第27章 圆与正多边形 章节测试练习卷 - 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第27章 圆与正多边形 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．下列命题是真命题的是（    ） A．菱形的对角线相等 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．圆内接四边形对角相等 D．三角形的内心是三角形三条边的垂直平分线的交点 2．如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，点在上，，点是的中点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．⊙O的半径为5，弦，AB＝6，CD＝8，则AB与CD距离为（　　） A．7 B．8 C．7或1 D．1 5．如图，半径为10的扇形中，，为弧上一点，，，垂足分别为，．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图是以O为圆心，为直径的圆形纸片，点C在上．将该纸片沿直线对折，点B落在上的点D处（不与点A重合），连接，，．设与直径交于点E，若，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．已知与内切，的半径为4，的长等于6，那么的半径等于 ． 8．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝ ． 9．如图，在中，，，，将绕点O逆时针旋转得到，点Q恰好落在斜边上，则线段扫过的面积为 ；则点P经过的路径长为 ． 10．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ，若∠C＝70°，则∠ADB＝ ． 11．如图，在⊙O中，AB为弦，半径OC⊥AB于E，如果⊙O的半径10，OE＝6，那么AB等于为 ． 12．如图，在中，尺规作图的部分作法如下：    （1）分别以弦的端点A、为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点； （2）作直线交于点．若，，则 ． 13．如图，已知中，弦交于，则 ． 14．如图，正方形的边长是，，E是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处，分别与，，相切，切点分别为F、G、H，则的半径为 ．    15．如图，两个扇形半径均为1，α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为 ． 16．如图，在扇形中，，的长为．以点B为圆心，的长为半径作交于点C，则图中阴影部分的面积为 ．    17．如图，的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若，，，则⊙O的半径等于 ． 18．如图，在长方形中，，，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的代号是 ． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．圆锥的底面直径是，母线长．求它的侧面展开图的圆心角和圆锥全面积． 20．已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 21．如图，已知．    (1)尺规作图：作的外接圆；（不要求写作法） (2)若，，求的外接圆半径是___________． 22．如图，为的直径，C为上一点，，垂足为D，平分． (1)判定直线与的位置关系，并说明你的理由； (2)若，，求圆的半径． 23．如图，点A，B，C，D均在上，．请仅用无刻度的直尺，按要求画图． （1）在图1中，弦经过圆心O，画一个80°的圆周角； （2）在图2中，弦不经过圆心O，，画一个70°的圆周角． 24．如图，点A在的直径的延长线上，点B在上，连接、． (1)若；求证：与相切． (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 25．如图1，圆内接四边形的对角线与交于点E，． (1)求证：平分； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，若平分，，求证：是圆的切线． 26．如图，点在的直径的延长线上，点在上，平分，于点． (1)求证：是的切线． (2)是的切线，为切点，若，，求的长． 27．如图，以的边为直径作交于点，且点为的中点，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点，已知，． (1)求证：是的切线； (2)当动点（不与点，重合）在上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出此值；若变化，请说明变化规律． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27章 圆与正多边形 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．下列命题是真命题的是（    ） A．菱形的对角线相等 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．圆内接四边形对角相等 D．三角形的内心是三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质证明、三角形内心有关应用、已知圆内接四边形求角度 【分析】分别根据菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、圆内接四边形的性质以及三角形的内心进行一一判定即可． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，是假命题； B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，是真命题； C、圆内接四边形对角互补，不一定相等，是假命题； D、三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，故是假命题； 故选择B． 【点睛】本题考查真命题，掌握菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形内心的性质以及圆内接四边形的性质是解决问题的关键． 2．如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理推出，，由直角三角形的性质即可求出． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ． 故选：D． 3．如图，点在上，，点是的中点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理 【分析】连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图所示，连接， ， 点是的中点，， ， 由圆周角定理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 4．⊙O的半径为5，弦，AB＝6，CD＝8，则AB与CD距离为（　　） A．7 B．8 C．7或1 D．1 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，证明 再利用勾股定理求解 再分两种情况讨论即可. 【详解】解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图， ∵， ∴OF⊥CD， ∴AE＝BE，CF＝DF， 而AB＝6，CD＝8， ∴AE＝3，CF＝4， 在Rt△OAE中，OA＝5， 在Rt△OCF中，OC＝5， 如图，当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE+OF＝7； 同理：当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE﹣OF＝1； 所以AB与CD之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，圆中两条平行弦之间的距离，清晰的分类讨论是解本题的关键. 5．如图，半径为10的扇形中，，为弧上一点，，，垂足分别为，．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、根据矩形的性质与判定求角度、根据矩形的性质与判定求线段长、求其他不规则图形的面积 【分析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝40°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得． 【详解】解：如图，连接OC， ∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB， ∴四边形CDOE是矩形， ∴OD＝CE，DE＝OC，CD∥OE， ∵∠CDE＝40°， ∴∠DEO＝∠CDE＝40°， 在△DOE和△CEO中，， ∴△DOE≌△CEO（SSS）， ∴∠COB＝∠DEO＝40°， ∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积， ∵S扇形OBC＝＝， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形OBC的面积等于阴影的面积是解题的关键． 6．如图是以O为圆心，为直径的圆形纸片，点C在上．将该纸片沿直线对折，点B落在上的点D处（不与点A重合），连接，，．设与直径交于点E，若，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、圆周角定理、折叠问题 【分析】先根据等边对等角和圆周角定理证明，再由折叠的性质得到，进一步由等边对等角得到，设，则，，再根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将该圆形纸片沿直线对折， ∴， 又∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．已知与内切，的半径为4，的长等于6，那么的半径等于 ． 【答案】10 【知识点】圆和圆的位置关系 【分析】本题考查两圆的位置关系．根据圆心距和两圆半径之间的关系：即可得出． 【详解】解：∵与内切，的半径为4，设的半径为，的长等于6，， ∴只可能是 ∴的半径为． 故答案为：10 8．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝ ． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】结合正多边形和等边三角形的性质求解． 【详解】解：根据题意，采用割补法，如图，边长为a的正六边形内的空白部分是一个边长为a的等边三角形 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算． 9．如图，在中，，，，将绕点O逆时针旋转得到，点Q恰好落在斜边上，则线段扫过的面积为 ；则点P经过的路径长为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、求图形旋转后扫过的面积、求某点的弧形运动路径长度、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形，解直角三角形和扇形的面积以及弧长计算等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．先证明是等边三角形，求得，再运用勾股定理计算的长，运用扇形面积公式和弧长公式计算即可． 【详解】．∵，，，绕点O逆时针旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 线段扫过的面积为； 点P经过的路径长为， 故答案为：，． 10．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ，若∠C＝70°，则∠ADB＝ ． 【答案】35°/35度 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A=180°-∠C=180°-70°=110°， ∵AB=AD， ∴∠ADB=∠ABD=×（180°-110°）=35°， 故答案为：35°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 11．如图，在⊙O中，AB为弦，半径OC⊥AB于E，如果⊙O的半径10，OE＝6，那么AB等于为 ． 【答案】16 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】连接OA，由垂径定理可知AB=2AE，在直角三角形OEA中利用勾股定理求出AE的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接OA， ∵半径OC⊥AB， ∴AB=2AE=2BE，∠OEA=90°， ∵OA=10，OE=6， ∴， ∴， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理． 12．如图，在中，尺规作图的部分作法如下：    （1）分别以弦的端点A、为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点； （2）作直线交于点．若，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】连接，则，根据作图过程可知：是的垂直平分线，在中，，，根据勾股定理得，，即可得． 【详解】解：如图所示，连接，    ∴， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 13．如图，已知中，弦交于，则 ． 【答案】10 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接AD，BC，可证∆BPC~∆DPA，从而列出比例式，即可求解． 【详解】解：连接AD，BC，则∠PBC=∠PDA， 又∵∠BPC=∠DPA， ∴∆BPC~∆DPA， ∴， ∴DP＝＝＝8， ∴CD=8+2=10． 故答案是：10． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 14．如图，正方形的边长是，，E是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处，分别与，，相切，切点分别为F、G、H，则的半径为 ．    【答案】2 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、正方形折叠问题、勾股定理与折叠问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定． 如图所示，延长交于M，连接，先证明得到，设设，则，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如图所示，连接，利用等面积法求出半径即可． 【详解】解：如图所示，延长交于M，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵E为的中点， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴，   ∴，   设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 如图所示，连接 ∵分别与，，相切，切点分别为，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为， 故答案为；2． 15．如图，两个扇形半径均为1，α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】利用扇形的面积公式分别求出两个扇形的面积，再用较大面积减去较小的面积即可． 【详解】 答：大扇形与小扇形的面积之差为 故答案为. 【点睛】考查扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键. 16．如图，在扇形中，，的长为．以点B为圆心，的长为半径作交于点C，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】/// 【知识点】等边三角形的判定和性质、求其他不规则图形的面积 【分析】根据等边三角形的性质，分别计算出扇形的面积、的面积、由此即可计算阴影部分的面积．等边三角形面积公式：，a为边长． 【详解】连接，，则，即为等边三角形，    ∵半径 ∴ ∴， ， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，扇形的面积等知识，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 17．如图，的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若，，，则⊙O的半径等于 ． 【答案】2 【知识点】应用切线长定理求解、根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】连接OE，OD，OF，由切线长定理可得AE=AD，BF=BD，证明四边形OECF是正方形，根据勾股定理求出AB的长，然后根据AD+BD=AB列方程求解即可． 【详解】解：连接OE，OD，OF，设⊙O的半径为r， ∵⊙O分别与边AB、AC 、BC相切于点D、E、F， ∴OE⊥AC，OD⊥AB，OF⊥BC，AE=AD，BF=BD， ∴∠OEC=∠OFC=90°， ∵∠C=90°， ∴四边形OECF是矩形， ∵OE=OF， ∴四边形OECF是正方形， ∴EC=FC=r， ∴AE=AD=6-r，BF=BD=8-r， ∵∠C=90°，，， ∴AB==10， ∵AD+BD=AB， ∴6-r+8-r=10， ∴r=2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． 18．如图，在长方形中，，，垂足为，延长交于，表示面积，则给出的下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的代号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】圆周角定理 【分析】由矩形的性质得出，，，由证明，①正确；由的面积的面积，得出的面积的面积，②不正确；证明、、、四点共圆，得出，③正确；延长交矩形的外接圆于，连接，由圆周角定理得出，由三角形的外角性质得出，得出，④正确；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴②不正确； ∵， ∴， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴③正确； ∵、、、四点共圆， 如图所示： 延长交矩形的外接圆于，连接， 则， ∵， ∴， ∴④正确； 正确的代号是①③④； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及圆周角的性质，掌握四点共圆的证明方法进行转化是解题关键． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．圆锥的底面直径是，母线长．求它的侧面展开图的圆心角和圆锥全面积． 【答案】圆心角，圆锥全面积为 【知识点】求弧长、求圆锥侧面积、求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】圆锥的全面积是底面圆面积与侧面扇形的面积之和，侧面圆心角所对的弧长与所对整圆周长成比例，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， 底面圆的周长， 圆锥侧面积， 圆锥底面积， 圆锥全面积． 圆心角． 【点睛】本题主要考查圆锥的侧面的圆心角，圆锥的全面积的计算，掌握扇形圆心角的计算，圆锥全面积的计算是解题的关键． 20．已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 【答案】见解析 【知识点】圆的基本概念辨析、线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题考查尺规作图：角平分线与线段的垂直平分线，圆的相关性质，．根据题意，先作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆即可． 【详解】解：作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． 理由：平分 到和的距离相等 垂直平分 是半径 即为的弦． 故即为所求． 21．如图，已知．    (1)尺规作图：作的外接圆；（不要求写作法） (2)若，，求的外接圆半径是___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、确定圆心(尺规作图) 【分析】（1）根据三角形外接圆的性质可知的外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等进而作三边的垂直平分线即可； （2）根据圆周角定理可知，再根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵的外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等， ∴作三角形三边的垂直平分线，三条垂直平分线的交点即为的外接圆的圆心， ∴即为所求，    （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， 即的外接圆半径是， 故答案为．      【点睛】本题考查了三角形外接圆的尺规作图，圆周角定理，勾股定理，掌握三角形外接圆的性质是解题的关键． 22．如图，为的直径，C为上一点，，垂足为D，平分． (1)判定直线与的位置关系，并说明你的理由； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图所示，连接，根据等边对等角和角平分线的定义证明，推出，再由，得到，即可证明直线与相切 （2）先由直径所对的圆周角是直角得到，由此证明，得到，即，求出，则圆的半径为． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相切； （2）解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴圆的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，平行线的性质与判，等边对等角，正确作出辅助线是解题的关键． 23．如图，点A，B，C，D均在上，．请仅用无刻度的直尺，按要求画图． （1）在图1中，弦经过圆心O，画一个80°的圆周角； （2）在图2中，弦不经过圆心O，，画一个70°的圆周角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）连接AC，DC，根据同一个圆中，同弧所对的圆周角相等，解得，再由直径所对的圆周角为90°，解得，最后用角的和解题即可； （2）由三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和，解得，延长AO交圆O于点E, AE为直径，可解得，结合已知条件，证明，最后由相似三角形的对应角相等解题即可． 【详解】（1）连接AC，DC，BC为直径， 故就是所作的80°圆周角； （2）如图,延长AO交圆O于点E, AE为直径， 又 故就是所作的70°的圆周角． 【点睛】本题考查圆的性质，其中涉及圆周角定理、相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质等，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 24．如图，点A在的直径的延长线上，点B在上，连接、． (1)若；求证：与相切． (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求其他不规则图形的面积、证明某直线是圆的切线、含30度角的直角三角形 【分析】（1）连接，由，，得到，，由，得到，进而得到，即可求证， （2）作，根据特殊角三角函数求出，，根据即可求解． 本题考查了切线的判定，特殊角三角函数，求扇形面积，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， ∵点B，点C在上， ∴，， ∴， ∴与相切， （2）解：作， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 25．如图1，圆内接四边形的对角线与交于点E，． (1)求证：平分； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，若平分，，求证：是圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】已知圆内接四边形求角度、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）同弧所对的圆周角相等，得到，进而推出即可； （2）先证明，推出是正三角形，进而推出，得到是圆的直径，取中点O，连接，易得是正三角形，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ． ， ， 平分． （2）解：平分， ． ，， ． ． 是正三角形． ． 为圆内接四边形， ． ． ． 是圆的直径． ， 取中点O，连接， ， 是正三角形． ，则， ． ． ． 为的切线． 26．如图，点在的直径的延长线上，点在上，平分，于点． (1)求证：是的切线． (2)是的切线，为切点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、证明某直线是圆的切线、求弧长 【分析】（1）连接，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）连接，根据切线的性质得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：连接， 是的切线，是的切线，， ，， ，， ， ，， ， ∴的长为：． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、弧长的计算，掌握切线的判定定理、弧长公式是解题的关键． 27．如图，以的边为直径作交于点，且点为的中点，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点，已知，． (1)求证：是的切线； (2)当动点（不与点，重合）在上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出此值；若变化，请说明变化规律． 【答案】(1)见解析 (2)不变， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定与性质，三角形的中位线，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． （1）连接，利用三角形的中位线定理，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （2）连接，设的半径为，则，，利用勾股定理求得值，利用相似三角形的判定与性质得到，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ． ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：当动点M（不与点，重合）在上运动时，的值不会发生变化，．理由： 连接， 设的半径为，则，， 在中， ， ， ． ，． ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 当动点M（不与点，重合）在上运动时，的值不会发生变化，． ( 2 ) 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