数学（天津卷01）-学易金卷：2025年高考第二次模拟考试

2025年高考第二次模拟考试 高三数学（天津）01·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，所以.故选：C. 2．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，都是不等于1的正数， 由，得，； 反之，由，得，若，，则，故不成立． “”是“”的充分不必要条件． 故选：B． 3．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于1，接近于， 由此可得．故选:A. 4．下列函数不是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A , 定义域为,所以为奇函数， 对于B，定义域为，且，所以为奇函数， 对于C，定义域为，且，所以为偶函数， 对于D，定义域满足且，所以且， 故定义域为或或,故定义域关于原点对称，且，所以为奇函数， 故选：C 5．若，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，故. 故选:B. 6．设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【解析】m，n是两条直线，，是两个平面， 对于A，若，，，则由面面平行的判定定理得，故A错误； 对于B，若，，，则由线面平行的性质得，故B正确； 对于C，若，，，则与相交或平行，故C错误； 对于D，若，，，则与相交、平行或异面，故D错误． 故选：B. 7．函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，则，又， 所以，则， 在上，，故， 所以最小值为.故选：A 8．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为，双曲线的两条渐近线方程为， 不妨设A在第一象限，则，，∵四边形ABCD的面积为2b， ∴由对称性可得，又，∴， 将代入，可得，∴， ∴双曲线的方程为1， 故选：D． 9．庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点分别为，连接， 可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥， 将三棱柱补成一个上底面与矩形全等的矩形的平行六面体， 可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半， 则三棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为.故选：D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数，那么 . 【答案】 【解析】由题意可得：. 11．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ． 【答案】28 【解析】因为的展开式中二项式系数之和为256， 所以，故，即该二项式为 设其展开式的通项为，则， 当时，即，此时该项为 12．已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点.若以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【解析】设直线的方程为，联立抛物线的方程，消去y得，所以. 设，所以. 因为所以 因为以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，所以, 即 所以直线的方程为 因为，所以点P到直线AB的距离为. 13．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ． 【答案】 【解析】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种， 其中甲、乙参加同一项目的方案种， 则所求的参赛方案一共有种； 因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目， 则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有种方案， 若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一， 故总共有种不同的方案； 若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目， 故共有种不同的方案； 同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案； 乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案. 所以. 14．在边长为2的菱形中，，E是的中点，F是边上的一点，交于H．若F是的中点，，则 ；若F在边上（不含端点）运动，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】（1）如图所示： 设， 由三点共线， 可设 ， 则有，解得：， ，即. （2）如图所示：当点与点重合时，此时最长， 易知，且相似比为， ，在中，由余弦定理得： ， 所以，此时满足，所以， 所以，此时， 由图可知，， 则. 15．设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【解析】因为函数恰有4个零点， 所以的图象与的图象有四个交点，当时，如图所示， 的图象与的图象仅有两个交点，与题意不符； 当时，如图所示， 在上，当与相切时， 联立，得， 则，得（舍去）， 由图可知，当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符， 所以当时，与在无交点，在有两个交点，与题意不符， 当时，与在无交点，在有三个交点，与题意不符， 当时，与在无交点，在有四个交点，符合题意； 当时，如图所示， 在上，当与相切时， 联立，得， 则，得（舍去）， 由图可知，当 时，与在有两个交点，在有四个交点，与题意不符， 当时，与在有两个交点，在有三个交点，与题意不符， 当时，与在有两个交点，在有两个交点，符合题意， 当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符. 综上所述， 或. 四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（本小题满分14分）在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，. (1)求的值； (2)求的周长； (3)求的值. 【解】（1）在中，由正弦定理，，， 可得， 因为，所以，即， 显然，解得． （2）在中，由余弦定理， 得，解得或． 由已知，，互不相等，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以. 17．（本小题满分15分）如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离． 【解】（1）由题意分别为的中点， 所以是的中位线， 即， 又平面，平面， 所以平面； （2）由于四边形是正方形，平面， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：                    又，分别为的中点， 则， 所以； 设平面的一个法向量， 则， 解得，令，得； 即， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令， 即； 设平面与平面夹角的大小为， 所以， 又，所以； 即平面与平面夹角的大小为； （3）由（2）平面的一个法向量为； 又， 所以点到与平面的距离距为： . 18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若，求面积的取值范围. 【解】（1）由椭圆的离心率为，可设，，则， 四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为， 即，所以椭圆的方程为：. （2）设，联立直线与椭圆， 消去y可得， ，则，， 设PQ的中点为，则，所以， 因为，所以，所以， 所以，即，所以， 又，所以， 又，故即， 所以的取值范围是， 所以面积的取值范围为. 19．（本小题满分15分）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，. (1)求的通项公式： (2)设数列满足， ①求前项中所有奇数项和，②若的前n项和为，证明：. 【解】（1）因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以， 所以的通项公式为； （2）①设的公差为，因为，， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以 ②所以， 所以， 所以， 又因为，所以. 20．（本小题满分16分）已知函数． (1)若曲线在处的切线的方程为，求实数，的值； (2)当时，，且，求证． (3)若，对任意， ，不等式恒成立，求的取值范围； 【解】（1） , ∵曲线在处的切线的方程为， 所以 ， ∴ ； （2）当时，，则， 当时，，递减，当时，，递增， 由于，且，故不妨设， 则要证明，即证，而， 当时，递增，故即证， 由于，即只需证明， 令， 则， 当时， ， 即单调递减，故， 即时，，即有， 故原命题成立，即； （3）因为，， 所以，故函数在上单调递增， 不妨设，则 可化为，设，则， 所以为上的增函数，即在上恒成立， 等价于在上恒成立，即在上恒成立， 又，所以 ，所以， 对于函数，，当时，， 故在上是增函数，所以， 所以 ，即m的取值范围为. 在△ABE中，． 设外接球半径为R，则， 故当时，外接球半径的最小值为． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（天津）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（    ）   A． B． C． D． 4．下列函数不是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 9．庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数，那么 . 11．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ． 12．已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点.若以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，则点到直线的距离为 ． 13．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ． 14．在边长为2的菱形中，，E是的中点，F是边上的一点，交于H．若F是的中点，，则 ；若F在边上（不含端点）运动，则的取值范围是 ． 15．设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（本小题满分14分）在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，. (1)求的值； (2)求的周长； (3)求的值. 17．（本小题满分15分）如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离． 18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若，求面积的取值范围. 19．（本小题满分15分）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，. (1)求的通项公式： (2)设数列满足， ①求前项中所有奇数项和，②若的前n项和为，证明：. 20．（本小题满分16分）已知函数． (1)若曲线在处的切线的方程为，求实数，的值； (2)当时，，且，求证． (3)若，对任意， ，不等式恒成立，求的取值范围； 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 17．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15 分） 20．（16 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（天津）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（    ）   A． B． C． D． 4．下列函数不是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 9．庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数，那么 . 11．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ． 12．已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点.若以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，则点到直线的距离为 ． 13．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ． 14．在边长为2的菱形中，，E是的中点，F是边上的一点，交于H．若F是的中点，，则 ；若F在边上（不含端点）运动，则的取值范围是 ． 15．设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（本小题满分14分）在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，. (1)求的值； (2)求的周长； (3)求的值. 17．（本小题满分15分）如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离． 18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若，求面积的取值范围. 19．（本小题满分15分）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，. (1)求的通项公式： (2)设数列满足， ①求前项中所有奇数项和，②若的前n项和为，证明：. 20．（本小题满分16分）已知函数． (1)若曲线在处的切线的方程为，求实数，的值； (2)当时，，且，求证． (3)若，对任意， ，不等式恒成立，求的取值范围； 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12． ____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（天津）01·参考答案 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C B A C B B A D D 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11．28 12． 13. 14. 15.或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（本小题满分14分） 【解】（1）在中，由正弦定理，，， 可得， 因为，所以，即， 显然，解得． （2）在中，由余弦定理， 得，解得或． 由已知，，互不相等，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以. 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由题意分别为的中点， 所以是的中位线， 即， 又平面，平面， 所以平面； （2）由于四边形是正方形，平面， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：                    又，分别为的中点， 则， 所以； 设平面的一个法向量， 则， 解得，令，得； 即， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令， 即； 设平面与平面夹角的大小为， 所以， 又，所以； 即平面与平面夹角的大小为； （3）由（2）平面的一个法向量为； 又， 所以点到与平面的距离距为： . 18．（本小题满分15分） 【解】（1）由椭圆的离心率为，可设，，则， 四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为， 即，所以椭圆的方程为：. （2）设，联立直线与椭圆， 消去y可得， ，则，， 设PQ的中点为，则，所以， 因为，所以，所以， 所以，即，所以， 又，所以， 又，故即， 所以的取值范围是， 所以面积的取值范围为. 19．（本小题满分15分） 【解】（1）因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以， 所以的通项公式为； （2）①设的公差为，因为，， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以 ②所以， 所以， 所以， 又因为，所以. 20．（本小题满分16分） 【解】（1） , ∵曲线在处的切线的方程为， 所以 ， ∴ ； （2）当时，，则， 当时，，递减，当时，，递增， 由于，且，故不妨设， 则要证明，即证，而， 当时，递增，故即证， 由于，即只需证明， 令， 则， 当时， ， 即单调递减，故， 即时，，即有， 故原命题成立，即； （3）因为，， 所以，故函数在上单调递增， 不妨设，则 可化为，设，则， 所以为上的增函数，即在上恒成立， 等价于在上恒成立，即在上恒成立， 又，所以 ，所以， 对于函数，，当时，， 故在上是增函数，所以， 所以 ，即m的取值范围为. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$