28.1 第1课时 正弦-【初中学霸创新题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(人教版)

第 二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 第1课时 正弦 学习目标 1.利用相似的直角三角形，探索并理解正弦的概念. 2.能根据正弦的定义公式进行相关计算. 学习重难点 理解正弦的概念 根据正弦的定义公式进行相关计算. 难点 重点 你能将这个实际问题转化为几何问题吗？ 导入新知 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？ 3 知识点1 正弦的概念 ① 将上述问题转化为数学语言描述如下： 如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°， ∠A =30°，BC =35 m，求AB 的长. 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管． 4 在上面的问题中，如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？如果出水口的高度为h m呢？ 你发现了什么结论？ 思考 E 50 m D h m F G 35 m A B C 当出水口DE =50m时，水管AD =2×50=100m； 当出水口FG =h m时，水管AD =2h m 5 在直角三角形中，如果一个锐角的度数等于30°，那么无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 结论 6 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？ Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理，得 因此 思考 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 7 综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时， ∠A的对边与斜边的比都等于 ， 是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值. 一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 8 探究 任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'=α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ 9 探究 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' ，因此 即 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值． 10 正弦 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA ， 即 对 边 A B C c a b 斜边 11 解读 正弦是一个比值，是没有单位的数值，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的边的长短无关.即∠A的正弦sin A随着∠A的变化而变化. 12 正弦的表示 “sinA”是一个完整的符号，单独写符号sin是没有意义的，表达时有时要省去角的符号“∠” . 1.省去“∠”的情况：当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，如：sin A，sin α . 2.不能省去“∠”的情况：当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，如：sin ∠ ABC，sin ∠ 1 . 13 练一练 在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30 °时 ，sin A=_____. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=60 °时 ，我们有sinA=_____． 14 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 例 A B C A B C 13 5 图1 图2 知识点2 正弦值的计算 ② 分析 求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比 3 4 15 解：如图1，在Rt△ABC中， 如图2，在 Rt△ABC 中， 因此 sin A= sin B= A B C A B C 13 5 图1 图2 3 4 16 小结 1. 计算一个锐角的正弦值要注意两个方面的问题：一是确定这个锐角所在的直角三角形；二是要注意正弦等于这个锐角的对边与斜边的比． 2. 求 sin A 就是要确定∠A 的对边与斜边的比；求 sin B 就是要确 定∠B 的对边与斜边的比． 17 随堂演练 1.在△ABC中，已知AC=5，BC=4，AB=3.那么下列 各式正确的是（ ） A.sinA= B.sinA= C.sinB= D.sinB= A 18 2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍， sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定 C 19 3. 如图， P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3，4）， 则sin α = . O P( 3 , 4 ) A 20 4.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，求sin α的值. 解：由图可得，sin α= . 21 课堂小结 正弦 定义 对边与斜边的比 表示方法 有关计算 与锐角的大小有关， 与三角形边的长短无关 22 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 23 绿卡图书—走向成功的通行证 24 $$