新高考常见13类函数知识清单-2025届高三数学二轮复习

新高考必会13类函数 1、一次函数 (1)一次函数的概念 形如函数 叫作一次函数.其中x是自变量. (2)一次函数的图象 (3)一次函数的性质 ①定义域 ； ②单调性：当 时，一次函数在上单调递增；当 时，一次函数在上单调递减. ③与坐标轴的交点：与y轴交点为 ；与x轴交点为 2、 二次函数 ①二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝________________. (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________. (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. ②二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 ________ 值域 对称轴 x＝________ 顶点坐标 ________ 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是________函数；在上是________函数 在上是________函数；在上是________函数 3、 反比例函数 (1)概念 一般地，如果两个变量之间的关系可以表示成 （为常数，≠0）的形式，那么称是的反比例函数. (2)反比例函数的图象是双曲线. (3)性质： 单调性：当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而 . 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而 . 奇偶性：反比例函数是 . 4、 幂函数 (1)幂函数的定义 当x为自变量而α为非零实数时，函数________叫作(α次)幂函数.其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在 上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在 上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在 上单调递减. 5、 指数函数 (1) 指数函数的概念 在幂的表达式au中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数________ (x∈R),这叫作指数函数，其中a>0,且a≠1. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 ________ 性质 过定点________，即x＝0时，y＝1 当x>0时，______； 当x<0时，______ 当x<0时，______； 当x>0时，______ 在(－∞，＋∞)上是________ 在(－∞，＋∞)上是________ y＝ax与y=的图象关于y轴对称 6、 对数函数 (1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中________是自变量，定义域是________. (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：________ 值域：________ 当x＝1时，y＝0，即过定点________ 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是____________ 在(0，＋∞)上是____________ 7、 三角函数 ①用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，________，(2π，0). (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，______，，(2π，1). ②正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R __________ 值域 __________ __________ R 最小正周期 __________ __________ __________ 奇偶性 __________ __________ 奇函数 递增区间 __________ __________ __________ 递减区间 __________ __________ 无 对称中心 __________ __________ 对称轴方程 __________ __________ 无 8、 常函数 (1)概念 常函数是指不论自变量如何变化，函数值都保持不变的函数.一般形式为（为常数）. (2)图象 常函数的图象是一条平行于轴的直线.当时，这条直线在轴上的截距为. (3)性质 单调性：常函数没有单调性，因为函数值不随自变量的变化而变化.既不是增函数也不是减函数. 值域和定义域：定义域是全体实数，值域是单元素集合{}. 周期性：常函数是周期函数，它以任意实数为周期的周期函数，无最小正周期. 9、一次分式函数 (1)定义：我们把形如y＝(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数. (2)图象 (3)性质 ①定义域： ；值域 ； ②对称中心： ； ③渐近线方程：x＝－和y＝； ④单调性：当ad＞bc时，函数在区间(－∞，－)和上分别单调递减； 当ad＜bc时，函数在区间 和 上分别单调递增. 10、对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0) (1)性质 ①奇偶性： ； ②单调性： 单增区间： ； 单减区间： ； ③渐近线：y＝ax和x＝0. (2)图象 11、飘带函数y＝ax－(a＞0，b＞0) (1)性质 ①奇偶性： ； ②单调性：在 上单调递增； ③渐近线：x＝0. (2)图象 12、高斯函数y＝[x] (1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数. (2)性质 ①定义域： ；值域： ②不具有单调性、奇偶性、周期性. (3)图象 13、狄利克雷函数D(x)＝的性质 (1)定义域 ；值域 . (2)奇偶性： . (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. (4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 注：以上13类函数解析式要记熟,图象要能随手画出,性质要能随口说出. 参考答案 1、一次函数 (1)一次函数的概念 形如函数 叫作一次函数.其中x是自变量. (2)一次函数的图象 (3)一次函数的性质 ①定义域 R ； ②单调性：当 时，一次函数在上单调递增；当 时，一次函数在上单调递减. ③与坐标轴的交点：与y轴交点为(0,),与x轴交点为（，0） 2、二次函数 ①二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. ②二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数；在上是减函数 3、反比例函数 (1)概念 一般地，如果两个变量之间的关系可以表示成（为常数，≠0）的形式，那么称是的反比例函数. (2)反比例函数的图象是双曲线. >0 <0 性质： 单调性：当>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小. 当<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大. 奇偶性：反比例函数是奇函数. 4、幂函数 (1)幂函数的定义 当x为自变量而α为非零实数时，函数y＝xα叫作(α次)幂函数.其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 5、指数函数 (1) 指数函数的概念 在幂的表达式au中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数y＝ax(x∈R),这叫作指数函数，其中a>0,且a≠1. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 6、对数函数 (1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 7、三角函数 ①用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π,－1)，，(2π，1). ②正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 8、常函数 (1)概念 常函数是指不论自变量如何变化，函数值都保持不变的函数.一般形式为（为常数）.图象 (2)常函数的图象是一条平行于轴的直线.当时，这条直线在轴上的截距为. (3)性质 单调性：常函数没有单调性，因为函数值不随自变量的变化而变化.既不是增函数也不是减函数. 值域和定义域：定义域是全体实数，值域是单元素集合{}. 周期性：常函数是周期函数，它以任意实数为周期的周期函数，无最小正周期. 9、一次分式函数 (1)定义：我们把形如y＝(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数. (2)图象 (3)性质 ①定义域：；值域； ②对称中心：； ③渐近线方程：x＝－和y＝； ④单调性：当ad＞bc时，函数在区间(－∞，－)和上分别单调递减；当ad＜bc时，函数在区间(－∞，－)和(－，＋∞)上分别单调递增. 10、对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0) (1)性质 ①奇偶性：奇函数； ②单调性： 单增区间：，； 单减区间：，； ③渐近线：y＝ax和x＝0. (2)图象 11、飘带函数y＝ax－(a＞0，b＞0) (1)性质 ①奇偶性：奇函数； ②单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增； ③渐近线：x＝0. (2)图象 12、高斯函数y＝[x] (1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数. (2)性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性. (3)图象 13、狄利克雷函数D(x)＝的性质 (1)定义域R；值域{0，1}. (2)奇偶性：偶函数. (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期. (4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$