专题8.3 实数及其简单运算【十大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（人教版2024）

专题8.3 实数及其简单运算【十大题型】 【人教版2024】 【题型1 实数的概念理解】 2 【题型2 实数的运算】 4 【题型3 估算无理数的大小】 6 【题型4 估算无理数的整数部分或小数部分】 9 【题型5 实数与数轴】 11 【题型6 实数的大小比较】 14 【题型7 程序设计中的实数运算】 16 【题型8 新定义中的实数运算】 19 【题型9 实数运算的实际应用】 21 【题型10 实数运算中的规律探究】 24 知识点1：实数 无限不循环小数叫做无理数. 常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． ②含有π的绝大部分数，如2π． 【题型1 实数的概念理解】 【例1】（23-24七年级·陕西西安·期中）下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数； B、是整数，属于有理数； C、是无限不循环小数，属于无理数； D、，属于有理数； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【变式1-1】（23-24七年级·河南安阳·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩ (1)整数集合：（                 ） (2)分数集合：（                 ） (3)无理数集合：（                 ） 【答案】(1)③④⑥ (2)①⑨⑩ (3)②⑤⑦⑧ 【分析】本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键． （1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据无理数的定义作答即可． 【详解】（1）解： ③是整数，④0是整数，⑥是整数， 整数集合： ③④⑥ 故答案为：  ③④⑥ （2）①是分数，⑨是分数，⑩是分数． 分数集合： ①⑨⑩ 故答案为： ①⑨⑩ （3）②是无理数，⑤是无理数，⑦是无理数，⑧ (相邻的两个3之间依次多1个0)是无理数，无理数集合 故答案为： ②⑤⑦⑧ 【变式1-2】（23-24七年级·湖南衡阳·期中）的绝对值是 ，的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题是对绝对值和相反数知识的考查，熟练掌握实数知识是解决本题的关键．根据绝对值和相反数知识求解即可． 【详解】解：绝对值是， 的相反数是：． 故答案为：； 【变式1-3】（23-24七年级·山东日照·期中）已知a，b都是有理数，且，求的值（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是无理数的含义，二元一次方程组的解法，理解题意建立方程组解题是关键．由a，b都是有理数，且，再建立方程组解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b都是有理数， ∴， 解得， 则． 故选：C． 【题型2 实数的运算】 【例2】（23-24七年级·四川泸州·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用乘方的意义及乘法法则计算，第三项利用立方根定义及绝对值的代数意义化简，最后一项利用除法法则变形计算即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】 ． 【变式2-1】（23-24七年级·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了实数的运算，主要涉及算术平方根、立方根、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是关键； （1）分别计算算术平方根、立方根及乘方，再相加减即可； （2）计算绝对值后，再化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-2】（23-24七年级·云南昭通·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．利用实数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式2-3】（23-24七年级·甘肃平凉·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)1 【分析】本题考查了实数的混合运算，结合算术平方根、立方根、乘方的知识，熟练掌握知识、正确计算是解题的关键． （1）先计算算术平方根，立方根，再加减计算即可； （2）先计算算术平方根，立方根，乘方，再加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 知识点2：估算法 （1）若，则； （2）若，则； 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则． 常见实数的估算值：，，． 【题型3 估算无理数的大小】 【例3】（23-24七年级·北京·期中）如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是6， 即大正方形的边长最接近的整数是6， 故选：D． 【变式3-1】（23-24七年级·四川成都·期中）估算的运算结果应在哪两个整数之间(    ) A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】D 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小先利用夹逼法求得的范围，然后可求得的大致范围． 【详解】解：， ， ∵， ， 故选：D． 【变式3-2】（23-24七年级·四川成都·期末）在学习《估算》一课时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家．小丽抽到的卡上写的是，小颖抽到的卡上写的是2，那么赢家是 ． 【答案】小颖 【分析】估算出的大小，继而比较即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， 赢家是小颖， 故答案为：小颖． 【点睛】本题考查了实数大小比较，无理数的估算，估算出的大小是解题的关键． 【变式3-3】（23-24七年级·江苏盐城·期中）下面是小明探索的近似值的过程： 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图． 由图中面积计算， 另一方面由题意知 所以 略去，得方程． 解得．即． (1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） (2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．（用a、b的代数式表示） 【答案】(1)2.25，见解析 (2) 【分析】（1）参照题目的过程解题即可． （2）把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可． 【详解】（1）解：面积是5的正方形的边长是， 设，如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形， ∵， 而， ∴， 略去，得方程，解得， 即． （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键． 【题型4 估算无理数的整数部分或小数部分】 【例4】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是 ． 【答案】/3和/和3 【分析】根据可得，即可得到的整数部分是9，小数部分是，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，, ∴的整数部分是9，则，的小数部分是，则， ∴， ∴9的平方根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键． 【变式4-1】（23-24七年级·河南新乡·期中）已知m是的整数部分，n是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，先估算出，进而得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵m是的整数部分，n是的小数部分， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-2】（23-24七年级·江苏·期中）若【x】表示实数x的整数部分，表示实数x的小数部分，如【】，【】，，则【】的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 估算出的小数部分和的整数部分，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴【】， ∴【】． 故选：A 【点睛】 本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【变式4-3】（23-24七年级·河南新乡·期中）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3)的相反数是 【分析】本题考查估算无理数的大小，相反数的定义，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）估算无理数的大小即可确定整数部分和小数部分； （2）估算无理数，的大小，确定a、b的值，再代入计算即可； （3）估算无理数的大小，求出x、y的值，再代入计算，求出相反数即可． 【详解】（1）解：∵， 即， 的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：； （2）∵，即， 的小数部分， ∵， 即， 的整数部分， ； （3）， 即， 的整数部分为1，小数部分为， ， 又， ， x是整数，且， ， ， 的相反数． 【题型5 实数与数轴】 【例5】（23-24七年级·山东临沂·期中）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用，关键是结合题意求出． 由题意可知，面积为7的正方形边长为，所以，而，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为． 【详解】∵面积为7的正方形为7， ∴， ∵， ∴， ∵A点表示的数为1， ∴E点表示的数为， 故选：B． 【变式5-1】（23-24七年级·北京·期中）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则原点所在的位置有可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，能够根据题意分析出a与b的符号是解题的关键． 根据可以得出a与b异号，再根据可以得出负数的绝对值大于正数的绝对值，然后根据数轴的特点进行解题即可． 【详解】解：， a与b异号， 由数轴上观察可知：, ， 又， 负数的绝对值大于正数的绝对值， C点由可能是原点． 故选：C． 【变式5-2】（23-24七年级·辽宁大连·期中）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和，，则点C所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求数轴上两点之间的距离．由于，两点表示的数分别为和，先根据对称点可以求出的长度，根据在原点的左侧，进而可求出的坐标． 【详解】解：对称的两点到对称中心的距离相等， ，， ，而点在原点左侧， 表示的数为：． 故选：A． 【变式5-3】（23-24七年级·湖北恩施·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：    (1)化简：； (2)若的平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)算术平方根为1 【分析】本题考查了通过数轴判断实数的大小，平方根，立方根，算术平方根的定义，熟练掌握平方根，立方根，算术平方根的定义是解题关键． （1）根据数轴判断出，再根据算术平方根，立方根的定义进行化简即可； （2）根据题意可以求出a，b的值，再代入求出最后结果． 【详解】（1）解：由数轴可知：， ， ， ； （2）∵若的平方根是， ∴， 解得：． 因为，，所以，， 又∵的立方根是， ∴，即， 解得：， ∴， 即，算术平方根为1． 【题型6 实数的大小比较】 【例6】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）实数，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比较实数的大小，无理数的估算等知识．先估算出，，即可得到，进而得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 【变式6-1】（23-24七年级·安徽·专题练习）1，，0，这四个数中，绝对值最大的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数大小比较、绝对值、算术平方根等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先求出各数的绝对值，然后再进行比较即可解答． 【详解】解：，，，， ， ，，0，这四个数中，绝对值最大的数是， 故选：D． 【变式6-2】（23-24七年级·河南平顶山·期中）通过估算3，，，的大小为： （用“＜“连接）． 【答案】＜3＜． 【分析】先估算出和的取值范围，再进行比较大小，即可得出答案． 【详解】∵ ∴3＜ ＜4，2＜＜3， ∴＜3＜； 故答案为：＜3＜． 【点睛】本题主要考查实数的大小比较，估算一个数的算术平方根和立方根，是解题的关键. 【变式6-3】（23-24七年级·贵州黔南·期中）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这个问题与的大小． 小明的方法：因为，所以 3，所以 （填“”或“”） 小英的方法：，因为，所以 0，所以 （填“”或“”） (1)将上述材料补充完成； (2)请从小明和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查实数比大小，熟练掌握无理数之间比大小是解题的关键，根据题意把无理数变成有理数再比大小，即可得到答案． 【详解】（1）解：小明的方法：∵， ∴， ∴， 小英的方法：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：选小明的方法： ∵， ∴， ∴， 选小英的方法： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型7 程序设计中的实数运算】 【例7】（23-24七年级·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 【答案】，见详解 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键． 【详解】解：把代入数值转换器，第一次计算可得，为有理数，进行第二次计算， 把代入数值转换器，第二次计算可得，为无理数， 则输出． 【变式7-1】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的运算，先求出，再根据流程图代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式7-2】（23-24七年级·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可． 【详解】解：当输入x为36时，， 是有理数，， 是无理数， ∴当输入的为36时，输出的值是． 故答案为：． 【变式7-3】（23-24七年级·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【答案】(1) (2)1或2或3，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 4的算术平方根为， 而2是有理数，2的算术平方根为， 故答案为：； （2）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）解：若1次运算就是， ∴ ∴ ∴解得或， ∴x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴ ∴ ∴解得或 ∵ ∴不符合题意， 综上所述，． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． 【题型8 新定义中的实数运算】 【例8】（23-24七年级·山东济宁·期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】255 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据算术平方根的意义得到，，进而得到对只需进行3次操作后变成1，对只需进行4次操作后变成1，据此可得答案． 【详解】解：，，， ，，，， ，， ， ∴对只需进行3次操作后变成1． ，，，， ∴对只需进行4次操作后变成1． ∴只需进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的正整数是． 故答案为：． 【变式8-1】（23-24七年级·四川达州·阶段练习）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 【答案】3 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：3． 【变式8-2】（23-24七年级·福建福州·期中）若实数a，b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键．直接根据“如意数”的概念进行求解即可． 【详解】∵ ∴与是关于6的“如意数”． 故选：A． 【变式8-3】（23-24七年级·山西吕梁·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数• ，例如10•21=，那么的运算结果为（    ） A．13 B．7 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据新运算的定义计算即可． 【详解】解：∵• ， ∴ = = = = = =4， 故选：C． 【点睛】本题考查新定义，算术平方根，理解运用新运算是解题的关键． 【题型9 实数运算的实际应用】 【例9】（23-24七年级·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答． 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 【变式9-1】（23-24七年级·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答． 【详解】解：把d=32，f=2代入v=16， v=16=128（km/h）， ∵128＞100， ∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算． 【变式9-2】（23-24·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元． 【答案】25.2 【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可． 【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶 合计费用为：元 第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶 合计费用为：元 故选择第二种更划算，最低费用为25.2元 故答案为：25.2． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键． 【变式9-3】（23-24七年级·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为. 【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据面积相等得到方程，即可求解． 【详解】（1）如图， ∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形； （2）设拼成的正方形边长为，根据题意得， ∴（负值舍去） 答：拼成的正方形边长为． 【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 【题型10 实数运算中的规律探究】 【例10】（23-24·湖北黄冈·模拟预测）对于正整数，我们规定：若为奇数，则：若为偶数，则，例如，，若，，，，，依此规律进行下去，得到一列数，，，，，，，为正整数）， ． 【答案】4725 【分析】按照规定：若为奇数，则；若为偶数，则，直接运算得出、、、、，进一步找出规律解决问题． 【详解】解：，，，，，，， 这一列数按照除外，按照4、2、1三个数一循环， ， ． 故答案为：4725． 【点睛】此题考查实数运算的规律，解题的关键是通过运算得出规律：这一列数按照除外，按照4、2、1三个数一循环． 【变式10-1】（23-24七年级·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，， ， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 【变式10-2】（23-24七年级·福建龙岩·期末）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值以及实数计算中的规律问题，用所给的计算方式，依次计算出等，观察规律即可解决问题． 【详解】 由此可见，和（为偶数）相等，且都等于 所以． 故选：D． 【变式10-3】（23-24七年级·河北承德·开学考试）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数． （1）当，时，为 ； （2）则表示的数是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了无理数，数字类规律探索； （1）根据图可知第4排第3个数为1； （2）由图得出规律：前七排共有个数，且以，，，为一个循环组，依次循环，然后计算即可． 【详解】解：（1）由图得：当，时，为1， 故答案为：1； （2）由图可得：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，…第7排有7个数，则前七排共有个数，且以，，，为一个循环组，依次循环， ∵， ∴表示的数是， ∴表示的数是， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.3 实数及其简单运算【十大题型】 【人教版2024】 【题型1 实数的概念理解】 1 【题型2 实数的运算】 2 【题型3 估算无理数的大小】 2 【题型4 估算无理数的整数部分或小数部分】 3 【题型5 实数与数轴】 4 【题型6 实数的大小比较】 5 【题型7 程序设计中的实数运算】 5 【题型8 新定义中的实数运算】 6 【题型9 实数运算的实际应用】 7 【题型10 实数运算中的规律探究】 8 知识点1：实数 无限不循环小数叫做无理数. 常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． ②含有π的绝大部分数，如2π． 【题型1 实数的概念理解】 【例1】（23-24七年级·陕西西安·期中）下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级·河南安阳·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩ (1)整数集合：（                 ） (2)分数集合：（                 ） (3)无理数集合：（                 ） 【变式1-2】（23-24七年级·湖南衡阳·期中）的绝对值是 ，的相反数是 ． 【变式1-3】（23-24七年级·山东日照·期中）已知a，b都是有理数，且，求的值（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 实数的运算】 【例2】（23-24七年级·四川泸州·期中）计算：． 【变式2-1】（23-24七年级·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2-2】（23-24七年级·云南昭通·期中）计算：． 【变式2-3】（23-24七年级·甘肃平凉·期中）计算： (1)； (2)． 知识点2：估算法 （1）若，则； （2）若，则； 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则． 常见实数的估算值：，，． 【题型3 估算无理数的大小】 【例3】（23-24七年级·北京·期中）如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-1】（23-24七年级·四川成都·期中）估算的运算结果应在哪两个整数之间(    ) A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【变式3-2】（23-24七年级·四川成都·期末）在学习《估算》一课时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家．小丽抽到的卡上写的是，小颖抽到的卡上写的是2，那么赢家是 ． 【变式3-3】（23-24七年级·江苏盐城·期中）下面是小明探索的近似值的过程： 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图． 由图中面积计算， 另一方面由题意知 所以 略去，得方程． 解得．即． (1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） (2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．（用a、b的代数式表示） 【题型4 估算无理数的整数部分或小数部分】 【例4】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是 ． 【变式4-1】（23-24七年级·河南新乡·期中）已知m是的整数部分，n是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【变式4-2】（23-24七年级·江苏·期中）若【x】表示实数x的整数部分，表示实数x的小数部分，如【】，【】，，则【】的值是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24七年级·河南新乡·期中）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的相反数． 【题型5 实数与数轴】 【例5】（23-24七年级·山东临沂·期中）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24七年级·北京·期中）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则原点所在的位置有可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式5-2】（23-24七年级·辽宁大连·期中）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和，，则点C所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24七年级·湖北恩施·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：    (1)化简：； (2)若的平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 【题型6 实数的大小比较】 【例6】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）实数，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24七年级·安徽·专题练习）1，，0，这四个数中，绝对值最大的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【变式6-2】（23-24七年级·河南平顶山·期中）通过估算3，，，的大小为： （用“＜“连接）． 【变式6-3】（23-24七年级·贵州黔南·期中）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这个问题与的大小． 小明的方法：因为，所以 3，所以 （填“”或“”） 小英的方法：，因为，所以 0，所以 （填“”或“”） (1)将上述材料补充完成； (2)请从小明和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【题型7 程序设计中的实数运算】 【例7】（23-24七年级·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 【变式7-1】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【变式7-2】（23-24七年级·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 【变式7-3】（23-24七年级·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【题型8 新定义中的实数运算】 【例8】（23-24七年级·山东济宁·期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【变式8-1】（23-24七年级·四川达州·阶段练习）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有，如，则的结果是 ． 【变式8-2】（23-24七年级·福建福州·期中）若实数a，b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24七年级·山西吕梁·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数• ，例如10•21=，那么的运算结果为（    ） A．13 B．7 C．4 D．5 【题型9 实数运算的实际应用】 【例9】（23-24七年级·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【变式9-1】（23-24七年级·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 【变式9-2】（23-24·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为 元． 【变式9-3】（23-24七年级·安徽蚌埠·期中）如图，长方形的长为，宽为． （1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据） （2）求所拼正方形的边长． 【题型10 实数运算中的规律探究】 【例10】（23-24·湖北黄冈·模拟预测）对于正整数，我们规定：若为奇数，则：若为偶数，则，例如，，若，，，，，依此规律进行下去，得到一列数，，，，，，，为正整数）， ． 【变式10-1】（23-24七年级·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24七年级·福建龙岩·期末）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24七年级·河北承德·开学考试）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数． （1）当，时，为 ； （2）则表示的数是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$