16.2二次根式的运算寒假预习学案2024-2025学年沪科版数学八年级下册

【寒假预习】16.2二次根式的运算解析版 【知识点】 知识点一：最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 例：1．下列二次根式中，不是最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 2.二次根式：①；②；③；④ ；⑤中最简二次根式是_________. 知识点二：二次根式的乘除法运算 （1）两个算术平方根的积,等于它们被开方数的积的_____________ .用公式表示为:(a≥0,b≥0). （2）两个算术平方根的商,等于它们被开方数的商的______________________,即(a>0,b≥0); （3）商的算术平方根等于各因式的__________________的商,即(a>0,b≥0); （4）二次根式乘除混合运算顺序:先乘方, ____________ ,有括号的先算括号里面的,最后结果要化为_________________二次根式. 例：1.如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D．（）2＝﹣ab 2.计算：=　 ． 知识点三：同类二次根式 （1）.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. （2）合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 例：1.已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（　　） A．16 B．0 C．2 D．不确定 2.若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝　　． 3.合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点四：二次根式的加减 将每个二次根式化简后，把被开方数相同的一次根式的系数相加减，被开方数不变 例：1.已知，则x的值是（　　） A． B．2 C． D． 知识点五：二次根式的混合运算 （1）运算顺序：与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再_________，最后算_________，有括号先算括号里的。 （2）运算依据：整式_________法则和_________公式在二次根式的运算中仍然适用。 例：1.化简： (其中x<0) 2.计算： (1)； (2) (a>0 , b>0) 【强化训练】 一、选择题 1.若是最简二次根式，则的值可以是（　　） A．6 B． C．2 D． 2.下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3.等式成立的条件是（　　） A．x≥0且x≠3 B．x≠3 C．x≥0 D．x＞3 4.a＝2019×2021﹣2019×2020，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 5.已知：a=，b=，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 6.化简的结果是（　　） A． B． C． D． 7.与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（　　） A．6.5 B．3 C．2 D．4 8.若y 2023，则（x+y）2023的结果是（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．2023 二、填空题 9.若a＜0，则　　． 10.当x＝　　时，与既是最简根式又是同类根式． 11.把（1﹣a）根号外的因式移入根号内，化简后的结果是　 　． 12.如果，其中a、b为有理数，那么a+b等于 　 　． 三、解答题 13.把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）． 14.（1）化简： （2）已知x，求x2+3x﹣1的值． 15.若最简二次根式和是同类二次根式． （1）求x，y的值； （2）求的值． 16.已知：a1，b1． 求：（1）a﹣b的值； （2）ab的值； （3）的值． 17.如图，有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为20dm2和45dm2的正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　 　，　 　． （2）求剩余木料（即阴影部分）的面积． （3）如果木工师傅想从剩余的木料中截出边长为2dm的正方形木板，那么最多能截出 　 　块木板． 18.阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： （1）　 与 　　 　互为有理化因式，将分母有理化得 　 　； （2）①比较大小： 　 　（填＞，＜，＝，≥或≤中的一种） ②计算下列式子的值：； （3）已知正整数a，b满足，求a，b的值． 19.小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：　 　．（填写一个符合上述运算特征的例子）； （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 　； （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律化简：=　 ． 20.先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b） 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即， ∴== （1）填空：　 　，=　 　 （2）化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【寒假预习】16.2二次根式的运算解析版 【知识点】 知识点一：最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 例：1．下列二次根式中，不是最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、是最简二次根式，不合题意； B、是最简二次根式，不合题意； C、是最简二次根式，不合题意； D、，不是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 2.二次根式：①；②；③；④ ；⑤中最简二次根式是________. 【解析】解：③＝|a﹣1|，被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式； ④，被开方数含有分母，不是最简二次根式； ⑤，被开方数含有小数（分数），不是最简二次根式； 因此只有①②符合最简二次根式的条件． 知识点二：二次根式的乘除法运算 （1）两个算术平方根的积,等于它们被开方数的积的_____________ .用公式表示为:(a≥0,b≥0). （2）两个算术平方根的商,等于它们被开方数的商的______________________,即(a>0,b≥0); （3）商的算术平方根等于各因式的__________________的商,即(a>0,b≥0); （4）二次根式乘除混合运算顺序:先乘方, ____________ ,有括号的先算括号里面的,最后结果要化为_________________二次根式. 例：1.如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D．（）2＝﹣ab 【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0， ∴a＜0，b＜0． ∴，无意义， ∴A的结论不正确； ∵， ∴B的结论正确； ∵， ∴C的结论不正确； ∵（）2＝ab， ∴D的结论不正确， 故选：B． 2.计算：=　　 ． 【解答】解：原式， 故答案为：． 知识点三：同类二次根式 （1）.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. （2）合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 例：1.已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（　　） A．16 B．0 C．2 D．不确定 【解答】解：∵=3， 而最简二次根式与是同类二次根式， ∴a+2＝2， 解得a＝0． 故选：B． 2.若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝　9　． 【解答】解：∵最简二次根式与是同类根式， ∴2a﹣4＝2， 3a+b＝a﹣b， 解得：a＝3，b＝﹣3． ∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9． 故答案为：9． 3.合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点四：二次根式的加减 将每个二次根式化简后，把被开方数相同的一次根式的系数相加减，被开方数不变 例：1.已知，则x的值是（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：∵， ∴x＝53=2=， 故选：C． 知识点五：二次根式的混合运算 （1）运算顺序：与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再_________，最后算_________，有括号先算括号里的。 （2）运算依据：整式_________法则和_________公式在二次根式的运算中仍然适用。 例：1.化简： (其中x<0) 【解答】解：由题意知，x<0，y<0. ∴ = = = = 2.计算： (1)； (2) (a>0 , b>0) 【详解】（1）解：原式 =． （2）解：原式= =． 【强化训练】 一、选择题 1.若是最简二次根式，则的值可以是（　　） A．6 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式，直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【解析】解：A.，不是最简二次根式，不合题意； B.，不是最简二次根式，不合题意； C.，是最简二次根式，符合题意； D. ，不是最简二次根式，不合题意； 故选：C． 2.下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、，故错误； B、，故正确； C、，故错误； D、，故错误； 故选：B． 3.等式成立的条件是（　　） A．x≥0且x≠3 B．x≠3 C．x≥0 D．x＞3 【解答】解：根据二次根式的意义，有x≥0，且x﹣3＞0， 解得x＞3． 故选：D． 【点评】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件． 4.a＝2019×2021﹣2019×2020，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【解答】解：a＝2019×2021﹣2019×2020 ＝2019（2021﹣2020） ＝2019； ∵20222﹣4×2021 ＝（2021+1）2﹣4×2021 ＝20212+2×2021+1﹣4×2021 ＝20212﹣2×2021+1 ＝（2021﹣1）2 ＝20202， ∴b＝2020； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：A． 5.已知：a=，b=，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 【解答】解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2， ∴a﹣b＝（2+）﹣（2）＝2，故A选项错误； a+b＝（2+）+（2）＝4，故B选项错误； ab＝（2+）×（2）＝4﹣3＝1，故C选项正确； ∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2）2＝4﹣4+3＝7﹣4， ∴a2≠b2，故D选项错误； 故选：C． 6.化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：原式= = = = =， 故选：A． 7.与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（　　） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【解答】解：=2，而与最简二次根式能合并成一项， 所以2t﹣1＝3， 解得t＝2， 故选：C． 8.若y 2023，则（x+y）2023的结果是（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．2023 【解答】解：∵y2023， ∴x﹣2022≥0，2022﹣x≥0， ∴x＝2022， ∴y＝﹣2023， ∴（x+y）2023＝（2022﹣2023）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 故选：C． 二、填空题 9.若a＜0，则　0　． 【解答】解：∵a＜0， ∴b＜0， 则0． 故答案为：0． 10.当x＝　4　时，与既是最简根式又是同类根式． 【解答】解：由题意可得 x2+3＝x+15 解得x＝4或x＝﹣3 当x＝﹣3时，x2+3＝x+15＝12 不是最简根式，因此x＝﹣3不合题意，舍去． 因此x＝4． 11.把（1﹣a）根号外的因式移入根号内，化简后的结果是　　． 【解答】解：由根式可知，1﹣a＜0； 故原式= ． 12.如果，其中a、b为有理数，那么a+b等于 　3　． 【解答】解：∵，， ∴a＝7，b＝﹣4， ∴a+b＝7+（﹣4）＝3， 故答案为：3． 三、解答题 13.把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式； （2）当b，c同为正数时，原式． 当b，c同为负数时，原式． 当c＝0时，原式＝0． 14.（1）化简： （2）已知x，求x2+3x﹣1的值． 【解答】（1）解：根据已知算式知：x＜0，y＜0， 原式 ＝8x2y； （2）解：x， ∴x2+3x﹣1， ＝x2+2x+1+x﹣2， ＝（x+1）2+x﹣2， ， ＝23， ＝﹣1． 15.若最简二次根式和是同类二次根式． （1）求x，y的值； （2）求的值． 【解答】解：（1）根据题意知， 解得：； （2）当x＝4、y＝3时， ． 16.已知：a1，b1． 求：（1）a﹣b的值； （2）ab的值； （3）的值． 【解答】解：（1）当a1，b1时， a﹣b1﹣（1） 11 ＝﹣2； （2）ab＝（1）（1） ＝（）2﹣12 ＝2﹣1 ＝1； （3）原式 ＝4+2 ＝6． 17.如图，有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为20dm2和45dm2的正方形木板． （1）截出的两块正方形木板的边长分别为 　　，　　． （2）求剩余木料（即阴影部分）的面积． （3）如果木工师傅想从剩余的木料中截出边长为2dm的正方形木板，那么最多能截出 　2　块木板． 【解答】解：（1），， 故答案为：，； （2）矩形的长为，宽为， ∴剩余木料的面积， （3）矩形的长为，宽为， ∵，， ∴最多能截出2块木板． 18.阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： （1）与 　25　互为有理化因式，将分母有理化得 　　； （2）①比较大小： 　＜　（填＞，＜，＝，≥或≤中的一种） ②计算下列式子的值：； （3）已知正整数a，b满足，求a，b的值． 【解答】解：（1）与25互为有理化因式，将分母有理化得； 故答案为：25，； （2）①∵，， 而<， ∴， 故答案为：＜． ②原式=1 = ＝45-1 =44； （3）∵， ∴（1）ab＝2﹣3， 即（ab+3）a﹣2＝0， ∴ab+3＝0，a﹣2＝0， 解得a＝2，b＝10． 即a的值是2，b的值是10． 19.小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：　　．（填写一个符合上述运算特征的例子）； （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　　； （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律化简：=　 2024 ． 【解答】解：（1）由题意得：， 故答案为：； （2）∵例1： 特例2： 特例3： ..． ∴用含n的式子表示为：， 故答案为：； （3）等式左边右边， 故猜想成立； （4） ＝ ＝2024． 故答案为：22024． 20.先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b） 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即， ∴== （1）填空：=　　，=　　 （2）化简：． 【解答】解：（1） ， ； ， ， ； 故答案为：， （2）原式 ， 2 学科网（北京）股份有限公司 $$