28.2.1 解直角三角形-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(人教版)

第 二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 学习目标 1.了解解直角三角形的含义，理解解直角三角形中五个元素之间的关系. 2.运用所学知识解直角三角形. 学习重难点 运用所学知识解直角三角形. 运用所学知识解直角三角形. 难点 重点 导入新知 如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A ，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m. 知道以上条件，你能求出∠A的度数吗？ 3 知识点1 解直角三角形的定义 ① 已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m. 求∠A的度数. 探究 利用计算器可得∠A ≈ 5°28′. 将上述实际问题抽象为数学问题，就是已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数. 4 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 概念 5 探究 （1）在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？ （2）知道五个元素中的几个，就可以求其余元素? 如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么有： 6 （1）三边之间的关系： a2+b2=c2（勾股定理） ； （2）两锐角之间的关系： ∠A+∠B=90°； （3）边角之间的关系： sin A= ，cos A= tan A= 利用这些关系，知道其中的两个元素（至少有一个是边）， 就可以求出其余三个未知元素. 7 归纳 知二求三的情况： 1.已知两边 （1）已知两直角边； （2）已知一直角边和斜边 2.已知一边一角： （1）已知一直角边和一锐角 （2）已知斜边和一锐角 8 例1 根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( ) ①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边. A. ②③ B. ②④ C. 只有② D. ②④⑤ C 9 （1） 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，BC= ，解这个直角三角形. 分析：已知的元素：两直角边 未知的元素：斜边，两锐角 例2 知识点2 解直角三角形 ② 10 解：方法一： 方法二： 由勾股定理可得AB= 11 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 分析：已知的元素：一直角边，一锐角 未知的元素：斜边，一直角边，一锐角 例3 12 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 解：∠A=90°-∠B=90°-35°=55°. ∵tan B = ， ∴a= 28.6. ∵sin B = ， ∴c=.9. 例3 你还有其他方法吗？ 13 归纳 运用关系式解直角三角形时，常常要用到以下变形： (1)两锐角之间的关系：∠ A=90°－∠ B，∠ B=90° －∠ A； (2)三边之间的关系： (3)边角之间的关系：a=csin A，a=ccos B，a=btan A，b=csin B，b=ccos A，b=atan B. 有斜求对乘正弦，有斜求邻乘余弦，无斜求对乘正切. 14 随堂演练 1. 如图，△ ABC 中，AB=AC， BC=1 0 ，∠ B=36°，D 为BC 的中点， 则AD 的长是( ) A.5sin36° B.5cos36° C.5tan36° D.10tan36° C 15 2.根据下列条件，解直角三角形： (1)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，a=20，c=20 ； (2)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，a=2 ，b=2. 16 解：(1)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°， 则sin A= ∴∠ A=45°，∴∠ B=90°－∠ A=45°，∴ b=a=20. (2)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°， ∵ a=2 ，b=2，∴ c= ∵ tan A= ∴∠ A=60°， ∴∠ B=90°－∠ A=90°－60°=30°. 17 3.如图，在△ ABC 中，AB=1，AC= ，sin B= ，求BC 的长. 解：如图，过点A 作AE ⊥ BC，垂足为点E. 在Rt △ ABE 中，∵ sin B= ，AB=1， ∴ AE= ，∴ EB= 在Rt △ ACE 中，AC= ∴ CE= . ∴ BC=BE+CE= 18 4. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ ．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°求△ABC的周长（结果保留根号）. 解：∵在Rt△ ABC中， ∠ADC=60°， ∴ sin ∠ADC= =， tan∠ADC= =， ∵AC=∴AD=2，DC=1. ∵BD＝2AD，∴BD=4，∴BC=5. ∴AB==2. ∴△ ABC 的周长=AC+BC+AB=5++2. 19 课堂小结 解直角三角形 定义 五个元素 知二求三 常用关系式 有关计算 三边关系 两锐角关系 边角关系 有斜求对乘正弦，有斜求邻乘余弦，无斜求对乘正切. 20 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 21 绿卡图书—走向成功的通行证 22 $$