1.3.1 带电粒子在匀强磁场中的运动（专题训练）【六大题型】-2024-2025学年高中物理同步知识点解读与专题训练（人教版2019选择性必修第二册）

1.3.1 带电粒子在匀强磁场中的运动（专题训练）【六大题型】 【考点1 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径与周期公式】 1 【考点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算】 10 【考点3 带电粒子在直边界磁场中运动】 21 【考点4 带电粒子在弧形边界磁场中运动】 33 【考点5 根据粒子运动确定磁场区域的范围】 43 【考点6 临界状态的不唯一形成多解】 49 【考点1 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径与周期公式】 1．正电子是电子的反粒子，正电子与电子的质量相等，带的电荷量也相等，与电子不同的是正电子带正电。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场（方向未画出），从P点先后发出两个电子和一个正电子，三个粒子的运动轨迹如图中1、2、3所示。下列说法正确的是（　　） A．轨迹1对应的粒子初速度最大 B．磁场方向垂直于纸面向里 C．轨迹3对应的粒子运动速度越来越大 D．轨迹2对应的粒子做匀速圆周运动的周期最大 【答案】B 【详解】B．根据题图可知，1和3粒子绕转动方向一致，则1和3粒子为电子，2为正电子，电子带负电且顺时针转动，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，故B正确； C．电子在云室中运行，洛伦兹力不做功，但粒子受到云室内填充物质的阻力作用，所有粒子的速度越来越小，故C错误； A．带电粒子若仅在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，则有 解得半径为 根据题图可知轨迹3对应的粒子运动的半径最大，速度最大，故A错误； D．根据周期表达式有 可知三个粒子的周期相同，故D错误。 故选B。 2．如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿直径AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，下列说法正确的是（　　）    A．从P点射出的粒子与从Q点射出的粒子在磁场中运动轨道半径之比为3∶1 B．从P点射出的粒子与从Q点射出的粒子在磁场中做匀速圆周运动周期之比为2∶1 C．从P点射出的粒子与从Q点射出的粒子在磁场中速率之比为1∶3 D．两粒子分别从A到P、Q经历时间之比为3∶1 【答案】A 【详解】A．做出带电粒子运动轨迹如图所示，根据几何关系可知，到达P点的粒子在磁场中转过的角度为，到达Q点的粒子在磁场中转过的角度为 设圆形磁场的半径为R，根据几何关系可得 ， 解得 故A正确； B．带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 得圆周运动半径 圆周运动周期 周期与粒子速度无关，只与粒子比荷和磁感应强度有关，所以从P点射出的粒子与从Q点射出的粒子在磁场中做匀速圆周运动周期相同，故B错误； C．带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得 从P点射出的粒子与从Q点射出的粒子在磁场中运动轨道半径之比为3∶1，可知速度之比也为3:1，故C错误； D．两粒子圆周运动周期相同，到达P点的粒子在磁场中转过的角度为，到达Q点的粒子在磁场中转过的角度为，可得 得 故D错误； 故选A。 3．如图所示，一水平导线通以电流I，导线正下方有一电子，初速度方向与电流垂直，关于电子的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．沿路径b运动，电子距离导线越近运动半径越小 B．沿路径b运动，电子距离导线越近运动半径越大 C．沿路径a运动，电子距离导线越近运动半径越小 D．沿路径a运动，电子距离导线越近运动半径越大 【答案】A 【详解】根据安培定则可知，导线下方的磁场方向垂直纸面向外，结合左手定则可知，电子只能沿沿路径b运动，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可知 解得 故越靠近导线，磁感应强度越大，则其轨道半径越来越小。 故选A。 4．（多选）如图所示，矩形虚线框内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。、、是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子的动能最大 C．粒子在磁场中运动的时间最长 D．粒子在磁场中运动时的向心力最大 【答案】AD 【详解】A．根据左手定则可知，粒子a运动方向与四指指向相同，则粒子带正电，故A正确； B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有 粒子运动的动能 解得 根据图像可知，粒子圆周运动的半径最大，则粒子的动能最大，故B错误； C．粒子圆周运动的周期 可知圆周运动周期相等，根据图像可知，粒子圆弧对应的圆心角最大，则粒子在磁场中运动的时间最长，故C错误； D．粒子磁场中的向心力由洛伦兹力提供，则有 结合上述可知，粒子的动能最大，则粒子的速度最大，可知，粒子在磁场中运动时的向心力最大，故D正确。 故选AD。 5．（多选）磁聚焦技术常用于电子透镜等高科技仪器中，如图所示，半径为R的半圆的圆心为O，AC 为直径，E为AO的中点，F为OC的中点，平行直线AB和CD与半圆围成的区域内没有磁场，成为电子的入射通道。入射通道的外侧足够大空间有垂直纸面向里的匀强磁场。平行电子束的速度方向与BA一致，速度大小为v，电子的质量为m，电荷量为e，这些电子经过磁场的偏转后将汇聚于一点。下列说法正确的是（    ） A．磁聚焦的汇聚点为A点 B．要实现磁聚焦，磁感强度必须 C．经过E点的电子在磁场中运动的时间后到达汇聚点 D．经过F点的电子在磁场中运动的时间后到达汇聚点 【答案】AB 【详解】A．根据磁聚焦原理结合左手定则可知，磁聚焦的汇聚点为A点，故A正确； B．要实现磁聚焦，轨迹圆的半径与区域圆的半径相等 解得 故B正确； C．经过E点的电子在磁场中运动轨迹如图所示 轨迹的圆心角为 经过E点的电子在磁场中运动 到达汇聚点，故C错误； D．经过F点的电子在磁场中运动轨迹如图所示 轨迹的圆心角为 经过F点的电子在磁场中运动 时间后到达汇聚点，故D错误。 故选AB。 6．如图所示，以O点为圆心、R为半径的圆形区域内，存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，电子在电子枪中由静止加速后沿AO方向垂直进入磁场区域，偏转后从M点射出并垂直打在荧光屏PQ上的N点。已知荧光屏PQ平行于AO，电子的质量为m、带电荷量为e，不计电子受到的重力，求： (1)电子在磁场中的运动时间t； (2)电子枪中的加速电压U。 【详解】（1）如图所示，电子在圆形磁场中的运动轨迹为圆周 设电子进入磁场时的速度大小为v，则有 其中 解得 （2）根据动能定理有 解得 7．在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子（不计重力）在t=0时刻沿Oc边从O点射入磁场中。已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定垂直于纸面向外为磁场的正方向。 (1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0。 (2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值。 (3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小。 【详解】（1）带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得 又 联立，解得 （2）如图所示， 若带电粒子不能从Oa边射出，则有 解得 在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转150°角，运动时间为 可知磁场使粒子每次变向的最长时间是t，带电粒子不能从Oa边射出，则有 磁感应强度的变化周期的最大值 （3）若要粒子从b点沿着ab方向射出磁场，轨迹如图所示 在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转的角度为，其中，即 满足这一条件的磁感应强度变化的周期 每一个圆弧对应的弦长OM为 圆弧半径为 又 联立，解得 【考点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算】 8．如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从b点沿ba方向以初速度大小v（未知）射入磁场，粒子仅能从正方形cd边（含c、d两点）射出正方形区域，该粒子在磁场中运动时间为t，不计粒子的重力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．粒子在磁场中圆周运动周期 洛伦兹力提供向心力 得 如果粒子从c点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，可知粒子圆周运动的圆周角为 所用时间为 如果粒子从d点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，可知粒子圆周运动的圆周角为，所用时间为 所以粒子运动时间t，有 故AB错误； CD．如果粒子从c点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，根据几何关系，射出磁场时的速度反向延长线通过a点，磁场的边长为L，设粒子的轨道半径为r，由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 如果粒子从d点射出，画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，根据几何关系 由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 粒子仅能从正方形cd边（含c、d两点）射出正方形区域，所以 C错误，D正确。 故选D。 【点睛】 9．科学家利用磁场控制带电粒子的轨迹，研究粒子的性质。如图，左下方空间内有垂直纸面向里的匀强磁场，。现有电荷量相同、质量不同的甲、乙两种正粒子，先后从上点以平行于的相同速度射入磁场，甲、乙分别经过上、两点，，不考虑粒子间相互作用力及重力，则（　　） A．乙在磁场中运动的轨道半径为 B．乙的质量是甲质量的2.5倍 C．甲在磁场中运动时间大于乙 D．洛伦兹力对甲、乙均做正功 【答案】B 【详解】A．乙在磁场中做匀速圆周运动的圆心为，做相关辅助线如下 由图可知 有几何关系有乙在磁场中运动的轨道半径为 故A错误； B．由牛顿第二定律有 化简可得 由图可知 即有 结合可知 即乙的质量是甲质量的2.5倍，故B正确； C．由公式，且乙粒子的运动轨迹大于甲粒子的运动轨迹，两粒子入射速度大小相同，即有 故C错误； D．洛伦兹力对进入磁场中的两粒子均不做功，故D错误。 故选B。 10．如图所示，虚线上方存在范围足够大的匀强磁场，两个正、负电子以相同的速度从虚线上的点沿与虚线成角的方向射入磁场中。负电子经过时间运动到虚线上的点，已知，不计电子的重力。若正电子运动到虚线上的点（图中未画出），则下列说法正确的是（    ） A．点在点左侧，且 B．点在点左侧，且 C．正、负电子在磁场中运动的时间之差为 D．正、负电子在磁场中运动的时间之差为 【答案】A 【详解】AB．正、负电子的质量相等、电性相反，在磁场中的偏转方向相反，故点在点左侧，运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 可知正、负电子在磁场中运动的轨道半径相等，由几何关系可知 故A正确，B错误； CD．正、负电子在磁场中运动的周期相同，负电子的轨迹对应的圆心角为，运动时间 正电子的轨迹对应的圆心角为，运动时间 正、负电子在磁场中运动的时间之差为，故CD错误。 故选A。 11．（多选）如图所示，在坐标系的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面的匀强磁场。一比荷为k不计重力的带正电的粒子，从x轴上的M点（图中未画出）沿y轴正方向射入磁场，随后从点以与x轴负方向成角离开第二象限，则（　　） A．B的方向垂直于纸面向外 B．粒子运动速度的大小为kBa C．M点的坐标为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【答案】CD 【详解】A．轨迹如图，带正电的粒子从M点逆时针转动，根据左手定则，可知B的方向垂直于纸面向里，故A错误； B．根据几何知识可知 粒子的旋转半径 根据洛伦兹力提供向心力 将比荷带入解得 故B错误； C．M点的水平位置 M点的坐标为，故C正确； D．通过几何知识可知，圆心角 周期为 粒子在磁场中运动的时间为 联立解得 故D正确。 故选CD。 12．（多选）一质子和一α粒子同时无初速度地进入加速电场，经电压U加速后，立刻又进入同一匀强磁场，下列说法正确的是（　　） A．质子和α粒子在磁场中运动的速度之比为 B．质子和α粒子在磁场中运动半径之比为 C．质子和α粒子在磁场中运动周期之比为 D．质子和α粒子在磁场中所受洛伦兹力之比为 【答案】BC 【详解】A．设质量为m、电量为q的粒子无初速度进入加速电场，经电压U加速后，由动能定理有 解得 题意可知质子和α粒子电荷量之比为 质量之比为 联立以上可得质子和α粒子速度之比为 故A错误； B．设匀强磁场磁感强度为B，在磁场中粒子由洛伦兹力提供向心力得 解得 又因为 整理得 因为质子和α粒子电荷量、质量满足 ， 联立以上可得质子和α粒子在磁场中运动半径之比为 故B正确； C．由周期 以上可知质子和α粒子电荷量、质量满足 ， 联立以上可得质子和α粒子在磁场中运动周期之比为 故C正确； D．由洛伦兹力 因为质子和α粒子速度之比为 电荷量之比为 联立解得质子和α粒子在磁场中所受洛伦兹力之比为 故D错误。 故选 BC。 13．如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够大平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L处有一个点状的粒子放射源S，它向平面内各个方向均匀发射带正电的粒子（重力不计），粒子的速度大小都是v。（已知粒子的电荷与质量之比为，磁感应强度大小为B，速度大小，发射源与ab板距离为L），现只考虑在图纸平面中运动的粒子，求： (1)ab上被粒子打中的区域的长度。 (2)击中ab板的粒子中运动最长和最短的时间之差是多少。 (3)各个方向均匀发射的粒子中有多少占比的粒子可以击中ab板。 【详解】（1）由牛顿第二定律得 解得 轨迹如图示： 上被粒子打中的区域的长度 （2）击中板的粒子中运动最长时间，使粒子竖直向下运动，轨迹圆与相切，轨迹圆的弧长为周长，所用时长 最短的时间使粒子与竖直方向成向上运动，轨迹圆的弦长最短，此时粒子在磁场中运动的时间最短，轨迹圆的弧长为周长，所用时长 击中板的粒子中运动最长和最短的时间之差 （3）沿竖直向上方向射出粒子与屏相切粒子走过的弧长为周长的，沿竖直向下方向射出粒子与屏相切粒子走过的弧长为周长的，二者夹角为180°，即粒子射出在S点右侧的打在平面感光板上，各个方向均匀发射的粒子中有占比的粒子可以击中板。 14．如图所示，存在垂直平面向外、大小为（T）的磁场，另有与正交的电场，为空间任意点到点的距离，、为系数。一质量为、带电荷量为（）的粒子绕点做顺时针匀速圆周运动，电场跟随带电粒子同步绕圆心转动，电场方向与速度方向夹角保持不变。带电粒子重力不计，运动时的电磁辐射忽略不计。则： (1)若（T·m），，求粒子做匀速圆周运动的周期大小；（用、、表示） (2)若，，，求粒子做匀速圆周运动的线速度大小；（用、、表示） (3)若带电粒子运动时还受到阻力，阻力大小与速度大小成正比，方向与速度方向相反，即，为系数。当半径为时，带电粒子的角速度大小恒为，求此时带电粒子运动速度的大小（可以用、、、、表示）和； (4)当带电粒子运动到图中的A点时，撤掉原电场和磁场，整个空间处于垂直平面向外、大小为的匀强磁场中，阻力大小仍与速度大小成正比，方向仍与速度方向相反，试判断并分析带电粒子停止的位置能否在的连线上。 【详解】（1）若（T·m），，则 ，E=0 即洛伦兹力提供向心力，有 又 联立，解得 （2）若，，，则 ， 即电场力提供向心力，有 解得 （3）带电粒子运动速度的大小 带电粒子在水平面内做匀速率圆周运动，则粒子在运动方向上所受合力为零，即 洛伦兹力与电场力的分力的合力提供向心力 又 解得 （4）以A为原点，方向为轴，切线方向为轴，建立坐标系。 若能停在的连线上，轴方向，由动量定理，可得 若能停在的连线上，那么 解得 则 解得 同理，轴方向由动量定理可得 若能停在的连线上，则 则 ， 两者矛盾，所以不能停在的连线上。 【考点3 带电粒子在直边界磁场中运动】 15．如图所示，纸面内abc区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，∠b = 30°一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在纸面内从A点垂直于bc边以速度v0射入磁场，粒子在磁场中的运动轨迹刚好与ab边相切于C点（图中未标出）。若仅将磁场反向，带电粒子仍从A点垂直于bc边以速度v0射入磁场，并从ab边上D点（图中未标出）射出磁场。不计粒子的重力，则下列说法错误的是（　　） A．b点到A点的距离等于 B．粒子从A运动到C所用的时间为 C．粒子从A运动到C的时间与从A运动到D的时间相等 D．粒子从D射出时速度的偏向角为30° 【答案】C 【详解】A．粒子在磁场中做圆周运动有 得半径为 设b点到A点的距离为s，根据几何关系有 解得 A正确； BC．粒子在磁场中做圆周运动有 结合 可得 粒子从A运动到C的时间为 粒子从A运动到D的时间为 B正确，C错误； D．由几何关系可知，磁场反向后，粒子从A射入从D射出时速度偏向角为30°，D正确。 本题选说法错误的，故选C。 16．如图所示，平面内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，有粒子打到能发光的荧光屏、长度均为，分别与x、y轴重合。坐标为的点P处有一粒子源，可向纸面内各个方向以相同速率发射带电粒子（t时间内发射的总粒子数为n），荧光屏被全部点亮。已知粒子质量为m、带电荷量为，不计粒子重力和粒子间相互作用，粒子加速前的速度可忽略。则粒子源的最小发射功率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一步：求恰被完全点亮时粒子的速率。作出恰被完全点亮时打到N点的粒子轨迹，如图甲所示 由几何关系可知，粒子的轨迹半径 由洛伦兹力提供向心力有 可得 第二步：求恰被完全点亮时粒子的速率。作出恰被完全点亮时打到M点的粒子轨迹，如图乙所示，由几何关系可知，粒子的轨迹半径满足 由洛伦兹力提供向心力有 可得 第三步：结合粒子速率计算粒子源发射功率。结合上述分析可知，荧光屏恰全部点亮时粒子源发射粒子的速率为，则t时间内粒子源做的功等于发射粒子的动能，有 则粒子源的发射功率 故选A。 17．如图所示，直角△ABC内（包括边界）存在垂直纸面向外的匀强磁场，∠ACB = 30°,∠ABC = 90°，在AB边上距离A点为L的O点有一个质子源，向AB边右侧180°范围内发射速度大小相同、方向不同的质子，所有质子恰好不能从AC边和BC边离开三角形区域。则直角△ABC的面积至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，由题意可知，质子从O点竖直向上进入磁场时轨迹应恰好与AC边相切，由几何关系可知 质子恰好不从BC边离开时的运动轨迹为与BC边相切的半圆，故AB边长的最小值为 所以直角△ABC的面积的最小值为 故选C。 18．如图所示，ab、cd和ef是同一竖直平面内的竖直线，ab、cd间有图示方向的匀强磁场。一带电粒子（不计重力）从ab上的点M以水平速度v垂直射入磁场，过ef上的点N时，速度偏离原方向θ=45°。若M、N两点间的水平距离与竖直距离之差为a（a>0），匀强磁场的磁感应强度大小为B，该粒子的比荷为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，作出粒子的运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 根据题意 联立解得 故选A。 19．（多选）如图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，∠B为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始在一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为l C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为l2 【答案】ACD 【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直BC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T，粒子运动的周期为 又有 联立解得 故A正确； B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有 又由 联立解得 画出该粒子的运动轨迹如图所示 设轨迹半径为R，由几何知识得 ＋Rcos 30°＝l 可得 故B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力 解得粒子射入磁场的速度大小为 故C正确； D．射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积如图所示，则为 S＝πR2＋R·Rcos 30°＝ 故D正确。 故选ACD。 20．（多选）如图所示，ABCD是边长为的正方形，是以点为圆心的圆弧。在BC、CD与之间（含边界）充满垂直正方形所在平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。在点有一粒子源，可向正方形内各个方向均匀发射速度大小相等、质量为、电荷量为的带电粒子。已知沿AC方向发射的粒子恰好不从BC边射出磁场，不计粒子重力以及粒子间的碰撞和相互作用，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度大小为 B．粒子速度大小为 C．若增大粒子的发射速度，则能返回到点的粒子在磁场中运动的时间不变 D．若增大粒子的发射速度，则能返回到点的粒子在磁场中运动的时间变长 【答案】AD 【详解】AB．如图所示，设沿AC方向发射的粒子的运动轨迹与BC相切于点，与BD相交于点、，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可得 解得 又由牛顿第二定律 解得 故A正确， B错误； CD．由几何关系可知，粒子速度越大，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径越大，能返回到点的粒子对应的越大，粒子在磁场中运动轨迹的圆心角越大，又由 知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期不变，因此，若增大粒子的发射速度，能返回到点的粒子在磁场中运动的时间 将变长，故C错误，D正确。 故选AD。 21．（多选）如图甲所示，水平粗糙绝缘地面上方虚线内有方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为+q的物块（可视为质点）在纸面内向磁场运动。物块在t = 0时刻沿地面垂直磁场方向进入磁场，之后的运动中物块的动能与时间的Ek − t关系图像如图乙所示，图像中Z点为曲线切线斜率绝对值最大的位置，整个运动过程物块始终未离开地面。已知重力加速度为g，则（　　） A．物块从左边进入磁场 B．物块从右边进入磁场 C．图中Z点对应的速度大小 D．图中Z点对应的速度大小为 【答案】AC 【详解】AB．根据题意分析可知，物体的合力为摩擦力f，图像斜率绝对值 图乙可知，图像斜率绝对值在增大，速度在减小，所以受到的摩擦力增大，洛伦兹力减小，所以洛伦兹力向上，物体的速度向右，即t = 0时刻，物块从左边进入磁场，故A正确，B错误； CD．设物体在磁场中运动时速度为v，结合以上分析，物体受到的摩擦力大小为 所以斜率绝对值 由数学知识可得斜率绝对值最大时 故C正确，D错误。 故选AC。 22．如图所示，以直角三角形为边界的三角形区域内，有方向垂直纸面向里的磁感应强度大小为的匀强磁场（边界有磁场），，，在点发射质量为、电荷量为的带负电的粒子（不计重力作用），发射方向与边的夹角为，粒子从边射出磁场。求： (1)粒子在磁场中运动时间； (2)粒子入射速度最大值。 【详解】（1）根据题意可知，若粒子从边射出磁场，运动轨迹如图所示 由几何关系可知，轨迹所对圆心角 根据牛顿第二定律有 又有 整理可得 则粒子在磁场中运动时间 （2）假设粒子以最大速度从A点进入磁场，与OC相切于D点，最终从AC边射出，此时粒子的运动半径最大，如图所示 由几何关系有 解得 根据牛顿第二定律有 解得 23．磁谱仪是对未知粒子识别和分离的装置。如图为一种磁谱仪的工作原理图，圆弧形电极可以收集粒子，并用辐射型电场对粒子进行加速，使粒子进入磁场。已知圆弧形电极关于y轴对称，圆心在坐标原点O，圆心角为，轴上方存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x轴的正半轴放置感光底片；圆弧形电极与坐标原点O间的电势差为U，氕核、氘核自圆弧形电极均匀无初速度释放，被电场加速后自O点进入磁场。已知氕核的质量为m，电荷量为q，重力影响不计，求： (1)氕核在磁场中运动的轨迹半径； (2)感光底片上能同时接收到氕核及氘核两种粒子的长度。 【详解】（1）对氕核在电场中的运动过程，根据动能定理得 氕核在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得 （2）进入磁场方向与x轴夹角为的氕核打到感光底片上的位置坐标 最远能打到的位置坐标 根据（1），氘核在磁场中的轨道半径 进入磁场时速度方向与x轴夹角为的氘核打到感光底片上的位置坐标 最远能打到的位置 重叠部分长度 解得 24．如图所示，相距为d且足够长的两平行挡板MN、PQ之间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。位于PQ上A点的粒子源可源源不断的向纸面内各个方向发射速度大小相同、质量为、电荷量为的带负电粒子，其中沿与成斜向右上方射入两板间的粒子恰好不与板碰撞，不计粒子重力，求： (1)粒子的初速度大小； (2)板上能被粒子击中的长度范围。 【详解】（1）粒子运动轨迹如 由几何关系可得 洛伦兹力提供向心力 联立可得 （2）粒子击中板时临界轨迹如图 由几何关系 故MN板上能被粒子击中的长度范围为 联立可得 【考点4 带电粒子在弧形边界磁场中运动】 25．如图所示，圆形区域半径为，区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为。位于磁场边界最低点处有一粒子源，同时将个带负电的粒子沿纸面内各个方向均匀射入磁场区域，粒子质量为、电荷量大小为、速率均为。为圆形区域水平直径的两个端点，足够长的弹性挡板与圆形区域在两点处相切，所有粒子与挡板垂直碰撞后以原速率反弹，不计粒子的重力和空气阻力，忽略粒子间的相互影响。下列说法中正确的是（　　） A．所有粒子最终离开磁场时速度方向平行 B．所有粒子均与右侧挡板碰撞，最终全部从点离开磁场 C．粒子从点出发到从点离开磁场，运动的最长时间为 D．粒子陆续与挡板碰撞过程中对挡板的平均作用力为 【答案】D 【详解】AB．由洛伦兹力提供向心力，有 可得 r＝R 根据磁聚焦结论做出如图所示的轨迹图 粒子在圆形磁场中射出后均能垂直打在左侧挡板上，反弹后再次进入磁场并全部从点离开磁场，但是离开磁场时的速度方向不是平行的，故AB错误； C．根据磁聚焦可以得出粒子在圆形磁场中运动的两段圆弧圆心角之和为π，每个粒子在磁场中运动的时间均为 这个时间是粒子从P点出发打到A点，然后再从A点到D点，不从A点与挡板碰撞得粒子还会在磁场外做一段匀速直线运动，所以所有粒子从P点出发，从D点离开的最短时间为，故C错误； D．所有粒子到达挡板的最短时间为 最长时间为 粒子与挡板碰撞过程中的作用时间为 对这个n粒子由动量定理可得 解得 故D正确。 故选D。 26．如图所示，圆心为O、半径为R的半圆形区域内有一垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。M、N点在圆周上且MON为其竖直直径。现将两个比荷k相同的带电粒子P、Q分别从M点沿MN方向射入匀强磁场，粒子P的入射速度为v1=v，粒子Q的入射速度为，已知P粒子在磁场中的运动轨迹恰为圆弧，不计粒子的重力，不计粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子P带正电，粒子Q带负电 B．粒子P的周期小于粒子Q的周期 C．粒子Q的轨道半径为 D．粒子P和粒子Q在磁场中的运动时间之比为 【答案】C 【详解】A．两粒子进入磁场时所受洛伦兹力均向左，由左手定则可知，粒子P、Q均带正电，故A错误； B．根据周期公式 两粒子比荷相同，故粒子P和粒子Q的运动周期相同，故B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力 可得 则粒子的半径与速度成正比，故 故C正确； D．作出两粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系得P粒子的轨道半径为 由以上分析可知，粒子的轨道半径与线速度成正比，故Q粒子的轨道半径为 则 可知粒子Q的圆心角为60°，粒子P的圆心角为90°，由于两粒子周期相同，运动时间与圆心角成正比，则粒子P和粒子Q在磁场中的运动时间之比为，故D错误。 故选C。 27．xOy平面内存在垂直于该平面的半径为R的圆形磁场区域，与直角坐标系相切于P、Q两点。一带电粒子从P点以速率v指向圆心方向进入磁场，恰好从Q点离开。若该带电粒子从P点进入磁场时的速度方向变为，如图所示，速度大小不变，不计重力。则该粒子经过x轴时的坐标位置及在第一象限运动的时间分别为（   ） A．, B．, C．, D．, 【答案】A 【详解】由题意带电粒子从P点以速率v指向圆心方向进入磁场，恰好从Q点离开，可知带电粒子在磁场中运动的轨道半径 当粒子以射入磁场时，轨迹如图所示，由几何知识可知，粒子在磁场中运动的圆心角 在磁场中运动的时间 粒子离开磁场后垂直轴向下运动 粒子经过轴时的坐标位置 时间为 故选A。 28．（多选）如图所示，半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。一带负电粒子以速度v0射入磁场区域，速度方向垂直于磁场且与半径方向的夹角为45°。当该带电粒子离开磁场时，速度方向刚好与入射速度方向垂直。不计带电粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．该带电粒子离开磁场时速度方向的反向延长线通过O点 B．该带电粒子的比荷为 C．该带电粒子在磁场中的运动时间为 D．若只改变带电粒子的入射方向，则其在磁场中的运动时间变短 【答案】BD 【详解】A．带负电的粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 从图像上可以看出该带电粒子离开磁场时速度方向的反向延长线不通过O点，故A错误； B．由几何关系知，轨迹所对的圆心角为90°，且轨迹的圆心O′刚好在圆形磁场的边界上，所以轨迹的半径为 r＝R 由 可求得 故B正确； C．运动时间等于弧长除以速度，即 故C错误； D．由图可知，此时轨迹圆弧对应的弦长最长，等于磁场区域的直径，所以在磁场中运动时间也就最长，若改变入射角度，则运动时间变短，故D正确。 故选BD。 29．（多选）地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球且厚度为地球半径的的匀强磁场，方向垂直该剖面，图中给出的速度在图示平面内，从O点沿平行于垂直地面两个不同方向入射的a、b、c三种比荷相同的带电粒子（不计重力）在地磁场中的三条运动轨迹，其中，a、c粒子入射速度方向与地面平行，b粒子入射速度方向与地面垂直，且它们都恰不能到达地面。则下列相关说法中正确的是（　　） A．a粒子带负电，b、c粒子带正电 B．a、c粒子带负电，b粒子带正电 C． D． 【答案】BC 【详解】AB.由左手定则可判断，a、c粒子带负电，b粒子带正电，故A错误，B正确； CD.已知粒子恰好都不能到达地面，结合图形可知粒子的轨迹到达地面时的速度方向都恰好与地面相切。由图可知a粒子的运动直径恰好等于磁场的厚度，即 由图可知c粒子射入的速度与地球平行，运动过程中，其速度方向再次与地球相切，即与地球切线平行，由圆周运动特点可知其轨道直径过地球的直径，即 即a、c两粒子的运动半径之比为 由于洛伦兹力提供向心力 解得 已知粒子的比荷都相同，磁场都相同，故 故C正确，D错误。 故选BC。 30．某装置可以研究带电粒子的运动轨迹，其原理如图所示。在第一象限存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。x轴下方有一个半径为R的圆形区域磁场，方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小也为B，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O。位于x轴正半轴的板MN，长度为，板右端N点横坐标为2R。位于圆形磁场左侧有一个粒子发射装置可以发射一束速度方向平行于x方向的粒子流，已知粒子在y轴方向均匀分布。粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为R。已知速度方向对准A点的粒子经过磁场后刚好从坐标原点O射出。不计粒子的重力及相互作用。求： (1)该粒子流的速度v； (2)入射位置距离x轴的粒子，经过第一象限磁场偏转后到达x轴上的位置x； (3)打到板上M点的粒子经过O点时的速度方向与y轴正方向的夹角θ； (4)能被MN板收集的粒子数占总粒子数的百分比。 【详解】（1）粒子在磁场中的运行半径为R，由 得 （2）作出粒子运动轨迹如图 由几何关系可得粒子经过O点时与y轴正方向的夹角为 （3）M点到O点的距离 由 得 （4）到达N点的粒子入射位置到x轴的距离为R，到达M点的粒子入射位置到x轴的距离为 能被MN板收集的粒子所占的比例为 31．如图所示，空间有垂直于纸面的匀强磁场和，磁感应强度大小均为0.1T，分布在半径的圆形区域内，MN为过其圆心O的竖直线，分布在MN左侧的半圆形区域外。磁场中有粒子源S，S与O的距离，且，某时刻粒子源S沿着纸面一次性向各个方向均匀射出一群相同的带正电粒子，每个粒子的质量、电量、速率，不计粒子之间的相互作用，求 (1)粒子在匀强磁场中运动的半径； (2)能进入圆形区域的粒子所占的比率； (3)最终射出圆形区域时速度方向与SO平行的粒子在磁场中运动的总时间。 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）当粒子的运动轨迹恰好与圆相切时区域的临界情况，如图， 根据几何关系可知 故当粒子恰好向左或向右射出时。能够刚好进入区域，因此能够进入区域的粒子数与发射的粒子总数之比为。 （3）利用反向思维可知，若离子能平行于SO射出。其必然经过圆形轨道最低点，轨迹如图， 则其在区域运动的时间为 在区域运动的时间为 故总时间为 【考点5 根据粒子运动确定磁场区域的范围】 32．如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P1点以速度v射入第一象限所示的区域，入射方向与x轴正方向成α角。为了使该粒子能从x轴上的P2点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成α角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若磁场分布为一个圆形区域，则这一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 则粒子在磁场中做圆周的半径 由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半径等于r的圆上的圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切，如图所示： 则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为R的点就是圆周的圆心。粒子在磁场区域中的轨道就是以为圆心、R为半径的圆上的圆弧ef，而e点和f点应在所求圆形磁场区域的边界上，在通过e、f两点的不同的圆周中，最小的一个是以ef连线为直径的圆周，即得圆形区域的最小半径 则这个圆形区域磁场的最小面积 故选D。 33．（多选）一质量为m、电量为q的带电粒子以速度从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域存在磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电荷 B．带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60° C．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 【答案】BCD 【详解】A．磁场方向垂直于纸面向外，粒子在磁场中顺时针偏转，根据左手定则可知，带电粒子带正电荷，故A错误； B．由题意可知粒子在磁场中速度方向改变了60°，则带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60°，故B正确； C．由洛伦兹力提供向心力得 可得轨道半径为 粒子的运动轨迹如图所示 若是圆形区域磁场，则以CD为直径的圆面积最小，根据几何关系可知，故最小面积为 故C正确； D．若是矩形区域磁场，则以CD为长，以圆弧最高点到CD的距离h为宽，则矩形的面积最小；则有 所以矩形区域磁场最小面积为 故D正确。 故选BCD。 34．竖直平面内有半径为的圆形边界匀强磁场Ⅰ，磁场感应强度大小为，磁场方向垂直xOy平面向内。以圆形边界磁场最底端O为原点建立xOy直角坐标系。一质量、电荷量的正粒子，由沿与x轴负方向进入圆形磁场区域，速度大小，在的某区域存在一个矩形匀强磁场Ⅱ（图中未画出），磁场感应强度与磁场Ⅰ相同，粒子经过该矩形磁场区域后恰能沿x轴负方向再次通过坐标原点O，不计粒子重力。求： (1)粒子从A点到第二次经过O点的运动时间： (2)矩形磁场区域的最小面积。 【详解】（1）粒子在圆形磁场区域，由洛伦兹力提供向心力得 周期 圆形磁场中，连接入射点、磁场圆心、轨迹圆心及出射点构成菱形，转过圆心角为 粒子从O点进入第四象限，速度与轴正向夹角为，在方形磁场中转，所以在两磁场中运动时间为 设粒子从P点进入方形磁场，从Q点离开方形磁场，由几何关系可知 粒子做匀速直线运动时间 全程时间 （2）由几何关系得，矩形磁场区域的最小面积 解得 35．如图所示，一个质量为、带负电荷粒子的电荷量为、不计重力的带电粒子从轴上的点以速度沿与轴成的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于轴射出第一象限。已知。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）让大量这种带电粒子同时从轴上的点以速度沿与轴成0到的方向垂直磁场射入第一象限内，求轴上有带电粒子穿过的区域范围； （3）为了使该粒子能以速度垂直于轴射出，实际上只需在第一象限适当的地方加一个垂直于平面、磁感强度为的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，试求这矩形磁场区域的最小面积。 【详解】（1）粒子运动轨迹半径设为，如图所示 根据几何关系可得 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 （2）粒子从轴上之间射出，设点纵坐标为为轨迹圆的直径，如图所示，由几何关系得 解得 可知轴上有带电粒子穿过的区域范围为 （3）为了使该粒子能以速度垂直于轴射出，实际上只需在第一象限适当的地方加一个垂直于平面、磁感强度为的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，粒子在此磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力可得 解得 如图所示，由几何关系可得矩形磁场区域的最小面积为 解得 【考点6 临界状态的不唯一形成多解】 36．如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】粒子可能在两个磁场间做多次运动，画出粒子可能的轨迹，如图所示 所有粒子对应的圆心角均为，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 当时，可得 故选C。 37．（多选）如图所示，多边形区域内有磁感应强度为B的垂直纸面向里的匀强磁场（边界处有磁场），粒子源P可以沿底边向右发射质量为m、电荷量为的粒子，粒子速率各不相同；右侧边界中点处有一粒子源Q可以在纸面内沿各个方向向磁场内部发射质量为m、电荷量为、速率为的粒子。下列说法正确的是（    ） A．由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为3a B．由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为4a C．由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界（除Q所在的边界）的最短时间为 D．由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界的最长时间为 【答案】AC 【详解】AB．由粒子源P发射的粒子轨迹的圆心在图（a）中虚线上，如图 由可知 轨迹半径r随速度增大而增大。当时，粒子能够到达之间；当时，粒子能够到达之间；当时，粒子能够到达Q点正下方的边界上，A正确，B错误； CD．由粒子源Q发射的粒子，速率相同，将代入 可得 如图（b）所示 粒子首次到达M点的时间最短，由几何关系 则 粒子恰好没有落在M点时，落点为N，此时是首次到达边界的最长时间，由几何关系 所以 故C正确，D错误。 故选AC。 38．如图所示，在xOy坐标平面的第三象限内存在一个与x轴平行的线状粒子源S，其长度为2R，右端紧靠y轴，可以连续不断地产生沿粒子源均匀分布的电量为+q、质量为m的无初速粒子。粒子经y方向的匀强电场加速获得初速度v0后，进入一垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域。该圆形磁场区域与y轴相切，圆心O'坐标为（，0）。在xOy坐标平面的第一象限内依次存在三个宽度均为d、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域I、Ⅱ、Ⅲ，三区域的磁感应强度之比为6∶2∶1，区域Ⅲ的右边界安装了一竖直接地挡板，可吸收打在板上的粒子。已知对准O'射入圆形磁场的粒子将沿着x轴射出；从O点射出、方向与x轴成30°的粒子刚好经过区域I的右边界（未进入区域Ⅱ）。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求： (1)圆形磁场的磁感应强度大小B0； (2)I区域的磁感应强度大小B1； (3)若能从O点出射、方向与x轴成θ的粒子刚好经过区域Ⅱ的右边界（未进入区域Ⅲ），求θ的正弦值； (4)若某段时间内从线状离子源飘出N个粒子，求能打在挡板上的粒子数。 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）设粒子在I区的运动半径为r，根据几何关系有 则 I区域根据洛伦兹力提供向心力有 可得 （3）区域Ⅱ粒子轨迹如图所示 根据几何关系有 ， 解得 ， （4）设与x轴成β方向的粒子正好打到档板，由三个区域的动量定理综合得 解得 由几何关系可得对应在发射源的位置与y轴距离，该点到发射源中点间发射的粒子均能打到档板，所以总共为。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.1 带电粒子在匀强磁场中的运动（专题训练）【六大题型】 【考点1 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径与周期公式】 1 【考点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算】 4 【考点3 带电粒子在直边界磁场中运动】 7 【考点4 带电粒子在弧形边界磁场中运动】 11 【考点5 根据粒子运动确定磁场区域的范围】 15 【考点6 临界状态的不唯一形成多解】 17 【考点1 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径与周期公式】 1．正电子是电子的反粒子，正电子与电子的质量相等，带的电荷量也相等，与电子不同的是正电子带正电。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场（方向未画出），从P点先后发出两个电子和一个正电子，三个粒子的运动轨迹如图中1、2、3所示。下列说法正确的是（　　） A．轨迹1对应的粒子初速度最大 B．磁场方向垂直于纸面向里 C．轨迹3对应的粒子运动速度越来越大 D．轨迹2对应的粒子做匀速圆周运动的周期最大 2．如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿直径AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，下列说法正确的是（　　）    A．从P点射出的粒子与从Q点射出的粒子在磁场中运动轨道半径之比为3∶1 B．从P点射出的粒子与从Q点射出的粒子在磁场中做匀速圆周运动周期之比为2∶1 C．从P点射出的粒子与从Q点射出的粒子在磁场中速率之比为1∶3 D．两粒子分别从A到P、Q经历时间之比为3∶1 3．如图所示，一水平导线通以电流I，导线正下方有一电子，初速度方向与电流垂直，关于电子的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．沿路径b运动，电子距离导线越近运动半径越小 B．沿路径b运动，电子距离导线越近运动半径越大 C．沿路径a运动，电子距离导线越近运动半径越小 D．沿路径a运动，电子距离导线越近运动半径越大 4．（多选）如图所示，矩形虚线框内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。、、是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子的动能最大 C．粒子在磁场中运动的时间最长 D．粒子在磁场中运动时的向心力最大 5．（多选）磁聚焦技术常用于电子透镜等高科技仪器中，如图所示，半径为R的半圆的圆心为O，AC 为直径，E为AO的中点，F为OC的中点，平行直线AB和CD与半圆围成的区域内没有磁场，成为电子的入射通道。入射通道的外侧足够大空间有垂直纸面向里的匀强磁场。平行电子束的速度方向与BA一致，速度大小为v，电子的质量为m，电荷量为e，这些电子经过磁场的偏转后将汇聚于一点。下列说法正确的是（    ） A．磁聚焦的汇聚点为A点 B．要实现磁聚焦，磁感强度必须 C．经过E点的电子在磁场中运动的时间后到达汇聚点 D．经过F点的电子在磁场中运动的时间后到达汇聚点 6．如图所示，以O点为圆心、R为半径的圆形区域内，存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，电子在电子枪中由静止加速后沿AO方向垂直进入磁场区域，偏转后从M点射出并垂直打在荧光屏PQ上的N点。已知荧光屏PQ平行于AO，电子的质量为m、带电荷量为e，不计电子受到的重力，求： (1)电子在磁场中的运动时间t； (2)电子枪中的加速电压U。 7．在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子（不计重力）在t=0时刻沿Oc边从O点射入磁场中。已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定垂直于纸面向外为磁场的正方向。 (1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0。 (2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值。 (3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小。 【考点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算】 8．如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从b点沿ba方向以初速度大小v（未知）射入磁场，粒子仅能从正方形cd边（含c、d两点）射出正方形区域，该粒子在磁场中运动时间为t，不计粒子的重力，则（　　） A． B． C． D． 9．科学家利用磁场控制带电粒子的轨迹，研究粒子的性质。如图，左下方空间内有垂直纸面向里的匀强磁场，。现有电荷量相同、质量不同的甲、乙两种正粒子，先后从上点以平行于的相同速度射入磁场，甲、乙分别经过上、两点，，不考虑粒子间相互作用力及重力，则（　　） A．乙在磁场中运动的轨道半径为 B．乙的质量是甲质量的2.5倍 C．甲在磁场中运动时间大于乙 D．洛伦兹力对甲、乙均做正功 10．如图所示，虚线上方存在范围足够大的匀强磁场，两个正、负电子以相同的速度从虚线上的点沿与虚线成角的方向射入磁场中。负电子经过时间运动到虚线上的点，已知，不计电子的重力。若正电子运动到虚线上的点（图中未画出），则下列说法正确的是（    ） A．点在点左侧，且 B．点在点左侧，且 C．正、负电子在磁场中运动的时间之差为 D．正、负电子在磁场中运动的时间之差为 11．（多选）如图所示，在坐标系的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面的匀强磁场。一比荷为k不计重力的带正电的粒子，从x轴上的M点（图中未画出）沿y轴正方向射入磁场，随后从点以与x轴负方向成角离开第二象限，则（　　） A．B的方向垂直于纸面向外 B．粒子运动速度的大小为kBa C．M点的坐标为 D．粒子在磁场中运动的时间为 12．（多选）一质子和一α粒子同时无初速度地进入加速电场，经电压U加速后，立刻又进入同一匀强磁场，下列说法正确的是（　　） A．质子和α粒子在磁场中运动的速度之比为 B．质子和α粒子在磁场中运动半径之比为 C．质子和α粒子在磁场中运动周期之比为 D．质子和α粒子在磁场中所受洛伦兹力之比为 13．如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够大平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L处有一个点状的粒子放射源S，它向平面内各个方向均匀发射带正电的粒子（重力不计），粒子的速度大小都是v。（已知粒子的电荷与质量之比为，磁感应强度大小为B，速度大小，发射源与ab板距离为L），现只考虑在图纸平面中运动的粒子，求： (1)ab上被粒子打中的区域的长度。 (2)击中ab板的粒子中运动最长和最短的时间之差是多少。 (3)各个方向均匀发射的粒子中有多少占比的粒子可以击中ab板。 14．如图所示，存在垂直平面向外、大小为（T）的磁场，另有与正交的电场，为空间任意点到点的距离，、为系数。一质量为、带电荷量为（）的粒子绕点做顺时针匀速圆周运动，电场跟随带电粒子同步绕圆心转动，电场方向与速度方向夹角保持不变。带电粒子重力不计，运动时的电磁辐射忽略不计。则： (1)若（T·m），，求粒子做匀速圆周运动的周期大小；（用、、表示） (2)若，，，求粒子做匀速圆周运动的线速度大小；（用、、表示） (3)若带电粒子运动时还受到阻力，阻力大小与速度大小成正比，方向与速度方向相反，即，为系数。当半径为时，带电粒子的角速度大小恒为，求此时带电粒子运动速度的大小（可以用、、、、表示）和； (4)当带电粒子运动到图中的A点时，撤掉原电场和磁场，整个空间处于垂直平面向外、大小为的匀强磁场中，阻力大小仍与速度大小成正比，方向仍与速度方向相反，试判断并分析带电粒子停止的位置能否在的连线上。 【考点3 带电粒子在直边界磁场中运动】 15．如图所示，纸面内abc区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，∠b = 30°一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在纸面内从A点垂直于bc边以速度v0射入磁场，粒子在磁场中的运动轨迹刚好与ab边相切于C点（图中未标出）。若仅将磁场反向，带电粒子仍从A点垂直于bc边以速度v0射入磁场，并从ab边上D点（图中未标出）射出磁场。不计粒子的重力，则下列说法错误的是（　　） A．b点到A点的距离等于 B．粒子从A运动到C所用的时间为 C．粒子从A运动到C的时间与从A运动到D的时间相等 D．粒子从D射出时速度的偏向角为30° 16．如图所示，平面内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，有粒子打到能发光的荧光屏、长度均为，分别与x、y轴重合。坐标为的点P处有一粒子源，可向纸面内各个方向以相同速率发射带电粒子（t时间内发射的总粒子数为n），荧光屏被全部点亮。已知粒子质量为m、带电荷量为，不计粒子重力和粒子间相互作用，粒子加速前的速度可忽略。则粒子源的最小发射功率为（　　） A． B． C． D． 17．如图所示，直角△ABC内（包括边界）存在垂直纸面向外的匀强磁场，∠ACB = 30°,∠ABC = 90°，在AB边上距离A点为L的O点有一个质子源，向AB边右侧180°范围内发射速度大小相同、方向不同的质子，所有质子恰好不能从AC边和BC边离开三角形区域。则直角△ABC的面积至少为（　　） A． B． C． D． 18．如图所示，ab、cd和ef是同一竖直平面内的竖直线，ab、cd间有图示方向的匀强磁场。一带电粒子（不计重力）从ab上的点M以水平速度v垂直射入磁场，过ef上的点N时，速度偏离原方向θ=45°。若M、N两点间的水平距离与竖直距离之差为a（a>0），匀强磁场的磁感应强度大小为B，该粒子的比荷为（　　） A． B． C． D． 19．（多选）如图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，∠B为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始在一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为l C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为l2 20．（多选）如图所示，ABCD是边长为的正方形，是以点为圆心的圆弧。在BC、CD与之间（含边界）充满垂直正方形所在平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。在点有一粒子源，可向正方形内各个方向均匀发射速度大小相等、质量为、电荷量为的带电粒子。已知沿AC方向发射的粒子恰好不从BC边射出磁场，不计粒子重力以及粒子间的碰撞和相互作用，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度大小为 B．粒子速度大小为 C．若增大粒子的发射速度，则能返回到点的粒子在磁场中运动的时间不变 D．若增大粒子的发射速度，则能返回到点的粒子在磁场中运动的时间变长 21．（多选）如图甲所示，水平粗糙绝缘地面上方虚线内有方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为+q的物块（可视为质点）在纸面内向磁场运动。物块在t = 0时刻沿地面垂直磁场方向进入磁场，之后的运动中物块的动能与时间的Ek − t关系图像如图乙所示，图像中Z点为曲线切线斜率绝对值最大的位置，整个运动过程物块始终未离开地面。已知重力加速度为g，则（　　） A．物块从左边进入磁场 B．物块从右边进入磁场 C．图中Z点对应的速度大小 D．图中Z点对应的速度大小为 22．如图所示，以直角三角形为边界的三角形区域内，有方向垂直纸面向里的磁感应强度大小为的匀强磁场（边界有磁场），，，在点发射质量为、电荷量为的带负电的粒子（不计重力作用），发射方向与边的夹角为，粒子从边射出磁场。求： (1)粒子在磁场中运动时间； (2)粒子入射速度最大值。 23．磁谱仪是对未知粒子识别和分离的装置。如图为一种磁谱仪的工作原理图，圆弧形电极可以收集粒子，并用辐射型电场对粒子进行加速，使粒子进入磁场。已知圆弧形电极关于y轴对称，圆心在坐标原点O，圆心角为，轴上方存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x轴的正半轴放置感光底片；圆弧形电极与坐标原点O间的电势差为U，氕核、氘核自圆弧形电极均匀无初速度释放，被电场加速后自O点进入磁场。已知氕核的质量为m，电荷量为q，重力影响不计，求： (1)氕核在磁场中运动的轨迹半径； (2)感光底片上能同时接收到氕核及氘核两种粒子的长度。 24．如图所示，相距为d且足够长的两平行挡板MN、PQ之间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。位于PQ上A点的粒子源可源源不断的向纸面内各个方向发射速度大小相同、质量为、电荷量为的带负电粒子，其中沿与成斜向右上方射入两板间的粒子恰好不与板碰撞，不计粒子重力，求： (1)粒子的初速度大小； (2)板上能被粒子击中的长度范围。 【考点4 带电粒子在弧形边界磁场中运动】 25．如图所示，圆形区域半径为，区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为。位于磁场边界最低点处有一粒子源，同时将个带负电的粒子沿纸面内各个方向均匀射入磁场区域，粒子质量为、电荷量大小为、速率均为。为圆形区域水平直径的两个端点，足够长的弹性挡板与圆形区域在两点处相切，所有粒子与挡板垂直碰撞后以原速率反弹，不计粒子的重力和空气阻力，忽略粒子间的相互影响。下列说法中正确的是（　　） A．所有粒子最终离开磁场时速度方向平行 B．所有粒子均与右侧挡板碰撞，最终全部从点离开磁场 C．粒子从点出发到从点离开磁场，运动的最长时间为 D．粒子陆续与挡板碰撞过程中对挡板的平均作用力为 26．如图所示，圆心为O、半径为R的半圆形区域内有一垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。M、N点在圆周上且MON为其竖直直径。现将两个比荷k相同的带电粒子P、Q分别从M点沿MN方向射入匀强磁场，粒子P的入射速度为v1=v，粒子Q的入射速度为，已知P粒子在磁场中的运动轨迹恰为圆弧，不计粒子的重力，不计粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子P带正电，粒子Q带负电 B．粒子P的周期小于粒子Q的周期 C．粒子Q的轨道半径为 D．粒子P和粒子Q在磁场中的运动时间之比为 27．xOy平面内存在垂直于该平面的半径为R的圆形磁场区域，与直角坐标系相切于P、Q两点。一带电粒子从P点以速率v指向圆心方向进入磁场，恰好从Q点离开。若该带电粒子从P点进入磁场时的速度方向变为，如图所示，速度大小不变，不计重力。则该粒子经过x轴时的坐标位置及在第一象限运动的时间分别为（   ） A．, B．, C．, D．, 28．（多选）如图所示，半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。一带负电粒子以速度v0射入磁场区域，速度方向垂直于磁场且与半径方向的夹角为45°。当该带电粒子离开磁场时，速度方向刚好与入射速度方向垂直。不计带电粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．该带电粒子离开磁场时速度方向的反向延长线通过O点 B．该带电粒子的比荷为 C．该带电粒子在磁场中的运动时间为 D．若只改变带电粒子的入射方向，则其在磁场中的运动时间变短 29．（多选）地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球且厚度为地球半径的的匀强磁场，方向垂直该剖面，图中给出的速度在图示平面内，从O点沿平行于垂直地面两个不同方向入射的a、b、c三种比荷相同的带电粒子（不计重力）在地磁场中的三条运动轨迹，其中，a、c粒子入射速度方向与地面平行，b粒子入射速度方向与地面垂直，且它们都恰不能到达地面。则下列相关说法中正确的是（　　） A．a粒子带负电，b、c粒子带正电 B．a、c粒子带负电，b粒子带正电 C． D． 30．某装置可以研究带电粒子的运动轨迹，其原理如图所示。在第一象限存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。x轴下方有一个半径为R的圆形区域磁场，方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小也为B，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O。位于x轴正半轴的板MN，长度为，板右端N点横坐标为2R。位于圆形磁场左侧有一个粒子发射装置可以发射一束速度方向平行于x方向的粒子流，已知粒子在y轴方向均匀分布。粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为R。已知速度方向对准A点的粒子经过磁场后刚好从坐标原点O射出。不计粒子的重力及相互作用。求： (1)该粒子流的速度v； (2)入射位置距离x轴的粒子，经过第一象限磁场偏转后到达x轴上的位置x； (3)打到板上M点的粒子经过O点时的速度方向与y轴正方向的夹角θ； (4)能被MN板收集的粒子数占总粒子数的百分比。 31．如图所示，空间有垂直于纸面的匀强磁场和，磁感应强度大小均为0.1T，分布在半径的圆形区域内，MN为过其圆心O的竖直线，分布在MN左侧的半圆形区域外。磁场中有粒子源S，S与O的距离，且，某时刻粒子源S沿着纸面一次性向各个方向均匀射出一群相同的带正电粒子，每个粒子的质量、电量、速率，不计粒子之间的相互作用，求 (1)粒子在匀强磁场中运动的半径； (2)能进入圆形区域的粒子所占的比率； (3)最终射出圆形区域时速度方向与SO平行的粒子在磁场中运动的总时间。 【考点5 根据粒子运动确定磁场区域的范围】 32．如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P1点以速度v射入第一象限所示的区域，入射方向与x轴正方向成α角。为了使该粒子能从x轴上的P2点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成α角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若磁场分布为一个圆形区域，则这一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）（　　） A． B． C． D． 33．（多选）一质量为m、电量为q的带电粒子以速度从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域存在磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电荷 B．带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60° C．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 34．竖直平面内有半径为的圆形边界匀强磁场Ⅰ，磁场感应强度大小为，磁场方向垂直xOy平面向内。以圆形边界磁场最底端O为原点建立xOy直角坐标系。一质量、电荷量的正粒子，由沿与x轴负方向进入圆形磁场区域，速度大小，在的某区域存在一个矩形匀强磁场Ⅱ（图中未画出），磁场感应强度与磁场Ⅰ相同，粒子经过该矩形磁场区域后恰能沿x轴负方向再次通过坐标原点O，不计粒子重力。求： (1)粒子从A点到第二次经过O点的运动时间： (2)矩形磁场区域的最小面积。 35．如图所示，一个质量为、带负电荷粒子的电荷量为、不计重力的带电粒子从轴上的点以速度沿与轴成的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于轴射出第一象限。已知。 （1）求匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）让大量这种带电粒子同时从轴上的点以速度沿与轴成0到的方向垂直磁场射入第一象限内，求轴上有带电粒子穿过的区域范围； （3）为了使该粒子能以速度垂直于轴射出，实际上只需在第一象限适当的地方加一个垂直于平面、磁感强度为的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个矩形区域内，试求这矩形磁场区域的最小面积。 【考点6 临界状态的不唯一形成多解】 36．如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于上的点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有粒子均能通过上的点，已知，则粒子的速度可能是（    ） A． B． C． D． 37．（多选）如图所示，多边形区域内有磁感应强度为B的垂直纸面向里的匀强磁场（边界处有磁场），粒子源P可以沿底边向右发射质量为m、电荷量为的粒子，粒子速率各不相同；右侧边界中点处有一粒子源Q可以在纸面内沿各个方向向磁场内部发射质量为m、电荷量为、速率为的粒子。下列说法正确的是（    ） A．由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为3a B．由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为4a C．由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界（除Q所在的边界）的最短时间为 D．由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界的最长时间为 38．如图所示，在xOy坐标平面的第三象限内存在一个与x轴平行的线状粒子源S，其长度为2R，右端紧靠y轴，可以连续不断地产生沿粒子源均匀分布的电量为+q、质量为m的无初速粒子。粒子经y方向的匀强电场加速获得初速度v0后，进入一垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域。该圆形磁场区域与y轴相切，圆心O'坐标为（，0）。在xOy坐标平面的第一象限内依次存在三个宽度均为d、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域I、Ⅱ、Ⅲ，三区域的磁感应强度之比为6∶2∶1，区域Ⅲ的右边界安装了一竖直接地挡板，可吸收打在板上的粒子。已知对准O'射入圆形磁场的粒子将沿着x轴射出；从O点射出、方向与x轴成30°的粒子刚好经过区域I的右边界（未进入区域Ⅱ）。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求： (1)圆形磁场的磁感应强度大小B0； (2)I区域的磁感应强度大小B1； (3)若能从O点出射、方向与x轴成θ的粒子刚好经过区域Ⅱ的右边界（未进入区域Ⅲ），求θ的正弦值； (4)若某段时间内从线状离子源飘出N个粒子，求能打在挡板上的粒子数。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$