四川省成都市邛崃市第一中学校2024-2025学年高二上学期1月期末调研考试数学试题

成都市邛崃一中2024-2025学年度上期高二年级调研考试 数 学 本试卷满分150分，考试时间150分钟。 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，只将答题卡交回。 第I卷（选择题） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求. 1．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线，弦过其焦点，分别过弦的端点的两条切线交于点，点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若．则（    ） A． B． C． D． 7．在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 8．已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知一组数据，则下列结论正确的有（    ） A．若，则这组数据的众数为1 B．若，则这组数据的分位数为3 C．若，则这组数据的平均数的最小值为 D．若，则这组数据的平均数的最小值为2 10．已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（    ） A． B．若，则直线倾斜角的正弦值为 C．若的面积为6，则直线的斜率为 D．过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为 11．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有（    ） A．三棱锥的体积为定值． B．无论点在线段的什么位置，都有平面平面 C．线段上存在点，使平面平面． D．为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．甲、乙、丙、丁、戊、己名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第次传球之后球在乙手中的概率为，则 . 13．已知椭圆的离心率为，且过点，动直线交椭圆于不同的两点、，且（为坐标原点），则 ． 14．已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为 ． 四、解答题;本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知， (1)求线段垂直平分线所在直线方程 (2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程 16．甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同．现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放入另一袋中，重复进行n次这样的操作后，记甲袋中的白球数为，甲袋中恰有一个白球的概率为 (1)求； (2)求的解析式； (3)求． 17．已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若点与点关于点对称，点，求的最大值和最小值； (3)过点的直线与点的轨迹相交于两点，点，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由. 18．如图，在直三棱柱中，分别是的中点，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 19．已知椭圆：（）的焦距为，，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8. (1)求椭圆的标准方程. (2)对于，是否存在实数，使得直线分别交椭圆于点，且？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B B D D B ABC ACD 题号 11 答案 ABD 12． 13．2 14． 15．（1）因为点，． 所以线段的中点坐标为，直线的斜率为， 因此直线的中垂线的斜率为， 因此线段的垂直平分线所在直线方程为， 即； （2）因为直线过点，，， 当直线的斜率不存在时，显然不合题意， 设直线的方程为，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 16．（1）记第次交换后甲袋中恰有两个白球的概率为， 则第次交换后甲袋中恰有零个白球的概率为， 由题意得． ； （2）由（1）知， 所以，且， 从而数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 即； （3）显然的所有可能取值为0，1，2， 且， ， 即，从而， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 17．（1）由已知， 化简得，即， 所以点P的轨迹方程为； （2）依题意，设， 因为点与点关于点对称，，所以点P坐标为， 因为点P在圆上运动，所以， 即点Q的轨迹方程为， 不妨设， ， 其中， 则当时，取得最大值； 当时，取得最小值； （3）由题意知的斜率一定存在， 不妨假设存直线的斜率为k，且，则， 联立方程：， 所以， 又因为直线不经过点，则， 因为点到直线的距离，， 所以， 因为， 所以当时，取得最大值2，此时， 所以直线的方程为或. 18．（1）由为直三棱柱，得平面，又， 以为原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设， 由题意可得：， 于是，， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然，即平面，而平面， 所以平面. （2）由（1）可知，平面的一个法向量为，显然轴垂直于平面， 不妨取其法向量为，设所求的平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 19．（1）因为的周长为 ，所以， 又因为，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2） 设，设中点为， 联立，消去整理得，， 所以，即， 所以或， 又由韦达定理可得，， 所以， 所以， 因为，所以， 由或，可知，直线的斜率均存在，且都不等于零， 所以，即， 整理得，解得， 又因为或，所以满足题意， 所以存在. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$