第八章 实数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024，云南专用）

第八章 实数（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如果，那么x的值是（    ） A．4 B．3或 C． D．3 3．若n为自然数，对下面判断正确的是（    ） A．一定无意义 B．一定有意义 C．若n为奇数，则必有意义 D．一定成立 4．一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 5．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（    ） A． B． C． D． 6．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间 7．若，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 8．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列说法中，正确的个数是（ ） 的立方根是；的算术平方根是；的立方根为；是的平方根． A．1 B．2 C．3 D．4 10．电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（    ） A．2.4A B． C．4.8A D． 11．如图，点和表示的数分别为和，下列式子中，错误的是（   ） A． B． C． D． 12．已知m，n为两个连续的整数，且，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 13．如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 14．用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（    ） A．计算，按键：   B．计算，按键：   C．计算，按键：   D．计算，按键：   15．如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 17．若，，则 ． 18．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为 ． 19．若一个四位数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且满足：，十位数字与个位数字的平方差恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则称这个四位数M为“最美巧合数”． 例如：，，∴是“最美巧合数”，又如：，，∴不是“最美巧合数”．判断 “最美巧合数”（填“是”或“不是”）．记，，若为整数，能被3整除，则满足条件的所有M中最小的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．计算：． 21．把下列各数对应的序号填在相应的横线上： ①，②，③0，④，⑤10%，⑥，⑦2013，⑧0.101001001…（两个“1”之间依次多一个“0”）． 正分数：_________________；无理数：_____________；非负整数：___________． 22．已知的平方根为，且的平方根为，求的算术平方根． 23．为了制作某城市雕塑，需要把一根截面面积为高为的长方体钢体熔铸成两个正方体，其中大正方体的棱长是小正方体的棱长的3倍，求这两个正方体的棱长． 24．已知：实数a，b满足． (1)可得___________，___________； (2)若一个正实数m的两个平方根分别是和，求x和m的值． 25．定义新运算“@”与“”：, (1)计算的值； (2)若，比较A和B的大小 26．阅读理解题 在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即， 如图1． 在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2 下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题． 例如：求代数式的最小值． 解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即． 当时，即点A在点B的左边时，，如图3： 当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4； 当时，即点A在点C的右边时，，如图5； 由此可知，当时，有最小值3． 问题：请你模仿上述研究方法： (1)求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围． (2)求代数式的最小值是________． 27．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式 由于，设，① 则，② ②-①得，解得，于是得． 同理可得，． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【类比应用】 （1）__________，______________； （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【迁移提升】 （3）___________，_________（注：，） 【拓展发现】 （4）①试比较与的大小：_________；（填“”“”或“”） ②若已知，则______________． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的计算．熟练掌握相关计算法则是解题关键． 根据求平方根、算术平方根和立方根的计算法则逐一判断，即可得解． 【详解】A. ∵，∴A正确； B. ∵，∴B不正确； C. ∵，∴C不正确； D. ∵，∴D不正确． 故选：A． 2．如果，那么x的值是（    ） A．4 B．3或 C． D．3 【答案】B 【分析】根据平方根的定义解方程即可． 【详解】， 开平方得， 解得或， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用平方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 3．若n为自然数，对下面判断正确的是（    ） A．一定无意义 B．一定有意义 C．若n为奇数，则必有意义 D．一定成立 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义．根据立方根、平方根定义进行判断即可． 【详解】解：当为偶数，时，有意义， 当为偶数时，必有意义，不一定成立， 故C正确，ABD错误． 故选：C． 4．一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式计算即可，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为， 故选：C． 5．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将这列数据改写成：，，，，，…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可． 【详解】解：，，，，，…可写出： ，，，，，…， ∴第10个数为， 故选：D． 【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律． 6．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在5和6之间． 故选：B． 7．若，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的平方根，根据非负数的性质得到，则，再根据若两个实数a、b满足，那么a就叫做b的平方根进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故选：B． 8．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方运算，算术平方根的定义，以及实数的混合运算进行判断． 【详解】A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查实数的混合运算，熟记运算法则是解题的关键． 9．下列说法中，正确的个数是（ ） 的立方根是；的算术平方根是；的立方根为；是的平方根． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据立方根、平方根的定义即可求解． 【详解】的立方根是，正确； 的算术平方根是7，故错误； 的立方根为，正确； 是的平方根，正确． 故选C． 【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知立方根、平方根的定义． 10．电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（    ） A．2.4A B． C．4.8A D． 【答案】B 【分析】将所给数据代入求解即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∴， ∴（负值不符合实际情况，舍去） ∴电流的值是． 故选：B． 【点睛】本题考查了求代数式的值，平方根的应用，掌握实数的运算法则是解题的关键 11．如图，点和表示的数分别为和，下列式子中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，实数的大小比较，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．由数轴得，，，，，从而作出判断． 【详解】解：由数轴得，，，，，故A正确，B错误； ∴，，故B、D正确． 故选：C． 12．已知m，n为两个连续的整数，且，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算和代数式求值问题，熟练掌握和运用无理数估算的方法是解决本题的关键． 根据无理数的估算，即可求得，据此即可解答． 【详解】解：∵，而， ， 又∵是两个连续整数，且满足， ， ， 故选：C． 13．如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数． 【详解】解： 正方形的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 . 故选：A. 14．用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（    ） A．计算，按键：   B．计算，按键：   C．计算，按键：   D．计算，按键：   【答案】B 【分析】根据计算器键功能键列式计算，即可解答．此题考查了利用计算器的能力，熟练掌握各键功能是解题的关键． 【详解】解：A．求按键：   ，故选项错误，不符合题意； B．求按键：   ，故选项正确，符合题意； C．求按键：  ，故选项错误，不符合题意； D．求按键：   ，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 15．如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， 从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， ∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91， 故选B． 【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是2， ∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是， 故答案为：2；． 17．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根，根据算术平方根和立方根定义先求出x、y值，再代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 18．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，先求出的长，再求出点E的坐标即可． 【详解】正方形的面积为3， ． ． 的坐标为，E在点A的右侧， 的坐标为． 故答案为：． 19．若一个四位数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且满足：，十位数字与个位数字的平方差恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则称这个四位数M为“最美巧合数”． 例如：，，∴是“最美巧合数”，又如：，，∴不是“最美巧合数”．判断 “最美巧合数”（填“是”或“不是”）．记，，若为整数，能被3整除，则满足条件的所有M中最小的值为 ． 【答案】 是 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义即可判断8091是否是“最美巧合数”；根据且为整数，可得或；当时，则，进而得到一定能被12整除，要满足M最小，则a要最小，据此从小到大讨论a的值，从而确定b的值，进而确定c、d的值即可． 【详解】解：∵， ∴8091是“最美巧合数”； ∵且为整数， ∴或； 当时，则， ∵能被3整除， ∴一定能被12整除， ∵要满足M最小， ∴a要最小， 当时，， ∴此时，则， ∴要满足M最小，则c要最小， ∴， ∴满足题意所有M中最小的值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据乘方、算术平方根、立方根的定义运算即可求解，掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 21．把下列各数对应的序号填在相应的横线上： ①，②，③0，④，⑤10%，⑥，⑦2013，⑧0.101001001…（两个“1”之间依次多一个“0”）． 正分数：_________________；无理数：_____________；非负整数：___________． 【答案】②⑤，④⑧，③⑦ 【分析】根据正分数、无理数、非负整数的概念分类即可得答案． 【详解】=-4，=3.5， ∴正分数：_②__⑤_____ 无理数：__④___⑧____ 非负整数：__③____⑦___ 故答案为：②⑤，④⑧，③⑦ 【点睛】本题考查了实数，无理数是无限不循环小数，有理数是无限循环小数或有限小数．熟练掌握相关定义是解题关键． 22．已知的平方根为，且的平方根为，求的算术平方根． 【答案】3 【分析】本题考查平方根，算术平方根，根据平方根的定义求得，的值，然后将其代入中计算后利用算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：的平方根为，且的平方根为， ， 解得：， ， 9的算术平方根为3， 的算术平方根为3． 23．为了制作某城市雕塑，需要把一根截面面积为高为的长方体钢体熔铸成两个正方体，其中大正方体的棱长是小正方体的棱长的3倍，求这两个正方体的棱长． 【答案】这两个正方体的棱长分别为和 【分析】此题主要考查了正方体的体积公式和立方根的定义．解决本题的关键是理解铸造前后总体积不变，需注意正方体的棱长应是体积的三次方根．因为长方体钢块铸成两个正方体后体积不发生改变，可设小正方体棱长为，由题意列方程即可求出其棱长的值． 【详解】解：设小正方体棱长为，则大正方体的棱长为，由题意得： ， 即， ， ， ， 答：这两个正方体的棱长分别为和． 24．已知：实数a，b满足． (1)可得___________，___________； (2)若一个正实数m的两个平方根分别是和，求x和m的值． 【答案】(1)，3 (2)， 【分析】（1）非负数之和等于0时，各项都等于0，得到，，即可求出a、b的值； （2）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，即可求出x的值，由平方根的定义即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，3． （2）由题意可得：， ∴． ∵，， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查非负数的性质：算术平方根、绝对值，平方根，关键是掌握平方根的性质，非负数的性质． 25．定义新运算“@”与“”：, (1)计算的值； (2)若，比较A和B的大小 【答案】（1）1；（2）. 【分析】(1)根据题意新运算的符号进行求解； (2)根据新运算符号分别求出A、B的值在进行比较大小即可. 【详解】解：(1)根据题意得： ； (2) , , , . 【点睛】本题考查新运算，解题关键在于对题意得理解. 26．阅读理解题 在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即， 如图1． 在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2 下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题． 例如：求代数式的最小值． 解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即． 当时，即点A在点B的左边时，，如图3： 当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4； 当时，即点A在点C的右边时，，如图5； 由此可知，当时，有最小值3． 问题：请你模仿上述研究方法： (1)求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围． (2)求代数式的最小值是________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点距离，掌握数轴上两点距离，分区间结合数形结合的方法是解题关键． （1）由对应的数为，对应的数为，表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可； （2）如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为，可得表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可． 【详解】（1）解：如图，对应的数为，对应的数为， ∵表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和， ∴当时，； 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 综上：当代数式取最小值时，相应的x的取值范围为：． （2）如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为， ∴表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和， 当重合时，即时， ∴， 当时，如图， ， 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 综上：当时，的最小值为． 27．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式 由于，设，① 则，② ②-①得，解得，于是得． 同理可得，． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【类比应用】 （1）__________，______________； （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【迁移提升】 （3）___________，_________（注：，） 【拓展发现】 （4）①试比较与的大小：_________；（填“”“”或“”） ②若已知，则______________． 【答案】（1），；（2）；（3），；（4）①；②. 【分析】（1）根据阅读材料的解答过程，循环部只有一位数时，用循环部的数除以9即为分数，进而求出答案． （2）循环部有两位数时，参照阅读材料的解答过程，可先乘以100，再与原数相减，即求得答案． （3）循环部有三位小数时，用循环部的3位数除以999；对于，可先求对应的分数，再除以10得，再加上2得答案． （4）根据循环部除以9的做法，＝1；观察与，循环部的数字之和刚好等于，所以可以求出这两个循环小数的和为3，从而求出的值． 【详解】解：（1） ， 4+=4+=+＝ 故答案为：；； （2）设x=0.272727…，① ∴100x=27.272727…，② ②-①得：99x=27 解得：x= ∴x= ∴= （3）＝ ∵= ∴0.0181818…=＝ ∴2+2+＝ 故答案为：;; （4）①==1 故答案为：= ②∵+=2+=2+1=3 ∴=3-= 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数运算、比较大小，一元一次方程的解法．解题关键是，正确理解题意的解答过程并转化运用到循环部数字不一样的情况计算． / 学科网（北京）股份有限公司 $$