第01章 解直角三角形 章节测试练习卷 -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第01章 解直角三角形 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．在中，，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．已知在中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．在，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（    ） A． B． C． D． 6．涂涂住在是幸福小区．一天，涂涂从小区外墙1米处以大约的仰角看外墙的最高处（如图所示），此时他的视线也恰好可以看到居民楼栋的最高处．若涂涂身高米，居民楼栋高米，则外墙距离居民楼栋大约为（　　） （参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 7．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是AB的中点，AC＝4，动点M从点A出发沿AB向终点B运动，动点N从点D出发沿折线DC﹣CA向终点A运动，两点速度均为每秒1个单位，两点同时出发，当其中一点到达终点后，运动停止，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（平方单位），则S与t之间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数（a为常数）经过点，图象与x轴交于点A、B(A在B的左边)，连接，点P是抛物线图象在第一象限内的一点，过点P作交于点Q，若取得最大值，则此时点P的横坐标为(    )    A． B． C．1 D．2 9．如图，网格的小正方形边长为1，△ABC在网格中，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动时间为x，，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为（　　） A． B． C． D．3 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．如图，先锋村准备在坡角为α＝30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为 米． 12．小颖家住在甲楼，她所居住的楼房前面有一座乙楼．冬天，阳光入射角是30°，两楼距离20米，小颖家的阳台距地面7米，乙楼高18米，那么影子的顶端距她家阳台还有 米.（精确到0.1米） 13．如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为．    （1）射线与x轴的正半轴所夹的角为，那么的余弦值等于 ； （2）点Q与点P关于y轴对称，反比例函数的图像经过点Q，则 ． 15．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径在矩形内画弧，交边于点，连接交于点，则图中阴影部分面积为 ． 16．如图，在直角三角形中，，，，点在上，且，，垂足为，与相交于点，则 ． 17．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为320cm，AB坡度i＝1：，BE＝CA＝60cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢EF的长度是 cm.（结果保留根号） 18．如图1是一款铲车模型．其起物装置由悬臂与大铲斗所组成，图2是其简化示意图．铲斗AB长1米，离地面高度为0.25米，前悬臂BC长为2米，后悬臂CD长为2米，前悬臂与后悬臂张角为（不超过120°）．起物开始状态时，，在起物过程中，铲斗始终与地面平行，后悬臂CD的旋转角为（不超过90°）． （1）铲斗离地面的最大高度为 米． （2）铲斗最外端点A离点D的最远距离为 米． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．计算：． 20．如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值． 21．计算： (1) (2) 22．（1） （2）解不等式组： 23．计算： （1）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30° （2）解不等式组： 24．如图，从灯塔C处观测轮船A、B的位置，测得轮船A在灯塔C北偏西的方向，轮船B在灯塔C北偏东的方向，且海里，海里，已知，求A、B两艘轮船之间的距离．（结果保留根号） 25．如图，在中，，，，点D是的中点，动点M从点C出发，沿着折线（含端点C和A）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动，设点M的运动时间为t秒，点M到的距离为y个单位长度．        (1)求y关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)在直角坐标系中画出y与t的函数图像，并写出它的一条性质 ． (3)根据图像直接写出当时t的取值范围： ． 26．某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长×××    组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在上． 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 A，B之间的距离 任务一：两次测量，A，B之间的距离的平均值是______m． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （参考数据：，，，，，） 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？ ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 解直角三角形 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．在中，，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正切值求边长、求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】由解直角三角形和勾股定理，设，则，然后求出，即可求出答案． 【详解】解：在中，，， 设，则， ， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，解题的关键是掌握解直角三角形，正确的求出的长度和对应角的三角函数值． 2．已知在中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用同角三角函数关系求值 【分析】先根据得到∠B的度数，即可得到∠A的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果. 【详解】解：∵, ∴∠B=60°， ∵∠C=90°， ∴∠A=30°， ∴cosA= 故选C. 【点睛】本题是特殊角的锐角三角函数值的基础应用题. 3．在，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的余弦值 【分析】根据锐角三角函数定义得出，，代入求出即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了对锐角三角函数定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 4．若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 5．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值 【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4， ∴斜边为， ∴cos∠ABC=， 故选：B． 6．涂涂住在是幸福小区．一天，涂涂从小区外墙1米处以大约的仰角看外墙的最高处（如图所示），此时他的视线也恰好可以看到居民楼栋的最高处．若涂涂身高米，居民楼栋高米，则外墙距离居民楼栋大约为（　　） （参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】先根据题意作图 ，然后在中，利用三角函数可求得的长，即可求外墙距离居民楼栋,即可得到答案． 【详解】解：根据题意设涂涂身高为，大楼高度为，，，可作图如下： ∵，， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴外墙距离居民楼栋大约为． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的仰角问题是解此题的关键． 7．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是AB的中点，AC＝4，动点M从点A出发沿AB向终点B运动，动点N从点D出发沿折线DC﹣CA向终点A运动，两点速度均为每秒1个单位，两点同时出发，当其中一点到达终点后，运动停止，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（平方单位），则S与t之间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、动点问题的函数图象 【分析】在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝30°，AC＝4，∠ACB＝90°，可得AD＝DC＝DB＝AC＝4，∠ADC＝60°，由M、N两点的速度均为1cm/s，分段列函数关系，当0≤x≤4时，；当4≤x≤8，AN=8-t,即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝30°，AC＝4，∠ACB＝90°， ∴AD＝DC＝DB＝AC＝4，∠ADC＝60°， ∵M、N两点的速度均为1cm/s， ∴当0≤x≤4时， ∵AM=DN=t，过N作NE⊥AB于E， ； 对称轴为y轴，开口向上抛物线部分， 当4≤x≤8，AN=8-t, 开口向下的抛物线部分． 由图象可知A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线图像，掌握列分段函数关系，根据函数的性质确定图像的形状是解题关键． 8．已知二次函数（a为常数）经过点，图象与x轴交于点A、B(A在B的左边)，连接，点P是抛物线图象在第一象限内的一点，过点P作交于点Q，若取得最大值，则此时点P的横坐标为(    )    A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】其他问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、y=ax²+bx+c的最值、求一次函数解析式 【分析】作于点H，交于D，可推证，说明的函数值一定，最大时，满足最大；待定系数法确定直线解析式，设点P坐标，表示出，运用二次函数最值，确定点坐标即可． 【详解】解：∵图象经过点， ∴， ∴， 将a代入关系式得，， 令，即， 解得，，， ∴，， ∴，，， 设解析式，得 ，解得 ∴， 作于点H，交于D，则 ∴    ∴， ∴， ∴最大时，满足最大， 设点，则点， ∴ ∴当时，有最大值． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用，锐角三角函数，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，由三角函数确定线段间的数量关系是解题关键． 9．如图，网格的小正方形边长为1，△ABC在网格中，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的余弦值、勾股定理与网格问题 【分析】作AD⊥BC交BC延长线于D，解Rt△ABD，先由勾股定理得出AB=5，再根据三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：作AD⊥BC交BC延长线于D，如图所示： 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AD=3，BD=4， ∴AB===5， ∴cos∠ABC==． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键． 10．如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动时间为x，，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等，作点N关于的对称点，连接交于点P，连接，由菱形的性质可知，点N与点关于对称，根据两点之间线段最短可知，当M、P、三点共线时，的最小值为，在中，解直角三角形可得，，于是，，易证，，由相似三角形的性质分别求出和，易知，则为直角三角形．再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点N关于的对称点，连接交于点P，连接， ∵四边形为菱形， ∴点在上，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当M、P、三点共线时，的最小值为 在中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴在中，， ∴的最小值为，即． 故选：C． 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．如图，先锋村准备在坡角为α＝30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为 米． 【答案】. 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】】直接利用锐角三角函数关系得出cosα=，进而得出答案 【详解】解：由于相邻两树之间的水平距离为5米，坡角为α＝30°， 则两树在坡面上的距离（米）． 故答案为. 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键． 12．小颖家住在甲楼，她所居住的楼房前面有一座乙楼．冬天，阳光入射角是30°，两楼距离20米，小颖家的阳台距地面7米，乙楼高18米，那么影子的顶端距她家阳台还有 米.（精确到0.1米） 【答案】0.6 【知识点】解直角三角形的应用 【分析】如图，解直角三角形ABC可以求得AB的长，求出乙楼的影子在甲楼上的高度CD，再求影子的顶端距她家阳台的距离. 【详解】解：如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=20米， 所以AB=BC•tan∠ACB＝20•tan30°＝20×≈11.55（米）， CD=18-11.55=6.45（米）， ∴影子的顶端距她家阳台还有7-6.45≈0.6（米）． 故答案为0.6. 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形，根据BC求出AB的值是解题的关键． 13．如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．如图，延长与交于点．先解求出，进而求出，再证明，设，则，利用勾股定理得到方程，解方程求出，从而即可得解． 【详解】解：如图，延长与交于点． 在中，，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，， ∴设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为．    （1）射线与x轴的正半轴所夹的角为，那么的余弦值等于 ； （2）点Q与点P关于y轴对称，反比例函数的图像经过点Q，则 ． 【答案】 /0.6 【知识点】求角的余弦值、坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式 【分析】（1）先由勾股定理算出的长度，然后根据余弦的定义计算α的余弦值即可． （2）根据轴对称的特点写出Q点的坐标，然后将Q点的坐标代入反比例函数的解析式中即可求得k的值． 【详解】（1） 故答案为：． （2）点Q与点P关于y轴对称，则点Q的坐标为， 因为反比例函数的图像经过点Q，则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、余弦定义、轴对称、求反比例函数的系数等知识点，解题的关键是熟练掌握轴对称的特征和余弦的定义． 15．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径在矩形内画弧，交边于点，连接交于点，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、求其他不规则图形的面积 【分析】先利用解直角三角形求得∠BAE＝30°，进而可求得扇形DAE的面积，再通过相似三角形求得，进而可得S△DAF＝S△DAB，最后根据阴影部分面积＝S扇形DAE－S△DAF得解． 【详解】解：由题意可知：AE＝AD＝4，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC， 在Rt△ABE中，cos∠BAE＝， ∴∠BAE＝30°， ∴sin∠BAE＝ ∴BE＝2， ∵∠BAD＝90°，∠BAE＝30°， ∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°， ∴S扇形DAE＝， ∵AD∥BC， ∴△ADF∽△EBF， ∴ ∴S△DAF＝S△DAB＝ ∴阴影部分面积＝S扇形DAE－S△DAF＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及扇形的面积、解直角三角形的应用、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的判定及性质以及扇形的面积公式是解题的关键． 16．如图，在直角三角形中，，，，点在上，且，，垂足为，与相交于点，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】求角的正切值、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的判定、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】连接，勾股定理求出，证得是的垂直平分线，得到，设，则，在中，由勾股定理得到，求出，即，在中，根据公式求出答案． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即， 在中，， 故答案为：． 【点睛】此题考查了求角的正切值，勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 17．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为320cm，AB坡度i＝1：，BE＝CA＝60cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢EF的长度是 cm.（结果保留根号） 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】延长BA交直线DF于点G，过点A作AH⊥GF于H，根据坡度的概念求出∠G＝30°，根据直角三角形的性质求出AG，进而求出EG，根据正切的定义计算，得到答案． 【详解】解：延长BA交直线DF于点G，过点A作AH⊥GF于H， 由题意可知，CD⊥GF，AH＝50cm， ∵AB坡度i＝1：， ∴＝＝， ∴tanG＝＝， ∴∠G＝30°， ∴AG＝2AH＝100cm， ∴CG＝AC+AG＝160cm， ∴EG＝AB+AG﹣BE＝320+100﹣60＝360（cm）， 在Rt△GEF中，tanG＝， 则＝， 解得：EF＝120（cm）， 故答案为：120. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形． 18．如图1是一款铲车模型．其起物装置由悬臂与大铲斗所组成，图2是其简化示意图．铲斗AB长1米，离地面高度为0.25米，前悬臂BC长为2米，后悬臂CD长为2米，前悬臂与后悬臂张角为（不超过120°）．起物开始状态时，，在起物过程中，铲斗始终与地面平行，后悬臂CD的旋转角为（不超过90°）． （1）铲斗离地面的最大高度为 米． （2）铲斗最外端点A离点D的最远距离为 米． 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）由题意可知当，时，铲斗离地面为最大高度，据此进行分析计算即可； （2）根据题意可得AB与D在同一水平线且时，铲斗最外端点A离点D有最远距离，再进行计算即可； 【详解】解：（1）由题意可知当，时，铲斗离地面为最大高度， 如图，使得， ∵，， ∴， ∵，，， ∴, ∵铲斗AB离地面高度为0.25米，即， 后悬臂CD长为2米，即， ∴铲斗离地面的最大高度为： (米) 故答案为：； （2）由题意可得当AB与D在同一水平线且时，铲斗最外端点A离点D有最远距离， 如图，过C作, ∵AB与D在同一水平线，平行于地面， ，， ∴ , ∵铲斗AB长1米, ∴铲斗最外端点A离点D有最远距离为： （米）. 故答案为：. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确理解题意、熟练解直角三角形是解题的关键. 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．计算：． 【答案】2 【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、实数的混合运算 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的余弦函数值计算即可． 【详解】解： ． 20．如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值． 【答案】，，． 【知识点】求角的正切值、求角的余弦值、求角的正弦值、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据直线的图像，首先求出与坐标轴的两个交点坐标，根据勾股定理求得两交点之间的距离，进一步利用锐角三角函数的定义求出三角函数值即可． 【详解】解：如图， 直线的图象与x轴的交点A为（，0），即OA=； 与y轴的交点B为（0，5），即OB=5； 则AB==； ===， ， ． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点以及锐角三角函数的定义． 21．计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2)2 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】（1）先把特殊角锐角函数值代入，再计算，即可求解； （2）先把特殊角锐角函数值代入，再计算，即可求解； 【详解】（1）解：原式＝ = （2）解：原式＝ =2 【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 22．（1） （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）不等式组的解集是． 【知识点】特殊三角形的三角函数、求不等式组的解集、负整数指数幂、实数的混合运算 【分析】（1）根据零次幂，二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解不等式组，掌握零次幂，二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及解不等式组的步骤是解题的关键． 23．计算： （1）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30° （2）解不等式组： 【答案】（1）10；（2）1＜x≤4． 【知识点】求不等式组的解集、求角的余弦值 【分析】(1)先用零次幂、负指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值化简，最后计算即可； （2）先分别解出两个不等式的解集，最后求两个解集的公共部分即可． 【详解】（1）原式＝1+9﹣2+4× ＝1+9﹣2+2 ＝10； （2） ， 由①得：x＞1， 由②得：x≤4， 则不等式组的解集为1＜x≤4． 【点睛】本题主要考查了零指数幂、解一元一次不等式组等知识点，掌握好基础知识和解不等式组的方法是解答本题的关键． 24．如图，从灯塔C处观测轮船A、B的位置，测得轮船A在灯塔C北偏西的方向，轮船B在灯塔C北偏东的方向，且海里，海里，已知，求A、B两艘轮船之间的距离．（结果保留根号） 【答案】海里 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】利用勾股定理及三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：过点A、B分别作东西方向的垂线于点E、D，作于点F 则四边形为矩形 在中， 海里 （海里） 在中，，海里 海里 由勾股定理得： 解得： 海里, 海里 则海里 即：A、B两艘轮船之间的距离为海里 【点睛】本题考查三角函数的应用．根据已知条件构造直角三角形是解题关键． 25．如图，在中，，，，点D是的中点，动点M从点C出发，沿着折线（含端点C和A）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动，设点M的运动时间为t秒，点M到的距离为y个单位长度．        (1)求y关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)在直角坐标系中画出y与t的函数图像，并写出它的一条性质 ． (3)根据图像直接写出当时t的取值范围： ． 【答案】(1) (2)当时，y随t的增大而增大，时，y随t的增大而减小 (3) 【知识点】三角函数综合、用勾股定理解三角形、行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】（1）分点M在上和上，根据勾股定理，三角函数，解直角三角形计算即可． （2）画出图像，根据函数的性质，选择一个函数描述即可． （3）根据题意，结合解析式，分别计算时的t值，结合图像确定符合题意的范围即可． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， 当点M在上时，此时，    在中，， 解得； 当点M在上时，此时， ，    在中，， 解得； 综上所述，． （2）∵， 列表如下： 函数 0 5 10 0 3 3 0 画图如下：    故当时，y随t的增大而增大，时，y随t的增大而减小， 故答案为：当时，y随t的增大而增大，时，y随t的增大而减小． （3）当时， ∵，且， ∴ 解得； 当时， ∵，且， ∴ 解得； 结合图像，当时，t满足的范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角函数，一次函数的性质，熟练掌握勾股定理，三角函数，一次函数的性质是解题的关键． 26．某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长×××    组员：×××，×××，××× 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内．点C，D，E在同一条直线上，点E在上． 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 A，B之间的距离 任务一：两次测量，A，B之间的距离的平均值是______m． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （参考数据：，，，，，） 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？ 【答案】任务一：；任务二：；任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、求一组数据的平均数 【分析】任务一：两数之和除以2，即可作答； 任务二：设，解直角三角形即可得到结论； 任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到相等（答案不唯一）． 【详解】任务一：平均值：， 故答案为：； 任务二：由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，， 设， 在中，，， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（m）， 答：旗杆GH的高度为． 任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$