第二章《二次函数》 单元试卷 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

一、选择题 1. B 2. D 3. D 4. C 5. A 6. C 7. B 8. D 9. D 10. C 二、填空题 11. 5 12. 4 13. y＝2x2＋4x－3(答案不唯一) 14. －1 15. x<－2或x>1 16. _(1＋，2)或(1－，2) 3、 解答题 17.解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴抛物线y＝－x2＋4x＋5的开口方向向下、对称轴为直线x＝2、顶点坐标为(2，9) 18.解：∵y＝mx2＋(m－1)x＋m－1有最小值0，∴＝0，m＞0，解得m＝1 19.解：令y＝0，则－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)，令x＝0，则y＝3，∴C(0，3) 20.解：设此二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，将(0，3)，(－3，0)，(2，－5)代入得解得∴此二次函数表达式为y＝－x2－2x＋3 21.解：(1)把点(1，－2)，(－2，13)代入y＝ax2＋bx＋1，得解得　(2)由(1)得函数表达式为y＝x2－4x＋1，把x＝5代入y＝x2－4x＋1得y1＝6，∵y2＝12－y1＝6，∴y1＝y2，又∵对称轴为直线x＝2，∴＝2，解得m＝－1 22.解：(1)把A(1，0)代入y1＝kx＋1，得k＋1＝0，解得k＝－1；把A(1，0)代入y2＝ax2＋bx－2，得a＋b－2＝0①，而－＝－，即b＝3a②，联立①②，解得a＝，b＝　(2)由(1)可得抛物线的表达式为y＝x2＋x－2，联立方程组得∴B(－6，7)，由图象可知，当－6＜x＜1时，y1＞y2，∴不等式kx＋1＞ax2＋bx－2的解集为－6＜x＜1 23.解：(1)设销售单价定为每千克x元，获得利润为w元，则w＝(x－40)[500－(x－50)×10]＝－10x2＋1400x－40000＝－10(x－70)2＋9000，故当x＝70时，利润最大为9000元．答：要使月销售利润达到最大，销售单价应定为70元 (2)令y＝8000，则－10(x－70)2＋9000＝8000，解得x1＝60，x2＝80.当60≤x≤80时，y不低于8000.所以当销售单价不小于60元而不大于80元时，商场获得的周销售利润不低于8000元 24.解：(1)将点(0，4)代入y1＝x2＋bx＋c，得c＝4，∵二次函数的对称轴为直线x＝1，∴－＝1，解得b＝－2，则此二次函数的表达式为y2＝x2－2x＋4　(2)∵b＝－(k＋1)，c＝2k＋3，y1＝x2－(k＋1)x＋2k＋3＝x2－(k＋1)x＋()2－()2＋2k＋3＝(x－)2－k2＋k＋，∴顶点的横坐标为：，顶点的纵坐标为：－k2＋k＋，即－(k－3)2＋5，∴当k＝3 时，顶点移动到最高处，此时抛物线的顶点坐标为(2，5)　(3)由(1)可知，y1＝x2－2x＋4，由 y2>y1 得2x2＋x＋m>x2－2x＋4，即x2＋3x＋m－4>0，令y3＝x2＋3x＋m－4，它的对称轴是直线x＝－且开口向上，∴在0≤x≤1内，y3 随x的增大而增大，要使得当0≤x≤1时，总有y2>y1，即y3＝x2＋3x＋m－4>0，则只需当x＝0时，y3>0即可，因此有m－4≥0，解得m≥4 25.解：(1)∵OA＝6，OB＝，∴A(－6，0)，B(，0)，∴抛物线的表达式为：y＝a(x＋6)(x－)＝ax2＋ax－8a，∴－8a＝－8，解得a＝1，∴抛物线的表达式为：y＝x2＋x－8　 (2)令x＝0，则y＝－8，∴C(0，－8)，∴直线AC的表达式为：y＝－x－8.连接AC，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，设点P的横坐标为t，∴P(t，t2＋t－8)，Q(t，－t－8)，∴QP＝－t－8－(t2＋t－8)＝－t2－6t，∴S△APC＝(xC－xA)·QP＝×6×(－t2－6t)＝－3t2－18t，又∵OA＝6，OC＝8，∴S△OAC＝·OA·OC＝×6×8＝24.∴S四边形AOCP＝S△APC＋S△OAC＝－3t2－18t＋24＝－3(t＋3)2＋51，∴当t＝－3时，四边形AOCP面积的最大值为51　(3)存在，理由如下：若点P到AB和AC两边的距离相等，则AP是∠BAC的平 分线，设AP与y轴交于点D，过点D作DE⊥AC于点E，∵AP平分∠BAC，AB⊥OC，DE⊥AC，∴OD＝DE，OA＝AE＝6，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10，设OD＝m，∴CD＝8－m，CE＝4，在Rt△DEC中，由勾股定理可得，42＋m2＝(8－m)2，解得m＝3，∴D(0，－3)，∴直线AD的表达式为：y＝－x－3，令－x－3＝x2＋x－8，解得x＝－6(舍去)或x＝，∴P(，－) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章《二次函数》 单元测试卷 (时间：120分钟　　满分：120分) 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列函数，是二次函数的是( ) A．y＝－4x＋1 B．y＝－x2＋4x C．y＝(x－1)2－x2 D．y＝－＋1 2. 抛物线y＝3(x－4)2＋5的顶点坐标为( ) A．(－4，－5) B．(－4，5) C．(4，－5) D．(4，5) 3. 用配方法将y＝x2－6x＋11化成y＝a(x－h)2＋k的形式为( ) A．y＝(x＋3)2＋2 B．y＝(x－3)2－2 C．y＝(x－6)2－2 D．y＝(x－3)2＋2 4. 抛物线y＝－x2经过平移后得到y＝－(x＋2)2－5，其平移方法是( ) A．向右平移2个单位，再向下平移5个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移5个单位 C．向左平移2个单位，再向下平移5个单位 D．向左平移2个单位，再向上平移5个单位 5. 抛物线的顶点为(1，－4)，与y轴交于点(0，－3)，则该抛物线的解析式为( ) A．y＝x2－2x－3 B．y＝x2＋2x－3 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2－3x－3 6. 如表是一组二次函数y＝x2＋x－1的自变量x与函数值y的对应值． x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －0.44 －0.25 －0.04 0.19 0.44 由上表可知，方程x2＋x－1＝0的一个近似解是( ) A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 7. 已知抛物线y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y<0，则x的取值范围是( ) A．－1<x<4 B．－1<x<3 C．x<－1或x>4 D．x<－1或x>3 　　　　 8. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列结论中，正确的是( ) A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线x＝4 C．当x>4时，y随x的增大而减小 D．当x<4.5时，y随x的增大而增大 9. 如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1 m处达到最高点C，高度为3 m，水柱落地点D离池中心A处4 m，则水管的顶端B距水面的高度AB为( ) A．2 B． C． D． 10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝－1.若点A的坐标为(－4，0)，则下列结论正确的是( ) A．2a＋b＝0 B．4a－2b＋c>0 C．x＝2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根 D．点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，当x1>x2>－1时，y1<y2<0 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 已知关于x的二次函数y＝(x－3)2＋5，则函数值y的最小值是_______． 12. 已知函数y＝x2－8x＋9，当x>_______时，y随x的增大而增大． 13. 请写出一个二次函数表达式，使其图象开口向上，且与y轴交于负半轴：________． 14. 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此抛物线的对称轴是直线x＝________． 15. 二次函数y＝－x2－x＋2的图象如图所示，则函数值y<0时x的取值范围是________． 　　　 16. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为_______． 三、解答题(一)(本大题共4小题，第17、18题各5分，第19、20题各6分，共22分) 17. 求抛物线y＝－x2＋4x＋5的开口方向、对称轴、顶点坐标． 18. 已知二次函数y＝mx2＋(m－1)x＋m－1有最小值为0，求m的值． 19. 已知二次函数y＝－x2－2x＋3的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，交y轴于点C.求点A，B，C三点的坐标． 20. 已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，且与x轴交于A，B两点．试确定此二次函数的表达式． 四、解答题(二)(本大题共3小题，第21题8分，第22、23题各9分，共26分) 21. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13). (1)求a，b的值； (2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值． 22. 如图，直线y1＝kx＋1与抛物线y2＝ax2＋bx－2交于A，B两点，且点A的坐标为(1，0)，抛物线的对称轴是直线x＝－. (1)分别求k和a，b的值； (2)求不等式kx＋1＞ax2＋bx－2的解集． 23. 某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克．若销售价每涨1元，则月销售量减少10千克． (1)要使月销售利润达到最大，销售单价应定为多少元？ (2)要使月销售利润不低于8000元，销售单价应如何定？ 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分) 24. 已知关于x的二次函数y1＝x2＋bx＋c(实数b，c为常数). (1)若二次函数的图象经过点(0，4)，对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式； (2)若b＝－(k＋1)，c＝2k＋3，则该抛物线的顶点随着k的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； (3)记关于x的二次函数y2＝2x2＋x＋m，若在(1)的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的取值范围． 25. 已知，如图，抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝6，OB＝，点P为x轴下方的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接AP，CP，求四边形AOCP面积的最大值； (3)是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$