2025年中考数学一轮复习专项巩固练习33--正多边形与圆

2025年中考数学一轮复习专项巩固练习33--正多边形与圆 一、单选题 1．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D． 2．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形的边数是（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 3．一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（   ） A． B． C． D． 4．每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转（    ） A． B． C． D． 5．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，正六边形螺帽的边长是，这个扳手开口的距离是，a的值是（   ）    A． B． C． D．1 7．如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则正方形的半径是（    ）    A．4 B．2 C． D． 8．如图，将正方形和正五边形的中心重合，按如图位置放置，连接、，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．正六边形的周长为6，则正六边形的半径为 ． 10．若一个正多边形的内角和为540度，则这个正多边形的中心角为 度． 11．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形、则地基的周长为 m． 12．如图，正六边形内接于，，则的长为 ． 13．如图，正五边形内接于圆，连接, 交于点F，则的度数为 ． 14．如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长等于 ． 15．如图，正五边形边长为6，以A为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 16．如图，在半径为3的上，以3为半径依次截取点六个点，并连接得六边形．连结，则四边形的面积是 ． 三、解答题 17．大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 18．如图，的半径为r，六边形是圆的内接正六边形，四边形是正方形．    (1)求正六边形与正方形的面积比； (2)连接，求度数． 19．数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 20．如图，正方形内接于，P为上的一点，连接，． (1)求的度数： (2)若的半径为r，则阴影部分面积是________； (3)当点P为的中点时，是的内接正n边形的一边，则________． 参考答案 1．C 【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可． 【详解】∵正多边形的中心角为， ∴这个多边形的边数是， ∴正多边形的边数是8． 故选：C． 2．B 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 由题意得，， 解得，， ∴这个正多边形的边数是9， 故选：B． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 3．B 【分析】本题主要考查圆的内接正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键．过作于，根据圆内接正多边形的特点，求半径为的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，先利用等边三角形的判定及性质得，再利用勾股定理先求出，进而求得三角形的面积从而即可求解． 【详解】解：如图：过作于， 由题意可知，求半径为的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴该正六边形的面积为：， 故选：． 4．D 【分析】本题考查正多边形与圆，求出正六边形的中心角度数，即可得出结果． 【详解】解：正六边形的中心角的度数为， ∴绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转； 故选D． 5．B 【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵是圆内接五边形， ∴， ∴， 故选B． 6．A 【分析】本题考查了正多边形以及解直角三角形．根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形可得到，进而可求出的值，此题得解． 【详解】解：正六边形的任一内角为， （如图），   ， ． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理求得，根据正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是正方形的外接圆，正方形的边长为， ∴ ∴正方形的半径是 故选：C． 8．A 【分析】分别求出以点为中心的正五边形和正方形的中心角即可． 【详解】解：如图，连接， 点是正五边形和正方形的中心， ，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的前提． 9．1 【分析】此题主要考查正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即可求解． 【详解】解：∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形， 而三角形的边长就是正六边形的半径， 又∵正六边形的周长为6， ∴正六边形边长为， ∴正六边形的半径等于1． 故答案为：1． 10．72 【分析】本题主要考查了多边形的内角和和正多边形的中心角，首先设此多边形为n边形，根据题意得：，即可求得，再由除以5，即可求得答案． 【详解】解：设此多边形为n边形， 根据题意得：， 解得：， ∴这个正多边形的中心角为：． 故答案为：72． 11． 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：如图， ∵，, ∴，即正六边形的边长为， ∴地基的周长为， 故答案为：. 12．1 【分析】本题考查了圆与正多边形的综合，弦与圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，圆心角的计算，掌握圆与正多边形的性质是解题的关键．根据圆、正多边形的性质可得，是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：∵正六边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：1 ． 13． 【分析】本题考查正五边形性质，圆周角的性质，三角形外角的性质． 根据题意可知，都等于，利用圆周角与所对弧之间的度数关系可知， ，再由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵正五边形内接于圆， ∴，都等于，即中心角是， ，， ， 故答案为：． 14． 【分析】连接，根据正六边形的性质可得，从而得到，再由锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：连接， ∵正六边形是圆的内接多边形， ∴， ∵， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、锐角三角函数；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键． 15． 【分析】】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵正五边形的外角和为， ∴每一个外角的度数为， ∴正五边形的每个内角为， ∵正五边形的边长为6， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了正六边形面积，熟练掌握正六边形性质，正三角形面积公式，是解题的关键． 正六边形可等分成六个正三角形，正三角形面积公式为（a正三角形的边长），剪下的三角形的面积每个都等于其中的一个正三角形的面积． 【详解】． 故答案为：． 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，设交于H，可证明垂直平分，则，再由切线的性质得到，进而可证明，得到，据此可证明结论； （2）证明是等边三角形，则可求出的长，进而求出的长，求出，则可求出，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，设交于H， ∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵小圆O与相切于点K， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H在小圆O上， 又∵， ∴是小圆O的切线； （2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∵小圆O与相切于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆综合，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定与性质． （1）根据正多边形的性质证明是边长为r的等边三角形，可表示出正六边形的面积以及正方形的面积，求比值即可； （2）根据，可得出三角形是等腰三角形，结合，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为r的等边三角形， ∴． 正方形的面积为，正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为； （2）解：∵， ∴是等腰三角形． ∵， ∴， ∴． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，确定圆心，正多边形的性质，无刻度直尺作图； （1）根据圆周角所对弦是直径连接矩形对角线交点即为圆心； （2）连接和，分别与交于点，，连接和，此时根据对称性可得直线，是圆的对称轴，和的交点即为圆心； （3）延长正方形的边长、、对角线分别交圆于点、、，此时由正方形的性质可得是圆的对称轴，所对的弦是直径，连接与交点即为圆心． 【详解】（1）解：如图，连接矩形对角线交点即为圆心； （2）解：圆心的位置如图所示： （3）解：圆心的位置如图所示： 20．(1) (2) (3)8 【分析】（1）连接，根据正方形内接于，结合圆周角定理可得； （2）根据即可求出答案； （3）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出的度数，进而得出答案． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形内接于， ∴， ∴． （2）由题意可得，阴影部分面积是： ， 故答案为： （3）解：连接，如图所示： ∵正方形内接于， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$