第01章 直角三角形的边角关系 章节测试练习卷-2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第01章 直角三角形的边角关系 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列关于运用计算器的说法不正确的是（　　　）． A．用计算器计算时，在按、、这三种键之前应先按键 B．要启动计算器的统计计算功能应按的键是 C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键 D．用计算器计算时，依次按键显示结果是0.5 2．如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．小明沿着坡比为的斜山坡向上走了，则他升高了（   ） A． B． C． D． 4．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是： A．5米 B．6米 C．6.5米 D．7米 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮行驶的路程的值为（　　）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 6．如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，在中，，则边的长度为（    ） A． B． C． D． 8．如图，一艘轮船在处测得灯塔在北偏西15º的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶40海里到达处，测得灯塔在北偏西60º的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离(即的长)为（   ） A．海里 B．海里 C．80海里 D．海里 9．如图，点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，且∠AOB＝90°，则tan∠OBA的值等于（　　） A．2 B．3 C． D． 10．如图，在正方形中，边长，是为中点，连接，，把沿着翻折，得到，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC= ． 12．小明同学沿坡度为i=1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是 米． 13．若是锐角，且，  则 14．某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减至35°．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD的长是 m.（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70） 15．已知点 P（x，2），点 A 是 x 轴负半轴上一点，sin∠POA＝，则 x 的值是 ． 16．如图，在菱形中，对角线与交于点O，已知，，如果点E是边的中点，那么 ． 17．如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于 ． 18．如图，正方形中，点E，F，G分别是的中点，与交于点H，与交于点N，连接，则下列结论：①四边形是平行四边形；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．计算：． 20．（1）计算： （2）解方程：． 21．（1）计算：（﹣1.414）0﹣|﹣2|+2sin60°﹣（﹣）﹣1； （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 22．2020年春节期间，昆明市政府为了进一步做好新冠肺炎疫情的防控工作，在各个高速公路出入口均设立检测点，对出入人员进行登记和体温检测，下图为一高速路口检测点的指示牌，已知立杆的高度是，从侧面点处测得指示牌点和点的仰角分别是和，求的长．（结果精确到．参考数据：，） 23．如图，某高为16.5米的建筑物AB楼顶上有一避雷针BC，在此建筑物前方E处安置了一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为45°，避雷针底部的仰角为37°，求避雷针BC的长度．（参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 24．某地突发地震，救援队火速赶往灾区救援，救援队用生命探测仪探测出废墟下方点C处有生命迹象，于是在废墟一侧地面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°（如图），试确定生命迹象所在点C与地面的距离．（精确到0.1米，参考数据：，） 25．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、两地间的公路进行修建．如图，A、两地之间有一座山，汽车原来从A地到地需途经地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶，已知千米，，， (1)开通隧道前，汽车从A地到地大约要走多少千米？ (2)开通隧道后，汽车从A地到地大约可以少走多少千米？（结果精确到千米）（参考数据：，） 26．如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行，为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以的速度沿着河岸向东步行后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：） ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 直角三角形的边角关系 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列关于运用计算器的说法不正确的是（　　　）． A．用计算器计算时，在按、、这三种键之前应先按键 B．要启动计算器的统计计算功能应按的键是 C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键 D．用计算器计算时，依次按键显示结果是0.5 【答案】D 【知识点】用计算器求锐角三角函数值 【分析】根据计算器基础知识， 作用是某个键的功能即时转换为上方标注的功能；作用是启动计算器的统计计算功能；作用是将显示屏所显示的数字全部清除；用计算器计算锐角的三角函数值，即可判断选项正误，从而得到符合题意的选项． 【详解】解：A选项，用计算器计算时，在按、、这三种键之前应先按键，说法正确，不符合题意； B选项，要启动计算器的统计计算功能应按的键是，说法正确，不符合题意； C选项，启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键，说法正确，不符合题意； D选项，用计算器计算时，依次按键显示结果是0.866025403，不是0.5，说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查计算器的基础知识，用计算器求锐角的三角函数值．熟练掌握计算器的功能键及掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握是解题的关键．根据勾股定理得出的长，再根据，代数计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∴． 故选：B． 3．小明沿着坡比为的斜山坡向上走了，则他升高了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、求角的正切值、求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】首先根据题意画出图形，由坡度为，可求得坡角的正切值为，于是可设，则，根据勾股定理可求得，进而可求得，根据小明沿着该山坡向上走了，即可求得他升高的高度，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， 坡比为， ， 可设，则， ， ， 小明沿着该山坡向上走了，则他升高了： ， 故选：． 【点睛】本题考查了坡度坡比问题，垂线的性质，求角的正切值，勾股定理，求角的正弦值等知识点，能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解题的关键，要注意数形结合思想的应用． 4．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是： A．5米 B．6米 C．6.5米 D．7米 【答案】A 【知识点】解直角三角形的应用 【分析】在，直接根据正弦的定义求解即可. 【详解】如图： AB=13，作BC⊥AC， ∵ ∴. 故小车上升了5米，选A. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题.解决本题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造，在中解决问题. 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮行驶的路程的值为（　　）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据方向角的概念可知，由锐角三角函数的定义求出的值，在中根据求出的值，由即可得出结论． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴（海里） 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟知方向角的概念是解答此题的关键． 6．如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数综合、正比例函数的图象 【分析】在直线上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为点，则可求得的正余弦、正余切值，从而可得答案． 【详解】解：如下图，在直线上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为点， 则 ，， 由勾股定理，可得 ， 在直角中， ，， ，， 故选项C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图像与性质、锐角三角函数等知识，关键是画出图形，并在直线任取一点，作 轴的垂线构造直角三角形． 7．已知，在中，，则边的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知余弦求边长 【分析】如图，根据余弦的定义可求出AB的长，根据勾股定理即可求出BC的长． 【详解】如图，∵∠C=90°，AC=9，cosA=， ∴cosA==，即， ∴AB=15， ∴BC===12， 【点睛】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比值；余弦是角的邻边与斜边的比值；正切是角的对边与邻边的比值；熟练掌握三角函数的定义是解题关键． 8．如图，一艘轮船在处测得灯塔在北偏西15º的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶40海里到达处，测得灯塔在北偏西60º的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离(即的长)为（   ） A．海里 B．海里 C．80海里 D．海里 【答案】B 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形即可得到结论． 【详解】过A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝40， ∴AD＝AB＝20，BD＝AB＝20， 在Rt△ACD中，∵∠C＝45°， ∴CD＝AD＝20， ∴BC＝BD+CD＝（20+20）海里， 故选B． 【点睛】本题考查了解直角三角形﹣方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键． 9．如图，点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，且∠AOB＝90°，则tan∠OBA的值等于（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合 【分析】首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，可得S△OBD＝1，S△AOC＝3，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得OA：OB：1，然后由正切函数的定义求得答案． 【详解】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D， ∴∠ACO＝∠ODB＝90°， ∴∠OBD+∠BOD＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD+∠AOC＝90°，   ∴∠OBD＝∠AOC， ∴△OBD∽△AOC， ∴（）2， 又点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴S△OBD1，S△AOC|﹣6|＝3， ∴S△AOC：S△OBD＝3：1， ∴OA：OB：1， ∴tan∠OBA． 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 10．如图，在正方形中，边长，是为中点，连接，，把沿着翻折，得到，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、正方形折叠问题 【分析】过点作于点F，过点作交AD于M，交BC于N，交BD于G， 可得四边形ABNM和四边形MNCD均为矩形，由折叠的性质可得，，，可证，列出比例式，设AM=x，，则，NE=x-5，代入比例式可求x，y，进而可求MD与MG，可得的长度，由，，可求答案． 【详解】如图，过点作于点F，过点作交AD于M，交BC于N，交BD于G，则，， ∴四边形ABNM和四边形MNCD均为矩形， ∵沿着翻折，得到，，是为中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设AM=x，，则，NE=x-5， 则：， 解得：， ∴AM=8，， ∴MD=2， ∵BD为正方形ABCD的对角线，， ∴， ∴MD=MG=2， ∴， 又∵，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似的判定与性质，解直角三角形等，根据图形作出恰当的辅助线是解题的关键． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC= ． 【答案】 【知识点】已知正切值求边长 【分析】利用正切的定义求解． 【详解】解：∵∠C=90°， ∴tan∠A==2， ∴BC=2AC=2×3=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°．锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A． 12．小明同学沿坡度为i=1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是 米． 【答案】50 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】由斜坡的坡度i=1：=，可得坡角α的度数，再求得斜坡的正弦值sinα，那么它垂直上升的高度可利用正弦函数求得． 【详解】∵斜坡的坡度i=1：=， ∴坡角α=60°， ∴斜坡的正弦值sinα=， ∴小明上升的高度是100×sinα=50（米）． 故答案为50． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用---坡度坡角问题，根据坡度求出坡角是解题的关键．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα． 13．若是锐角，且，  则 【答案】/60度 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】根据可求出b与c的关系，进而根据的余弦值可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中，若，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边，∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边． 14．某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减至35°．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD的长是 m.（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70） 【答案】4.6 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】根据原楼梯的倾斜角为40°，可先求出AD的长，继而在Rt△ACD中求出CD的长． 【详解】在Rt△ABD中，sin40°＝， ∴AD＝5sin40°＝5×0.64＝3.2， 在Rt△ACD中，tan35°＝ ， CD＝， 答：调整后的楼梯所占地面CD约为4.6米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可． 15．已知点 P（x，2），点 A 是 x 轴负半轴上一点，sin∠POA＝，则 x 的值是 ． 【答案】-2 【知识点】求角的正弦值 【分析】根据正弦函数是对边比斜边,可得P点横坐标的绝对值与纵坐标相等,可得答案. 【详解】由, 解得或, 由点A是x轴负半轴上一点, , 故答案为: . 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键. 16．如图，在菱形中，对角线与交于点O，已知，，如果点E是边的中点，那么 ． 【答案】5 【知识点】已知正切值求边长、根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】根据菱形的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 17．如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、已知余弦求边长 【详解】如图，在直角△AOE中， ， ∴． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴． 故答案为： 18．如图，正方形中，点E，F，G分别是的中点，与交于点H，与交于点N，连接，则下列结论：①四边形是平行四边形；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题 【分析】证明△ABG≌△CDE（SAS），得到AG=CE，即可判断①；同理证明△ABG≌△BCF≌△CDE，得到∠BNG=∠BHC=90°，即可判断②；证明△ABN≌△BCH，得到tan∠AHN=，推出∠AHN60°，进而判断③；证明△ABG≌△AHG，得到AH=AB=CD，即可判断④；设CF=1，则BC=2，分别求出CH、EH、HF，过点H作HM⊥AD于M，则△EHM∽△EDC，，求出MH、DM，勾股定理求出DH，即可判断⑤． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC=AB=CD，∠ABG=∠ADC=90°， ∵点E，G分别是AD、BC的中点， ∴AE=BG， ∴△ABG≌△CDE（SAS）， ∴AG=CE， ∴四边形是平行四边形，故①正确； 同理可证△ABG≌△BCF≌△CDE， ∴∠BAG=∠CBF=∠DCE，∠AGB=∠BFC=∠CED， ∵∠BAG+∠AGB=90°， ∴∠CBF+∠AGB=∠BFC+∠DCE=90°， ∴∠BNG=∠BHC=90°， ∴NG∥CH， ∵点G是BC的中点， ∴， ∴，故②正确； ∵∠BAN=∠CBH，AB=BC，∠ANB=∠BHC=90°， ∴△ABN≌△BCH， ∴AN=BH=2NH， ∴tan∠AHN=， ∴∠AHN60°，故③错误； ∵GH=BG，GN⊥BH， ∴∠BGN=∠HGN， 又∵AG=AG， ∴△ABG≌△AHG， ∴AH=AB=CD， ∵CD2+DE2=CE2， ∴，故④正确； 设CF=1，则BC=2， ∴， ∴， ∴，EH=CE-HC=， 过点H作HM⊥AD于M，则△EHM∽△EDC， ∴， ∴， ∴，， ∴DM=DE-EM=， ∴， ∴，故⑤错误； 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理的计算，锐角三角函数，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及实数运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 20．（1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、解分式方程、实数的混合运算 【分析】（1）由实数的混合运算法则即可求解； （2）按照解分式方程的步骤即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）方程两边同时乘得： ，即 解得： 检验：当时， 故原方程的解为： 【点睛】本题考查了实数的混合运算、解分式方程．正确的计算是解题的关键． 21．（1）计算：（﹣1.414）0﹣|﹣2|+2sin60°﹣（﹣）﹣1； （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）2+1；（2）2＜x≤4，3，4 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、求一元一次不等式组的整数解、实数的混合运算 【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出整数解． 【详解】解：（1）原式＝1﹣（2﹣）+2×﹣（﹣2） ＝1﹣2++2 ＝2+1； （2）， 由①得：x≤4， 由②得：x＞2， ∴不等式组的解集为2＜x≤4， 则不等式组的整数解为3，4． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及实数的运算，熟练掌握运算法则及不等式组的解法是解本题的关键． 22．2020年春节期间，昆明市政府为了进一步做好新冠肺炎疫情的防控工作，在各个高速公路出入口均设立检测点，对出入人员进行登记和体温检测，下图为一高速路口检测点的指示牌，已知立杆的高度是，从侧面点处测得指示牌点和点的仰角分别是和，求的长．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】2.2m 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】在Rt△ABD中，由∠BDA=45°，AB=3，可得出AD=3，在Rt△ACD中，由特殊角的正切值即可得出线段AC的长度，再利用线段间的关系即可得出结论． 【详解】解：在Rt△ABD中，∵∠BDA=45°，AB=3 ∴AD=3 在Rt△ACD中，∵∠ADC=60° ∴tan60°= ∴AC= tan60°·AD=·3=3 ∴BC=AC-AB=3-32.2m 故答案为：2.2m 【点睛】本题考查了在直角三角形中除直角外的已知元素，求出未知元素，通常利用边角关系的三角函数解答． 23．如图，某高为16.5米的建筑物AB楼顶上有一避雷针BC，在此建筑物前方E处安置了一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为45°，避雷针底部的仰角为37°，求避雷针BC的长度．（参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【答案】5米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点D作DF⊥AB，交AB于点F，知DE=AF=1.5米，BF=AB-AF=15（米），在Rt△BFD中，由，求得DF≈20米，再在Rt△DFC中，由∠CDF=45°知CF=DF≈20米，根据BC=CF-BF求解可得答案． 【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB交AB于点F， 则DE=AF=1.5米， BF=AB-AF=16.5-1.5=15米. 在Rt△BFD中，∠CDF=， , DF≈20米. 在Rt△DFC中，∠CDF=， CF=DF≈20米， BC=CFBF≈2015=5米； 答：避雷针BC的长度为约为5米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，正确记忆三角函数的定义，把直角梯形的问题转化为解直角三角形的问题是解决本题的关键． 24．某地突发地震，救援队火速赶往灾区救援，救援队用生命探测仪探测出废墟下方点C处有生命迹象，于是在废墟一侧地面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°（如图），试确定生命迹象所在点C与地面的距离．（精确到0.1米，参考数据：，） 【答案】2.7米 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、正切的概念辨析、特殊三角形的三角函数、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形，再根据锐角三角函数的意义构造关系式，进而可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D， 由题意知，∠CAD=30°，∠CBD=45°， 设CD=x米， ∴BD=CD=x米， ∵AB=2米， ∴AD=x+2米， 在RT△ACD中， ∵tan∠CAD=， ∴， 解得：x=+1≈2.7， 答：生命迹象所在点C与地面的距离约为2.7米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键． 25．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、两地间的公路进行修建．如图，A、两地之间有一座山，汽车原来从A地到地需途经地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶，已知千米，，， (1)开通隧道前，汽车从A地到地大约要走多少千米？ (2)开通隧道后，汽车从A地到地大约可以少走多少千米？（结果精确到千米）（参考数据：，） 【答案】(1)千米 (2)米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）过点作，垂足为构造、，利用锐角三角函数关系及特殊角的三角函数值，根据的长，分别求出、、、的长．计算即可； （2）计算 即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为． 在中，，， ∴（千米）， 在中，， ∴（千米）， ∴ （千米）， 答：开通隧道前，汽车从地到地大约要走千米． （2）解：在中， ，， ∴ （千米）， 在中，， ∴ （千米）， ∴ ， （千米） （千米）， 答：开通隧道后，汽车从地到地大约少走千米． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、直角三角形的三边关系等知识点，过点作，构造直角三角形是解决本题的关键． 26．如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行，为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以的速度沿着河岸向东步行后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：） 【答案】82m 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】作AD⊥BC于D，根据题意证明AD=CD，设AD=CD=xm，则m，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，作AD⊥BC于D， 由题意得∠EBA=∠DAB=60°，∠FCA=∠DAC=45°， ∴AD=CD， 设AD=CD=xm，由题意得BC=1.5×40=60m， 在Rt△ABD中，m， ∴， 解得 答：此河段的宽度为82m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，添加辅助线构造直角三角形，利用三角函数表示出线段，列出方程是解题关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$