黄金卷02（湖南省卷专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（湖南专用） 黄金卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A D B B C D D 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11． 12． 13． 14．15 15． 16．5 17． 18． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：19-20 每题6分 21-22 每题8分 23-24每题9分 25-26 每题10分 19．【答案】 【详解】解： ． ……6分 20．【答案】 【详解】解：原式 ∵， ， ……4分 原式 ． ……6分 21．【答案】（1）该区抽样调查的人数是2400人；（2）见解析，最喜欢“其它”读物的人数在扇形统计图中所占的圆心角是度数21.6°；（3）估计最喜欢读“名人传记”的学生是4896人 【详解】（1）840÷35%=2400（人）， ∴该区抽样调查的人数是2400人； ……2分 （2）2400×25%=600（人）， ∴该区抽样调查最喜欢“漫画丛书”的人数是600人， 补全图形如下： ×360°=21.6°， ∴最喜欢“其它”读物的人数在扇形统计图中所占的圆心角是度数21.6°； ……6分 （3）从样本估计总体：14400×34%=4896（人）， 答：估计最喜欢读“名人传记”的学生是4896人． ……8分 22．【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ∴， ； ……3分 （2）解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ……6分 设,则， ∴， 解得， 即的长为． ……8分 23．【答案】（1）能购进水杯40个，电热水壶60个（2）进货方案共有3种，即购进水杯56个，电热水壶6个；或购进水杯63个，电热水壶3个；或购进水杯70个 【详解】（1）设能购进水杯x个，电热水壶y个， 依题意，得, 解得， 答：设能购进水杯40个，电热水壶60个； ……4分 （2）设小明采购水杯m个，电热水壶n个， 依题意，得15m+35n=1050，   ① 并且（20﹣15）m+（45﹣35）n≥340，  ② 由①得：n=30﹣m，  ③ ③代入②，得5m+10（30﹣m）≥340， 解得m≥56，  ④ 由③④知，要使n为0或正整数，m的值只能为56，63，70，n对应的值为6，3，0． ……9分 答：进货方案共有3种，即购进水杯56个，电热水壶6个；或购进水杯63个，电热水壶3个；或购进水杯70个． 24．【答案】(1)7米；3米 (2)18平方米 【详解】（1）解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； ……4分 （2）过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． ……9分 25．【答案】(1) (2)14 (3)存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的表达式为； ……3分 （2）对于抛物线， 令，可得，即， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴，交于点，如下图， 设，则， ∴， ∵的面积是， ∴，即， 解得， ∵点在轴的上方且横坐标大于2， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ……6分 （3）设直线与直线交于点，与轴交于点，作于点，连接，如下图， 对于抛物线，其对称轴为， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∴，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即为等腰直角三角形， 设点，则， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，可有， ∵点到直线的距离等于点到点的距离的，即， ∴， ∴，解得， ∴点的坐标为或． ……10分 26.【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：是直径， ， ． 为的切线， ， ， ； ……3分 （2）证明：连接，，，与交于点，延长交于点，如图， 是弧的中点， ，，， ． 是的直径，， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； ……6分 （3）解：过点作于点，连接，，与交于点，延长交⊙O于点，如图， 是直径，， ， 是弧的中点， ， ， ，． ， 是直径， ， ，， ， ， ． 是弧的中点， ，． ． 在和中， ， ， ，． 设，则， ， ， ， ． 的面积为， ， ， ． ， ， ， ． ，， ． ， ， ， ． ，， ， 点到的距离为． ……10分 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（湖南专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．人体的正常体温大约为，如果低于正常体温记作；那么高于正常体温应该记作（    ） A． B． C． D． 2．从党的十九大到党的二十大，是“两个一百年”奋斗目标的历史交汇期，党中央团结带领全国人民全力推进全面建成小康社会进程，2018年至2020年全国农村贫困人口累计减少3046万人，年均减贫超过1000万人，用科学记数法表示3046万为（    ） A． B． C． D． 3．“工”字型零件如图所示，其左视图是（    ） A．B． C． D． 4．下列各式计算正确的是（　　） A．(﹣3x3)2＝9x6 B．(﹣2a)2＝﹣4a2 C．a3•a2＝a6 D．(ab2)3＝ab3 5．计算的结果是（    ） A． B． C．6 D．12 6．如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（   ） A．中位数就是一组数据中最中间的一个数 B．如果x1，x2，x3，…，xn的平均数是x，那么（x1-x）＋（x2-x）＋…＋（xn-x）＝0 C．8，9，9，10，10，11这组数据的众数是9 D．一组数据的方差是这组数据的平均数的平方 8．如图，已知中，，是的中位线，，，则（    ） A． B． C． D． 9．若关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（） A． B． C． D． 10．设二次函数（k为实数）的图象过点，，，，设，，（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．计算： ． 12．九张同样的卡片分别写有数字﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，任意抽取一张，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是 ． 13．若解关于x 的分式方程时产生增根，则 ． 14．如图，中，，是边上一点，点在线段的垂直平分线上，连接，若，则 度． 15．若关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足．则的值为 ． 16．如图，已知，将线段向右平移d个单位长度后，点A，B恰好同时落在反比例函数的图像上，且对应点分别为点，，则d等于 ． 17．如图，，是平分线上一点，交于，于，若，则 . 18．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与支柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，，，则支架的长为 ．          三、解答题（本题共8小题，共66分，其中第19、20题各6分，第21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分） 19．计算：． 20．先化简再求值：，其中满足． 21．如图是根据对某区初中三个年级学生课外阅读的“漫画丛书”、“科普常识”、“名人传记”、“其它”中，最喜欢阅读的一种读物进行随机抽样调查，并绘制了下面不完整的条形统计图和扇形统计图（每人必选一种读物，并且只能选一种），根据提供的信息，解答下列问题： （1）求该区抽样调查人数； （2）补全条形统计图，并求出最喜欢“其它”读物的人数在扇形统计图中所占的圆心角度数； （3）若该区有初中生14400人，估计该区有初中生最喜欢读“名人传记”的学生是多少人？ 22．如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：， (2)点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长． 23．某商场经销水杯，电热水壶两种商品，水杯每个进价15元，售价20元；电热水壶每个进价35元，售价45元． （1）若该商场同时购进水杯、电热水壶共100件，恰好用去2700元，求能购进水杯、电热水壶各多少个？ （2）商场要求小明用1050元的钱（必须全部用完）采购水杯、电热水壶（或其中一种商品），且还要求总利润不少于340元（假设商品全部卖完），请你确定所有的进货方案． 24．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求线段和的长度： (2)求底座的底面的面积． 25．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线为抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一个动点． (1)求抛物线的表达式． (2)若点在轴的上方且横坐标大于2，当的面积是时，求的面积； (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．已知内接于，是直径，过点作的切线． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当是弧的中点时，过点作于．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，与相交于点，连接，与相交于点，若的面积为，，求点到的距离． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（湖南专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．人体的正常体温大约为，如果低于正常体温记作；那么高于正常体温应该记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：体温低于正常体温记作；那么高于正常体温应该记作， 故选：B． 2．从党的十九大到党的二十大，是“两个一百年”奋斗目标的历史交汇期，党中央团结带领全国人民全力推进全面建成小康社会进程，2018年至2020年全国农村贫困人口累计减少3046万人，年均减贫超过1000万人，用科学记数法表示3046万为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数,且比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：3046万， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值． 3．“工”字型零件如图所示，其左视图是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左视图的定义（左视图是从几何体左侧看所得到的图形）即可求解． 【详解】解：由几何体可知，左视图是 故选：C． 【点睛】此题考查了三视图的判断，解题的关键是熟知左视图的定义． 4．下列各式计算正确的是（　　） A．(﹣3x3)2＝9x6 B．(﹣2a)2＝﹣4a2 C．a3•a2＝a6 D．(ab2)3＝ab3 【答案】A 【分析】根据单项式乘法法则、积的乘方、幂的乘方法则计算即可． 【详解】A．(﹣3x3)2＝9x6，正确，故本选项符合题意； B．(﹣2a)2＝4a2，故本选项不合题意； C．a3•a2＝a5，故本选项不合题意； D．(ab2)3＝a3b6，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了单项式乘法，以及幂的乘方和积的乘方，关键是掌握计算法则． 5．计算的结果是（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题的关键． 6．如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 7．下列说法正确的是（   ） A．中位数就是一组数据中最中间的一个数 B．如果x1，x2，x3，…，xn的平均数是x，那么（x1-x）＋（x2-x）＋…＋（xn-x）＝0 C．8，9，9，10，10，11这组数据的众数是9 D．一组数据的方差是这组数据的平均数的平方 【答案】B 【分析】根据中位数及众数和平均数和极差、方差的定义分别判断得出即可； 【详解】当数据是奇数个时，按大小排列后，中位数就是一组数据中最中间的一个，数据个数为偶数个时，按大小排列后，最中间的两个平均数是中位数，故A项错误； 如果如果x1，x2，x3，…，xn的平均数是x，那么（x1-x）＋（x2-x）＋…＋（xn-x）＝0，故B项错误； 8，9，9，10，10，11这组数据的众数是9和10，故C错误； 一组数据的方差不是平均数的平方，故D项出错； 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了方差、众数、中位数的知识点考查，准确分析是解题的关键． 8．如图，已知中，，是的中位线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中利用勾股定理即可求出AC的长，再根据三角形中位线的性质，即可求出DE的长． 【详解】解：在中，， 是的中位线， ， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理和三角形中位线的性质，掌握三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半是解题关键． 9．若关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得的取值范围，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：不等式组整理得：，即， ∵不等式组的整数解共有2个， ∴不等式组的整数解为，， ∴的取值范围为：， 故选：D． 10．设二次函数（k为实数）的图象过点，，，，设，，（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上的点坐标，解题的关键是用k的代数式表示a、b．先用k表示a、b，再根据条件求k的范围即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数（k为实数）的图象过点，，，， ∴代入变形可得：，，，， ∵，， ∴，， A、若，且，则①，且②， 由①得，由②得， ∴， 故A不符合题意； B、若，且，则③，且④， 由③得，由④得， ∴， 故B不符合题意； C、若，且，则⑤，且⑥， 由⑤得或，由⑥得， ∴， 故C不符合题意； D、若，且，则⑦，且⑧， 由⑦得或，由⑧得， ∴， 故D符合题意， 故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．计算： ． 【答案】 【分析】根据去括号法则求解即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】此题考查了去括号，解题的关键是熟练掌握去括号法则． 12．九张同样的卡片分别写有数字﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，任意抽取一张，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是 ． 【答案】 【分析】根据概率公式计算即可. 【详解】解：∵数的总个数有9个，绝对值小于2的数有﹣1，0，1共3个， ∴任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是； 故答案为． 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 13．若解关于x 的分式方程时产生增根，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，方程右边分母提取变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出的值．熟知分式方程的解法是关键． 【详解】解：方程变形得：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 令，解得：． 故答案为：． 14．如图，中，，是边上一点，点在线段的垂直平分线上，连接，若，则 度． 【答案】15 【分析】根据，只要求出即可解决问题． 【详解】解：，， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， ， ， ， 故答案为15． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．若关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程的判别式，熟记根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，， ，，， ∵， ∴，即， 解得：，， 当时，， ∴此时方程无实数根，不合题意，舍去， 当时，， ∴此时方程有两个不相等实数根， ∴， 故答案为：． 16．如图，已知，将线段向右平移d个单位长度后，点A，B恰好同时落在反比例函数的图像上，且对应点分别为点，，则d等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平移，先根据平移得到点的坐标，然后根据平移后的点在反比例函数图像上可得到结果，准确理解平移的计算方法“上加下减，左加右减”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴右平移d个单位长度后，得到， ∵平移后的点刚好落在上， ∴， 解得：， 故答案为：5． 17．如图，，是平分线上一点，交于，于，若，则 . 【答案】 【分析】作于E，根据角平分线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到的长度，根据平行线的性质和角平分线的定义解得即可． 【详解】解：作于E， ∵点P是平分线上一点，，， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质和直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 18．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与支柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，，，则支架的长为 ．          【答案】 【分析】过点C作于D，则，根据三角函数的定义即可求得结论． 【详解】如图，过点C作于D    则 ， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，准确理解题意，能够利用数形结合的思想是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共66分，其中第19、20题各6分，第21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分） 19．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的运算，零指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 20．先化简再求值：，其中满足． 【答案】 【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把进行变形，代入运算即可． 【详解】解：原式 ∵， ， 原式 ． 【点睛】考查分式的混合运算，掌握分式混合运算顺序是解题的关键． 21．如图是根据对某区初中三个年级学生课外阅读的“漫画丛书”、“科普常识”、“名人传记”、“其它”中，最喜欢阅读的一种读物进行随机抽样调查，并绘制了下面不完整的条形统计图和扇形统计图（每人必选一种读物，并且只能选一种），根据提供的信息，解答下列问题： （1）求该区抽样调查人数； （2）补全条形统计图，并求出最喜欢“其它”读物的人数在扇形统计图中所占的圆心角度数； （3）若该区有初中生14400人，估计该区有初中生最喜欢读“名人传记”的学生是多少人？ 【答案】（1）该区抽样调查的人数是2400人；（2）见解析，最喜欢“其它”读物的人数在扇形统计图中所占的圆心角是度数21.6°；（3）估计最喜欢读“名人传记”的学生是4896人 【分析】（1）由“科普知识”人数及其百分比可得总人数； （2）总人数乘以“漫画丛书”的人数求得其人数即可补全图形，用360°乘以“其他”人数所占比例可得； （3）总人数乘以“名人传记”的百分比可得． 【详解】（1）840÷35%=2400（人）， ∴该区抽样调查的人数是2400人； （2）2400×25%=600（人）， ∴该区抽样调查最喜欢“漫画丛书”的人数是600人， 补全图形如下： ×360°=21.6°， ∴最喜欢“其它”读物的人数在扇形统计图中所占的圆心角是度数21.6°； （3）从样本估计总体：14400×34%=4896（人）， 答：估计最喜欢读“名人传记”的学生是4896人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能够清楚地表示各部分所占的百分比． 22．如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：， (2)点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质； （1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答； （2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ∴， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设,则， ∴， 解得， 即的长为． 23．某商场经销水杯，电热水壶两种商品，水杯每个进价15元，售价20元；电热水壶每个进价35元，售价45元． （1）若该商场同时购进水杯、电热水壶共100件，恰好用去2700元，求能购进水杯、电热水壶各多少个？ （2）商场要求小明用1050元的钱（必须全部用完）采购水杯、电热水壶（或其中一种商品），且还要求总利润不少于340元（假设商品全部卖完），请你确定所有的进货方案． 【答案】（1）能购进水杯40个，电热水壶60个（2）进货方案共有3种，即购进水杯56个，电热水壶6个；或购进水杯63个，电热水壶3个；或购进水杯70个 【分析】（1）设能购进水杯x个，电热水壶y个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，然后求解方程组即可； （2）设小明采购水杯m个，电热水壶n个，根据题意列出关于m，n的方程与不等式，然后求得m的取值范围，再根据m，n都为正整数或0，确定m，n的值即可. 【详解】（1）设能购进水杯x个，电热水壶y个， 依题意，得, 解得， 答：设能购进水杯40个，电热水壶60个； （2）设小明采购水杯m个，电热水壶n个， 依题意，得15m+35n=1050，   ① 并且（20﹣15）m+（45﹣35）n≥340，  ② 由①得：n=30﹣m，  ③ ③代入②，得5m+10（30﹣m）≥340， 解得m≥56，  ④ 由③④知，要使n为0或正整数，m的值只能为56，63，70，n对应的值为6，3，0． 答：进货方案共有3种，即购进水杯56个，电热水壶6个；或购进水杯63个，电热水壶3个；或购进水杯70个． 24．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求线段和的长度： (2)求底座的底面的面积． 【答案】(1)7米；3米 (2)18平方米 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； （2）过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． 25．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线为抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一个动点． (1)求抛物线的表达式． (2)若点在轴的上方且横坐标大于2，当的面积是时，求的面积； (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)14 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）首先确定点坐标，并利用待定系数法解得直线的解析式，过点作轴，交于点，设，则，易知，结合的面积是，可解得，进而可知，然后计算的面积即可； （3）设直线与直线交于点，与轴交于点，作于点，连接，利用待定系数法解得直线的解析式，进而可得，，易知、均为等腰直角三角形，设点，则，，所以，在利用勾股定理确定，结合解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）对于抛物线， 令，可得，即， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴，交于点，如下图， 设，则， ∴， ∵的面积是， ∴，即， 解得， ∵点在轴的上方且横坐标大于2， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）设直线与直线交于点，与轴交于点，作于点，连接，如下图， 对于抛物线，其对称轴为， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∴，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即为等腰直角三角形， 设点，则， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，可有， ∵点到直线的距离等于点到点的距离的，即， ∴， ∴，解得， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数综合应用、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 26．已知内接于，是直径，过点作的切线． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当是弧的中点时，过点作于．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，与相交于点，连接，与相交于点，若的面积为，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和同角的余角相等解答即可； （2）连接，，，与交于点，延长交于点，利用圆心角，弧，弦的关系定理，圆周角定理，垂径定理和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）过点作于点，连接，，与交于点，延长交⊙O于点，利用圆周角定理，垂径定理和等腰三角形的判定与性质得到，利用全等三角形的判定与性质得到，，设，则，利用（2）的结论和三角形的面积公式求得线段，的长度，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求得的长，最后利用平行线之间的距离相等得出结论即可． 【详解】（1）证明：是直径， ， ． 为的切线， ， ， ； （2）证明：连接，，，与交于点，延长交于点，如图， 是弧的中点， ，，， ． 是的直径，， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：过点作于点，连接，，与交于点，延长交⊙O于点，如图， 是直径，， ， 是弧的中点， ， ， ，． ， 是直径， ， ，， ， ， ． 是弧的中点， ，． ． 在和中， ， ， ，． 设，则， ， ， ， ． 的面积为， ， ， ． ， ， ， ． ，， ． ， ， ， ． ，， ， 点到的距离为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关概念和性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，垂径定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，本题综合性较强，熟练掌握圆的有关性质，恰当的添加辅助线是解题的关键． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$