考点59用样本估计总体（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

考点59用样本估计总体 （3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度． 【知识点】 1．百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．平均数、中位数和众数 (1)平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn)． (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)． (3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)． 3.标准差与方差 如果有个数据，，，那么平均数，标准差为：，方差： 知识点三：在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值 (1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数; (2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的; (3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和. 4.平均数，方差的线性关系： 数据 平均数 方差 ，，， ，，， ，，， ，，， 常用结论 1．若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a. 2．数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变． 3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 【核心题型】 题型一　样本的数字特征和百分位数的估计 计算一组n个数据第p百分位数的步骤 【例题1】（2024·贵州黔南·一模）样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（    ） A．16 B．19 C．20 D．22 【变式1】（2024·浙江绍兴·三模）有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（    ） A．第75百分位数 B．平均数 C．极差 D．众数 【变式2】（2024·上海宝山·一模）某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 . 【变式3】（2024·上海徐汇·一模）某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的第75百分位数是 . 题型二　总体集中趋势的估计 频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． 【例题2】（2023·四川宜宾·二模）2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球新能源汽车市场销量冠军，为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新能源车的销售价格，得到如图的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间（单位：万元）的概率，以及中国新能源车的销售价格的众数； (2)现有6辆新能源车，其中2辆为比亚迪新能源车，从这6辆新能源车中随机抽取2辆，求至少有1辆比亚迪新能源车的概率. 【变式1】（2024·陕西渭南·三模）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按，，，，，分成6组，并整理得到如下频率分布直方图．    (1)请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数； (2)该市决定表彰知识竞赛成绩排名前30%的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰． 【变式2】（2024·全国·模拟预测）两家传媒公司联合开展了某市消费者2024年春节年货消费行为调查，从调查对象中随机抽取1000名消费者，统计他们购置年货的预算（单位：元．这1000名消费者的预算都不超过6000元），得到如下频数分布表： 预算/元 人数 460 276 184 60 16 4 (1)根据样本估计总体，估计该市消费者2024年春节购置年货预算的平均数及中位数（结果四舍五入取整数）（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)利用分层抽样法从样本中购置年货预算在区间，的消费者中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求抽取的3人中购置年货预算在区间的至少有2人的概率． 【变式3】（2024·四川·模拟预测）某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．直方图中成等差数列，时长落在区间内的人数为200． (1)求出直方图中的值； (2)估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (3)从参加课外兴趣班的时长在和的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在和恰好各一人的概率． 题型三　总体离散程度的估计 总体离散程度的估计 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． 【例题3】（2024·全国·模拟预测）某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题： A B C D E 甲车间 100 120 150 180 200 乙车间 50 120 200 150 180 (1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？ (2)设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率； (3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析． 【变式1】（2024·陕西安康·模拟预测）首届中国航协航空大会的一个鲜明的特色是在各个展区中设置了多项互动体验活动，吸引了很多的中小学生，其中模拟飞行体验区是让这些中小学生戴上VR眼镜模拟从起飞到降落，大大激发了他们的兴趣爱好.现从某个有互动体验的展区中随机抽取60名中小学生，统计他们的参观时间（从进入该展区到离开该展区的时长，单位：分钟，时间取整数），将时间分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)由频率分布直方图，估计样本的平均数和方差；（每组数据以区间的中点值为代表） (2)为对比展区是否有体验区对中小学生的吸引程度，某工作人员给出了一份该展区中没有体验区的参观时间的随机数据，经计算得到该组数据参观时长平均值为65分钟，方差为，试判断有体验区的参观时长均值比没有体验区的参观时长均值是否有显著提高？（如果，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高） (3)利用（2）中的结果，你认为展区是否应该设置互动体验展区？请说明理由. 【变式2】（2023·河南信阳·三模）信阳市旅游部门为了促进信阳生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙，丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传.该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息. a.甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：   b.丙家民宿“综合满意度”评分： 2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1 c.甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数： 甲 乙 丙 平均数 4.5 4.2 中位数 4.5 4.7 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值是______，的值是______； (2)设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别为、、，试比较其大小. (3)根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）. 【变式3】（2023·江西赣州·一模）双减政策落地后，五项管理原则出台.某学校为了加强落实其中的“读物管理”，鼓励优质读物进校园，营造学校良好的阅读氛围，充分发挥课外读物帮助学生开阔视野､陶冶情操､增长知识､启迪智慧､塑造良好品质和健康人格等方面的积极作用，决定举办“阅读经典·收获未来”知识竞赛. 班主任张老师拿到班委推选的参赛名单后，按要求需从甲､乙两人中先淘汰一人，为此特意调取了甲､乙两人5次模拟大赛的成绩，统计结果如下茎叶图： (1)你认为派谁去参赛合适？请用统计知识说明理由： (2)据悉，知识大赛现场有一个观众互动游戏环节：将四大名著《红楼梦》､《西游记》､《三国演义》､《水浒传》及作者用红线连起来，求观众丙恰好连对1个的概率. 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·西藏拉萨·一模）已知一组数据，，，，，，则该组数据的第百分位数为（   ） A． B． C． D． 2．（2022·上海松江·二模）在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 3．（2024·四川南充·一模）甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，则甲同学数学考试成绩的第75百分位数是（    ） A．118 B．121 C．122 D．123 二、多选题 4．（2023·海南海口·模拟预测）随着社会的发展，人们的环保意识越来越强了，某市环保部门对辖区内A、B、C、D四个地区的地表水资源进行检测，按照地表水环境质量标准，若连续10天，检测到地表水粪大肠菌群都不超过200个/L，则认为地表水粪大肠菌群指标环境质量稳定达到Ⅰ类标准，否则不能称稳定达到Ⅰ类标准.已知连续10天检测数据的部分数字特征为：A地区的极差为20，75%分位数为180；B地区的平均数为170，方差为90；C地区的中位数为150，极差为60；D地区的平均数为150，众数为160.根据以上数字特征推断，地表水粪大肠菌群指标环境质量稳定达到Ⅰ类标准的地区是（    ） A．A地区 B．B地区 C．C地区 D．D地区 5．（2024·广东·模拟预测）已知样本数据，则这组数据的（ ） A．众数为 B．平均数为 C．上四分位数为 D．方差为 三、填空题 6．（2024·陕西西安·一模）某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为，．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为 ． 四、解答题 7．（高三上·黑龙江·期末）本小题满分12分） 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲      82      81      79      78      95      88      93      84 乙      92      95      80      75      83     80      90      85 （Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据； （Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由. 8．在十四运射击选拔赛中，某代表队甲、乙两人所得成绩如下表所示： 甲 10.3 10 10.5 9.9 乙 9.9 10.1 10.2 10.1 (1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差； (2)根据（1）的结果，你认为甲、乙两人中谁更适合参加最终比赛？ 9．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园知识大赛，全市共有名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，组委会将初赛成绩分成组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. (1)试估计这名学生初赛成绩的平均数及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中位数精确到0.01） (2)组委会在成绩为的学生中用分层抽样的方法随机抽取人，然后再从抽取的人中任选取人进行调查，求选取的人中恰有人成绩在内的概率. 10．（2024·四川成都·模拟预测）课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟． 时长 学生人数 50 100 200 125 25 (1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率． 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）某市年深入实施创新驱动发展战略，新产业新产品增势良好．调研统计了家企业，得到了他们的科技创新月平均新增收益如下：（单位：百万元），则其百分位数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江宁波·一模）研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（   ） A．7 B．7.5 C．7.8 D．8 3．（2024·吉林长春·一模）一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．（2024·山东菏泽·一模）已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（    ） A．极差 B．平均数 C．中位数 D．方差 5．（23-24高三下·河南·阶段练习）高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·甘肃白银·一模）2014年1月至9月全国城镇调查失业率依次为，则（   ） A．这组数据的众数为 B．这组数据的极差为 C．这组数据的分位数为 D．这组数据的平均数大于 7．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A．图（1）的平均数＝中位数＞众数 B．图（2）的众数＜中位数＜平均数 C．图（2）的平均数＜众数＜中位数 D．图（3）的中位数＜平均数＜众数 8．（2023·上海普陀·一模）已知一组数据3、1、5、3、2，现加入，两数对该组数据进行处理，若经过处理后的这组数据的极差为，则经过处理后的这组数据与之前的那组数据相比，一定会变大的数字特征是（    ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 二、多选题 9．（2024·广东佛山·一模）现有甲、乙两组数据，甲组数据为：；乙组数据为：，若甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为，则下列说法一定正确的是（   ） A．乙组数据的平均数为 B．乙组数据的极差为 C．乙组数据的第百分位数为 D．乙组数据的标准差为 10．（2024·广东·模拟预测）为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼博的布斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数为：6，6，7，8，9，9，9，10（位：环），则这组样本数据的（    ） A．极差为4 B．平均数是8 C．75%分位数是9 D．方差为4 11．（2024·广东·模拟预测）降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图． 下列结论正确的是（   ） A．这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大 B．这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大 C．这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大 D．这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大 三、填空题 12．（2024·上海普陀·模拟预测）下列说法正确的序号是 . ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1 ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 ④若样本数据的方差为4，则数据的方差是16 13．（2024·四川成都·模拟预测）某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为 .（结果保留整数） 14．（2024·甘肃庆阳·一模）已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，则这组数据的第60百分位数为 ；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为 ． 四、解答题 15．（2024·全国·模拟预测）某杨梅种植户从购买客户中随机抽取20位客户做质量随访调查，其中购买系列（大棚种植）的10位，购买系列（自然种植）的10位，从杨梅的大小、口感、水分、甜度进行综合打分（满分100分），打分结果记录如下： 系列（大棚种植）：84  81  79  76  95  88  93  86  86  92 系列（自然种植）：92  95  80  75  83  87  90  80  85  93 (1)分别写出这两个系列综合打分的中位数． (2)分别求出这两个系列综合打分的平均数与方差，通过上述数据结果进行分析，你认为推广哪种系列种植更合适？ 16．（2024·全国·模拟预测）某市物理教研员在一次高二全市统考后为了了解本市物理考试情况，从全市高二学生中随机抽取50名对其物理成绩（单位：分，成绩都在内）进行统计，制成频率分布直方图如图所示： (1)求的值，并以样本估计总体，求本次全市统考物理成绩的中位数； (2)从样本中物理成绩在与的学生中随机抽取2人，求这2人的物理成绩均不低于90分的概率． 17．（2024·四川德阳·二模）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问名学生，并对这名学生的个性化作业进行评分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成，，六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为30人． (1)求的值； (2)估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数． 18．（2020·重庆九龙坡·模拟预测）为应对新冠疫情，重庆市于2020年1月24日启动重大突发公共卫生事件一级响应机制，要求市民少出门，少聚集，于是快递业务得到迅猛发展．为满足广大市民的日常生活所需，某快递公司以优厚的条件招聘派送员，现给出了两种日薪薪酬方案， 甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元； 乙方案：底薪150元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励10元． （Ⅰ）请分别求出这两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式； （Ⅱ）根据该公司所有派送员10天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格： 日均派送单数 50 54 56 58 60 频数（天） 2 3 2 2 1 回答下列问题： ①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出这10天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差； ②结合①中的数据，根据统计学的思想，若你去应聘派送员，选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．（参考数据：172＝289，372＝1369） 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2024·贵州遵义·二模）样本数据11 ，12 ，13 ，15 ，16 ，13 ，14 ，15 ，11的第一四分位数为（    ） A．11.5 B．12 C．12.5 D．13 2．（2024·全国·二模）样本数据12，8，32，10，24，22，12，33的第60百分位数为（    ） A．8 B．12 C．22 D．24 3．（2022·黑龙江·一模）下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物（）的观测值： 396    275    268    225    168    166    176    173    188    168    141    157 若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是（    ） A．极差 B．中位数 C．众数 D．平均数 4．（2022·湖北荆州·模拟预测）酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是（    ） A．甲地：均值为7，方差为2 B．乙地：众数为3，中位数为2 C．丙地，均值为4，中位数为5 D．丁地：极差为，中位数为8 二、多选题 5．（2023·福建福州·模拟预测）已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（    ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．第40百分位数 6．（2024·福建泉州·模拟预测）某校在开展“弘扬中华传统文化，深植文化自信之根”主题教育的系列活动中，举办了“诵读国学经典，传承中华文明”知识竞赛．赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年和高二年学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（    ） A．高一年抽测成绩的众数为75 B．高二年抽测成绩低于60分的比率为 C．估计高一年学生成绩的平均分低于高二年学生成绩的平均分 D．估计高一年学生成绩的中位数低于高二年学生成绩的中位数 三、填空题 7．（2024·安徽·模拟预测）一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是 . 8．（2023·辽宁葫芦岛·一模）某校进行了物理学业质量监测考试，将考试成绩进行统计并制成如下频率分布直方图，a的值为 ；考试成绩的中位数为 ． 四、解答题 9．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示． （Ⅰ）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （Ⅱ）你认为哪位运动员的成绩更稳定？ （Ⅲ）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率． 10．（2021·黑龙江大庆·一模）2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动． （1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？ （2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？ （3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下： 前10天剩菜剩饭的重量为： 后天剩菜剩饭的重量为： 借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点59用样本估计总体 （3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度． 【知识点】 1．百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．平均数、中位数和众数 (1)平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn)． (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)． (3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)． 3.标准差与方差 如果有个数据，，，那么平均数，标准差为：，方差： 知识点三：在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值 (1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数; (2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的; (3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和. 4.平均数，方差的线性关系： 数据 平均数 方差 ，，， ，，， ，，， ，，， 常用结论 1．若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a. 2．数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变． 3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 【核心题型】 题型一　样本的数字特征和百分位数的估计 计算一组n个数据第p百分位数的步骤 【例题1】（2024·贵州黔南·一模）样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（    ） A．16 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【分析】利用百分位数的定义进行求解. 【详解】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数. 故选：C. 【变式1】（2024·浙江绍兴·三模）有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（    ） A．第75百分位数 B．平均数 C．极差 D．众数 【答案】A 【分析】分别求出该组数据的第75百分位数、平均数、极差、众数，比较大小，即可得到答案. 【详解】计算第75百分位数：，则取第8位数据， 即该组数据的第75百分位数为5； 平均数为； 极差为； 众数为3. 综上，第75百分位数最大. 故选：A. 【变式2】（2024·上海宝山·一模）某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 . 【答案】/ 【分析】将数据从小到大排序，再根据百分位数的概念求解即可. 【详解】分数据从小到大为：，，，，，，，，，，，， 共个数，则， 所以这组数据的第百分位数为. 故答案为：. 【变式3】（2024·上海徐汇·一模）某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的第75百分位数是 . 【答案】51 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】因为， 所以该样本的第75百分位数是按照从小到大的顺序排列的第个数，即为. 故答案为：. 题型二　总体集中趋势的估计 频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． 【例题2】（2023·四川宜宾·二模）2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球新能源汽车市场销量冠军，为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新能源车的销售价格，得到如图的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间（单位：万元）的概率，以及中国新能源车的销售价格的众数； (2)现有6辆新能源车，其中2辆为比亚迪新能源车，从这6辆新能源车中随机抽取2辆，求至少有1辆比亚迪新能源车的概率. 【答案】(1)0.79；众数为20 (2) 【分析】（1）根据频率直方图中的数据即可统计求解， （2）列举所有基本事件个数，由古典概型的概率公式即可求解. 【详解】（1）一辆中国新能源车的销售价格位于区间的概率 中国新能源车的销售价格的众数为 （2）记2辆比亚迪新能源车为，其余4辆车为， 从6辆新能源车中随机抽取2辆的情况有：，，共15种情况. 其中至少有1辆比亚迪新能源车的情况有：，，共有9种情况. 至少有1辆比亚迪新能源车的概率 【变式1】（2024·陕西渭南·三模）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按，，，，，分成6组，并整理得到如下频率分布直方图．    (1)请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数； (2)该市决定表彰知识竞赛成绩排名前30%的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰． 【答案】(1)平均值68.3，中位数71.5625； (2)该市民能得到表彰． 【分析】（1）根据平均数以及中位数的计算公式，即可求得答案； （2）根据频率分布直方图计算样本的第70 百分位数，与78比较，即可得结论. 【详解】（1）100份样本数据的平均值为． 根据图象可得，对应的频率为0.05，对应的频率为0.10，对应的频率为0.10，对应的频率为0.20，对应的频率为0.32，对应的频率0.23. 设中位数为t，则t在中. ， 解得． （2）成绩低于70分的频率为0.45，成绩低于80分的频率为0.77， 则被表彰的最低成绩为第70%分位数：， 所以估计该市民能得到表彰． 【变式2】（2024·全国·模拟预测）两家传媒公司联合开展了某市消费者2024年春节年货消费行为调查，从调查对象中随机抽取1000名消费者，统计他们购置年货的预算（单位：元．这1000名消费者的预算都不超过6000元），得到如下频数分布表： 预算/元 人数 460 276 184 60 16 4 (1)根据样本估计总体，估计该市消费者2024年春节购置年货预算的平均数及中位数（结果四舍五入取整数）（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)利用分层抽样法从样本中购置年货预算在区间，的消费者中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求抽取的3人中购置年货预算在区间的至少有2人的概率． 【答案】(1)平均数估计值是1408，中位数估计值是1145 (2) 【分析】（1）根据表格中的数据，结合平均数、中位数的求法计算即可求解； （2）利用分层抽样法确定题意要求区间的人数，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）该市消费者2024年春节购置年货预算的平均数的估计值为 ， 设该市消费者2024年春节购置年货预算的中位数的估计值为， 因为，， 所以， 故， 所以该市消费者2024年春节购置年货预算的中位数的估计值为1145． （2）因为， 利用分层抽样法从样本中购置年货预算在区间，的消费者中抽取5人， 抽取到的购置年货预算在区间的有3人，记作，预算在区间的有2人，记作， 从这5人中随机抽取3人的情况有： ，共10种， 设事件为“抽取的3人中购置年货预算在区间的至少有2人”， 则事件包含的情况有：，共7种， 所以所求概率． 【变式3】（2024·四川·模拟预测）某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．直方图中成等差数列，时长落在区间内的人数为200． (1)求出直方图中的值； (2)估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (3)从参加课外兴趣班的时长在和的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在和恰好各一人的概率． 【答案】(1) (2)71.7，73 (3) 【分析】（1）先求出c,再利用面积和为1求出，再结合等差数列求解a，b; （2）利用左右面积相等求中位数，由频率乘组距求和得平均数； （3）由分层抽样确定和的人数，再利用列举法求解概率. 【详解】（1）由已知可得， 则，即， 又成等差数列，， 解得． （2）， 设中位数为，且， ，解得，即中位数为71.7; 平均数为; （3）由（1）知，按照分层抽样随机抽取6人中，参加课外兴趣班的时长在内的有人， 记为，参加课外兴趣班的时长在内的有人，记为． 从中随机抽取2人的所有基本事件有:， ，共15种， 其中，被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在和的恰好各一人的事件有: ，共8种． 所以被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在和的恰好各一人的概率为 题型三　总体离散程度的估计 总体离散程度的估计 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． 【例题3】（2024·全国·模拟预测）某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题： A B C D E 甲车间 100 120 150 180 200 乙车间 50 120 200 150 180 (1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？ (2)设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率； (3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析． 【答案】(1)甲车间的平均数150，乙车间的平均数140，甲车间的方差1360，乙车间的方差2760，甲车间工作效率比较稳定 (2)0.1978 (3)答案见解析 【分析】（1）计算甲车间该日生产订单的平均数，乙车间该日生产订单的平均数，甲车间该日生产订单的方差，乙车间该日生产订单的方差； （2）计算甲、乙2个车间都不合格的概率； （3）比较2个车间的平均数、方差和合格率. 【详解】（1）甲车间该日生产订单的平均数为， 乙车间该日生产订单的平均数为， 甲车间该日生产订单的方差为， 乙车间该日生产订单的方差为， 因为甲车间该日生产订单的方差小于乙车间该日生产订单的方差， 所以甲车间工作效率比较稳定； （2）甲、乙2个车间都不合格的概率为； （3）平均数上甲车间的该日生产订单更大，方差更小，乙车间合格率更大，但是差别并不大，所以甲车间工作效率更高. 【变式1】（2024·陕西安康·模拟预测）首届中国航协航空大会的一个鲜明的特色是在各个展区中设置了多项互动体验活动，吸引了很多的中小学生，其中模拟飞行体验区是让这些中小学生戴上VR眼镜模拟从起飞到降落，大大激发了他们的兴趣爱好.现从某个有互动体验的展区中随机抽取60名中小学生，统计他们的参观时间（从进入该展区到离开该展区的时长，单位：分钟，时间取整数），将时间分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)由频率分布直方图，估计样本的平均数和方差；（每组数据以区间的中点值为代表） (2)为对比展区是否有体验区对中小学生的吸引程度，某工作人员给出了一份该展区中没有体验区的参观时间的随机数据，经计算得到该组数据参观时长平均值为65分钟，方差为，试判断有体验区的参观时长均值比没有体验区的参观时长均值是否有显著提高？（如果，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高） (3)利用（2）中的结果，你认为展区是否应该设置互动体验展区？请说明理由. 【答案】(1)71，194 (2)有显著提高 (3)答案见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图平均数和方差公式计算； （2）应用公式计算判断即可； （3）根据结果判断是否设置互动体验展区即可. 【详解】（1）由题得， 所以样本的方差为 （2）由题得， 所以， 所以有体验区的参观时长均值比没有体验区的参观时长均值有显著提高. （3）从（2）中可知展区应该设置互动体验展区，这样可以吸引更多的参观者进行观看与体验，使他们能更多地了解产品，并能更大程度地激发中小学生的兴趣爱好 【变式2】（2023·河南信阳·三模）信阳市旅游部门为了促进信阳生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙，丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传.该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息. a.甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：   b.丙家民宿“综合满意度”评分： 2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1 c.甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数： 甲 乙 丙 平均数 4.5 4.2 中位数 4.5 4.7 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值是______，的值是______； (2)设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别为、、，试比较其大小. (3)根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）. 【答案】(1)， (2) (3)答案不唯一，合理即可 【分析】（1）利用平均数和中位数的定义计算出和； （2）根据折线统计图和丙的数据，分析出数据波动的情况，从而比较出方差得大小； （3）从平均数，中位数，方差等方面分析得到结论，答案不唯一. 【详解】（1）甲家民宿“综合满意度”评分：3.2，4.2，5.0，4.5，5.0，4.8，4.5，4.3，5.0，4.5， ∴， 丙家民宿“综合满意度”评分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1， 从小到大排列为：2.6，3.1，3.8，4.5，4.5，4.5，4.5，4.7，4.8，5. ∴中位数， （2）根据折线统计图可知， 乙的评分数据在4分与5分之间波动，甲的数据在3.2分和5分之间波动， 根据丙的数据可以在2.6至5分之间波动， ∴； （3）推荐乙，理由：乙的方差最小，数据稳定，平均分比丙高， 答案不唯一，合理即可. 【变式3】（2023·江西赣州·一模）双减政策落地后，五项管理原则出台.某学校为了加强落实其中的“读物管理”，鼓励优质读物进校园，营造学校良好的阅读氛围，充分发挥课外读物帮助学生开阔视野､陶冶情操､增长知识､启迪智慧､塑造良好品质和健康人格等方面的积极作用，决定举办“阅读经典·收获未来”知识竞赛. 班主任张老师拿到班委推选的参赛名单后，按要求需从甲､乙两人中先淘汰一人，为此特意调取了甲､乙两人5次模拟大赛的成绩，统计结果如下茎叶图： (1)你认为派谁去参赛合适？请用统计知识说明理由： (2)据悉，知识大赛现场有一个观众互动游戏环节：将四大名著《红楼梦》､《西游记》､《三国演义》､《水浒传》及作者用红线连起来，求观众丙恰好连对1个的概率. 【答案】(1)派甲参赛比较合适，理由见解析 (2) 【分析】（1）分别求出甲乙的平均成绩和方差，再根据平均成绩和方差即可得出结论； （2）利用列举法，再结合古典概型即可得出答案. 【详解】（1）甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， 甲的成绩方差， 乙的成绩方差为， 由于， 则甲的成绩较稳定，故派甲参赛比较合适； （2）记四大名著《红楼梦》､《西游记》､《三国演义》､《水浒传》的作者依次记为，则游戏互动中，观众丙随机连线的结果有： ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCDA，BCAD，BDAC，BDCA，BACD，BADC，CABD，CADB，CBDA，CBAD，CDAB，CDBA，DABC，DACB，DBAC，DBCA，DCBA，DCAB共24种连法， 其中恰好连对1个的结果有：ACDB，ADBC，BDCA，BCAD，CABD，CBDA，DACB，DBAC共8种， 所以观众丙恰好连对1个的概率为. 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·西藏拉萨·一模）已知一组数据，，，，，，则该组数据的第百分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据百分位数的定义直接计算. 【详解】将数据从小到大排列，为，，，，，， 因为， 所以这组数据的第百分位数为第三个数据. 故选：A. 2．（2022·上海松江·二模）在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】根据平均值、中位数、众数、方差的定义即可得解. 【详解】去掉最大值与最小值这组数的平均值大小不确定，中位数不变，众数大小不确定， 根据方差的定义，去掉最高分，最低分后，剩余四个数据的波动性小于原来六个数据的波动性，故方差一定会变小. 故选：D 3．（2024·四川南充·一模）甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，则甲同学数学考试成绩的第75百分位数是（    ） A．118 B．121 C．122 D．123 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义计算． 【详解】已知数据按从小到大排列为：， ，因此第75百分位数是第8个数123. 故选：D． 二、多选题 4．（2023·海南海口·模拟预测）随着社会的发展，人们的环保意识越来越强了，某市环保部门对辖区内A、B、C、D四个地区的地表水资源进行检测，按照地表水环境质量标准，若连续10天，检测到地表水粪大肠菌群都不超过200个/L，则认为地表水粪大肠菌群指标环境质量稳定达到Ⅰ类标准，否则不能称稳定达到Ⅰ类标准.已知连续10天检测数据的部分数字特征为：A地区的极差为20，75%分位数为180；B地区的平均数为170，方差为90；C地区的中位数为150，极差为60；D地区的平均数为150，众数为160.根据以上数字特征推断，地表水粪大肠菌群指标环境质量稳定达到Ⅰ类标准的地区是（    ） A．A地区 B．B地区 C．C地区 D．D地区 【答案】AB 【分析】根据平均数、方差、众数、中位数、极差、百分位数的知识对各地区进行分析，从而确定正确选项. 【详解】根据题意，设数据的最大值为，最小值为，每天的检测数据为， 对于地区，极差为，，又由分位数为，则，则，丁地区一定达标； 对于地区，由，则， 如果这个数据中有一个数据大于，则必有，矛盾， 所以这个数据均不大于，地区一定达标； 对于地区，数据150、150、150、150、150、150、150、150、150，210，满足中位数为150，极差为60，地区可能没有达标； 对于地区，数据140、150、150、100、100、160、160、160、160，220，满足平均数为150，众数为160，地区可能没有达标； 故选：AB 5．（2024·广东·模拟预测）已知样本数据，则这组数据的（ ） A．众数为 B．平均数为 C．上四分位数为 D．方差为 【答案】ACD 【分析】利用众数，平均数，方差，上四分位数公式逐个选项分析求解即可. 【详解】首先，我们把数据从小到大排列，得到， 对于A：观察得数据出现的次数最多，所以众数为，故A正确； 对于B：平均数为，故B错误； 对于C：因为一共有个数据，且， 所以上四分位数为第个数，故上四分位数为，故C正确； 对于D：方差为， ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 6．（2024·陕西西安·一模）某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为，．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为 ． 【答案】 【分析】利用频率分布直方图计算、估计数学成绩的中位数. 【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间的频率为， 数学成绩在区间的频率为， 因此数学成绩的中位数，且，解得， 所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为. 故答案为： 四、解答题 7．（高三上·黑龙江·期末）本小题满分12分） 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲      82      81      79      78      95      88      93      84 乙      92      95      80      75      83     80      90      85 （Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据； （Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）派甲比较合适 【分析】（I）根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据． （II）根据所给的数据做出两个人的平均数和方差，把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，但是乙的方差大于甲的方差，得到要派甲参加． 【详解】解：（Ⅰ）作出茎叶图如图： （Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：（78+79+81+82+84+88+93+95）＝85 （75+80+80+83+85+90+92+95）＝85， [（78﹣85）2+（79﹣85）2+（81﹣85）2+（82﹣85）2+（84﹣85）2+（88﹣85）2+（93﹣85）2+（95﹣85）2]＝35.5， [（75﹣85）2+（80﹣85）2+（80﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]＝41 ∵，， ∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． 8．在十四运射击选拔赛中，某代表队甲、乙两人所得成绩如下表所示： 甲 10.3 10 10.5 9.9 乙 9.9 10.1 10.2 10.1 (1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差； (2)根据（1）的结果，你认为甲、乙两人中谁更适合参加最终比赛？ 【答案】(1)甲、乙两人成绩的平均数都是10.1；甲成绩的方差为0.068；、乙成绩的方差为0.012 (2)乙更适合参加最终比赛． 【分析】（1）利用平均数与方差的计算公式求解即可； （2）利用（1）中结论，分析甲、乙两人的成绩情况即可得解. 【详解】（1）依题意，得， ， ， ． （2）∵， ∴甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩更稳定． ∴甲、乙两人中乙更适合参加最终比赛． 9．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园知识大赛，全市共有名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，组委会将初赛成绩分成组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. (1)试估计这名学生初赛成绩的平均数及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中位数精确到0.01） (2)组委会在成绩为的学生中用分层抽样的方法随机抽取人，然后再从抽取的人中任选取人进行调查，求选取的人中恰有人成绩在内的概率. 【答案】(1)平均数76，中位数约为76.67. (2)． 【分析】（1）利用频率分布直方图，根据平均数和中位数的计算方法即可求得答案； （2）确定成绩为的学生中成绩在和内的人数比例，即可确定抽查的5人中各组抽的人数，列举出抽取的人中任选取人的所有可能情况，再列出选取的人中恰有人成绩在内的情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】（1）， 设中位数为，因为前组的频率之和为， 而前2组的频率之和为，所以， 由， 解得：， 故可估计这500名学生初赛成绩的中位数约为； （2）根据分层抽样，由频率分布直方图知成绩在和内的人数比例为， 所以抽取的5人中，成绩在内的有人，记为，； 成绩在内的有人，记为，，， 从5人中任意选取2人，有，，，，，，，，，，共10种可能； 其中选取的2人中恰有1人成绩在区间内的有，，，，，，共6种可能； 故所求的概率为． 10．（2024·四川成都·模拟预测）课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟． 时长 学生人数 50 100 200 125 25 (1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率． 【答案】(1)49； (2). 【分析】（1）利用频率分布表估算平均数即可得解. （2）求出两个指定区间内的人数，利用列举法求出概率. 【详解】（1）依题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数 ， 所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49． （2）抽取的6人中寒假期间每天课外阅读平均时长在内有：人，在内有4人， 记内的2人为A，B，记内的4人为， 从这6人中随机选2人的基本事件有： ，共15种， 其中至少有一人每天课外阅读平均时长在的基本事件有，共9种， 设“选取的2人中至少有一人每天课外阅读平均时长在”，则． 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）某市年深入实施创新驱动发展战略，新产业新产品增势良好．调研统计了家企业，得到了他们的科技创新月平均新增收益如下：（单位：百万元），则其百分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由百分位数的计算方法求解即可； 【详解】因为， 所以从小到大排列取第个数为． 故选：C． 2．（2024·浙江宁波·一模）研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（   ） A．7 B．7.5 C．7.8 D．8 【答案】B 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解. 【详解】由于 样本数据的第60百分位数值是：小时； 故选：B 3．（2024·吉林长春·一模）一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据百分位数的概念计算即可求解. 【详解】由题意知，该组数据共有8个，则 所以第25百分位数为. 故选：B 4．（2024·山东菏泽·一模）已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（    ） A．极差 B．平均数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】由数据特征可直接判断. 【详解】样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，假设从小到大就是从到，极差可能变化，故A错； 平均数为，可能变，故B错； 中位数还是按从小到大排序中间位置的数，故C正确； 方差为，有可能变，故D错. 故选：C 5．（23-24高三下·河南·阶段练习）高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由长方形的面积和为1求出，再由第75百分位数的定义求解； 【详解】因为，所以. 参赛成绩位于内的频率为， 第75百分位数在内， 设为，则， 解得5，即第75百分位数为85， 故选：C. 6．（2024·甘肃白银·一模）2014年1月至9月全国城镇调查失业率依次为，则（   ） A．这组数据的众数为 B．这组数据的极差为 C．这组数据的分位数为 D．这组数据的平均数大于 【答案】D 【分析】由众数､极差､百分位数和平均数计算公式即可求解. 【详解】由题意得这组数据的众数为和，极差为，A，B错误. 因为，所以这组样本数据的分位数为，C错误. 这组数据的平均数为，D正确. 故选：D 7．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A．图（1）的平均数＝中位数＞众数 B．图（2）的众数＜中位数＜平均数 C．图（2）的平均数＜众数＜中位数 D．图（3）的中位数＜平均数＜众数 【答案】B 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A错误； 图（2）频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，平均数大于中位数，故B正确，C错误； 同理图（3）“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，故D错误. 故选：B. 8．（2023·上海普陀·一模）已知一组数据3、1、5、3、2，现加入，两数对该组数据进行处理，若经过处理后的这组数据的极差为，则经过处理后的这组数据与之前的那组数据相比，一定会变大的数字特征是（    ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 【答案】B 【分析】根据平均数、方差、众数和中位数的概念，并通过举反例即可判断. 【详解】对A，将原数据从小到大进行排序得1,2,3,3,5；其平均数为，众数为3，中位数为3， 若加入的数据为，则平均数，众数为3，中位数为3，平均数、众数和中位数均不变，故ACD错误； 对B，因为加入，两数后，极差变为，则数据波动程度变大，则方差一定变大，故B正确. 故选：B. 二、多选题 9．（2024·广东佛山·一模）现有甲、乙两组数据，甲组数据为：；乙组数据为：，若甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为，则下列说法一定正确的是（   ） A．乙组数据的平均数为 B．乙组数据的极差为 C．乙组数据的第百分位数为 D．乙组数据的标准差为 【答案】ABC 【分析】根据平均数、极差、标准差的性质及百分位数的定义判断即可. 【详解】不妨设甲组数据从小到大排列为：， 则乙组数据从小到大排列为：， 因为甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为， 则，又，所以， 所以乙组数据的平均数为，故A正确； 乙组数据的极差为，故B正确； 乙组数据的第百分位数为，故C正确； 乙组数据的标准差为，故D错误. 故选：ABC 10．（2024·广东·模拟预测）为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼博的布斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数为：6，6，7，8，9，9，9，10（位：环），则这组样本数据的（    ） A．极差为4 B．平均数是8 C．75%分位数是9 D．方差为4 【答案】ABC 【分析】根据极差、方差、平均数、百分位数定义，结合给定数据求对应值，即可判断各项正误. 【详解】将这组数据从小到大排序，得，这组数据的极差为，故A正确； 平均数为，故B正确； 因为，所以第75%分位数为，故C正确； 方差为，故D错误. 故选：ABC 11．（2024·广东·模拟预测）降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统计图． 下列结论正确的是（   ） A．这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大 B．这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大 C．这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大 D．这年上半年A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大 【答案】ACD 【分析】根据题意将A、B地月降雨量按升序排列，结合平均数、中位数、极差以及百分位数的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：A地月降雨量按升序排列可得：， B地月降雨量按升序排列可得：， 对于选项A：可知A地月平均降雨量为， B地月平均降雨量为， 因为，所以这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正确； 对于选项B：A地月降雨量的中位数为，B地月降雨量的中位数为， 因为，所以A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数小，故B错误； 对于选项C：A地月降雨量的极差为，B地月降雨量的极差为， 因为，A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大，故C正确； 对于选项D：因为， 可知A地月降雨量的分位数为42，B地月降雨量的分位数为40， 且，所以A地月降雨量的分位数比B地月平均降雨量的分位数大，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（2024·上海普陀·模拟预测）下列说法正确的序号是 . ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1 ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 ④若样本数据的方差为4，则数据的方差是16 【答案】①③④ 【分析】对于①，根据古典概型求概率公式得到答案；对于②，根据平均数和方差的计算公式得到②错误；对于③，利用百分位数的定义得到答案；对于④，利用方差的性质和计算公式得到答案. 【详解】对于①，某个个体被抽到的概率为，故①正确； 对于②，，解得， 则方差为，故②错误； 对于③，数据27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排列为，12，14，15，17，19，23，27，30， 由于，其中第6个数为第70百分位数，即23，故③正确； 对于④，设数据的均值为， 则数据的均值为， 因为数据的方差为， 所以数据的方差为 ，故④正确； 故答案为：①③④ 13．（2024·四川成都·模拟预测）某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数为 .（结果保留整数） 【答案】 【分析】由概率之和为计算出后，结合中位数的定义计算即可得. 【详解】，解得， 由，， 设中位数为，则， 有，解得. 故答案为：. 14．（2024·甘肃庆阳·一模）已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，则这组数据的第60百分位数为 ；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为 ． 【答案】 【分析】由百分位数的概念求解即可；由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】将数据从小到大排列为：1，1，2，3，3，5，6，8，共个数， 由于，所以这组数据的第60百分位数为：； 从这组数据中任意抽取2个数据，则样本空间为： ， 共个样本点， 则这2个数据相等的有共个，所以不相等的有个样本点， 所以这2个数据不相等的概率为. 故答案为：； 四、解答题 15．（2024·全国·模拟预测）某杨梅种植户从购买客户中随机抽取20位客户做质量随访调查，其中购买系列（大棚种植）的10位，购买系列（自然种植）的10位，从杨梅的大小、口感、水分、甜度进行综合打分（满分100分），打分结果记录如下： 系列（大棚种植）：84  81  79  76  95  88  93  86  86  92 系列（自然种植）：92  95  80  75  83  87  90  80  85  93 (1)分别写出这两个系列综合打分的中位数． (2)分别求出这两个系列综合打分的平均数与方差，通过上述数据结果进行分析，你认为推广哪种系列种植更合适？ 【答案】(1)系列，系列 (2)系列平均数，方差，系列平均数，方差，推广系列种植更合适 【分析】（1）将两个系列的数从小到大排列后，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的定义求解即可，再根据方差的大小即可决定要推广的系列. 【详解】（1）解：系列的打分结果从小到大排列为76，79，81，84，86，86，88，92，93，95， 所以系列综合打分的中位数为． 系列的打分结果从小到大排列为75，80，80，83，85，87，90，92，93，95， 所以系列综合打分的中位数为． （2）解：系列综合打分的平均数， 方差． 系列综合打分的平均数， 方差． 因为两个系列综合打分的中位数相等，平均数相等，方差满足， 所以推广系列种植更合适． 16．（2024·全国·模拟预测）某市物理教研员在一次高二全市统考后为了了解本市物理考试情况，从全市高二学生中随机抽取50名对其物理成绩（单位：分，成绩都在内）进行统计，制成频率分布直方图如图所示： (1)求的值，并以样本估计总体，求本次全市统考物理成绩的中位数； (2)从样本中物理成绩在与的学生中随机抽取2人，求这2人的物理成绩均不低于90分的概率． 【答案】(1)，中位数为 (2) 【分析】（1）由概率和为1计算的值，由频率分布直方图中位数的计算公式计算中位数. （2）根据频率分布直方图计算成绩在与的学生人数，列举法分别求出随机抽取2人总的情况数和中抽取2人的情况数，做比即可求出概率. 【详解】（1）由题知，， 解得． ， ， 故设中位数为，则，则，解得， 所以本次全市统考物理成绩的中位数为68分． （2）由题知，样本中物理成绩在的学生人数为，设为， 物理成绩在的学生人数为，设为， 从这7人中随机抽取2人的所有情况为，，，，共21种不同情况， 记事件为“这2人的物理成绩均不低于90分”，则事件包含的情况有，共6种不同情况， ，所以这2人的物理成绩均不低于90分的概率为． 17．（2024·四川德阳·二模）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问名学生，并对这名学生的个性化作业进行评分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成，，六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为30人． (1)求的值； (2)估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数． 【答案】(1) (2)平均数为；中位数为 【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图的性质，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，结合平均数与中位数的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，， ， 解得. （2）平均数为. 因为， 所以中位数在之间，设中位数为， 则，解得. 18．（2020·重庆九龙坡·模拟预测）为应对新冠疫情，重庆市于2020年1月24日启动重大突发公共卫生事件一级响应机制，要求市民少出门，少聚集，于是快递业务得到迅猛发展．为满足广大市民的日常生活所需，某快递公司以优厚的条件招聘派送员，现给出了两种日薪薪酬方案， 甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元； 乙方案：底薪150元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励10元． （Ⅰ）请分别求出这两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式； （Ⅱ）根据该公司所有派送员10天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格： 日均派送单数 50 54 56 58 60 频数（天） 2 3 2 2 1 回答下列问题： ①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出这10天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差； ②结合①中的数据，根据统计学的思想，若你去应聘派送员，选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．（参考数据：172＝289，372＝1369） 【答案】（Ⅰ）甲方案：乙方案：（Ⅱ）答案见解析 【分析】（Ⅰ）根据题设条件得出甲方案，分类讨论的取值，得出乙方案； （Ⅱ）①根据（Ⅰ）中得到的结果，结合平均数和方差的计算公式计算即可； ②根据平均数和方差的意义判断即可. 【详解】（Ⅰ）由题意可知，甲方案日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为 对于乙方案，当，时， 当，时， 即甲方案日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为 （Ⅱ）①甲方案日薪X的平均数为 方差 乙方案日薪X的平均数为 方差 ②答案一：由①可知，则选择乙方案比较合适； 答案二：由①可知，虽然，但二者相差不大，且大于，即甲方案日工资收入波动相对较小，则选择甲方案. 【点睛】本题主要考查了平均数和方差在实际问题中的应用，属于中档题. 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2024·贵州遵义·二模）样本数据11 ，12 ，13 ，15 ，16 ，13 ，14 ，15 ，11的第一四分位数为（    ） A．11.5 B．12 C．12.5 D．13 【答案】B 【分析】把样本数据由小到大排列，再利用第一四分位数的定义求解即得. 【详解】样本数据由小到大排列为11 ，11，12 ，13 ，13 ，14 ，15 ，15，16 ， 由，得样本数据的第一四分位数为12. 故选：B 2．（2024·全国·二模）样本数据12，8，32，10，24，22，12，33的第60百分位数为（    ） A．8 B．12 C．22 D．24 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用第60百分位数的定义求解即得. 【详解】样本数据12，8，32，10，24，22，12，33，按从小到大排序为8，10，12，12，22，24，32，33， 由，得样本数据的第60百分位数为升序排列的第五个数，即22. 故选：C 3．（2022·黑龙江·一模）下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物（）的观测值： 396    275    268    225    168    166    176    173    188    168    141    157 若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是（    ） A．极差 B．中位数 C．众数 D．平均数 【答案】C 【分析】根据题意，由平均数、方差、众数、中位数的计算方法，依次分析是否发生改变，即可得答案． 【详解】解：根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为396+25＝421， 极差为最大值与最小值的差，要发生改变， 加入数据前，中位数为，加入数据后，中位数为176，发生改变， 众数为数据中出现次数最多的数，不会改变， 平均数体现数据的整体水平，要发生改变. 故选：C. 4．（2022·湖北荆州·模拟预测）酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是（    ） A．甲地：均值为7，方差为2 B．乙地：众数为3，中位数为2 C．丙地，均值为4，中位数为5 D．丁地：极差为，中位数为8 【答案】A 【分析】对于选项AC，首先假设不达标，通过均值、中位数和方差的公式运算，检验假设是否成立，对于选项BD，根据众数，极差和中位数的定义即可判断 【详解】不妨设8天中，每天查获的酒驾人数从小到大为 且其中 选项A，若不达标，则，由均值为7可知，则其余七个数中至少有一个数不等于7，由方差定义可知，，这与方差为2矛盾，从而甲地一定达标，故A正确 选项B：由众数和中位数的定义可知，当，，，时，乙地不达标，故B错误 选项C：若不达标，则，由均值为7可知，因为中位数是5，所以 又因为均值为4，故，从而， 且，则，，，满足题意，从而丙地有可能不达标，故C错误 选项D：由极差和中位数的定义可知，当， 时，丁地不达标，故D错误 故选：A 二、多选题 5．（2023·福建福州·模拟预测）已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（    ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．第40百分位数 【答案】AD 【分析】根据中位数，平均数，方差及百分位数的定义，举例说明即可. 【详解】设这个数分别为， 且， 则中位数为， 去掉最大和最小的数据，得，中位数为， 故中位数一定不变； 由，得的第40百分位数为， 由，得的第40百分位数为， 故第40百分位数不变， 设这个数分别， 则平均数为， 去掉最大和最小的数据为， 此时平均数为，所以此时平均数改变了； 设这个数分别， 则平均数为， 方差为 ， 去掉最大和最小的数据为， 则平均数为， 方差为， 所以此时方差都改变了. 故选：AD. 6．（2024·福建泉州·模拟预测）某校在开展“弘扬中华传统文化，深植文化自信之根”主题教育的系列活动中，举办了“诵读国学经典，传承中华文明”知识竞赛．赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年和高二年学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（    ） A．高一年抽测成绩的众数为75 B．高二年抽测成绩低于60分的比率为 C．估计高一年学生成绩的平均分低于高二年学生成绩的平均分 D．估计高一年学生成绩的中位数低于高二年学生成绩的中位数 【答案】ACD 【详解】根据频率分步直方图､样本的数字特征等基础知识判断即可． 【试题解析】选项A：高一年学生成绩的众数为区间的中点横坐标，故A正确； 选项B：高二年学生成绩得分在区间的学生人数频率为， 所以低于60分的比率为，故B错误； 选项C：高一年学生成绩的平均数约为分； 高二年学生成绩的平均数约为分， 因为，故C正确； 选项D：高一年学生成绩的中位数位于，高二年学生成绩的中位数位于，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题 7．（2024·安徽·模拟预测）一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是 . 【答案】6 【分析】先依据题意列等量关系式求出m，再依据百分位数的定义以及求解步骤直接求解即可得解. 【详解】由题该组数据的极差为，中位数为， 所以，又， 所以该组数据的第40百分位数是该组数据的第三位数为6. 故答案为：6. 8．（2023·辽宁葫芦岛·一模）某校进行了物理学业质量监测考试，将考试成绩进行统计并制成如下频率分布直方图，a的值为 ；考试成绩的中位数为 ． 【答案】 /0.035 【分析】根据频率之和为1即可求解，由面积之和为0.5的位置为中位数即可列方程求解. 【详解】由频率分布直方图可知：， 设中位数为，则， 故答案为：0.035， 四、解答题 9．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示． （Ⅰ）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （Ⅱ）你认为哪位运动员的成绩更稳定？ （Ⅲ）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率． 【答案】（1）甲运动员得分的中位数为22，乙运动员得分的中位数为23.；（2）甲运动员的成绩更稳定； （3） 【详解】18．解：（Ⅰ）运动员甲得分的中位数是22，运动员乙得分的中位数是23………2分 （Ⅱ）…………………3分 …………………4分 …………………………………………………………………………………5分 ……………………………………………………………………………………………6分 ，从而甲运动员的成绩更稳定………………………………7分 （Ⅲ）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49 ……8分 其中甲的得分大于乙的是：甲得14分有3场，甲得17分有3场，甲得15分有3场 甲得24分有4场，甲得22分有3场，甲得23分有3场，甲得32分有7场，共计26场 ……………10分 从而甲的得分大于乙的得分的概率为………………………………12分 10．（2021·黑龙江大庆·一模）2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动． （1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？ （2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？ （3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下： 前10天剩菜剩饭的重量为： 后天剩菜剩饭的重量为： 借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）． 【答案】（1）6，4，2；（2）；（3）答案见解析. 【分析】（1）先求出抽样比，然后每次按比例抽取即可求出； （2）先求出抽出两人的基本事件，再求出两人都是高二学生包含的基本事件，即可求出概率； （3）可求出平均值进行判断；也可画出茎叶图观察判断. 【详解】解：（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为， 所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人. （2）记高二四个学生为1，2，3，4，高三两个学生为5，6，抽出两人表示为（x，y）， 则抽出两人的基本事件为 （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6） 共15个基本事件， 其中高二学生都在同一组包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个基本事件. 记抽出两人都是高二学生为事件，则， 所以高二学生都在同一组的概率是. （3）法一：（数字特征）前10天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5， 因为20.5<23.5， 所以宣传节约粮食活动的效果很好. 法二：（茎叶图）画出茎叶图 因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近， 所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$