专项7 牛吃草问题-小升初奥数思维提升讲义

小升初经典奥数——牛吃草问题 16种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ 牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。牛吃草问题的四个基本公式。 （1）草的生长速度= （对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）； （2）原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； （4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。 这四个公式是解决牛顿问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。 【一般型牛吃草问题】 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？ 【解析】 这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。 　　①设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。 ②前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。 　　200－150＝50（份），20—10＝10（天）， 　　③说明牧场10天长草50份，1天长草50÷10=5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。 ④由此得出，牧场上原有草 　　（l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。 　　现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。 ⑤当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。 　　所以，这片草地可供25头牛吃5天。 【提示】注意三点： 　　（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。 　　（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。 　　（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。 1.有一片牧场,牧草每周都均地生长,这片牧场可供20头牛吃10周或供24头牛吃6周,那么这片牧场可供18头牛吃几周? 2.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周,或供23 头牛吃9周。那么可供 多少头牛吃12周? 3.牧场上长满牧草,牧草每天勾速生长,这片牧草可供54头牛吃1天,或者可供44头牛吃16天,那么这片牧草可供38头牛吃多少天? 【不增反减型牛吃草问题】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？ 【解析】与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。 　①设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草。 ②所以牧场原有草 　（20＋10）×5＝150（份）。 　③由 150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃 10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。 1.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天。那么,可供11头牛吃几天? 2.因天气渐冷,牧场上的草以固定的数量减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天或可供24头牛吃6天。照这样计算,这个牧场可供多少头牛吃10天? 【水管型牛吃草问题】 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？ 【解析】 虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草”，进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例1相似。 　 出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。 　 ①设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15（份），这两次排出的水量都包括原有 水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在8-5=3（分）内所 放进的水量，所以每分钟的进水量是 ②（16-15）÷3=（份） 　③假设让个出水管专门排进水管新进的水，两相抵消，其余的出水管排原有的水，可以求出原有水的水量为： （2-）×8=13（份）或（3-）×8=13（份） 　 ④解：设出水管每分钟排出的水为1份。每分钟进水量： （2×8-3×5）÷（8-5）=（份） ⑤进水管提前开了（2-）×8÷=40（分） 　 答：出水管比进水管晚开40分钟。 1.一个水池安装若干根排水量相等的排水管,一根进水管匀速地往池里放水。如果开放6根排水管45分钟可以把池中水排完,如果开放10根排水管25分钟可以排完池中水。如果开放4根排水管,那么多少分钟可将水池中水排完? 2.二个蓄水池每分钟流人4立方米水,如果打开5个水龙头,2.5小时就把水池水放完;如果打开8个水龙头,1.5小时就把水池水放完。现在要求54分钟把水排完,需开几个水龙头? 【自动扶梯型牛吃草问题】 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？ 【解析】 此题“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。 　 上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5＝ 100（级），女孩6分钟走了15×6＝90（级），女孩比男孩少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10级。由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。 【详解】 ①自动扶梯每分钟走：（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级）， ②自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。 答：扶梯共有150级。 1.超市的自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶,小刚和小玲从扶梯上楼,小刚每分钟走 23级,小玲每分钟走17级,结果小刚5分钟到达楼上,小玲6分钟到达楼上。问:超市的自动扶梯共有多少级? 2.自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走1梯级,女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上,女孩用60秒到达楼上。该扶梯共有多少级? 3.哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内,妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶,共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍。那么当自动扶梯静止时,自动扶梯能看到的部分有多少级? 4.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每秒可走3级梯级,女孩每秒可走2级梯级,结果从扶梯的一端到达另一端，男孩走了100秒,女孩走了300秒。问:该扶梯有多少级梯级? 【排队等候型牛吃草问题】 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？ 【解析】 等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。 　　旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。 　　①设1个检票口1分钟检票的人数为1份。因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客 　　②（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。 　　③假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为： 　　（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。 　　同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要60÷（7-2）=12（分）。 　 1.画展9点开门,但早就有人排队等候入场了。从第-个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达的时间是8点几分? 2.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失,若同时开5个检票口则需30分钟,若同时开6个检票口则需 20 分钟。如果要使队伍10分钟消失,那么需同时开几个检票口? 3.某火车站的检票口,在检票开始之前已经有一些人排队,检票开始后每分钟有10人前来排队检票,一个检票口每分钟能让25个人检票进站。如果只有一个检票口,检票开始8分钟后就没有人排队;如果有两个检票口,那么检票开始后多少分钟就没有人排队? 【三块草地型牛吃草问题】 有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？ 【解析】 例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。 　　①［5，6，8］＝120。 　 ②因为 5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5＝24，所以120公顷草地可供11×24＝264（头）牛吃10天。 　 ③因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12×20＝240（头）牛吃14天。 　 ④120÷8＝15，问题变为： 120公顷草地可供19×15＝285（头）牛吃几天? 　 ⑤因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为： 　 “一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？” 　 ⑥这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出的草有 　（240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）。 ⑦草地原有草（264—180）×10＝840（份）。 ⑧可供285头牛吃840÷（285—180）＝8（天）。 　 所以，第三块草地可供19头牛吃8天。 　 1.有三块草地,面积分别为4公顷、8公顷和10公顷草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供24头吃6周,第二块草地可供 36头牛吃12周。问:第三块草地可低50头牛吃几周? 2.有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天。问:第三块草地可供多少头牛吃80天? 3.有三片牧场，场上的草长的一样密，而且长的一样快。它们的面积为公亩，10公亩和24公亩。12头牛4星期吃完第一块牧场原有的和4星期内新长出来草，21头牛9星期吃完第二块牧场原有的和9星期内新长出来的草。问多少头牛才能在18星期吃完第三块牧场原有的和新长出来的草? 【牛数量变化型牛吃草问题】 有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完.现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头（草每日匀速生长）? 【解析】 牛吃草问题的一个变化就是牛的数量的改变，对于牛减少了或者增加了，我们应该假设牛没有减少或增加，相应的增加或减少一部分草的总量，然后就可以按照基本的牛吃草问题来处理了。 【详解】 ①设1头牛1天吃1份草。 ②则牧草每天的生长量(17×30-19×24)+(30-24)=9份; ③原有草量:17×30-9×30=240份。 ④我们可以假设这4头牛没卖，要保证这4头牛在最后两天有草吃，我们必须增加4×2＝8份的草。这样就相当于所有的牛都吃了8天的草。 ⑤假设牛的数量保持不变，连续吃6+2=8天，共需要牧草240＋9×8＋4×2=320份，因此有牛320÷8=40头。 1.一片草地，有15头牛吃草，8天可以把草全部吃光。如果起初这15头牛吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完，如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，则总共多少天可以把草吃完? 2.一牧场上的青草每天速生长,这片青草可供15头牛吃32天,或供17头牛吃24天。现有一群牛,吃了6天后送给附近部队农场4头,余下的牛又吃了2天才把草吃完,这群牛原有多少头? 3.有一片草地,草每天生长的速度相同,这片草地可供5头牛吃40天,或者供6头牛吃30天。如果4头牛吃了 30天以后,又增加2头牛一起吃,这片草地还可以再吃几天? 【两种动物型牛吃草问题】 一块草地，每天生长的速度相同现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天? 【解析】 设每头牛每天吃早1份，把羊的只数转化为牛的头数为: 80-4=20(头) 60-4=15(头) 草每天生长的份数: (16×20-20×12)÷(20-12) =(320-240)÷8 =80÷8 =10(份) 草地原有的草的份数: (16-10)×20=120(份) 10头牛和60只羊就相当于有牛:10+15=25(头); 所吃天数为:120÷(25-10) =120÷15 =8(天) 答:10头牛和60只羊一起能吃8天。 1.菌饲料培养池中的料每天速生长出新的菌饲料可供家禽围在菌池周围吃食。这池菌饲料可供8只小鸭与6只鸡吃10天,可供11只小鸭9只鸡吃6天。如果一只小鸭每天的吃食量等于3只鸡的吃食量,问:这池饲料可供10只鸭和12只鸡吃几天? 2.有一片草地,草每天生长的速度相同。现在这片草地可供16头牛吃20天,或者供80只羊吃10天。如果1头牛的吃草量等于3只羊的吃草量,那么12头牛与60只羊一起吃草可以吃多少天? 【其它方面型】 A、B、C三个仓库各存放着同样数量的水泥,用一台皮带输送机和12个工人需5小时才能把A仓库搬空;用一台皮带输送机和28个工人需3小时才能把B仓库搬空;用两台皮带输送机,如果要2小时把C仓库搬空,同时还需要多少名工人?(皮带输送机功效相同,每个工人每小时搬运量相同,皮带输送与工人同时往外搬运水泥) 【解析】根据题意可以得到皮带传输机的工作效率与工人的工作效率之间的关系，从而可以解答本题。 ①设1个工人1小时搬运水泥量为1份，得 12×5=60（份） 28×3=84（份） ②1台电动输送机1小时的输送量为：（84-60）÷（5-3）=24÷2 =12（份） ③每个仓库原有的水泥量为：60+12×5=120（份） ④C仓库还需工人搬运的水泥量：120-2×2×12=72（份） ⑤ 2小时需要搬运的工人人数为：72÷2=36（人） 答：还需要多36个工人同时搬运。 1.甲、乙、丙三个仓库，各存放着同样数量的化肥，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，需要5小时才能把甲仓库搬完;乙仓库用一台皮带输送机和28人，需3小时把乙仓库搬完，丙仓库有两台输送机，如果要求2小时把丙仓库搬完，同事还需要多少名工人?(输送机的功效相同，工人没小时的搬运量相同，输送机与工人同时往外搬运化肥) 满分：100分 时间：60分钟 　1.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周。那么，可供21头牛吃几周？ 　　 2.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃 24天。现有一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原来有多少头？ 3.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？ 　 4.有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20时可以把水抽干；用15部同样的抽水机，10时可以把水抽干。那么，用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？ 　　 5.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果同时开放3个检票口，那么40分钟检票口前的队伍恰好消失；如果同时开放4个检票口，那么25分钟队伍恰好消失。如果同时开放8个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？ 　 6.两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？ 　　 7.两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级梯级，女孩可走24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端。问：该扶梯共多少级？ 8.有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草? 9.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天? 10一片草地,12头牛4周吃牧草格尔,21头牛9周吃牧草10格尔。24格尔牧草多少头牛18周可以吃完? 【巩固提升】参考答案 1.有一片牧场,牧草每周都均地生长,这片牧场可供20头牛吃10周或供24头牛吃6周,那么这片牧场可供18头牛吃几周? 【解析】（牛吃草问题：生长量=（较长时间×长时间 牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷（长时间-短时间)； ①假设1头牛吃草量为1份。 ②每周长出新草：(20×10-24×6)÷(10-6) =(200-144)÷4 =14(份) ③原有草：20×10-14×10 =200-140 =60(份) 假设有15头牛专吃新长出的草。 ④原有的草被吃完周数为： 60÷(18-15) =60÷6 =10(周) 答：可供18头牛吃10周。 2.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周,或供23 头牛吃9周。那么可供多少头牛吃12周? 【解析】因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出来的草。新长出来的草虽然在变，但应注意到是匀速生长的，因而这片草地每天新张的草的数量也是不变的。 【解答】 ①解：设每1头牛1周吃的草为1份。 ②那么牧场每周长新草：（23×9-27×6）÷（9-6）=15份 ③原来的牧场有草：27×6-15×6=72份 ④吃旧草的牛有：72÷12+15=21（头） 答:可供21头牛吃12周。 3.牧场上长满牧草,牧草每天勾速生长,这片牧草可供54头牛吃1天,或者可供44头牛吃16天,那么这片牧草可供38头牛吃多少天? 【解析】牧场上原有的青草总量是一定的,每头牛的食草量一样多,草匀速生长,每天新生出的新草数量相同。关键是要计算出原有草量和每天长出的草量。 ①设1头牛一天吃草量为1份,54头牛12天吃:54×12=648(份); 44头牛16天吃:44×16=704(份)。 64份是原有草量加12天新长的草,704份是原有草量加16天新长的草。 704-648=56(份),16-12=4(天),说明4天长草56份草, ②生长速度：56÷4=14(份),也就是说有14天牛专吃新草。 ③由此得出牧场上原有草量是:(54-14)×12=480(份),或(44-14)×16=480(份)。 ④480份草,每天长出14份,有38头牛,其中14头吃新草,剩下38-14=24(头)牛吃原有的草,即可算出吃的天数。 【详解】(44×16-54×12)÷(16-12)=14(份)……每日新生草量; (44-14)×16=480(份)或(54-14)×12=480(份)……原有草量。 480÷(38-14)=20(天)。 答:这片草可供38头牛吃20天。 【诀窍】把一个个体在1单位时间内完成的工作量设为1份,如假设题中将1头牛1天吃草量设为1份。 1.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天。那么,可供11头牛吃几天? 【解析】设每头牛每天吃1份草 则牧场上的草每天减少量=（20×5－16×6）÷（6－5）=4份 草原来牧场上草的份数=20×5+5×4=120份草 故可供6头牛吃的天数 =120÷（6+4） =12天。 答：可供11头牛吃12天. 2.因天气渐冷,牧场上的草以固定的数量减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天或可供24头牛吃6天。照这样计算,这个牧场可供多少头牛吃10天? 【解析】根据分析可得 ①青草每天减少:(33×5-24×6)÷(6-5)=(165-144)÷1=21(份) ②牛吃草前牧场有草:165+21×5=165+105=270(份) ③270÷10-21=27-21=6(头) 答:可供6头牛吃10天。 1.一个水池安装若干根排水量相等的排水管,一根进水管匀速地往池里放水。如果开放6根排水管45分钟可以把池中水排完,如果开放10根排水管25分钟可以排完池中水。如果开放4根排水管,那么多少分钟可将水池中水排完? 【解析】排完的水由两部分组成：一部分是开始排水前已水池中已有的水，另一部分是开始排水后又放进来的水。 ①1个排水管1分钟排出的水为1份．6个排水管45分钟通过（6×45）份，10个检票口25分钟通过（10×25）份，说明在（45-25）分钟内新放进来的水有（6×45-10×25）份. ②每分钟放进来的水是： (6×45-10×25)÷(45-25) =（270-250）÷20 =20÷20 =1(份) ③那么水池中原有的水为：  6×45-1×40 =270-40 =230(份) ④同时开放4个排水管，需要的时间是： 230÷(4-1)=76 (分钟） 答：如果同时开放4个排水管，那么76分钟可将水池中的水排完。 2.二个蓄水池每分钟流人4立方米水,如果打开5个水龙头,2.5小时就把水池水放完;如果打开8个水龙头,1.5小时就把水池水放完。现在要求54分钟把水排完,需开几个水龙头? 【解析】 ①每个水龙头每分钟放出水量为4×60÷(5×150-8×90)=8(立方米) ②原来水池中存有水量 8×8×90-4×90=5400(立方米) ③54分钟可放空需要打开龙头的个数:(5400+54×4)÷(8×54)=13(个) 答:要54分钟放空水池，需要打开13个龙头 1.超市的自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶,小刚和小玲从扶梯上楼,小刚每分钟走 23级,小玲每分钟走17级,结果小刚5分钟到达楼上,小玲6分钟到达楼上。问:超市的自动扶梯共有多少级? 【解析】 ①自动扶梯每分钟走(23×5-17×6)÷(6-5) =13÷1 =13(级) ②自动扶梯共有(23+13)×5=180(级) 答:扶梯共有180级。 2.自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走1梯级,女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上,女孩用60秒到达楼上。该扶梯共有多少级? 【解析】 ①自动扶梯每秒钟走： [1×50-2×（60÷3）]÷（60-50） =10÷10， =1（级）； ②自动扶梯共有（1+1）×50=100（级）； 答：该扶梯共有100级。 3.哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内,妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶,共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍。那么当自动扶梯静止时,自动扶梯能看到的部分有多少级? 【解析】 设两人走的扶梯数是x级，由题意得 x+50=100-x x+50+x=100-x+x 2x=50 x=25 25+50=75(级) 答:当时扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有75级。 4.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每秒可走3级梯级,女孩每秒可走2级梯级,结果从扶梯的一端到达另一端，男孩走了100秒,女孩走了300秒。问:该扶梯有多少级梯级? 【解析】 本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度．并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度 自动扶梯的速度=(女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－男孩每秒走的梯级×男孩走的时间)÷(女孩走的时间－男孩走的时间)，自动扶梯的梯级总数＝女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－自动扶梯的速度×女孩走的时间 ①速度：(2×300-3×100)-(300-100)=1.5（级/秒） ②级数：2×300-1.5×300=600-450=150(级) 所以自动扶梯共有150级的梯级。 　 1.画展9点开门,但早就有人排队等候入场了。从第-个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达的时间是8点几分? 【解析】设每分钟来的人数为“1”,第一个观众x分钟以前到达。 +=+ 解得: x=30 所以第一个观众8:30分到达。 2.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失,若同时开5个检票口则需30分钟,若同时开6个检票口则需 20 分钟。如果要使队伍10分钟消失,那么需同时开几个检票口? 【解析】 ①设每个检票口每分钟过1个人。 ②则5×30=150个人，6×20=120个人； ③每分钟新来的人数为(5×30-6×20)÷(30-20)=3个人； ④原来排队的人数为:5×30-3×30=60个人； ⑤每分钟新来的3个人需要3个验票口,才可无滞留原有的排队需要:60÷10=6个检票口； ⑥所以如果要使10分钟消失,那么需要同时开3+6=9个检票口。 3.某火车站的检票口,在检票开始之前已经有一些人排队,检票开始后每分钟有10人前来排队检票,一个检票口每分钟能让25个人检票进站。如果只有一个检票口,检票开始8分钟后就没有人排队;如果有两个检票口,那么检票开始后多少分钟就没有人排队? 【解析】 ①根据原有的人数＝总人数－后来排队的人数即可求出原有的人数 25×8-10×8＝200-80＝120(人)； ②设开两个窗口后x分钟后就暂时无人排队了，列方程即可求解。 (25×2)x-10x＝120 40x＝120 x＝3 所以开始检票3分钟后就暂时无人排队了。 　 1.有三块草地,面积分别为4公顷、8公顷和10公顷草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供24头吃6周,第二块草地可供 36头牛吃12周。问:第三块草地可低50头牛吃几周? 【解析】 首先要转换为草的单位面积上头的牛的数量。 设:草的生长速度为~，根据原草量相等得: （-x）×6=(-x)×12 6x=18 X=3 第三块草地可供50头牛吃的周数: （-3）×6÷（-3） =3×6÷2 =18÷2 =9(周) 答:第三块草地可供50头牛吃9周。 2.有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天。问:第三块草地可供多少头牛吃80天? 【解析】 ①设每头牛每天的吃草量为1份。 则每亩30天的总草量为：10×30÷5=60份 每亩45天的总草量为：28×45÷15=84份 ②那么每亩每天的新生长草量为（84-60）÷（45-30）=1.6份 ③每亩原有草量为：60-1.6×30=12份 ④那么24亩原有草量为：12×24=288份 ⑤24亩80天新长草量为24×1.6×80=3072份 ⑥24亩80天共有草量3072+288=3360份 ⑦所以有3360÷80=42（头） 答：第三块地可供42头牛吃80天。 3.有三片牧场，场上的草长的一样密，而且长的一样快。它们的面积为公亩，10公亩和24公亩。12头牛4星期吃完第一块牧场原有的和4星期内新长出来草，21头牛9星期吃完第二块牧场原有的和9星期内新长出来的草。问多少头牛才能在18星期吃完第三块牧场原有的和新长出来的草? 【解析】 ①设每头牛每星期吃草为1份 先来看第一块地 12头牛4星期吃草：12×4=48份 ②再来看第二块地 面积为第一块的10÷=3倍 所以能供12×3=36头牛吃4星期，一共吃草：36×4=144份 现在供21头牛吃9星期，一共吃草：21×9=189份 ③相差草量：189-144=45份 这45份,就是第二块地在9-4=5个星期内能长出的草量。 生长速度：45÷5=9份 第二块地原来有草：189-9×9=108份 ④再来看第三块地，面积为第二块的：24÷10=2.4倍 所以第三块地, 原来有草：108×2.4=259.2份 每星期长草：9×2.4=21.6份 18星期吃完,一共吃草：21.6×18+259.2=648份 每星期吃草：648÷18=36份 所以要36头牛来吃 1.一片草地，有15头牛吃草，8天可以把草全部吃光。如果起初这15头牛吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完，如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，则总共多少天可以把草吃完? 【解析】 设每头牛每天吃“1”份草，则15头牛8天吃：15×8=120（份），15头牛吃了2天，又来了2头牛总共7天共吃，2×15+17×5=115（份），那么8-7=1（天）共长草5份，原来有草：120-5×8=80（份），15头牛2天吃草：15×2=30（份），还剩80+5×2-30=60（份）．那么又来了5头牛，20头牛可吃：60÷（20-5），计算即可。 【解答】 ①每头牛每天吃“1”份草． 则15头牛8天吃：15×8=120（份） ②15头牛吃了2天，又来了2头牛总共7天共吃：2×15+17×5=115（份） 那么8-7=1（天）共长草120-115=5（份） ③原来有草：120-5×8=80（份） 15×2=30(份) 80+5×2-30=60(份) 60÷(20-5)=4(天) ④2+4=6(天) 答:总共需要6天吃完草。 【考点点评】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口。 2.一牧场上的青草每天速生长,这片青草可供15头牛吃32天,或供17头牛吃24天。现有一群牛,吃了6天后送给附近部队农场4头,余下的牛又吃了2天才把草吃完,这群牛原有多少头? 【解析】 解答此题需要理清思路，明确草是在匀速生长，可以理解为草每天的生长量够一头牛吃几天，原草量够一头牛吃几天，然后根据原草量与草匀速生长的数量之和与牛吃的总草量相等列式解答即可。 ①本题属于典型的牛吃草问题，解题的关键是要明确原草量和草每天匀速生长的数量不变； ②根据题意求出草每天匀速生长的数量以及原草量； ③本题建议列方程解答，设这群牛有x头，根据牛吃草的总量与草的总量相等列出方程，并解方程即可。 【解答】 根据题意，求出青草匀速生长的数量以及原草量，结合这道题比较麻烦，用方程解比较合适。 ①解：设这群牛原有x头。 15×32=480(天)，17×24=408(天)，480-408=72(天)，32-24=8(天)，72÷8=9(天)，480-9×32=192(天)， ②6x+2(x-4)=192+9×6+9×2 6x+2x-8+8=264+8 8x÷8=272÷8 x=34 答：这群牛有34头。 3.有一片草地,草每天生长的速度相同,这片草地可供5头牛吃40天,或者供6头牛吃30天。如果4头牛吃了 30天以后,又增加2头牛一起吃,这片草地还可以再吃几天? 【解析】 假设每头牛每天吃1份草 ②5头牛40天吃:5×40=原有的草+40天新加增的草 ③6头牛30天吃:6×30=原有的草+30天新加增的草 ④所以每天新加增的草是:(5×40-6×30)÷(40-30)=2(份) ⑤原有的草:5×40-2×40=120(份) ⑥四头牛吃30天后还剩:120+2×30-4×30=60(份) ⑦以后新增2头牛吃每天新增加的草，其余的4头牛吃剩余的草可以吃:60+4=15(天) 1.菌饲料培养池中的料每天速生长出新的菌饲料可供家禽围在菌池周围吃食。这池菌饲料可供8只小鸭与6只鸡吃10天,可供11只小鸭9只鸡吃6天。如果一只小鸭每天的吃食量等于3只鸡的吃食量,问:这池饲料可供10只鸭和12只鸡吃几天? 【解析】 ①设每只鸡每天吃菌饲料1份。 ②把小鸭的只数转化为鸡的只数为：8×3＋6＝30(只),即30只鸡吃10天： 11×3＋9＝42(只)或42只鸡吃6天； ③每天菌饲料生长的份数：(30×10-42×6)÷(10-6)＝48÷4 ＝12(份), ④菌饲料原有的份数：(30-12)×10 ＝18×10 ＝180(份) ⑤10只鸭和12只鸡就相当于有鸡：10×3＋12＝42(只) ⑥180÷(42-12)＝180÷30＝6(天) 答：这池饲料可供10只鸭和12只鸡吃6天。 2.有一片草地,草每天生长的速度相同。现在这片草地可供16头牛吃20天,或者供80只羊吃10天。如果1头牛的吃草量等于3只羊的吃草量,那么12头牛与60只羊一起吃草可以吃多少天? 【解析】 ①假设一头羊一天吃一份草，那么一头牛一天吃4份 ②16×4×20-80×12 =1280-960 =320(份) ③320÷(20-12) =320÷8 =40(份) ④80×12-40×12 =960-480 =480(份) ⑤①480÷[(10×4+60×1)-40] =480÷(100-40) =480÷60 =8(天) 答:这片草地可供10头牛和60只羊一起吃8天。 1.甲、乙、丙三个仓库，各存放着同样数量的化肥，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，需要5小时才能把甲仓库搬完;乙仓库用一台皮带输送机和28人，需3小时把乙仓库搬完，丙仓库有两台输送机，如果要求2小时把丙仓库搬完，同事还需要多少名工人?(输送机的功效相同，工人没小时的搬运量相同，输送机与工人同时往外搬运化肥) 【解析】 ①设a为一台皮带输送机每小时工作量(每人/小时)，因仓库存放数量相同②则:5(a+12)=3(a+28) 5a+60=3a+84 a=12 ③故每个仓库用工量为5(a+12)=120 得a=12 因为丙仓库有两台皮带输送机，故需工人:(120-2×2×12)÷2=72÷2=36（名） 答：丙仓库还需要36名工人。 【经典测试】参考答案 满分：100分 时间：60分钟 　1.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周。那么，可供21头牛吃几周？ 【解析】 ①设每1头牛1周吃的草为1份，那么牧场每周长新草（23×9-27×6）÷（9-6）=15 份． ②原来的牧场有草：27×6-15×6=72份 ③吃旧草的牛有：21-15÷1=6 （头） ④吃完草的时间：72÷6=12 （周） 答：可供21头牛吃12周。 2.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃 24天。现有一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原来有多少头？ 【解析】 ①假设每头牛每天吃1份草。 ②17头牛30天比19头牛24天多吃：17×30-19×24=54（份）； ③即每天长：54÷（30-24）=9（份）； ④所以原来牧场有：（17-9）×30=240（份）； ⑤现有这群牛吃了：240+8×9=312（份）； ⑥如不卖牛，共可吃：312+（4×2）=320（份）； ⑦所以，这群牛原来有：320÷8=40（头）。 答：这群牛原来有40头。 3.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？ 【解析】 根据“100亿人生活100年”知道一共有资源1万亿人每年，再根据“80亿人生活300年，”知道一共有资源2.4万亿人每年，即相差的1.4万亿人每年就是200年增长的，所以100年增长0.7万亿人每年，1年增长70亿人每年，当增长量等于消耗量时，可以永远生活，所以最多70亿人。 【解答】 ①100×100=10000（份），  ②80×300=24000（份），  ③24000-10000=14000（份）， ④14000÷200=70（亿人）， 答：地球最多能养活70亿人。 4.有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20时可以把水抽干；用15部同样的抽水机，10时可以把水抽干。那么，用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？ 【解析】 ①(20×10-15×10)÷(20-10) =50÷10 =5(份) ②20×10-20×5 =200100 =100(份) ③100÷(25-5) =100÷20 = 5(小时)。 答:用25台这样的抽水机5小时可以把水抽干。　 5.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果同时开放3个检票口，那么40分钟检票口前的队伍恰好消失；如果同时开放4个检票口，那么25分钟队伍恰好消失。如果同时开放8个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？ 【解析】 根据题意可知，等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。 ①假设1个检票口1分钟检票的人数为1份．3个检票口40分钟通过（3×40）份，4个检票口25分钟通过（4×25）份，说明在（40-25）分钟内新来旅客（3×40-4×25）份，所以每分钟新来旅客是： ②（3×40-4×25）÷（40-25）=（份） ③那么原有旅客为：3×40- ×40=（份） ④同时开放8个检票口，需要的时间是：  ÷（8-）=10（分） 答：如果同时开放8个检票口，那么队伍10分钟恰好消失。 6.两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？ 【解析】 ①设蜗牛夜里下滑深度为V： 5（20+V）=6（15+V） 井的深度相等 解得V=10 ②5×（20+10）=150 分米=15米 7.两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级梯级，女孩可走24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端。问：该扶梯共多少级? 【解析】 2分钟=120秒，3分钟=180秒。男孩走了2分钟到达另一端，走了（120÷20）×27=162（级）；女孩走了3分钟到达另一端，走了（180÷20）×24=216（级）。求出电动扶梯每分钟走的级数，再进一步解决问题即可。 【解答】 2分钟=120秒，3分钟=180秒 ①电动扶梯每分钟走： [（180÷20）×24-（120÷20）×27]÷（3-2） =216-162， =54（级）； ②电动扶梯共有：（120÷20）×27-54×2=54（级）； 答：该扶梯共54级。 8.有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草? 【解析】 17×30=510（份），19×24=456（份） ①草的生长速度：(510-456)÷(30-24) =54÷6 =9（份/天） ②原草量：510-30×9 =240（份） ③(6×9+240)÷6 =294÷6 =49(人) 答;需要49人。 9.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天? 【解析】 设一人1天的饮酒量为1份，每天漏酒的量为：（6×4-4×5）÷（5-4）=4（份），据此即可求出这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天。 【解答】 ①设一人1天的饮酒量为1份， ②每天漏酒的量为： （6×4-4×5）÷（5-4） =4÷1 =4（份）， ③4÷1=4（人） 答：这桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天。 10.一片草地,12头牛4周吃牧草格尔,21头牛9周吃牧草10格尔。24格尔牧草多少头牛18周可以吃完? 【解析】 由于两次的格尔数不同，所以统一格尔数：把12头牛4周吃牧草格尔，看作12×3头牛4周吃牧草×3格尔，即36头牛4周吃牧草10格尔；然后假设每头牛每周吃1份草，36头牛4周吃36×4=144份，21头牛9周吃21×9=189份，多吃了189-144=45份，恰好是9-4=5周长的；那么10格尔每周就长45÷5=9份，则每格尔每周就长9÷10=0.9份，原来牧场每格尔的草量有36×4÷10-0.9×4=10.8份；那么24格尔牧草18周后的草量为：10.8×24+0.9×18×24=259.2+388.8=648份，所以牛的数量是：648÷18=36（头），据此解答即可． 【解答】 ①假设每头牛每周吃1份草。 ②把12头牛4周吃牧草格尔，看作12×3头牛4周吃牧草 ×3格尔，即36头牛4周吃牧草10格尔； ③10格尔每周长草的份数：（21×9-36×4）÷（9-4） =45÷5 =9份 ④每格尔每周生长：9÷10=0.9份 ⑤原来牧场每格尔的草量有： 36×4÷10-0.9×4 =14.4-3.6 =10.8份 ⑥24格尔牧草18周后的草量为： 10.8×24+0.9×18×24 =259.2+388.8 =648份 所以牛的数量是：648÷18=36（头） ⑦答：24格尔牧草36头牛18周可吃完。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$