接写出的长度． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 旋转五大压轴模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 模型一、手拉手 2 模型二、半角模型 2 模型三、构造旋转模型 3 模型四、奔驰模型 3 模型五、费马点模型 3 压轴能力测评（9题） 7 模型一：“手拉手”模型 模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。 模型说明：如图1，▲ABE，▲ACF都是等边三角形，可证▲AEC≌▲ABF。 如图2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可证▲ADC≌▲ABE 如图2，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证▲ABD≌▲AFC 模型二： “半角”模型 模型特征：大角含半角+有相等的边，通过旋转“使相等的边重合，拼 出特殊角” 模型说明： （1）如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将▲ADF绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABG可证▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF （2）如图，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，将▲ACN绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABQ，可证▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN²+BM²=MN² （3）如图，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE=将▲CBD绕点B逆时针旋转∠CBA的度数得到▲ABD’可证▲DBE≌▲D’BE。 模型三： 构造旋转模型解题 方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形. 常见图形旋转： （1）“等边三角形”的旋转 方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决． 模型四：奔驰模型 模型五：费马点模型 【费马点问题】 问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 图文解析： 如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′， ∴PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′． ∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长 ∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′ 模型一、手拉手模型 【典例1】如图，在中，于，，是上一点，且，连接，． (1)判断与的关系（直接写结果）； (2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，与的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明； (3)如图，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求与夹角中锐角的度数． 【答案】(1)， (2)与的位置关系和数量关系没有发生变化，证明见解析 (3)与的夹角度数为 【分析】（1）先判断出，再判定再判断 （2）先判断出，再得到； （3）先判断出再判断出 最后计算即可. 【详解】（1）解：与的位置关系是： ， 数量关系是， 理由如下： 延长交于点， ∵于， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：与的位置关系和数量关系没有发生变化， 如图， ∵， ∴，即， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴； （3）∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， 设交于点， 则 ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，判断垂直的方法，解本题的关键是判断 ． 【变式1-1】如图，点O是等边内一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得 ，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． 【详解】（1）证明： 绕点B顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ； （2）解： ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． 【变式1-2】（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，和都是等边三角形，连结、交于点O，且分别交、于点F、G．求证：； （2）若将图1中的绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，和都是等边三角形，的度数变化吗？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； （3）如图3，在中，，，，以为边向外作等边，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）的度数不变，；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （3）以为边在的外部作等边三角形，得到，，由（2）知，，根据全等三角形的性质得到，过E作交的延长线于F，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：的度数不变， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：以为边在的外部作等边三角形， ∴，， 由（2）知，， ∴， 过E作交的延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含30度角直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．明确题意，添加合适的辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键． 模型二、半角模型 【典例2】【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． (1)【思路梳理】“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整： ，将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，，，， ，即点，，共线， ， ，， 又，__________（__________________）（写依据） ． (2)【类比引申】“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形中，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由． (3)【联想拓展】“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在中，，，点，均在边上，且．当，时，直接写出的长度． 【答案】(1)； (2)成立，理由见详解 (3) 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定求解即可； （2）将绕点逆时针旋转至，可使与重合，由旋转可知，，，判定，即可求解； （3）将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，由旋转可知，，，，判定，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，，，， ， ， 即点，，共线， ， ， ， 又， ， ； 故答案为：；； （2）解：， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， 则，又， , 即，，，三点共线， ，， ， 由旋转可知，，， ， 即， ， ， ， ， ，， ； （3）解：， ∴将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接， 由旋转可知，，，， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ，，， ． 【变式2-1】问题：如图①，点分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系． (1)【发现证明】 小强把绕点逆时针旋转至的位置，从而发现． (2)【类比引申】 如图②，在四边形中，，，，点，分别在边上，则当与满足______关系时，仍有，请说明理由； (3)【探究应用】 如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知，，，，道路上分别有景点，且，，现要在之间修一条笔直的道路，这条道路的长______． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，仍有，理由见解析 (3) 【分析】）由旋转的性质可得，得到，，，进而得到，即得到，得到，据此得到，即可求证； （）延长至，使，连接，证明，得到，，再根据，可得，进而证明，即得到； （）如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，最后得到，根据（）结论即可求解． 【详解】（1）证明：如图（），在正方形中，； 由旋转得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：当时，仍有，理由如下： 如图（），延长至，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 故答案是：； （3）解：如图，连接，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得到，， ∵， ∴，即点在的延长线上， 在中，， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴根据（）结论有， 即这条道路的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，正确作出辅助线并证明三角形全等是解题的关键． 【变式2-2】我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． （1）思路梳理 ∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证_______其判断理由是______，可得． （2）类比引申 如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，． 与互补（、都不是直角），求证：； （3）联想拓展 如图3，在中，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程．若，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），推理见解析； 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理可得，然后由完全平方公式的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． ∴， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：时，；理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．如图 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线， 在和中， ∵， ∴， ∴； （3）猜想：．理由如下： 把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则， ∴， ∴ ∵， ， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 当时， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为12， ∴的最小值为． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的应用，完全平方公式的应用，属四边形的综合题，解题的关键是正确画出图形，证明．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫． 模型三、构造旋转模型解题 【典例3】（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，点M，N在斜边上，，，，你能求出的长度吗？ 小清通过观察，分析，思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，显然，连接；求出的长度； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，显然，连接，求出的长度； 请参考小清的思路，任选一种写出完整解答过程． （2）【类比探究】如图2，在等边中，点、在边上，，，，求的长．（直接写出答案）    【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）思路一：将绕点逆时针旋转，得到，易得为直角三角形，证明，得到，利用勾股定理求出的长即可；思路二：同思路一； （2）将绕点逆时针旋转，得到，同理得到，推出，作交的延长线于点，设，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，    ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中：； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，    ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中：； （2）∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 将绕点C逆时针旋转，得到，    ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是通过旋转构造全等三角形． 【变式3-1】定义：在四边形中，如果，那么我们把这样的四边形称为“对余四边形”． 【定义理解】如图，已知是对余四边形的对角线，，，则的度数为 ． 【问题探索】问题：如图，已知、是对余四边形的对角线，，． 求证：． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为，，所以是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转，连接，． …… 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【灵活运用】如图，已知、是对余四边形的对角线，，，若，，求的长． 【答案】【定义理解】；【问题探索】见解析；【灵活运用】 【分析】定义理解：由四边形是对余四边形，得，进而根据等腰三角形的性质即可得解； 问题探索：证明是等边三角形，为等边三角形，得，，进而得，证明，得，再证明，在中，利用勾股定理即可得证； 灵活运用：过点作，使，连接，，证明，得，有证（），得，由，，得，从而利用勾股定理即可得解． 【详解】解：定义理解：∵四边形是对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 问题探索 证明：如图，将绕点顺时针方向旋转，连接，． ∵，， ∴是等边三角形， ∵将绕点顺时针方向旋转， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴； 灵活运用：过点作，使，连接，，如图所示： ∴在中，，， ∴， ∵四边形为对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边对等角，勾股定理，三角形的内角和定理，等边三角形的判定及性质，熟练掌握等边对等角，勾股定理，三角形的内角和定理，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 【变式3-2】阅读材料题：有这样一个题目：已知，如图1，P是正方形内一点，连接，若，，，求的长． 小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将绕点A顺时针旋转得到，再利用勾股定理即可求解本题．请根据数学老师的提示帮小明求出图1中线段的长为______． 【方法迁移】：已知：如图2，为正三角形，P为内部一点，若，，，求的大小． 【能力拓展】：已知：如图3，等腰三角形中，D、E是底边上两点且，若，，求的长． 【答案】，， 【分析】阅读材料题：将绕点A顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质得，，从而可得，则由勾股定理即可求解； 【方法迁移】：把绕点C顺时针旋转得到，连接；由旋转的性质得是等边三角形，由勾股定理逆定理知是直角三角形，且，则可求得的度数，从而求得结果． 【能力扩展】：把绕点C逆时针旋转得到，连接，过点G作于点F，由旋转的性质得，从而得，则有，由勾股定理得，在中由勾股定理得；再证明，则；从而求得结果． 【详解】解：阅读材料题：如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得： ，，， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得：； 故答案为：6． 解：【方法迁移】： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接； 由旋转的性质得：，，； ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 解：【能力拓展】： 如图，把绕点C逆时针旋转得到，连接，过点G作于点F； ∵， ∴； 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∴，由勾股定理得； ∵， 则在中，由勾股定理得； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是旋转的综合问题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等知识，关键是旋转的运用． 【变式3-3】问题解决 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边内的一点，，，．你能求出的度数和等边的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 如图①将绕点B逆时针旋转，得到，连接，可得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而使问题得到解决． (1)结合小明的思路完成填空： ， ， (2)类比探究 ①如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的度数 ②如图③，若点P是正方形外一点，，，，求的度数． 【答案】(1)4，，； (2)①②； 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，，由勾股定理逆定理可得，进而可求； （2）①将绕点B逆时针旋转，使与重合，得到，则∠PBP′＝90°，，，，根据勾股定理逆定理得，，可求，即可求； ②将绕点B逆时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，由勾股定理的逆定理得，可求，进而即可求∠． 【详解】（1）解：∵将绕点B逆时针旋转，得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4，，； （2）①如图，将绕点B逆时针旋转，使与重合，得到， 则，，，， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②将绕点B逆时针旋转，得到，连接， ∴， ∴，，， 在中，， ∴，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，添加恰当辅助线构造直角三角形是解本题的关键． 【变式3-4】【知识技能】 （1）如图1，在等边三角形内有一点．若点到顶点的距离分别为6，10，8，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点逆时针旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求得________°． 【构建联系】 利用（1）的解答思想方法，解答下面的问题． （2）如图2，在中，为上的点，且，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在等边三角形中，为内一点，连接，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转性质得，，，，，则可求得，是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，过作交延长线于H，则，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求得即可求解． 【详解】（1）解：由旋转性质得，，，， 为等边三角形 ， 为等边三角形 ， 为直角三角形，且 ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点C逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，， ， 在和中 ， 由勾股定理得， 即； （3）如图３，将绕点顺时针旋转，得到，连接， 则，，，，， ，是等边三角形， ，， ∵， 、、、四点共线， 过作交延长线于H，则， ∴，则， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 模型四、奔驰模型 【典例5】【问题提出】如图①，在等边内部有一点，已知，，，求的度数． 【类比探究】如图②，等腰内部有一点，已知，，，则_____． 【联想拓展】如图③，等腰外部有一点，已知，，，则_____． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（1）将绕点A逆时针旋转得到，连结，得到等边， 由勾股定理的逆定理可得，即可求解； （2）类似（1）的方法进行旋转，再由勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质可求解； （3类似（1）的方法进行旋转，再由勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结，得到等边，， ∴， ∵， ∴． ∴ ． （2）将绕点B逆时针旋转得到，连结，得到等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． ∴， ， 故答案为： （3）将绕点B逆时针旋转得到，连结，得到等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． ∴， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理逆定理，解题关键是熟练运用旋转构建直角三角形． 模型五、费马点模型 【典例5】已知，点O是等边内的任一点，连接． (1)如图1，已知，，将绕点按顺时针方向旋转得． ①的度数是　　　　； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)设，． ①当，满足什么关系时，有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由； ②若等边的边长为1，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②．证明见解析 (2)①当时，有最小值，见解析；② 【分析】（1）①根据旋转变换的性质、四边形内角和为计算即可； ②连接，根据勾股定理解答； （2）①将绕点按顺时针方向旋转得，连接，根据等边三角形的性质解答； ②根据等边三角形的性质计算． 【详解】（1）解：①，， ， 由旋转的性质可知，，， ， 故答案为：； ②线段，，之间的数量关系是． 如图1，连接． 绕点按顺时针方向旋转得， ，． ，，． 是等边三角形， ，， ，， ， ，． ． 在中，， ． ． （2）解：①如图2，当时，有最小值． 作图如图2， 如图2，将绕点按顺时针方向旋转得，连接． ，． ，，， ． 是等边三角形． ，． ， ． ． 四点，，，共线． 时值最小； ②当等边的边长为1时，的最小值． 【变式5-1】（1）如图1，是平面上一动点，线段的长是5，连接点与线段的两个端点，求的最小值． （2）如图2，曲江金地某社区内有一块矩形的空地，且，空地内有一个老年活动中心在点处，社区准备从点处分别向三处修建三条小路，分别是，求三条小路的长度之和的最小值．    【答案】（1）的最小值是5；（2）三条小路的长度之和的最小值是 【分析】（1）根据两边之和大于第三边、两点之间线段最短，进行求解作答即可； （2）如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．由旋转的性质可知，是等边三角形，则，，当四点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长．由勾股定理求， ，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴， ∴的最小值是5． （2）解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．    由旋转的性质可知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 当四点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长． 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴三条小路的长度之和的最小值是． 【点睛】本题考查了两边之和大于第三边、两点之间线段最短，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形等知识．明确和最小时的位置是解题的关键． 【变式5-2】（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1），见解析；（2）①，见解析；② 【分析】（1）连接，根据题意得到，，，进而得到'为等边三角形，，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形， 且，即可求出； （2）①证明，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接，得到，，，，进而得到，根据勾股定理得到 ，证明，得到，即可得到； ②将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，，即可得到，，，，从而得到为等边三角形，， 根据两点之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为 【详解】解： （1）连接， ∵将绕顶点 A 逆时针旋转60°到， ∴，， ∴'为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 且， ∴， ∴； （2）①． 证明： ∵,， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接， 则：，，，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； ②的最小值为 如图，将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，， 则：，，，， ∴为等边三角形，， ∴ ∴ ， ∴当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长， ∵， ∴， ∴的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 【变式5-3】背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法． (1)请补充以下推理过程，如图1，我们可以将绕点C顺时针旋转60°得到，连接，可知为______三角形，故，由旋转可得，因此，由_______可知，的最小值与线段______的长度相等：如图2此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________； (2)如图3，在中，，点P为的费马点，连接、、，求的值． 【答案】(1)等边，两点之间线段最短，， (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，进行求解即可； （2）将绕点顺时针旋转至△处，连接，证是等边三角形，得，，再证、、、四点共线，然后证，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵将绕点C顺时针旋转60°得到，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当：四点共线时，值最小值与线段的长度相等， ∵为等边三角形， ∴， ∴当四点共线时， ， ∴， 即：； 故答案为：等边，两点之间线段最短，，； （2）解：将绕点顺时针旋转至△处，连接，如图4所示： 则，，，，，， 是等边三角形， ，， 点为直角三角形的费马点， ， ， ， 、、、四点共线， ，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在△中，由勾股定理得：， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理、“费马点”新定义等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 1．如图，O是等边内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④四边形的面积是；⑤．其中正确结论的个数是 （   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】证，即可判断①；连接，可推出是等边三角形，即可判断②；由得，推出，，即可判断③；作，则，可求出，，根据四边形的面积，即可判断④；将绕点逆时针旋转得到，连接，作，同理可得：是等边三角形，，，求出，根据，即可判断⑤； 【详解】解：连接，如图所示：    由题意得：， ∴， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到；故①正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； 作，如图所示：    则， ∴， ∴ ∴四边形的面积，故④错误； 将绕点逆时针旋转得到，连接，作，如图所示：    同理可得：是等边三角形，，， 则， ∴， ∴ ∴，故⑤正确； 故选：C 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，几何综合性较强，掌握举一反三的数学思想是解题关键． 2．如图，在中，，，点在的内部，，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作，交延长线于点E，证明得，可证，得出，从而，将绕点C逆时针旋转至，求出，可证B，D，F三点共线，然后依次利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点B作，交延长线于点E，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 将绕点C逆时针旋转至， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴B，D，F三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 3．综合与实践 (1)问题初探 如图1，在中，为边上的中线，求的取值范围．请直接写出的取值范围． (2)问题解决 如图2，P为等边三角形内一点，满足，试求的大小． (3)问题拓展 如图3，在正方形中，分别为边上的点，满足，若，求证的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了旋转的综合应用，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理；解题的关键是旋转构造全等进行转换． （1）如图，将绕点D旋转，得到，连接，由旋转得到，易证四边形是平行四边形，根据三角形三边的关系得到，从而得到的取值范围； （2）如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，易证是等边三角形得，在中，运用勾股定理求解可证，求出，结合旋转可求解； （3）将绕点A顺时针旋转得到，由旋转可知，，求得易证，求即可． 【详解】（1）如图，将绕点D旋转，得到，连接， 由旋转，， ∴四边形是平行四边形， ，， 又， ， 得， 即， ； （2）如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知，， ， 是等边三角形， ， 在中， ，， ， ， ， ， （3）将绕点A顺时针旋转得到， 由旋转可知，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ，， ． 4．旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件集中，从而解决问题． (1)阅读填空：如图，中，，，点，为边上的点，且，把绕点逆时针旋转至，_____度，，连接易证_____，则，，之间的数量关系为_____． (2)拓展研究：请利用第题中的思想方法，解决下面的问题： 如图，等边内有一点，，请判断，，之间的数量关系并证明； 如图，在中，，，，在内部有一点，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)；，； (2) ，证明见解析 ． 【分析】根据旋转的性质可知，所以可得、、，利用可证，从而可得、，利用勾股定理可得； 由旋转的性质可知，所以可得是等边三角形，可知，所以可得，利用勾股定理可得， 将绕点逆时针旋转得到，连接、，根据旋转的性质可知，，所以可得是等边三角形，所以可得，，，所以可证，，利用勾股定理求出的长度即可得的最小值． 【详解】（1）解：如下图所示， 中，，， ， 由旋转可知， ， ； ， ， 由旋转可知，， ， ， ， 在和中， ； ， ， 由旋转可知， 又， ， 在中，， ； 故答案为：，，； （2）解： ， 证明：如下图所示，把绕点逆时针旋转，连接 则， ，，，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，， ； 如下图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接、， 由旋转可知，， 是等边三角形，，， ， ， ， 在中，， ， 的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是通过旋转构造直角三角形，再利用勾股定理解决问题． 5．如图，中，，，点D为上一动点（不与A，B重合），连接，将绕点C顺时针旋转得到，，，连接AE． (1)求的值； (2)若的面积为5，时，求的长； (3)G为所在平面内一点，且，，，请画出草图并直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或4 (3)或，图见解析 【分析】（1）通过旋转性质，先证得，再通过直角等腰三角形的基本性质即可求解； （2）先通过的面积求出，再求出，再在中，利用勾股定理求解即可； （3）分两种情况点可以在的内部或者的外部，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵由旋转的性质可知，，， 又∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴． （2）连接，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由（1）可知，，得到， 设，即，， 在中，， ∴， 解得， ∴为2或4． （3）点可以在的内部或者的外部， 当点在的内部时，将逆时针绕点旋转与重合，连接，如图 ∴，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 当点在的外部时，将逆时针旋转与重合，连接，如图， ∴，，， ∴ ，∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． ∴或． 【点睛】本题考查三角形的全等，旋转的基本性质，勾股定理等知识点，综合性强，能够正确做出辅助线是解题关键． 6.【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由旋转的性质得，即可求解； （2）同理将绕点逆时针旋转得到，当四点在同一直线上时，最小，此时，由等边三角形的性质及直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，即可求解； （3）绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于，同理可得 ，设正方形的边长为，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： 是等边三角形， ， 四点在同一直线上， ， ， 由旋转得： ， ， ； （2）解：如图，由【问题解决】同理将绕点逆时针旋转得到， 当四点在同一直线上时， 最小， 此时， 由旋转得：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在中 ， 故最小值为； （3）解：如图，绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于， 当四点在同一直线上时， 最小， 此时 ， 由旋转得：， ， ， 设正方形的边长为，则有 ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：，（舍去）， ， 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，正方形的性质；掌握“费马点”典型模型的解法是解题的关键． 7．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到 ∴， ∴为_________三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．    ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；    (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．    【答案】(1)①等边，两点之间选的最短，120；②见解析 (2)7 (3) 【分析】（1）①根据题目所给的推理步骤即可解答；②当时，根据大边对大角得出，进而求出顶点A到另两个顶点距离和最小，即可求证； （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接，由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， 求出，则，根据勾股定理可得：，最后根据勾股定理得出即可求解； （3）根据题意可得：总的铺设成本为万元，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求出，则当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值，用和（2）同样的方法求解即可． 【详解】（1）解：①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由几何公理：两点之间选的最短，可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有．    ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴顶点A到另两个顶点距离和最小， ∵， ∴， ∴当点P和点A重合时，取最小值， 即此时的A点为该三角形的“费马点”．    （2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接，    由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则 根据勾股定理可得：， ∴； （3）解：根据题意可得： 总的铺设成本为万元， 将绕点C顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，则， 当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 根据勾股定理可得：， 即最小值为， ∴总铺设成本最少为万元． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应边夹角等于旋转角，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 8．如图1，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)若，则 ； (2)求证：； (3)好学的小安习惯超前学习，他已知道等腰三角形的性质：“在中，若，则”．请运用这个性质解决下面问题：如图2，在旋转过程中，若，，连接，求的度数． 【答案】(1)6； (2)见解析； (3) 【分析】（1）首先根据旋转的性质，判断出，，进而判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出； （2）延长交的延长线于点，同(1)方法证明，得，进而可以解决问题； （3）如图2，在上取点，使，连接，证明，得， ，设，，得，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知：，，，，， 在和中， ， ， ， 故答案为：6； （2）证明：如图1，延长交的延长线于点， 绕点逆时针旋转得到， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，在上取点，使，连接， ，， ， ，， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【点睛】本题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，三角形内角和定理解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形． 9．在中，，，为平面内一点． (1)当在线段上时，将线段绕点顺时针旋转至，连接，请你在图1中完成作图，试判断与的位置关系并证明； (2)在（1）的条件下，连接交于，过点作的垂线交延长线于点，试判断线段与的数量关系并证明； (3)如图2，点位于上方，且，的面积为9，直接写出的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意即可完成作图；连接，证明得，即可得； （2）在线段上截取，连接，先证明，则,再证明，则，证明完成； （3）过点A作交于N，连接，证明，得，由的面积为9，即可求得结果． 【详解】（1）补充作图如下： 与的位置关系为， 连接，如图， ，， 由旋转性质得：， ， ， 在与中， ， ∴， ， ， ． （2），证明如下： 如图，在线段上截取，连接， ，， ， 由（1）知， ， 由（1）知， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ． （3）如图，过点A作交于N，连接， 则， ， ， ， ， ， ， 在与中， ，， ， 的面积为9， ， 即， ． 【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，证明全等是本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$